证明线面平行的方法

2024-04-11

证明线面平行的方法（精选8篇）

篇1：证明线面平行的方法

证明线面平行的方法

线面平行重点难点剖析

线面平行关系的判断和证明是空间线面位置关系的研究重点之一，它包括直线与直线的平行，直线与平面的平行以及平面与平面的平行.本节复习包括首先要系统梳理有关判断、证明线面平行关系的各种依据，其中既包括有关定义、公理，还包括相应的判定定理或性质定理.梳理中不仅要明确有关判断、证明各有哪些依据，还要体会不同的依据在思维策略上给我们的指导.例如判断线面平行可有三种思维策略：

(1)从概念考虑，即依据线面平行的定义作思考，这就需要证明直线和平面没有公共点.证明方法通常选择反证法.(2)从降级角度考虑，即通过证明线线平行来证明线面平行.其依据为：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.证明方法通常是把平面外的这条直线经过平移，移到这个平面中去.(3)从升级角度考虑，即通过证明面面平行来证明线面平行.其依据为：两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面.证明方法是找出一个与这个平面平行的平面，并且使这条直线正好在所找的平面内.其中思维策略的选择不仅要注意建立这种意识，还要根据不同问题的不同条件，才能作出恰当的选择.在复习中应注意积累这种思考、选择的经验.2题目如图1,已知四边形ABCD,ABEF为两个正方形,MN分别在其对角线BF和AC上,且FM=AN,求证:MN∥平面EBC.一、找“线线平行”思考1如图2,过M作MH∥EF交BE于H,则MHEF=BBMF.过N作NG∥AB交BC于G,则NGAB=CANC.由于四边形ABCD,ABEF为两个全等正方形,则BF=AC,EF=AB,又因为FM=AN,所以MH∥NG且MH=NG,故四边形MHGN为平行四边形,所以MN∥平面EBC.思考2如图3,连结AM并延长交BE于K,则CK在平面EBC内.由题意,知△AFM∽△BKM,则AMMK=BFMM,因为FM=AN,BF=AC,则FMBM=ANNC,所以在△ACK中,有AMMK=ANNC,则MN∥CK,所以MN∥平面EBC.注在平面内找一条直线与平面外直线平行,通常有两种方法可找:①构造平行四边形;②构造三角形,利用对应边成比例.二、找“面面平行”思考3如图4,过M作MH∥BE,交AB于H,连结NH,则BMBF=BBHA.由于四边形ABCD,ABEF为全等的的正方形,又因为FM=AN,则有BMBF=CCNA,所以在3

线面的我已经给你了

我来补充线线的1.垂直于同一平面的两条直线平行

2.平行于同一直线的两条直线平行

3.一个平面与另外两个平行平面相交,那么2条交线也平行

4.两条直线的方向向量共线,则两条直线平行

篇2：证明线面平行的方法

2线面平行证明的常用方法

摘要：立体几何在高考解答题中每年是必考内容，线面平行的证明经常出现,很多同学总觉得证明方法很多很繁,在这里给大家用作辅助线的常用方法及空间坐标系的方法进行阐述。

关键词：找平行线；找第三个点；作平行平面；建立空间坐标系

立体几何在高考解答题中每年是必考内容，必有一个证明题；证明的内容包括以下内容：平行与垂直（线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直等），我们现在对线面平行这一方面作如下探讨：

在线面平行这节里有三个重要的定理：

直线与平面平行的判定性定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条

直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平

面和这个平面相交，那么这条直线和这个交线平行。

平面与平面平行的性质定理：如果两个平面是平行，那么在其中一个平面内的直

线和另一个平面平行。

从前面两个定理不难发现：要证线面平行(那么这条直线一定是平行于这个平面的),由性质定理可以得到这样一个结论：只要过这条直线作一个与平面相交的平面，那这个直线一定是与交线平行得。这样我们就可以找到与平面内的直线平行的直线。那么关键是怎样作一个平面与已知平面相交且过直线的平面。下面给大家介绍

方法一：两平行线能确定一个平面，过已知直线的两个端点作两条平行线使它们

与已知平面相交，关键：找平行线，使得所作平面与已知平面的交线。

（08浙江卷）如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE//CF，BCF=CEF=90,AD=3,EF=2。求证：AE//平面DCF.分析：过点E作EG//AD交FC于G，DG就是平面

与平面DCF的交线，那么只要证明AE//DG即可。

证明：过点E作EGCF交CF于G，连结DG，可得四边形BCGE为矩形，又ABCD为矩形，∥EG，从而四边形ADGE为平行四边形，所以AD 故AE∥DG．

因为AE平面DCF，DG平面DCF，所以AE∥平面DCF．

方法二：直线与直线外一点有且仅有一个平面，关键：找第三个点,使得所作平

面与已知平面的交线。

（06北京卷）如图，在底面为平行四边形的四棱锥PABCD中，ABAC，PA平面ABCD，且PAAB，点E是PD的中点.求证：PB//平面AEC.分析：由D、P、B三点的平面与已知平面AEC的交线最易找，第三个点选其它的点均不好找交线.证明：连接BD，与 AC 相交于 O，连接

∵ABCD 是平行四边形，∴O 是 BD 的中点又 E 是 PD 的中点∴EO∥PB.又 PB平面 AEC，EO平面 AEC，∴PB∥平面 AEC.方法三：两个平面是平行, 其中一个平面内的直线和另一个平面平行,关键：作

平行平面，使得过所证直线作与已知平面平行的平面

（０８安徽卷）如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，

ABC, OA底面ABCD, OA2,M为OA的中点，N为BC的中

点，证明：直线MN‖平面OCD 分析：M为OA的中点,找OA(或AD)中点,再连线。

证明：取OB中点E，连接ME，NE

ME‖AB,AB‖CD，ME‖CD

又NE‖OC,平面MNE‖平面OCD MN‖平面OCD

方法四：（向量法）所证直线与已知平面的法向量垂直，关键：建立空间坐标系

（或找空间一组基底）及平面的法向量。

（07全国Ⅱ•理）如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E，F分别为AB，SC的中点．证明EF∥平面SAD；

分析：因为侧棱SD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，所以很容易建立空间直角坐标系及相应的点的坐标。

证明：如图，建立空间直角坐标系Dxyz．

0，0)，S(0，0，b)，则B(a，a，0)，C(0，a，0)，设A(a，Eaa，0

，F0ab222，

EFba，0

2．

因为y轴垂直与平面SAD，故可设平面的法向量为n

=（0，1，0）

则：EFnba，0

2

（0，1，0）



=0 因此EFn

篇3：“三法”证明线面平行

一、由线线平行证明线面平行

证明线面平行最基本的方法是根据线面平行的判定定理, 即证平面外的直线与平面内的一条直线平行.此种方法的关键是找到平面内的一条直线与此直线平行, 即证线线平行, 经常应用到的结论有: (1) 三角形的中位线平行于第三边; (2) 同旁内角互补、同位角相等、内错角相等的两直线平行; (3) 垂直于同一直线的两条直线平行; (4) 平行四边形的对边相等且平行; (5) 如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线, 所得的对应线段成比例, 那么这条直线平行于三角形的第三边.

【例1】如图1, 五面体中, 四边形ABCD是矩形, AB∥EF, P、Q分别为AE、BD中点.

求证:PQ∥平面BCE.

证明:连接AC, 因为四边形ABCD是矩形, Q为BD的中点, 所以Q为AC的中点, 且在△AEC中.又P为AE的中点, ∴PQ∥EC, ∵

∴PQ∥CE.

点评:要证明线面平行, 可考虑证明PQ与平面内的一条直线平行, 因为P是AE的中点, Q是AC的中点, 故考虑利用中位线的性质证明线线平行, 进而证明线面, 进而证明线面平行.

【例2】在如图2所示的几何体中, △ABC是正三角形, AE⊥平面ABC, 平面BCD⊥平面ABC, BD=CD, 且BD⊥CD.

求证:AE∥平面BCD.

证明:取BC的中点M, 连接DM、AM, 由已知可得DM⊥BC, AM⊥BC.

又因为平面BCD⊥平面ABC, 所以DM⊥平面ABC.

因为AE⊥平面ABC, 所以AE∥DM.

又因为, 所以AE∥平面BCD.

点评:在空间中, 垂直于同一平面的两直线平行, 本题已知AE⊥平面ABC, 又可证明DM⊥平面ABC, 故可得AE∥DM, 从而证明了线面平行.

【例3】如图3, 已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形, AB∥CDE是PC的中点.证明:BE∥面PAD.

证明:取PD的中点F, 连接EF、AF, 则有

点评:本题中要证BE∥面PAD, 可考虑在平面PAD中寻找一条直线与BE平行, 根据条件中的线段关系考虑构造平行四边形解决.

二、由面面平行证明线面平行

在证明线面平行时, 若根据判断定理不容易证明, 可考虑通过证明面面平行, 达到证明线面平行的目的.

【例4】如图4, 三棱柱ABC-A1B1C1, 底面为正三角形, 侧棱A1A⊥底面ABC, 点E, F分别是棱CC1, BB1上的点, 点M是线段AC的中点, EC=2FB.

求证:BM∥平面AEF.

证明:如图4, 取EC的中点P, 连接PF、PM、PB,

∵点M是AC的中点,

∴PM∥AE,

又, ∴PM∥面AEF.

点评:要证明BM∥平面AEF, 在平面AEF中不容易找到一条直线与BM平行, 但根据条件易证明PM∥平面AEF, PB∥平面AEF.从而得到面面平行, 根据面面平行的性质, 易得线面平行.

三、法向量法

由平面的法向量可知, 如果直线与平面的法向量垂直, 且直线在平面外, 则直线与平面平行, 当题目中的条件有利于建立直角坐标系, 且用以上两种方法不易证明时, 可考虑建立直角坐标系, 利用法向量求解.

【例5】如图5, 已知四边形ABEF是矩形, △ABC是等腰三角形, 平面ABEF⊥平面ABC, ∠BAC=120°, AB=1/2AF=4, CN=3NA, M, P, Q分别是AF, EF, BC的中点.求证:直线PQ∥平面BMN;

篇4：“三法”证明线面平行

一、由线线平行证明线面平行

证明线面平行最基本的方法是根据线面平行的判定定理，即证平面外的直线与平面内的一条直线平行.此种方法的关键是找到平面内的一条直线与此直线平行，即证线线平行，经常应用到的结论有：（1）三角形的中位线平行于第三边；（2）同旁内角互补、同位角相等、内错角相等的两直线平行；（3）垂直于同一直线的两条直线平行；（4）平行四边形的对边相等且平行；（5）如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线，所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.

点评：本题中要证BE∥面PAD，可考虑在平面PAD中寻找一条直线与BE平行，根据条件中的线段关系考虑构造平行四边形解决.

二、由面面平行证明线面平行

在证明线面平行时，若根据判断定理不容易证明，可考虑通过证明面面平行，达到证明线面平行的目的.

点评：要证明BM∥平面AEF，在平面AEF中不容易找到一条直线与BM平行，但根据条件易证明PM∥平面AEF，PB∥平面AEF.从而得到面面平行，根据面面平行的性质，易得线面平行.

三、法向量法

由平面的法向量可知，如果直线与平面的法向量垂直，且直线在平面外，则直线与平面平行，当题目中的条件有利于建立直角坐标系，且用以上两种方法不易证明时，可考虑建立直角坐标系，利用法向量求解.

所以PQ∥平面BMN.

点评：本题具备了建立直角坐标系的条件，且点的坐标易求，故考虑利用法向量证明线面平行，应注意最后必须写明PQ平面BMN.

（责任编辑钟伟芳）endprint

平行关系是几何中一种常见的位置关系，其包括线线平行、线面平行及面面平行三种类型.其中线面平行是三种平行关系中最为常见的一种，是高中数学的必修内容，它既与线线平行相关，又与面面平行有一定的联系，是三种平行关系中极为重要的一种.在2013年的高考中，有一半的试卷涉及线面平行的证明，下面以题为例研究线面平行的证明方法，寻找此类题的解题规律.

一、由线线平行证明线面平行

点评：本题中要证BE∥面PAD，可考虑在平面PAD中寻找一条直线与BE平行，根据条件中的线段关系考虑构造平行四边形解决.

二、由面面平行证明线面平行

在证明线面平行时，若根据判断定理不容易证明，可考虑通过证明面面平行，达到证明线面平行的目的.

三、法向量法

所以PQ∥平面BMN.

点评：本题具备了建立直角坐标系的条件，且点的坐标易求，故考虑利用法向量证明线面平行，应注意最后必须写明PQ平面BMN.

（责任编辑钟伟芳）endprint

一、由线线平行证明线面平行

点评：本题中要证BE∥面PAD，可考虑在平面PAD中寻找一条直线与BE平行，根据条件中的线段关系考虑构造平行四边形解决.

二、由面面平行证明线面平行

在证明线面平行时，若根据判断定理不容易证明，可考虑通过证明面面平行，达到证明线面平行的目的.

三、法向量法

所以PQ∥平面BMN.

点评：本题具备了建立直角坐标系的条件，且点的坐标易求，故考虑利用法向量证明线面平行，应注意最后必须写明PQ平面BMN.

篇5：证明线面平行

二，面外一直线上不同两点到面的距离相等，强调面外

三，证明线面无交点

四，反证法(线与面相交，再推翻)

五，空间向量法，证明线一平行向量与面内一向量(x1x2-y1y2=0)

【直线与平面平行的判定】

定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

【判断直线与平面平行的方法】

(1)利用定义：证明直线与平面无公共点;

(2)利用判定定理：从直线与直线平行得到直线与平面平行;

(3)利用面面平行的性质：两个平面平行，则一个平面内的直线必平行于另一个平面

篇6：构造平行四边形证明线面平行

（2）当∠PDA＝45°时，求证：MN⊥平面PCD；

2、如图，正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=2，AA1=1，D是BC的中点，点P在平面BCC1B1内，PB1=PC1=2.（I）求证：PA1⊥BC；

（II）求证：PB1//平面AC1D；

3、（本题满分14分）如图，平行四边形ABCD中，BDCD，正方形ADEF所在的平面和平面ABCD垂直，H是BE的中点，G是AE,DF的交点.⑴求证： GH//平面CDE；⑵求证： BD平面CDE.4、如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，ABAE,FAFE,AEF45

（I）求证：EF平面BCE；

（II）设线段CD、AE的中点分别为P、M，求证： PM∥平面

BCE5、（本小题满分14分）如图，已知AB⊥平面ACD，DE//AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是CD的中点。（I）求证：AF//平面BCE；（II）求证：平面BCE⊥平面CDE；

6、直棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB2AD2CD2．

（Ⅰ）求证：AC⊥平面BB1C1C；（Ⅱ）在A1B1上是否存一点P，使得DP

与平面BCB1与平面ACB1都平行？证明你的结论． B1CD

D C

变题：求证：（1）A1B⊥B1D；（2）试在棱AB上确定一点E，使A1E∥平面ACD1，并说明理由．

7、如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，PABC1AD.（1）求证：平面PAC⊥平面PCD；（2）在棱PD上是否存在一点E，使CE//平面PAB？

2若存在，请确定E点的位置；若不存在，请说明理由.8、已知直角梯形ABCD中, AB//CD,ABBC,AB1,BC2,CD1过A 作AECD,垂

足为E,G、F分别为AD、CE的中点,现将ADE沿AE折叠,使得DEEC.(1)求证：

BC面CDE；(2)求证：FG//面BCD；（Ⅲ）在线段AE上找一点R,使得面BDR面DCB,并说明理由.D D C G E A B 2F C

篇7：空间线面平行与垂直的证明

本考点以空间几何体为载体，既考查几何体的概念和性质，又考查空间线面位置关系（平行与垂直）的判定与性质，还可结合一些简单的计算进行考查，是每年高考的必考内容，也是重点考查的内容.该部分试题难度适中，一般都可用几何综合法解决，少部分不易证明的才通过建立空间直角坐标系用坐标法求解.（1）掌握线面平行、垂直的判定与性质定理，能用判定定理证明线面平行与垂直，会用性质定理解决线面平行与垂直的问题.（2）通过线面平行、垂直的证明，培养同学们的空间观念及观察、操作、实验、探索、合情推理的能力.该知识点的重点、难点是：线线垂直、线面垂直及面面垂直之间的灵活转化；同时要注意推理表达的规范与完整.（1）证明平行或垂直问题，一般利用平行或垂直的判定定理及其推论，将面面平行转化为线面平行或线线平行来证明；而无论是线面垂直还是面面垂直，都源自于线线垂直.可见，转化是证明平行、垂直问题的关键.（2）在处理实际问题的过程中，可以先从题设条件入手，再从结论中分析所要证明的关系，从而架起已知与未知之间的桥梁.增添辅助线是解决问题的关键，常见的添辅助线的方法有：中点、垂足等特殊点，用中位线、高线转化；有面面垂直的条件，则作交线的垂线，等等.例1 如图12，矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，在等腰梯形ABEF中，AB∥EF，AB=2，AD=AF=1，∠BAF=60°，O，P分别为AB，CB的中点，M为底面△OBF的重心.图12

（1）求证：平面ADF⊥平面CBF；？摇

（2）求证：PM∥平面AFC.破解思路对于第（1）问，将证明面面垂直转化为证明线面垂直；

（2）根据面面平行的性质定理，将线面平行的问题转化为面面平行来证明.答案详解（1）因为矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，且CB⊥AB，所以CB⊥平面ABEF.？摇又AF？奂平面ABEF，所以CB⊥AF.又AB=2，AF=1，∠BAF=60°，由余弦定理知BF=，所以AF2+BF2=AB2，所以AF⊥BF.又BF∩CB=B，所以AF⊥平面CFB.因为AF？奂平面ADF，所以平面ADF⊥平面CBF.？摇

（2）连结OM并延长交BF于H，则H为BF的中点.又P为CB的中点，所以PH∥CF.又因为CF？奂平面AFC，所以PH∥平面AFC.连结PO，则PO∥AC.因为AC？奂平面AFC，所以PO∥平面AFC.又PO∩PH=P，所以平面POH∥平面AFC.因为PM？奂平面POH，所以PM∥平面AFC.？摇

例2 如图13，平面ABCD⊥平面ABE，其中四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，且AB=2，点F，G分别是BC，AE的中点.（1）求三棱锥F-ABE的体积；

（2）求证：BG∥平面EFD；

（3）若点P在线段DE上运动，求证：BG⊥AP.图13 图14

破解思路对于第（1）问，求出三棱锥F-ABE的高后可直接求解.对于第（2）问，根据线面平行的判定定理，在平面EFD中，只要找出与BG平行的直线即可证明.对于第（3）问，可通过证明线面垂直来转化.答案详解（1）因为平面ABCD⊥平面ABE，且ABCD是正方形，所以BC⊥平面ABE.因为G是等边三角形ABE的边AE的中点，所以BG⊥AE，所以VF-ABE= S△ABE?BF= ? ?AE?BG?BF= ×2× ×1=.（2）如图14，取DE的中点M，连结MG，FM.因为MG AD，BF AD，所以MG BF，所以四边形FBGM是平行四边形，所以BG∥FM.又因为FM？奂平面EFD，BG？埭平面EFD，所以BG∥平面EFD.（3）因为DA⊥平面ABE，BG？奂平面ABE，所以DA⊥BG.又BG⊥AE，AD∩AE=A，所以BG⊥平面DAE.又AP？奂平面DAE，所以BG⊥AP.1.如图15，直角梯形ACDE与等腰直角三角形ABC所在平面互相垂直，F为BC的中点，∠BAC=∠ACD=90°，AE∥CD，DC=AC=2AE=2.图15

（1）求证：平面BCD⊥平面ABC；

（2）求证：AF∥平面BDE；

（3）求四面体B-CDE的体积.2.如图16，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，DB=BC，DB⊥AC，点M是棱BB1上一点.图16

（1）求证：MD⊥AC；