浅谈数学发散思维的训练

2023-02-24

江泽民提出:“应该培养和造就高素质的创造性人才”。在用体力少脑力多, 机械少电子多, 静态少变化多的信息社会, 要人们随时吸收新思想, 感知新事物, 适应变革解决非传统问题。正如美国数学教育界的文件《人人有份》指出“从来没有像现在这样, 美国人需要为生存而思考, 从来没有像现在这样, 他们需要数学式的思维。”现代心理学家研究表明:创造能力=知识量ⅹ发散思维能力。数学发散思维培养也是素质教育的重要内涵, 它使人养成良好思维习惯, 形成良好思维策略, 增加人反映能力, 提高人创造能力。

1 发散思维 (又称求异思维或辅射思维)

它是指从已知信息中产生大量变化的独特的新信息, 沿不同方向, 从不同角度, 在不同范围, 不因循传统, 而提出新问题, 探索新知识, 获得新方案。它具有多维的几何特征, 无明确逻辑规则以及确切评价标准的一种思维。其结果常常是出人意料的。它在推广原问题, 引申旧知识, 发现新方法中具有积极的开拓作用, 因此, 创造能力更多地寓于发散思维之中。

2 发散性思维的特性

它具有思路广阔, 寻求变异, 对已知信息通过转换或改造进行扩散派生以形成各种新信息的特点。它在思维方向上具有逆向性、侧向性 (或横向性) 和多向性。它在内容上具有流畅性、独创性、变通性和开放性。发散思维过程主要依据是似真推理和辩证思维, 较多运用分析、比较、类比、归纳和探索性演绎等方法进行猜测、想象, 并用动态转换的思想观点处理问题。

3 发散性思维的训练

逆向思维是发散思维的一种重要形式, 它从习惯思维的反方向去思考和分析问题, 它是摆脱思维定势, 突破旧框架, 产生新思想, 发现新知识的思维方式。法国数学家达朗贝尔等开拓了高维几何学的新领域就是典型的例证。

侧向思维 (又称横向思维) 是发散思维的另一种形式, 它是从知识之间的横向联系出发, 即从数学的不同分支, 如数形结合思想, 或从不同学科知识方法交叉起来。这种学科交叉已是20世纪以来科学发展的一大特征。微积分在牛顿那里主要以力学为背景, 在莱布尼兹那里主要以几何为背景。这种发现决非沿着某种特定的逻辑线路能思索出来的。

多向思维是发散思维的典型形式, 它是从尽可能多的方面考察同一问题, 思维不局限于一种模式或一个方面, 而获得多种解答或多种结果的思维方式。爱迪生在发明电灯的过程中, 为延长灯丝寿命, 先后设想并实验了1600多种方案。如当x≠0时, 不等式ex>x+1的证法发散。

证法1:利用中值定理。

设f (x) =e X-x-1, 先证x>0, 显然f (x) 在区间 (0, +∞) 内连续、可导, 且f` (x) =ex-1。所以, 当x>0时, f (x) 在[0, x]上满足lagrange中值定理的条件, 则在开区间 (0, x) 内至少存在一点ξ, 使f (x) -f (0) =f` (ξ) x= (eξ-1) x>0 (0<ξf (0) 。而f (0) =0, 所以, 当x>0时, 有ex>x+1。同理可证当x<0时, 有ex>x+1。

证法2:利用函数的单调性。

设f (x) =ex-x-1, 则f` (x) =ex-1, 当x>0时, f` (x) >0, 由函数单调性判定定理可知, f (x) 在 (, 0+∞) 上是单调增函数, 则当x>0时, 有f (x) >f (0) , 而f (0) =0, 所以, 当x>0时, 有ex>x+1。当x<0时, f` (x) <0, 由函数单调性判定定理可知, f (x) 在 (-∞, 0) 上是单调减函数, 从而当x<0时, 有f (x) >f (0) , 即当x<0时, 有ex>x+1。

证法3:利用曲线的凹凸性。

设f (x) =ex, 则f′ (x) =ex>0, 由曲线的凹凸性可知, 曲线f (x) =ex在区间 (-∞, +∞) 内是凹的, 即曲线弧总在切线的上方。又y=x+1是曲线y=ex在点 (0, 1) 处的切线, 所以对任意一点x (x≠0) 均有ex>x+1。

证法4:利用积分法。

先证当x>0时, 对00时, 有ex>x+1。同理可证当x<0时, 有ex>x+1。

证法5:利用函数展开成幂级数。