整体思想在解题中的应用

2022-09-11

所谓整体思想, 就是研究问题时从整体出发, 对问题的整体形式、结构特征进行综合分析、整体处理的思想方法。运用整体思想解题, 能使复杂的问题简单化、抽象的问题具体化, 从而达到化繁为简、化难为易、事倍功半的效果。在历年的中考试题和竞赛试题中, 主要体现在以下几个方面:

1 整体代入思想

求代数式的值时, 通常会遇到各种各样关于未知数的关系式的条件, 若利用常规方法在这些关系式中求出未知数的值后再代入求值式, 其计算可能会非常复杂。这时往往需要研究问题的条件和结论的整体形式, 挖掘式子结构上的特征, 将已知条件进行恰当地变形, 或把一些已知关系式作为整体, 直接代入求值式中计算。

例1, 已知 , 求的值。

思路点拨

根据条件显然无法计算出a, b的值, 只能考虑在所求代数式中构造出 , 再整体代入即可。

解答过程

2 整体约减思想

整体约减思想包含整体相减, 有时要进行a-c= (a-b) + (b-c) 变换和整体约分两步运算。常常会用到下面的式子:

思路点拨:

有关阶乘的计算题, 是不可能一一计算的, 所以此题定用整体相减的方法每一个分数的一般式是把它拆成两项, 后就可以消掉中间所有的项, 答案就浮出水面了。

解答过程:

3 整体换元思想

在解题时, 我们往往会碰到非常繁琐的数据, 直接计算其结果往往是不太可能, 这时, 我们可以引入换元, 然后通过对整体结构的调节和转化, 使问题获解。这样解题一可以把握问题的实质, 二可以沟通已知和未知的联系, 寻求简单的解题思路。

例3, 已知: 的小数部分为P, 求M (1-P) 的值。

思路点拨:

直接计算是不太可能的事情, 所以把换为x, 为了去掉根号, 我们再设。

解答过程:设

则xy=2, x2+y2=16

∴x6+y6= (x2+y2) (x4-x2y2+y4) =16×[ (x2+y2) 2-3x2y2]=3904

∴x6=3904-y6=3903+ (1-y6)

∴0

4 整体变形思想

在运用整体变形思想时, 要弄清楚变形的目的、变形的方向、变形的过程、以及变形的结果等, 才能确定如何变形、怎样变形并对变形过程进行控制。常用的方法有整体配方、整体求倒、整体相加减及整体构造等。

例4, 已知a2+2001a+1=0, 且 , 求:[m]的值。

思路点拨:

方程a2+2001a+1=0中的a是一个很繁琐的无理数, 所以不能走先求出a再求值这一步。我们应该通过整体变形, 让已知式和未知式联系起来。未知式的分子是4次式, 分母是3次式, 如果分子分母同除以a2, 即。看来, 只要知道的值此题就做出来了。而的值可以由方程a2+2001a+1=0变形得到。

解答过程:

5 整体补形思想

整体补形思想是根据已知图形的特征, 将不规则或不完整的图形, 通过简单地拼接, 补成规则或完整的图形, 再对问题进行求解。整体补形思想是化不规则为规则, 不完整为完整, 补繁为简, 补缺为整。

例5, 如图, 在四边形ABCD中, ∠B=∠C=60°, 点P为BC上的点, 且BP=3, CP=6, AB=1, CD=4。求∠DAP+∠ADP的度数。

思路点拨:

由四边形的两内角为60°以及四边形的“底座式”外形, 可联想到补成一个等边三角形, 然后利用比例线段寻找可用的相似形, 从而进一步发现未知角与已知角的联系。

解答过程:

如图, 延长BA, CD交于点Q, 连结PQ。

∴ΔQBC为等边三角形。

同理ΔCDP∽ΔCPQ

6 整体操作思想

整体操作思想是指从操作性问题的整体性质出发, 注重对问题结构的分析和改造, 发现问题的整体结构特征, 把某些对象看成一个整体, 从而进行有目的的整体处理的数学思想。解答操作性问题, 关键是善于运用“集成”的眼光, 进行有意识的整体操作。解答这类问题一般要经过观察、思考、想象、交流、推理、操作、反思等过程, 需要利用已有的生活经验与感知发现结论, 从而解决问题。

例6, 如图 (1) 所示是某立式家具 (角橱) 的横断面, 请你设计一个方案 (角橱高2m, 房间高2.6m, 所以不必从高度方面考虑方案的设计) 。按此方案, 可使家具通过图 (2) 中的长廊搬入房间。在图 (2) 中把你设计的方案画成简图, 并说明此方案可把家具搬入房间的理由 (搬运过程中不准拆卸家具, 不准损坏墙壁) 。

思路点拨:

事实上, 书橱横断面呈等腰直角三角形ΔABC, 如图 (3) 所示。连结GH, 过点C作CE⊥GH于点E, 交AB于点D, 只要求出CE的大小即可得到设计方案。

解答过程:

如图 (3) , 连结GH、AB, 过点C作CE⊥GH于点E, 交AB于点D, 作GF⊥AB于点F, 得矩形FGED。

∴DE=FG

∴如图 (3) 那样可使书橱通过1.45宽的走廊。

总之, 在整体思想的指导下, 常常可以使得一些生疏、复杂或非常规的问题转化为较简单或学生较熟悉、较容易解决的问题。学生只有在学习过程中不断揣摩与领会, 并做到灵活运用, 才有可能把握其精髓。

整体思想方法不仅是解决数学问题的思维方法, 还是认识客观事物规律的思想方法。作为教师, 应该将其贯穿于数学教学过程的始终, 让学生从整体的角度理解数学的思想和精髓, 从整体的角度掌握和运用数学的知识和方法, 从整体的角度分析和解决问题, 从而提高学生的数学素养。当然, 在运用整体思想解决数学问题时, 并不是要淡化局部化思想的作用, 其实, 这两种思想既辩证又统一, 在解题时需要合理利用, 才能收到最好的效果。

摘要：所谓整体思想, 就是研究问题时从整体出发, 对问题的整体形式、结构特征进行综合分析、整体处理的思想方法。具体分为:整体代入思想、整体约减思想、整体换元思想、整体变形思想、整体补形思想、整体操作思想。

关键词：整体思想,整体代入思想,整体约减思想,整体换元思想,整体变形思想,整体补形思想,整体操作思想