浅谈解题后的再思考

数学教学中如何提高学生的数学素养和数学能力? 我觉得数学解题后的再思考是一个非常有效的途径。 何为再思考? 就是解完一道题后并非大功告成, 应进行归纳总结, 巩固和扩大练习成果, 以达到做一道题也会做一类题和相关联题的目的。下面就以一道学生所做的数列题的解法来谈谈解题后的再思考。

题目:数列nɑnn中 ɑ1=1, ɑn+1=2ɑn+1 (n∈N*) 求 ɑn+1+1=2 (ɑn+1) 数列的通项公式 ɑn.

解析: 学生用拼凑的方法得到:ɑ1+1=2, ∴ nɑn+1n是以2为首项, 以2 为公比的等比数列. ∴ ɑn=2n-1

思考一: 如果常数项不是1, 要用拼凑的方法解就比较困难。如何求递推关系形如:ɑn+1=pɑn+q (p, q为常数且p≠1) 的数列的通项公式。 经过归纳总结得到用方程的思想来解此类题。 本题解题思路如下:

解:由题设可设ɑn+1+t=2 (ɑn+t) 解得t=1

∴ɑn+1+1=2 (ɑn+1) , ɑ1+1=2

∴ nɑn+1n是以2 为首项, 以2 为公比的等比数列

∴ɑn+1=2n∴ɑn=2n-1

思考二:如果常数项变成一个关于n的函数f (n) , 当f (n) 是一次函数时, 数列的通项公式怎么求, 经探究发现方程的思想仍然能解决此类问题

题目:数列nɑnn中 ɑ1=1, ɑn+1=2ɑn+n+1 (n∈N*) , 求数列的通项公式。

解:由题设可得 ɑn+1+t (n+1) +k=p (ɑn+tn+k) , 解出t=1, k=2 所以有 ɑn +1+ (n +1) +2 =2 (ɑn+n +2) , 数列nɑn+n+2n是等比数列, ∴ɑn+n+2=2n+1, ɑn=2n+1-n-2。

思考三:当f (n) 是指数型函数时方程的思想是否依然使用? 经研究方程的思想是解决此类问题有效方法。

题目:已知数列nɑnn满足 ɑn+1=2ɑn+3·5n, ɑ1=6, 求数列nɑnn的通项公式。

解:设 ɑn+1+x·5n+1=2 (ɑn+x·5n) (1)

将 ɑn+1=2ɑn+3·5n代入 (1) 式, 得2ɑn+3·5n+x·5n+1=2ɑn+2x·5n, 等式两边消去2ɑn, 得3·5n+x·5n+1=2x·5n, 两边除以5n, 得3+5x=2x, 则x=-1, 代入 (1) 式得 ɑn+1-5n+1=2 (ɑn-5n)

(2) 由ɑ1-51=6-5=1≠0及 (2) 式得ɑn-5n≠0, 则则数列{ɑn-5n}是以 ɑ1-51=1 为首项, 以2 为公比的等比数列, 则ɑn-5n=2n-1, 故 ɑn=2n-1+5n。

思考四: 方程的思想解决了求三类一阶递推关系的通项公式, 对于求二阶递推关系的通项公式是否也能行之有效? 经探索发现方程的思想依然使用。

题目:数列{ɑn}中ɑ1=1, ɑ2=2, 求数列{ɑn}的通项公式。

解:设ɑn+2-αɑn+1=β (ɑn+1-αɑn) , ɑn+2= (α+β) ɑn+1-αβɑn,

∴{ɑn+1-ɑn}是以ɑ2-ɑ1=1为首项, 以-1/3为公比的等比数列

令上式n=1, 2, 3… (n-1) 再把个n-1 等式迭加得:

思考五:对思考三再作进一步研究, 如何求递推数列形如:ɑn+1=pɑn+mqn (p、q为常数且q≠0, m≠0, p=q) 的通项公式? 方程的思想不能再使用, 但可以利用化归的思想得到一个等差数列, 进而求出 ɑn, 举例如下:

题目:数列ɑnn n中ɑ1=1, ɑn+1=2ɑn+3·2n (n∈N*) , 求数列{ɑn}的通项公式。

解:将递推关系式的两边同时除以2n+1得, 有, 则数列为等差数列, 所以有。

以上通过对一道题的再思考解决了五种相关的题型。 可见每当学生题目解答后, 教师要注意引导学生对题目进行再思考、再探索, 培养他们的良好学习习惯, 加深学生对知识的理解, 启发思路, 总结规律, 有效地使其知识、技巧的深化理解, 对训练思维、促进能力的迁移、防止走题海战术, 使学生从思考中获得多方面的启示, 都具有非常特殊的功效。