高考数学(考纲)对考生逻辑思维能力的要求

高考是选拔性考试, 是高中毕业生和具有同等学力的考生进入高等院校学习的资格考试。而高考数学正像《考试大纲》) 中指出的, 其主要是测试中学数学的基础知识、基本技能、基本思想和方法, 考查逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力以及运用数学知识分析问题和解决问题的能力。对能力的考查, 以逻辑思维能力为核心, 全面考查各种能力, 强调探究性, 综合性, 切合考生的实际。

逻辑思维能力:数学中的逻辑思维能力, 是指根据正确思维规律和形式对数学对象的属性进行分析综合、抽象概括、推理证明的能力。它要求对问题或数学材料进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括;会用演绎、归纳和类比进行判断与推理, 并能准确、清晰、有条理地进行表述。

逻辑思维能力在解题过程中主要表现为三个方面:其一是能正确领会题意, 明确解题目标;其二是能寻找到实现解题目标的方向和合适的解题步骤;其三是能通过合乎逻辑的推理和运算, 正确地表述解题过程, 正确地领会题意, 明确解题目标, 是开展思维的前提。

例一:若{an}是等差数列, 首项a1>0, a2003+a2004>0, a2003·a2004〈0, 则使前n项和Sn>0成立的最大自然数n是

本题的解法很多, 选用什么样的解题路径, 体现出考生的知识基础, 逻辑思维水平和表现技巧。这是选择题中的比较难的一个题目, 对于考生在短时间里想出一个好的解法是有很大的难度, 多数考生想直接求解, 但运算量太大就放弃了。出题者真正的意图是要求考生找寻一个简单的解法, 真正的考查学生的寻找解题的方向和步骤, 是充分运用观察、比较、类比、分析、综合、演绎、归纳、抽象、概括等逻辑思维能力。这要求考生克服思维定势, 运用合适的简捷的手段来处理数学问题。

解法一:直接法

由已知可得公差d<0, a2003+a2004=2a1+4005d>0, a2003=a1+2002d>0, a2004=a1+2003d<0

所以最大自然数n=4006, 即选择答案B。

解法二:特殊数列法

设a2003=2, a2004=-1

∴最大自然数n=4006, 即选择答案B。

显然法二比法一简捷多了, 并且也容易想到, 这是教师要求学生掌握解选择题的一种重要方法。这要求考生运用观察、类比、归纳等逻辑思维能力, 克服思维定势, 找出简捷的解法, 出奇制胜。

解法三:数形结合

由已知可得a1>0, d<0, a2003>0, a2004<0, S2003, 最大, 如下图:直观简捷地得出, 使前n项和Sn>0成立的最大自然数n=4006。即选择B。

解法三要求考生有严密的逻辑推理, 不然习惯认为当n=2003是对称轴, 则图像经过 (4006, 0) 点, 考生就会错选A答案。

当然, 用代数解法也能得到正确的结果, 但其变形的过程较繁冗, 比之数形结合法未显示太大的优越性。法三则要求过程较简捷的解法往往体现出较高层次的思维能力, 也正是逻辑思维能力较高的表现。

寻找解题的方向和步骤, 是充分运用观察、比较、类比、分析、综合、演绎、归纳、抽象、概括等思维方式, 对试题的条件和结论提供的外在信息与自身大脑中储存的内在信息进行提取、组合、加工和转化, 明确解题方向, 形成解题策略, 确定解题方法, 选择解题步骤.当然, 这与分析和解决问题的能力是紧密联系的, 不过是思维要求的侧重点不同而已。

例二:已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2点P在双曲线的右支上, 且|PF1|=4|PF2|, 则此双曲线的离心率e的最大值为

分析:本题目是考查圆锥曲线的几何性质, 已知长度关系|PF1|=4|PF2|, 求双曲线的离心率e的最大值.需要考生构造不等式求最大值, 即代数问题, 也可以运用几何法求解, 几何问题代数化是解析几何的一大特点。要求考生准确掌握双曲线的几何性质, 通过思考、类比选择解题方法、步骤;要求考生有创新思维和较强的逻辑思维能力。

解法一:焦半径法

设P (x1, y1) 由焦半径公式

∴此双曲线的离心率e的最大值为

即选择B。

解法二:定义法

由双曲线定义|PF1|-|PF2|=2a, 又由已知|PF1|=4|PF1|,

解得|PF1|=8a/3, |PF2|=2a/3,

在三角形PF1F2中,

, 即选择B。

题的角度审视.此题的解答代数推理, 又运用圆锥曲线的几何性质, 用平面几何的性质推理, 而且以不同的知识点出发, 从不同的思维角度切入, 不管是代数方法或几何方法, 都有多条解题路径, 有繁有简, 反映出不同的思维层次, 这就为考生创新思维的发挥提供了表现的舞台。

本题的解法可迁移圆锥曲线一个带有普遍性的深刻的性质合乎逻辑的推理和运算, 是演绎推理的过程, 这个过程要保证推理的合理性和论证的严密性, 就必须掌握好有关的逻辑知识, 如逻辑划分、推理规则等等, 从而做到因果关系明晰, 推理步步有据, 陈述层次清楚。论证完整无缺。