平面和平面平行的性质

第一篇：平面和平面平行的性质

平面与平面平行的性质

¤知识要点：

1. 面面平行的性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们

的交线平行. 用符号语言表示为：//,a,ba//b.2. 其它性质：①//,ll//; ②//,ll;③夹在平行平面间的平行线段相等.

¤例题精讲：

【例1】如图，设平面α∥平面β，AB、CD是两异面直线，M、N分别是AB、CD的中点，且A、C∈α，B、D∈β. 求证：MN∥α.

【例2】如图，A，B，C，D四点都在平面，外，它们在内的射影A1，B1，C1，D1是平行四边形的四个顶点，在内的射影A2，B2，C2，D2在一条直线上，求证：ABCD是平行四边形.

C1C B1 A1F

E MNEC

D N MA

【例

3】如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，E、F、G是侧面对角线上的点，且BECFAG，求证：平面EFG∥平面ABC.【例4】如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1，面对角线AB1，BC1上分别有两点E、

F，且B1EC1F. 求证：EF∥平面ABCD.直线与平面垂直的判定

¤知识要点：

1. 定义：如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面互相垂直，记作l. l-平面的垂线，-直线l的垂面，它们的唯一公共点P叫做垂足.(线线垂直线面垂直)

2. 判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直. 符号语言表示为：若l⊥m，l⊥n，m∩n=B，m，n，则l⊥

3. 斜线和平面所成的角，简称“线面角”，它是平面的斜线和它在平面内的射影的夹角. 求直线和平面所成的角，几何法一般先定斜足，再作垂线找射影，然后通过解直角三角形求解，可以简述为“作(作出线面角)→证(证所作为所求)→求(解直角三角形)”. 通常，通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜足的连线是产生线面角的关键.

¤例题精讲：

【例1】四面体ABCD中，ACBD,E,F分别为AD,BC的中点，且EF

BDC90，求证：BD平面ACD. AC，【例2】已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，E是A1B1的中点，求直线AE与平面ABC1D1所成角的正弦值.

【例3】三棱锥PABC中，PABC，PBAC，PO平面ABC，垂足为O，求证：O为底面△ABC垂心.

【例4】已知RtABC，斜边BC//平面，A, AB，AC分别与平面成30°和45°的角，已知BC=6，求BC到平面的距离.

平面与平面垂直的判定

¤知识要点： 1.

定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角(dihedral angle). 这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 记作二面角-AB-. (简记P-AB-Q)

2. 二面角的平面角：在二面角-l-的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在

半平面,内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的AOB叫做二面角的平面角. 范围：0180.

3. 定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. 记作.

4. 判定：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. (线面垂直面面垂直)

¤例题精讲：

【例1】已知正方形ABCD的边长为1，分别取边BC、CD的中点E、F，连结AE、EF、AF，以AE、EF、FA为折痕，折叠使点B、C、D重合于一点P.

(1)求证：AP⊥EF;(2)求证：平面APE⊥平面APF.ABC

1E

A

C

【例2】如图, 在空间四边形ABCD中，ABBC,CDDA, E,F,G分别是

CD,DA,AC的中点，求证：平面BEF平面CBGD.

【例3】如图，在正方体ABCDA1B1C1D1BC中，E是CC1的中点，求证：B1平面A1BD平面BED.

【例4】正三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1=2AB，D、E分别是侧棱BB

1、CC1上的点，且

EC=BC=2BD，过A、D、E作一截面，求：(1)截面与底面所成的角;(2)截面将三棱柱分成两部分的体积之比.线面、面面垂直的性质

¤知识要点：

1. 线面垂直性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行. (线面垂直线线平行)

2. 面面垂直性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 用符号语言表示为：若，l，a，al，则a.(面面垂直线面垂直)

¤例题精讲：

【例1】把直角三角板ABC的直角边BC放置于桌面，另一条直角边AC与桌面所在的平面垂直，a是内一条直线，若斜边AB与a垂直，则BC是否与a垂直?

【例2】如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA⊥平面ABC.(1)求证：平面PAC⊥平面PBC;

(2)若D也是圆周上一点，且与C分居直径AB的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面.

【例3】三棱锥PABC中，PAPBPC,PO平面ABC，垂足为O，求证：O为底面△ABC的外心.

【例4】三棱锥PABC中，三个侧面与底面的二面角相等，PO平面ABC，垂足为O，求证：O为底面△ABC的内心.

小结：

1、证明两直线平行的主要方法是：

①三角形中位线定理：三角形中位线平行并等于底边的一半;

②平行四边形的性质：平行四边形两组对边分别平行;

③线面平行的性质：如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线和它们的交线平行;

④平行线的传递性：a//b,c//ba//c

⑤面面平行的性质：如果一个平面与两个平行平面相交，那么它们的交线平行;

⑥垂直于同一平面的两直线平行;

2、证明两直线垂直的主要方法：

①利用勾股定理证明两相交直线垂直;

②利用等腰三角形三线合一证明两相交直线垂直;

③利用线面垂直的定义证明(特别是证明异面直线垂直);

④利用三垂线定理证明两直线垂直(“三垂”指的是“线面垂”“线影垂”，

如图：POOA是PA在平面上的射影aPA又直线a,且aOA

即：线影垂直线斜垂直，反之也成立。

④利用圆中直径所对的圆周角是直角，此外还有正方形、菱形对角线互相垂直等结论。

3、空间角及空间距离的计算

(1)异面直线所成角：使异面直线平移后相交形成的夹角，通常在在两异面直线中的一条上取一点，过该点作另一条直线平行线，

如图：直线a与b异面，b//b，直线a与直线b的夹角为两异 面直线 a与b所成的角，异面直线所成角取值范围是( 0，90]

(2)斜线与平面成成的角：斜线与它在平面上的射影成的角。如图：PA是平面的一条斜线，A为斜足，O为垂足，OA叫斜线PA在平面上射影，PAO为线面角。

(3)二面角：从一条直线出发的两个半平面形成的图形，如图为二面角l，二面角的大小指的是二面角的平面角的大小。二面角的平面角分别在两个半平面内且角的两边与二面角的棱垂直

如图：在二面角-l-中，O棱上一点，OA，OB，

且OAl,OBl,则AOB为二面角-l-的平面角。

用二面角的平面角的定义求二面角的大小的关键点是：

①明确构成二面角两个半平面和棱; ②明确二面角的平面角是哪个?而要想明确二面角的平面角，关键是看该角的两边是否都和棱垂直。(求空间角的三个步骤是“一找”、“二证”、“三计算”)

4.异面直线间的距离：指夹在两异面直线之间的

公垂线段的长度。如图PQ是两异面直线间的距离

(异面直线的公垂线是唯一的，指与两异面直线垂直且相交的直线)

5.点到平面的距离：指该点与它在平面上的射影的连线段的长度。 如图：O为P在平面上的射影，

线段OP的长度为点P到平面的距离

求法通常有：定义法和等体积法

等体积法：就是将点到平面的距离看成是 三棱锥的一个高。如图在三棱锥VABC 中有：VSABCVASBCVBSACVCSAB

第二篇：(2.2.4平面与平面平行的性质)

2.2.2平面与平面平行的判定

2.2.4平面与平面平行的性质

整体设计

教学分析

空间中平面与平面之间的位置关系中，平行是一种非常重要的位置关系，它不仅应用较多，而且是空间问题平面化的典范.空间中平面与平面平行的判定定理给出了由线面平行转化为面面平行的方法;面面平行的性质定理又给出了由面面平行转化为线线平行的方法，所以本节在立体几何中占有重要地位.本节重点是平面与平面平行的判定定理及其性质定理的应用.三维目标

1.通过图形探究平面与平面平行的判定定理及其性质定理.

2.熟练掌握平面与平面平行的判定定理和性质定理的应用.

3.进一步培养学生的空间想象能力,以及逻辑思维能力.

重点难点

教学重点:平面与平面平行的判定与性质.

教学难点:平面与平面平行的判定.

课时安排

1课时

教学过程

导入新课

思路1.(情境导入)

大家都见过蜻蜓和直升飞机在天空飞翔，蜻蜓的翅膀可以看作两条平行直线，当蜻蜓的翅膀与地面平行时，蜻蜓所在的平面是否与地面平行?直升飞机的所有螺旋桨与地面平行时，能否判定螺旋桨所在的平面与地面平行?由此请大家探究两平面平行的条件. 思路2.(事例导入)

三角板的一条边所在直线与桌面平行，这个三角板所在的平面与桌面平行吗?三角板的两条边所在直线分别与桌面平行，情况又如何呢?下面讨论平面与平面平行的判定问题. 提出问题

①回忆空间两平面的位置关系.

②欲证线面平行可转化为线线平行，欲判定面面平行可如何转化?

③找出恰当空间模型加以说明.

④用三种语言描述平面与平面平行的判定定理.

⑤应用面面平行的判定定理应注意什么?

⑥利用空间模型探究：如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面内的直线具有什么位置关系?

⑦回忆线面平行的性质定理，结合模型探究面面平行的性质定理.

⑧用三种语言描述平面与平面平行的性质定理.

⑨应用面面平行的性质定理的难点在哪里?

⑩应用面面平行的性质定理口诀是什么?

活动：先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.

问题①引导学生回忆两平面的位置关系.问题②面面平行可转化为线面平行.

问题③借助模型锻炼学生的空间想象能力.

问题④引导学生进行语言转换. 问题⑤引导学生找出应用平面与平面平行的判定定理容易忽视哪个条件. 问题⑥引导学生画图探究，注意考虑问题的全面性. 问题⑦注意平行与异面的区别. 问题⑧引导学生进行语言转换. 问题⑨作辅助面. 问题⑩引导学生自己总结，把握面面平行的性质. 讨论结果：①如果两个平面没有公共点，则两平面平行若α∩β=,则α∥β. 如果两个平面有一条公共直线，则两平面相交若α∩β=AB,则α与β相交. 两平面平行与相交的图形表示如图

1.

图

1②由两个平面平行的定义可知：其中一个平面内的所有直线一定都和另一个平面平行.这是因为在这些直线中，如果有一条直线和另一平面有公共点，这点也必是这两个平面的公共点，那么这两个平面就不可能平行了.

另一方面，若一个平面内所有直线都和另一个平面平行，那么这两个平面平行，否则，这两个平面有公共点，那么在一个平面内通过这点的直线就不可能平行于另一个平面.由此将判定两个平面平行的问题转化为一个平面内的直线与另一个平面平行的问题，但事实上判定两个平面平行的条件不需要一个平面内的所有直线都平行于另一平面，到底要多少条直线(且直线与直线应具备什么位置关系)与另一面平行，才能判定两个平面平行呢? ③如图2,如果一个平面内有一条直线与另一个平面平行，两个平面不一定平行

.

图2 例如：AA′平面AA′D′D,AA′∥平面DCC′D′;但是,平面AA′D′D∩平面DCC′D′=DD′. 如图3,如果一个平面内有两条直线与另一个平面平行，两个平面也不一定平行

.

图

3例如：AA′平面AA′D′D,EF平面AA′D′D,AA′∥平面DCC′D′,EF∥平面DCC′D′;但是,平面AA′D′D∩平面DCC′D′=DD′.

如图4,如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面一定平行

.

图

4例如：A′C′平面A′B′C′D′,B′D′平面A′B′C′D′,A′C′∥平面ABCD,B′D′∥平面ABCD;直线A′C′与直线B′D′相交. 可以判定,平面A′B′C′D′∥平面ABCD. ④两个平面平行的判定定理：

如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行. 以上是两个平面平行的文字语言，另外面面平行的判定定理的符号语言为： 若aα，bα，a∩b=A,且a∥α,b∥β，则α∥β. 图形语言为：如图

5,

图

5⑤利用判定定理证明两个平面平行，必须具备： (Ⅰ)有两条直线平行于另一个平面; (Ⅱ)这两条直线必须相交.

尤其是第二条学生容易忽视，应特别强调. ⑥如图6,借助长方体模型，我们看到，B′D′所在的平面A′C′与平面AC平行，所以B′D′与平面AC没有公共点.也就是说，B′D′与平面AC内的所有直线没有公共点.因此，直线B′D′与平面AC内的所有直线要么是异面直线，要么是平行直线

.

图6

⑦直线与平面平行的性质定理用文字语言表示为： 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.

因为，直线B′D′与平面AC内的所有直线要么是异面直线，要么是平行直线，只要过B′D′作平面BDD′B′与平面AC相交于直线BD，那么直线B′D′与直线BD平行.如图

7.

图7

⑧两个平面平行的性质定理用文字语言表示为：

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.

//



两个平面平行的性质定理用符号语言表示为：aa∥b.

b

两个平面平行的性质定理用图形语言表示为：如图

8.

图8

⑨应用面面平行的性质定理的难点是：过某些点或直线作一个平面. ⑩应用线面平行性质定理的口诀：“见到面面平行，先过某些直线作两个平面的交线.” 应用示例

例1已知正方体ABCD—A1B1C1D1，如图9,求证：平面AB1D1∥平面BDC1

.

图9

活动：学生自己思考或讨论，再写出正确的答案.教师在学生中巡视学生的解答，发现问题及时纠正,并及时评价. 证明：∵ABCD—A1B1C1D1为正方体， ∴D1C1∥A1B1,D1C1=A1B1. 又∵AB∥A1B1,AB=A1B1, ∴D1C1∥AB,D1C1=AB. ∴四边形ABC1D1为平行四边形. ∴AD1∥BC1.

又AD1平面AB1D1，BC1平面AB1D1， ∴BC1∥平面AB1D1. 同理，BD∥平面AB1D1. 又BD∩BC1=B，∴平面AB1D1∥平面BDC1. 变式训练

如图10,在正方体ABCD—EFGH中，M、N、P、Q、R分别是EH、EF、BC、CD、AD的中点，求证：平面MNA∥平面PQG

.图10 证明：∵M、N、P、Q、R分别是EH、EF、BC、CD、AD的中点，∴MN∥HF,PQ∥BD.∵BD∥HF, ∴MN∥PQ. ∵PR∥GH,PR=GH;MH∥AR,MH=AR,∴四边形RPGH为平行四边形，四边形ARHM为平行

四边形. ∴AM∥RH,RH∥PG.∴AM∥PG. ∵MN∥PQ,MN平面PQG,PQ平面PQG,∴MN∥平面PQG. 同理可证，AM∥平面PQG.又直线AM与直线MN相交， ∴平面MNA∥平面PQG.点评：证面面平行，通常转化为证线面平行，而证线面平行又转化为证线线平行，所以关键是证线线平行.

例2证明两个平面平行的性质定理. 解：如图11,已知平面α、β、γ满足α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,求证:a∥

b.图1

1证明：∵平面α∥平面β, ∴平面α和平面β没有公共点. 又aα，bβ, ∴直线a、b没有公共点. 又∵α∩γ=a，β∩γ=b, ∴aγ，bγ.∴a∥b. 变式训练

如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行. 解：已知α∥β，γ∥β，求证：α∥γ.证明：如图12，作两个相交平面分别与α、β、γ交于a、c、e和b、d、

f,

图1

2//

a//c

b//da//ea//

//.c//eb//fb//

//

d//f

点评：欲将面面平行转化为线线平行，先要作平面.

知能训练

已知：a、b是异面直线，a平面α,b平面β，a∥β，b∥α. 求证：α∥β.

证明：如图13,在b上任取点P，显然Pa.于是a和点P确定平面γ，且γ与β有公共点P.图1

3设γ∩β=a′，∵a∥β，∴a′∥a.∴a′∥α.

这样β内相交直线a′和b都平行于α，∴α∥β. 拓展提升

1.如图14，两条异面直线AB、CD与三个平行平面α、β、γ分别相交于A、E、B及C、F、D，又AD、BC与平面的交点为H、

G.图1

4求证：EHFG为平行四边形.

平面ABCAC



证明：平面ABCEGAC∥EG.同理,AC∥HF.

//

AC//EG

HF.同理,EH∥FG.故EHFG是平行四边形. EG∥

AC//HF

课堂小结

知识总结：利用面面平行的判定定理和面面平行的性质证明线面平行.

方法总结：见到面面平行,利用面面平行的性质定理转化为线线平行,本节是“转化思想”的典型素材. 作业

课本习题2.2A组

7、8.

设计感想

面面关系是直线与平面关系中比较复杂的关系，它是学生学习的一个难点，也是高考考查的重点，因此它在立体几何中占有比较重要的地位.本节选用了大量的经典习题作为素材，对于学生学好面面平行的判定与性质一定会有很大的帮助，本节的引入也别具一格，相信这是一节大家喜欢的精彩课例.

第三篇：两个平面平行的性质

一、教学目的：(1)掌握两个平面平行的性质;(2)能利用性质解决有关线线平行的问题;

(3)明确两平行平面间的距离并求两平行平面间的距离.二、教学重点、难点：两个平面平行的性质;利用性质解决有关线线平行的问题.

三、教学过程：

1、复习：两个平面平行的判定方法：

2、两个平面平行的性质(1)：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面.3、两个平面平行的的性质(2)：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.

4、练习：判断下列命题的真假，对真命题给出证明，对假命题举出反例.1、m,n,m//,n////;

2、//,m,nm//n;

3、//,ll//;

4、内的任一直线都平行于//.四、典型例子分析：

[例1]：求证：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面.l 已知：

求证：

[说明]：(1)//l，可以用来判断直线与平面垂直依据. l

(2)和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平行平面的公垂线;

(3)夹在这两个平行平面间的部分，叫做这两个平行平面的公垂线段;

(4)两个平行平面的公垂线的长度叫做这两个平行平面的距离.

[例2]：如图，a,b是异面直线，a,b//,b,a//,

(1) 求证：//;

(2) 求证：a,b间的距离等于平行平面与平面平面的距离.

[说明]：

练习：求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等.

[思考题]：AB、CD为夹在两个平行平面,间的异面线段，M、N分别为AB、CD的中点，求证：MN//(MN//).

作业：

1、一条直线和两个平行平面相交，求证它和两个平面所成的角相等.、两个平行平面之间的距离等于12cm，一条直线和它们相交成60角，求这条直线上夹在这两个平面间的线段的长.

第四篇：直线与平面平行的性质导学

§2.2.3直线与平面平行的性质

班级：姓名：

【学习目标】

1.理解直线与平面平行的性质定理的含义.

2.会用图形、文字、符号语言准确地描述直线与平面平行的性质定理，并知道其

地位和作用，证明一些空间线面平行关系的简单问题.

【重点、难点】

直线与平面平行的性质定理的应用.

【课前自主学案】

一、(看书本P58—P59)

探究(1)如果一条直线与一个平面平行，那

么这条直线与这个平面内的直线有哪些位置

关系?

(2)如果一条直线与一个平面平行，那么这

条直线与这个平面内的所有直线平行吗?把“所有”改成“无数”呢?

(3)教室内日光灯管所在的直线与地面平行，如何在地面上作一条直线与灯管所

在的直线平行?

二、直线与平面平行的性质定理：。

符号表示为：

图形表示：

三、例题自学P59例3例4

【知能优化训练】

如图，空间四边形ABCD被一平面所截，截面EFGH是平行四边形，求证：

(1)EF//平面BCD; A(2)DC//平面EFGH.

F BD

G

第五篇：示范教案(2.2.3 直线与平面平行的性质)

2.2.3 直线与平面平行的性质

整体设计

教学分析

上节课已学习了直线与平面平行的判定定理,这节课将通过例题让学生体会应用线面平行的性质定理的难度，进而明确告诉学生：线面平行的性质定理是高考考查的重点，也是最难应用的两个定理之一.本节重点是直线与平面平行的性质定理的应用. 三维目标

1.探究直线与平面平行的性质定理. 2.体会直线与平面平行的性质定理的应用. 3.通过线线平行与线面平行转化,培养学生的学习兴趣. 重点难点

教学重点：直线与平面平行的性质定理. 教学难点：直线与平面平行的性质定理的应用. 课时安排 1课时

教学过程

复习

回忆直线与平面平行的判定定理：

(1)文字语言：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行. (2)符号语言为： (3)图形语言为：如图1.

图1 导入新课 思路1.(情境导入)

教室内日光灯管所在的直线与地面平行，是不是地面内的所有直线都与日光灯管所在的直线平行? 思路2.(事例导入)

观察长方体(图2)，可以发现长方体ABCD—A′B′C′D′中，线段A′B所在的直线与长方体ABCD—A′B′C′D′的侧面C′D′DC所在平面平行，你能在侧面C′D′DC所在平面内作一条直线与A′B平行吗?

图2 推进新课 新知探究 提出问题

①回忆空间两直线的位置关系. ②若一条直线与一个平面平行，探究这条直线与平面内直线的位置关系. ③用三种语言描述直线与平面平行的性质定理. ④试证明直线与平面平行的性质定理. ⑤应用线面平行的性质定理的关键是什么? ⑥总结应用线面平行性质定理的要诀. 活动:问题①引导学生回忆两直线的位置关系. 问题②借助模型锻炼学生的空间想象能力. 问题③引导学生进行语言转换. 问题④引导学生用排除法. 问题⑤引导学生找出应用的难点. 问题⑥鼓励学生总结，教师归纳. 讨论结果：①空间两条直线的位置关系：相交、平行、异面. ②若一条直线与一个平面平行，这条直线与平面内直线的位置关系不可能是相交(可用反证法证明),所以，该直线与平面内直线的位置关系还有两种，即平行或异面.

怎样在平面内作一条直线与该直线平行呢(排除异面的情况)?经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行. ③直线与平面平行的性质定理用文字语言表示为：

如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.

这个定理用符号语言可表示为：

这个定理用图形语言可表示为：如图3.

图3 ④已知a∥α，aβ，α∩β=b.求证：a∥b. 证明：

⑤应用线面平行的性质定理的关键是：过这条直线作一个平面. ⑥应用线面平行性质定理的要诀：“见到线面平行，先过这条直线作一个平面找交线”. 应用示例

思路1

例1 如图4所示的一块木料中，棱BC平行于面A′C′.

图4 (1)要经过面A′C′内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线? (2)所画的线与面AC是什么位置关系?

活动:先让学生思考、讨论再回答，然后教师加以引导. 分析：经过木料表面A′C′内的一点P和棱BC将木料锯开,实际上是经过BC及BC外一点P作截面,也就是找出平面与平面的交线.我们可以由线面平行的性质定理和公理

4、公理2作出. 解：(1)如图5，在平面A′C′内，过点P作直线EF,使EF∥B′C′，

图5 并分别交棱A′B′、C′D′于点E、F.连接BE、CF. 则EF、BE、CF就是应画的线. (2)因为棱BC平行于面A′C′，平面BC′与平面A′C′交于B′C′，所以BC∥B′C′. 由(1)知，EF∥B′C′， 所以EF∥BC.因此

BE、CF显然都与平面AC相交. 变式训练

如图6，a∥α,A是α另一侧的点，B、C、D∈a，线段AB、AC、AD交α于E、F、G点，若BD=4，CF=4，AF=5，求EG.

图6

解：Aa，∴A、a确定一个平面，设为β. ∵B∈a，∴B∈β. 又A∈β，∴ABβ. 同理ACβ，ADβ. ∵点A与直线a在α的异侧, ∴β与α相交. ∴面ABD与面α相交，交线为EG. ∵BD∥α，BD面BAD，面BAD∩α=EG, ∴BD∥EG. ∴△AEG∽△ABD. EGAF.(相似三角形对应线段成比例) BDACAF520BD4∴EG=. AC99∴点评：见到线面平行，先过这条直线作一个平面找交线，直线与交线平行，如果再需要过已知点，这个平面是确定的. 例2 已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证另一条也平行于这个平面.如图7.

图7 已知直线a,b,平面α,且a∥b,a∥α,a,b都在平面α外. 求证：b∥α.

证明：过a作平面β,使它与平面α相交,交线为c. ∵a∥α,aβ,α∩β=c,

∴a∥c. ∵a∥b,∴b∥c. ∵cα,bα,∴b∥α. 变式训练

如图8,E、H分别是空间四边形ABCD的边AB、AD的中点，平面α过EH分别交BC、CD于F、G.求证：EH∥FG.

图8 证明：连接EH. ∵E、H分别是AB、AD的中点, ∴EH∥BD. 又BD面BCD，EH面BCD, ∴EH∥面BCD. 又EHα、α∩面BCD=FG, ∴EH∥FG. 点评：见到线面平行，先过这条直线作一个平面找交线，则直线与交线平行.

思路2

例1 求证：如果两个相交平面分别经过两条平行直线中的一条，那么它们的交线和这条直线平行.如图9.

图9 已知a∥b,aα，bβ，α∩β=c. 求证：c∥a∥b. 证明：变式训练

求证：一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线与这两个相交平面的交线平行.

图10 已知：如图10,a∥α,a∥β,α∩β=b， 求证：a∥b. 证明：如图10，过a作平面γ、δ，使得γ∩α=c，δ∩β=d，那么有

点评：本题证明过程，实际上就是不断交替使用线面平行的判定定理、性质定理及公理4的过程.这是证明线线平行的一种典型的思路. 例2 如图11，平行四边形EFGH的四个顶点分别在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上，求证：BD∥面EFGH，AC∥面EFGH.

图11

证明：∵EFGH是平行四边形

变式训练

如图12，平面EFGH分别平行于CD、AB，E、F、G、H分别在BD、BC、AC、AD上，且CD=a，AB=b，CD⊥AB.

图12 (1)求证：EFGH是矩形;

(2)设DE=m,EB=n,求矩形EFGH的面积. (1)证明：∵CD∥平面EFGH，而平面EFGH∩平面BCD=EF, ∴CD∥EF.同理HG∥CD,∴EF∥HG. 同理HE∥GF，∴四边形EFGH为平行四边形. 由CD∥EF，HE∥AB，∴∠HEF为CD和AB所成的角. 又∵CD⊥AB，∴HE⊥EF. ∴四边形EFGH为矩形. (2)解：由(1)可知在△BCD中EF∥CD，DE=m，EB=n, EFBEna. .又CD=a,∴EF=CDDBmnHEDE由HE∥AB,∴. ABDBmb. 又∵AB=b,∴HE=mn∴又∵四边形EFGH为矩形, ∴S矩形EFGH=HE·EF=mnmnbaab. 2mnmn(mn)点评：线面平行问题是平行问题的重点，有着广泛应用. 知能训练

求证：经过两条异面直线中的一条有且只有一个平面和另一条直线平行. 已知：a、b是异面直线.