面面平行证明线面平行

面面平行证明线面平行（精选14篇）

篇1：面面平行证明线面平行

线面，面面平行证明

一．线面平行的判定

1.定义：直线和平面没有公共点，则直线和平面平行.2.判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.3.符号表示为：a,b,a//ba//

二．面面平行的判定定理:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行符号语言:_____________________________________________________________________

选择题

1．已知直线l1、l2,平面α, l1∥l2, l1∥α, 那么l2与平面α的关系是（）.A.l1∥αB.l2αC.l2∥α或l2αD.l2与α相交

2．以下说法（其中a，b表示直线，表示平面）

①若a∥b，b，则a∥②若a∥，b∥，则a∥b

③若a∥b，b∥，则a∥④若a∥，b，则a∥b

其中正确说法的个数是（）.A.0个B.1个 C.2个D.3个

3．已知a，b是两条相交直线，a∥，则b与的位置关系是（）.A.b∥B.b与相交C.bαD.b∥或b与相交

4．如果平面外有两点A、B，它们到平面的距离都是a，则直线AB和平面的位置关系一定是（A.平行B.相交C.平行或相交D.AB

5．如果点M是两条异面直线外的一点，则过点M且与a，b都平行的平面（）.A.只有一个 B.恰有两个 C.或没有，或只有一个 D.有无数个.已知两条相交直线ａ、ｂ，ａ∥平面α，则ｂ与平面α的位置关系()

A ｂ∥αB ｂ与α相交CｂαDｂ∥α或ｂ与α相交

7．不同直线m,n和不同平面,，给出下列命题：

//m//n

①mm//

n//

②m//

mm,n异面

③n

其中假命题有()

A0个B1个C2个D3个

8．若将直线、平面都看成点的集合，则直线ｌ∥平面α可表示为()

AｌαBｌαCｌ≠αDｌ∩α＝

9．平行于同一个平面的两条直线的位置关系是()

A平行B相交C异面D平行或相交或异面

10．下列命题中正确的是()

① 若一个平面内有两条直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行

②若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行

③若一个平面内任何一条直线都平行于零一个平面,则这两个平面平行

④若一个平面内的两条相交直线分别平行于零一个平面,则这两个平面平行

A.①③B.②④C.②③④D.③④.）

证明题：

1.如图，D－ABC是三棱锥，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，AC的中点．求证：FGH．

2．平面与△ABC的两边AB、AC分别交于D、E，且AD∶DB=AE∶EC，求证：BC∥平面.3：在四面体ABCD中，M、N分别是面△ACD、△ABC的重心，在四面体的四个面中，与MN平行 的是哪几个面？试证明你的结论.平面D是直三棱柱ABC—A1B1C1的AB边上的中点，求证： AC1∥面B1CD。

C A1B

1B

5.在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，E、F分别是AB、SC的中点，求证： EF∥面SAD

E

B

C6、已知：△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别为AC、AB的中点，沿DE将△ADE折起，使A至A′的位置，取AB的中点为M,求证:ME∥平面ACD

7.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，P、Q分别是AD1、BD上的点，且AP=BQ，求证：PQ∥平面DCC1D1。

8.如图2-3-7所示，正三棱柱ABC—A1B1C1中，D

是BC的中点，试判断A1B与平面ADC1的位置关系，并证明你的结论.9.正方体ABCD—A1B1C1D1中，E, F分别是AB,BC的中点,G为DD1上一点,且D1G:GD=1:2,ACBD=O,求证:平面AGO∥平面D1EF

AD

C

A B

10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、P、Q、R分别是所在棱AB、BC、BB、AD、DC、DD的中点，求证：平面PQR∥平面EFG。



C

E B

11.直三棱柱ABC-A1B1C1中，B1C1=A1C1，AC1⊥A1B，M、N分别是A1B1、AB的中点：求证：平面AMC1//平面NB1C.12.如图，在三棱锥P-ABC中，D,E,F分别是棱PA,PB,PC的中点，求证：平面DEF∥平面ABC

B

篇2：面面平行证明线面平行

“直线∥平面”的主要条件是“直线∥直线”，而“直线∥直线”一般是利用三角形的中位线平行于底边或平行四边形的对边平行来证明。

“平面∥平面”的主要条件是“直线∥平面”，可转化为“直线∥直线”来解决。

[注意]

书写的格式规范，3个条件(线面平行)或5个条件(面面平行)要写全。

例1.下列命题中正确的是()

① 若一个平面内有两条直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行②若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行 ③若一个平面内任何一条直线都平行于零一个平面,则这两个平面平行 ④若一个平面内的两条相交直线分别平行于零一个平面,则这两个平面平行

A.①③B.②④C.②③④D.③④

例2.已知m,n是两条直线, ,是两个平面,以下命题: ①m,n相交且都在平面,外,m∥,m∥, n∥,n∥,则∥;②若m∥, m∥,则∥;③m∥,n∥, m∥n, 则∥.其中正确命题的个数是()

A.0B.1C.2D.3练习2:设a,b是两条直线, ,是两个平面,则下面推理正确的个数为

(1)a,b,a∥, b∥,∥.(2)∥,a,b,a∥b

(3)a∥,l, a∥l

(4)a∥, a∥∥.例3:已知四棱锥P-ABCD中,地面ABCD为平行四边形,点M,N,Q分别为PA,BD,PD上的中点,求证:平面MNQ∥平面PBC

【练习

求证：

例4.分别为AB、PD的中点，求证：AF∥平面PEC

【练习4】:在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F求证：EF∥平面BB1D1D

AC

ABC

D

练习5 正方体ABCD-A1B1C1D1,中,M,N,E,F分别为棱A1B1,A1D1,B1C1,C1D1的中点,求证:平面AMN∥平面EFDB

A1

C1

A

D

C

篇3：“三法”证明线面平行

一、由线线平行证明线面平行

证明线面平行最基本的方法是根据线面平行的判定定理, 即证平面外的直线与平面内的一条直线平行.此种方法的关键是找到平面内的一条直线与此直线平行, 即证线线平行, 经常应用到的结论有: (1) 三角形的中位线平行于第三边; (2) 同旁内角互补、同位角相等、内错角相等的两直线平行; (3) 垂直于同一直线的两条直线平行; (4) 平行四边形的对边相等且平行; (5) 如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线, 所得的对应线段成比例, 那么这条直线平行于三角形的第三边.

【例1】如图1, 五面体中, 四边形ABCD是矩形, AB∥EF, P、Q分别为AE、BD中点.

求证:PQ∥平面BCE.

证明:连接AC, 因为四边形ABCD是矩形, Q为BD的中点, 所以Q为AC的中点, 且在△AEC中.又P为AE的中点, ∴PQ∥EC, ∵

∴PQ∥CE.

点评:要证明线面平行, 可考虑证明PQ与平面内的一条直线平行, 因为P是AE的中点, Q是AC的中点, 故考虑利用中位线的性质证明线线平行, 进而证明线面, 进而证明线面平行.

【例2】在如图2所示的几何体中, △ABC是正三角形, AE⊥平面ABC, 平面BCD⊥平面ABC, BD=CD, 且BD⊥CD.

求证:AE∥平面BCD.

证明:取BC的中点M, 连接DM、AM, 由已知可 得DM⊥BC, AM⊥BC.

又因为平面BCD⊥平面ABC, 所以DM⊥平面ABC.

因为AE⊥平面ABC, 所以AE∥DM.

又因为, 所以AE∥平面BCD.

点评:在空间中, 垂直于同一平面的两直线平行, 本题已知AE⊥平面ABC, 又可证明DM⊥平面ABC, 故可得AE∥DM, 从而证明了线面平行.

【例3】如图3, 已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形, AB∥CDE是PC的中点.证明:BE∥面PAD.

证明:取PD的中点F, 连接EF、AF, 则有

点评:本题中要证BE∥面PAD, 可考虑在平面PAD中寻找一条直线与BE平行, 根据条件中的线段关系考虑构造平行四边形解决.

二、由面面平行证明线面平行

在证明线面平行时, 若根据判断定理不容易证明, 可考虑通过证明面面平行, 达到证明线面平行的目的.

【例4】如图4, 三棱柱ABC-A1B1C1, 底面为正三角形, 侧棱A1A⊥底面ABC, 点E, F分别是棱CC1, BB1上的点, 点M是线段AC的中点, EC=2FB.

求证:BM∥平面AEF.

证明:如图4, 取EC的中点P, 连接PF、PM、PB,

∵点M是AC的中点,

∴PM∥AE,

又, ∴PM∥面AEF.

点评:要证明BM∥平面AEF, 在平面AEF中不容易找到一条直线与BM平行, 但根据条件易证明PM∥平面AEF, PB∥平面AEF.从而得到面面平行, 根据面面平行的性质, 易得线面平行.

三、法向量法

由平面的法向量可知, 如果直线与平面的法向量垂直, 且直线在平面外, 则直线与平面平行, 当题目中的条件有利于建立直角坐标系, 且用以上两种方法不易证明时, 可考虑建立直角坐标系, 利用法向量求解.

【例5】如图5, 已知四边 形ABEF是矩形, △ABC是等腰三角形, 平面ABEF⊥平面ABC, ∠BAC=120°, AB=1/2AF=4, CN=3NA, M, P, Q分别是AF, EF, BC的中点.求证:直线PQ∥平面BMN;

篇4：“三法”证明线面平行

一、由线线平行证明线面平行

证明线面平行最基本的方法是根据线面平行的判定定理，即证平面外的直线与平面内的一条直线平行.此种方法的关键是找到平面内的一条直线与此直线平行，即证线线平行，经常应用到的结论有：（1）三角形的中位线平行于第三边；（2）同旁内角互补、同位角相等、内错角相等的两直线平行；（3）垂直于同一直线的两条直线平行；（4）平行四边形的对边相等且平行；（5）如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线，所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.

点评：本题中要证BE∥面PAD，可考虑在平面PAD中寻找一条直线与BE平行，根据条件中的线段关系考虑构造平行四边形解决.

二、由面面平行证明线面平行

在证明线面平行时，若根据判断定理不容易证明，可考虑通过证明面面平行，达到证明线面平行的目的.

点评：要证明BM∥平面AEF，在平面AEF中不容易找到一条直线与BM平行，但根据条件易证明PM∥平面AEF，PB∥平面AEF.从而得到面面平行，根据面面平行的性质，易得线面平行.

三、法向量法

由平面的法向量可知，如果直线与平面的法向量垂直，且直线在平面外，则直线与平面平行，当题目中的条件有利于建立直角坐标系，且用以上两种方法不易证明时，可考虑建立直角坐标系，利用法向量求解.

所以PQ∥平面BMN.

点评：本题具备了建立直角坐标系的条件，且点的坐标易求，故考虑利用法向量证明线面平行，应注意最后必须写明PQ平面BMN.

（责任编辑钟伟芳）endprint

平行关系是几何中一种常见的位置关系，其包括线线平行、线面平行及面面平行三种类型.其中线面平行是三种平行关系中最为常见的一种，是高中数学的必修内容，它既与线线平行相关，又与面面平行有一定的联系，是三种平行关系中极为重要的一种.在2013年的高考中，有一半的试卷涉及线面平行的证明，下面以题为例研究线面平行的证明方法，寻找此类题的解题规律.

一、由线线平行证明线面平行

证明线面平行最基本的方法是根据线面平行的判定定理，即证平面外的直线与平面内的一条直线平行.此种方法的关键是找到平面内的一条直线与此直线平行，即证线线平行，经常应用到的结论有：（1）三角形的中位线平行于第三边；（2）同旁内角互补、同位角相等、内错角相等的两直线平行；（3）垂直于同一直线的两条直线平行；（4）平行四边形的对边相等且平行；（5）如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线，所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.

点评：本题中要证BE∥面PAD，可考虑在平面PAD中寻找一条直线与BE平行，根据条件中的线段关系考虑构造平行四边形解决.

二、由面面平行证明线面平行

在证明线面平行时，若根据判断定理不容易证明，可考虑通过证明面面平行，达到证明线面平行的目的.

点评：要证明BM∥平面AEF，在平面AEF中不容易找到一条直线与BM平行，但根据条件易证明PM∥平面AEF，PB∥平面AEF.从而得到面面平行，根据面面平行的性质，易得线面平行.

三、法向量法

由平面的法向量可知，如果直线与平面的法向量垂直，且直线在平面外，则直线与平面平行，当题目中的条件有利于建立直角坐标系，且用以上两种方法不易证明时，可考虑建立直角坐标系，利用法向量求解.

所以PQ∥平面BMN.

点评：本题具备了建立直角坐标系的条件，且点的坐标易求，故考虑利用法向量证明线面平行，应注意最后必须写明PQ平面BMN.

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平行关系是几何中一种常见的位置关系，其包括线线平行、线面平行及面面平行三种类型.其中线面平行是三种平行关系中最为常见的一种，是高中数学的必修内容，它既与线线平行相关，又与面面平行有一定的联系，是三种平行关系中极为重要的一种.在2013年的高考中，有一半的试卷涉及线面平行的证明，下面以题为例研究线面平行的证明方法，寻找此类题的解题规律.

一、由线线平行证明线面平行

证明线面平行最基本的方法是根据线面平行的判定定理，即证平面外的直线与平面内的一条直线平行.此种方法的关键是找到平面内的一条直线与此直线平行，即证线线平行，经常应用到的结论有：（1）三角形的中位线平行于第三边；（2）同旁内角互补、同位角相等、内错角相等的两直线平行；（3）垂直于同一直线的两条直线平行；（4）平行四边形的对边相等且平行；（5）如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线，所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.

点评：本题中要证BE∥面PAD，可考虑在平面PAD中寻找一条直线与BE平行，根据条件中的线段关系考虑构造平行四边形解决.

二、由面面平行证明线面平行

在证明线面平行时，若根据判断定理不容易证明，可考虑通过证明面面平行，达到证明线面平行的目的.

点评：要证明BM∥平面AEF，在平面AEF中不容易找到一条直线与BM平行，但根据条件易证明PM∥平面AEF，PB∥平面AEF.从而得到面面平行，根据面面平行的性质，易得线面平行.

三、法向量法

由平面的法向量可知，如果直线与平面的法向量垂直，且直线在平面外，则直线与平面平行，当题目中的条件有利于建立直角坐标系，且用以上两种方法不易证明时，可考虑建立直角坐标系，利用法向量求解.

所以PQ∥平面BMN.

点评：本题具备了建立直角坐标系的条件，且点的坐标易求，故考虑利用法向量证明线面平行，应注意最后必须写明PQ平面BMN.

篇5：面面平行证明线面平行

1.如图，M，N分别是底面为矩形的四棱锥PABCD的棱AB,PC的中点，求证：MN∥平面PAD

题型二平面与平面平行的判定

1.在正方体ABCDA、B1C1、C1D、D1A1的中1B1C1D1中，M、E、F、N分别是A1B11

点，求证：

（1）E、F、B、D四点共面

（2）平面MAN∥平面EFBD

题型三线面平行、面面平行的综合运用

1.如图所示，B为△ACD所在平面外一点，点M、N、G分别是△ABC、△ABD、△BCD的重心

（1）求证：平面MNG∥平面ACD

篇6：构造平行四边形证明线面平行

（2）当∠PDA＝45°时，求证：MN⊥平面PCD；

2、如图，正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=2，AA1=1，D是BC的中点，点P在平面BCC1B1内，PB1=PC1=2.（I）求证：PA1⊥BC；

（II）求证：PB1//平面AC1D；

3、（本题满分14分）如图，平行四边形ABCD中，BDCD，正方形ADEF所在的平面和平面ABCD垂直，H是BE的中点，G是AE,DF的交点.⑴求证： GH//平面CDE；⑵求证： BD平面CDE.4、如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，ABAE,FAFE,AEF45

（I）求证：EF平面BCE；

（II）设线段CD、AE的中点分别为P、M，求证： PM∥平面

BCE5、（本小题满分14分）如图，已知AB⊥平面ACD，DE//AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是CD的中点。（I）求证：AF//平面BCE；（II）求证：平面BCE⊥平面CDE；

6、直棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB2AD2CD2．

（Ⅰ）求证：AC⊥平面BB1C1C；（Ⅱ）在A1B1上是否存一点P，使得DP

与平面BCB1与平面ACB1都平行？证明你的结论． B1CD

B

D C

变题：求证：（1）A1B⊥B1D；（2）试在棱AB上确定一点E，使A1E∥平面ACD1，并说明理由．

7、如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，PABC1AD.（1）求证：平面PAC⊥平面PCD；（2）在棱PD上是否存在一点E，使CE//平面PAB？

2若存在，请确定E点的位置；若不存在，请说明理由.8、已知直角梯形ABCD中, AB//CD,ABBC,AB1,BC2,CD1过A 作AECD,垂

足为E,G、F分别为AD、CE的中点,现将ADE沿AE折叠,使得DEEC.(1)求证：

BC面CDE；(2)求证：FG//面BCD；（Ⅲ）在线段AE上找一点R,使得面BDR面DCB,并说明理由.D D C G E A B 2F C

篇7：证明线面平行

二，面外一直线上不同两点到面的距离相等，强调面外

三，证明线面无交点

四，反证法(线与面相交，再推翻)

五，空间向量法，证明线一平行向量与面内一向量(x1x2-y1y2=0)

2

【直线与平面平行的判定】

定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

【判断直线与平面平行的方法】

(1)利用定义：证明直线与平面无公共点;

(2)利用判定定理：从直线与直线平行得到直线与平面平行;

(3)利用面面平行的性质：两个平面平行，则一个平面内的直线必平行于另一个平面

篇8：从一道题目看线面平行的证明

分析:线面平行的证明用几何法和向量法都可以去证,本题也不例外,题目虽很简单,但其证明方法却包罗了线面平行的主要的证法.

证法1:(用线面平行的判定定理来证)

连接B1C,根据正方体的性质知,B1C//A1D

因为M、N分别是C1C、B1C1的中点,

所以MN//B1C,所以MN//A1D

又因为MN平面A1BD,A1D⊂平面A1BD

所以MN//平面A1BD.

证法2:(用面面平行的性质定理来证)取C1D1的中点G,连结NG,MG,则根据正方体的性质得,MN//B1C,B1C//A1D,所以MN//A1D

同理可得,MG//A1B

所以平面A1DB//平面NMG,

又因为MN⊂平面NMG

所以MN//平面A1BD.

证法3:(用平面向量的基本定理来证)

如图2,建立直角坐标系,设正方体的棱长为a,则D(0,0,0),B(a,a,0),A1(a,0,a),M(0,a,),N(,a,a),

所以

设存在实数

所以存在实数x=,y=0,使得成立,

所以与,共面

又因为MN平面A1BD

所以MN//平面A1BD.

证法4:(用共线向量定理来证)

在正方体ABCD-A1B1C1D1中,

因为M、N分别是C1C、B1C1的中点,

又因为MN平面A1BD,A1D⊂平面A1BD

所以MN//平面A1BD.

篇9：面面平行证明线面平行

类型一：直线与平面平行的证明

【例１】 在三棱柱ABCA1B1C1中,A点在底面A1B1C1上的射影是正△A1B1C1的中心.E为侧面BB1C1C对角线BC1上一点,且BE=2EC1,



证明：OE∥平面AA1C1C．

分析 (1) 从“量”上分析:①从BE=2EC1知E是一个三等分点(离C1较近);②从正△A1B1C1,O是△A1B1C1的中心,知O是△A1B1C1的重心,隐含O是B1C1边上中线的一个三等分点,与E点有遥相呼应之感；

(2) 从“形”上分析：由相似三角形的原理知延长CE与B1C1的交点必是B1C1的中点H,从而根据重心知识知A1、O、H共线,这样可形成△A1HC；同时可联想B1C1的中点是建立联系的纽带；

(3) 从方法上分析：应用线面平行的判定定理证明,设法在平面内找到平面外的直线OE的平行线,俗称“找线法”。

证明 连接CE并延长,交B1C1于点H,因为BC∥B1C1,BE=2EC1,所以△BCE∽△C1HE,且BC=2C1H,所以H点为B1C1的中点.

又因为点A在底面正△A1B1C1内的射影点O是△A1B1C1的中心,所以O是△A1B1C1的重心,显然A1、O、H共线.且A1O=2OH.

在△HCA1中,CE=2EH,A1O=2OH,所以△HEO∽△HCA1,所以EO∥CA1.又EO平面AA1C1C,CA1平面AA1C1C,所以OE∥平面AA1C1C．

点拨

(1) 从图形上可联想有一个三角形,过OE且与平面AA1C1C有一条交线,故联想到B1C1的中点；

(2) 在添加辅助线时,易出现错误.如：连CE交B1C1于H点,连A1、O、H等形式的错误；

(3) 除用判定定理证明外,也可以构造平面与平面AA1C1C平行,利用面面平行的性质来证明。

总结:证明线面平行的方法有：定义法、线面平行的判定定理、面面平行的性质定理等方法,常用的是线面平行的判定定理。

类型二：直线与平面垂直的证明

【例2】 已知四棱锥PABCD的底面ABCD是等腰梯形,AD∥BC且BC=2AB=2AD=2,侧面PAD是等边三角形,PB=PC=2,求证：PC⊥平面PAB.

分析 (1) 从“量”上分析：底面的等腰梯形中,可得出其他的基本关系,作AH⊥BC垂足为H,知BH=12,故易知∠ABC=60°,在△ABC中由余弦定理易知AC=3,在△PAC,PA=1,PC=2,AC=3,易知PC⊥PA；在△PBC中,PB=2,PC=2,BC=2，易知PC⊥PB；

(2) 从“形”上分析：应联想到PC应垂直平面PAB中两条相交的直线

PB,PA,AB中的其中两条即可,可联想连接AC,用勾股定理证明；

(3) 从方法上分析：应利用线面垂直的判定定理,

设法在平面PAB内找到与PC垂直的两条相交直线。

证明 由条件易知在△PBC中,PB=2,PC=2,BC=2,故PB2+PC2=BC2，即∠BPC=90°,故PC⊥PB.在等腰梯形ABCD中,

由BC=2AB=2AD=2,得BC=2,AB=AD=DC=1,

作AH⊥BC于点H,得BH=12,所以在Rt△ABH中，∠ABH=60°；

又在△ABC中使用余弦定理知：AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cos∠ABC=3，

所以在△APC中,PA=1,AC=3,PC=2，满足勾股定理,即∠APC=90°,即PC⊥PA，

由上可知PC⊥PA,PC⊥PB,PA∩PB=P,所以PC⊥平面PAB．

点拨

(1) 本题从找线出发,联想到要证PC⊥PA与PC⊥PB,而PC⊥PA是本题的一个难点；

(2) 本题最终在△APC中利用勾股定理证得PC⊥PA,亦可以通过AB⊥平面PAC,证得PC⊥AB得到。

总结:证明线面垂直的方法有：定义法、线面垂直的判定定理法、面面垂直的性质定理等方法,常用的是线面垂直的判定定理。

恃国家之大，矜民人之众，欲见威于敌者，谓之骄兵。——魏相

类型三：利用线面平行、垂直的性质的探索性问题

【例3】 已知三棱锥PABC中,△ABC是边长为2的正三角形,PC⊥平面ABC,PA=22,E为PB的中点,F为AC的中点,试在线段PC上找一点Q,使得AE∥平面BFQ．

分析

(1) 从“量”上分析：△ABC为正三角形,PA=22,易得PC=2；从而知PB=22；

(2) 从“形”上分析：AE平面PAB,且AE∥平面BFQ；△PBC

为等腰直角三角形；同时可以联想在平面BFQ内有一条与ＡＥ平行的线；

(3)从方法上分析：利用线面平行的性质,通过线面平行得出线线

平行,从而确定Q点的位置。

解 因为△ABC是边长为2的正三角形,所以AC=2；

又因为PC⊥平面ABC,AC、BC平面ABC,所以PC⊥AC,PC⊥BC,所以△PAC为直角三角形,所以PC2=PA2-AC2=4,即PC=2,所以△PBC是以C为直角顶点的等腰直角三角形.不妨在PC上取一点Q,假设满足AE∥平面BFQ,则由线面平行的性质定理,连接CE交BQ于点H,连接HF,作出平面AEC.因为AE∥平面BFQ,

AE平面AEC,平面AEC∩平面BFQ=FH,所以AE∥FH；

显然在△AEC中,F为AC的中点,所以H为EC的中点．

过E作EG∥BQ,交PC于点G；

在△CEG中,HQ∥EG,H为EC的中点,所以Q为GC的中点,故GQ=QC；

在△PBQ中,EG∥BQ,E为BP的中点,所以G为PQ的中点,故GQ=PG；

所以PG=GQ=QC,故Q为PC的一个三等分点且靠近C点；因为PC=2,所以QC=23．

点拨 (1) 取Q点形成平面BFQ,利用线面平行的性质定理得AE∥FH,从而知H为EC的中点；

(2) 在△PBC中求Q的位置,除了用本题的方法外,还可以把△PBC平面化,利用解析几何知识建立直角坐标系,求出Q点的坐标,从而确定Q的位置；

(3) 学理科的同学还可以通过建立空间直角坐标系,通过求Q的坐标,确定Q的位置。

总结:线面平行的探索性问题常用的解题步骤是：(1) 假设点在某处；(2) 利用线面平行的性质得出线线平行；(3) 通过线线平行确定点的位置。

【例4】 已知直三棱柱ABCA1B1C1中,

BC=2AB=2AC=2,CC1=1,D为B1C1的中点,

篇10：线面平行证明的常用方法

2线面平行证明的常用方法

摘要：立体几何在高考解答题中每年是必考内容，线面平行的证明经常出现,很多同学总觉得证明方法很多很繁,在这里给大家用作辅助线的常用方法及空间坐标系的方法进行阐述。

关键词：找平行线；找第三个点；作平行平面；建立空间坐标系

立体几何在高考解答题中每年是必考内容，必有一个证明题；证明的内容包括以下内容：平行与垂直（线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直等），我们现在对线面平行这一方面作如下探讨：

在线面平行这节里有三个重要的定理：

直线与平面平行的判定性定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条

直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平

面和这个平面相交，那么这条直线和这个交线平行。

平面与平面平行的性质定理：如果两个平面是平行，那么在其中一个平面内的直

线和另一个平面平行。

从前面两个定理不难发现：要证线面平行(那么这条直线一定是平行于这个平面的),由性质定理可以得到这样一个结论：只要过这条直线作一个与平面相交的平面，那这个直线一定是与交线平行得。这样我们就可以找到与平面内的直线平行的直线。那么关键是怎样作一个平面与已知平面相交且过直线的平面。下面给大家介绍

方法一：两平行线能确定一个平面，过已知直线的两个端点作两条平行线使它们

与已知平面相交，关键：找平行线，使得所作平面与已知平面的交线。

（08浙江卷）如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE//CF，BCF=CEF=90,AD=3,EF=2。求证：AE//平面DCF.分析：过点E作EG//AD交FC于G，DG就是平面

与平面DCF的交线，那么只要证明AE//DG即可。

证明：过点E作EGCF交CF于G，连结DG，可得四边形BCGE为矩形，又ABCD为矩形，∥EG，从而四边形ADGE为平行四边形，所以AD 故AE∥DG．

因为AE平面DCF，DG平面DCF，所以AE∥平面DCF．

方法二：直线与直线外一点有且仅有一个平面，关键：找第三个点,使得所作平

面与已知平面的交线。

（06北京卷）如图，在底面为平行四边形的四棱锥PABCD中，ABAC，PA平面ABCD，且PAAB，点E是PD的中点.求证：PB//平面AEC.分析：由D、P、B三点的平面与已知平面AEC的交线最易找，第三个点选其它的点均不好找交线.证明：连接BD，与 AC 相交于 O，连接

∵ABCD 是平行四边形，∴O 是 BD 的中点又 E 是 PD 的中点∴EO∥PB.又 PB平面 AEC，EO平面 AEC，∴PB∥平面 AEC.方法三：两个平面是平行, 其中一个平面内的直线和另一个平面平行,关键：作

平行平面，使得过所证直线作与已知平面平行的平面

（０８安徽卷）如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，

ABC, OA底面ABCD, OA2,M为OA的中点，N为BC的中

点，证明：直线MN‖平面OCD 分析：M为OA的中点,找OA(或AD)中点,再连线。

证明：取OB中点E，连接ME，NE

ME‖AB,AB‖CD，ME‖CD

又NE‖OC,平面MNE‖平面OCD MN‖平面OCD

方法四：（向量法）所证直线与已知平面的法向量垂直，关键：建立空间坐标系

（或找空间一组基底）及平面的法向量。

（07全国Ⅱ•理）如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E，F分别为AB，SC的中点．证明EF∥平面SAD；

分析：因为侧棱SD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，所以很容易建立空间直角坐标系及相应的点的坐标。

证明：如图，建立空间直角坐标系Dxyz．

0，0)，S(0，0，b)，则B(a，a，0)，C(0，a，0)，设A(a，Eaa，0

，F0ab222，

EFba，0

2．

因为y轴垂直与平面SAD，故可设平面的法向量为n

=（0，1，0）

则：EFnba，0

2

（0，1，0）



=0 因此EFn

篇11：用向量证明线面平行（共）

比如单位法向量是(0,1,0)，难道m=0吗? 只能是a≠0是可以这样。

面面平行：可以证明两个平面的法向量平行。

不过不一定是单位法向量，单位法向量是模等于1的法向量，其实只需证明两平面的法向量垂直就可以了。

当然你要证明分别平行于两平面的直线平行，或平行一平面的直线与另一平面的法向量垂直也未尝不可。2 三维空间上一平面上一活动点钟(x,y, z)而(m,n,p)是在原点与平面的垂线的交点, 我们得 [(x,y,z)-(m,n,p)] *(m,n,p)= 0 m(x-m)+n(y-n)+p(z-p)=0 mx+ny+pz=m^2+n^2+p^2 所以 ax+by+cz=d 中的a=m, b= n, c=p , d=m^2+n^2+p^2= 原点与平面的垂直距离 x+y+z=1是一个面它垂直和相交(1,1,1)这支向量 [1,8,-3]×[4,-5,9]≠[0,0,0] 所以两直线的方向向量不平行 即两直线不平行

但是书后的答案说两直线是平行的。。你确定题没有写错吗? 其实直线很简单

[x,y,z]=[4,-3,2]+ t[1,8,-3] 表示通过点[4,-3,2]，沿着方向[1,8,-3]延伸 而[1,8,-3]跟[4,-5,9]方向不一样，两直线不平行平行向量

平行向量(也叫共线向量)：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：a∥b，规定零向量和任何向量平行。加法运算

AB+BC=AC，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。

已知两个从同一点O出发的两个向量OA、OB，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则以O为起点的对角线OC就是向量OA、OB的和，这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则。对于零向量和任意向量a，有：0+a=a+0=a。|a+b|≤|a|+|b|。

向量的加法满足所有的加法运算定律。减法运算

与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，-(-a)=a，零向量的相反向量仍然是零向量。

(1)a+(-a)=(-a)+a=0(2)a-b=a+(-b)。以减向量的终点为起点,被减向量的终点为终点(三角形法则)数乘运算

实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，|λa|=|λ||a|，当λ > 0时，λa的方向和a的方向相同，当λ < 0时，λa的方向和a的方向相反，当λ = 0时，λa = 0。

篇12：线面平行的证明题(共6题)

1．如图，在四棱锥P－ABCD中，M、N分别是AB、PC的中点，若ABCD是平行四边形，求证：MN//平面PAD．

P

C

A

M

2、如图，在底面为平行四边形的四棱锥 P—ABCD 中，点 E 是 PD 的中点.求证：PB//平面 AEC；

3、如图，在正方体ABCD——A1B1C1D1中，O

是底面ABCD

对角线的交点.求证：C1O//平面AD1B1.4.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E在AB1上，F在BD上，且B1E＝BF.求证：EF∥平面BB1C1C.E，F分别是棱BC，C1D1的中点，求证：5.如图，在正方体ABCDA1BC11D1中，EF//平面BB1D1D．

篇13：平行垂直问题的空间向量证明方法

一、平行类问题

1. 直线平行于直线

可证两条直线的方向向量平行.

例1在正方体ABCD—A1B1C1D1中, E、F分别是BC、CC1的中点, M、N分别是AB、C1D1的中点, 求证MN∥EF.

证明:如图1, 分别以DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D—xyz, 设正方体棱长为则0) , F (0, 2, 1) .由此有

2. 直线平行于平面

对于平面外的一条直线,

(1) 可证直线的方向向量平行于平面内的一个向量.

(2) 可证直线的方向向量可用平面内的两个不共线的向量线性表示.

(3) 可证直线的方向向量与平面的一个法向量垂直.

例2如图2, 三个正方形ABCD、ADEF、CDEG, P在DF上, Q在AC上, 且DP=DF, CQ=CA, 求证PQ∥面CDEG.

证明:以DA、DC、DE为x轴、y轴、z轴, 建立空间直角坐标系D—xyz, 设各正方形边长为1, 则P

方法1:显然= (1, 0, 0) 是平面CDEG的一个法向量.而在平面CDEG外, 所以PQ∥面CDEF.

方法2:在平面CDEF内取两个不共线的向量DC= (0, 1, 0) , = (0, 0, 1) .

因此, PQ∥面CDEF.

方法3:取DE中点M (0, 0, ) , 知

则在平面CDEG内, 在平面CDEG外, 所以PQ∥面CDEG.

点评:本例用到了证明直线与平面平行的三种方法.其中方法2用的是待定系数法;方法3中取DE中点M是关键, 这需要一定的观察探索能力.

3. 平面平行于平面

(1) 可证一个平面内有两个不共面的向量都平行于另一个平面.

(2) 可证两个平面的法向量共线.

例3正方体ABCD—A1B1C1D1中, M、N、P、Q是相应各棱的中点, 求证面ACNM∥面BPQ.

证明:建立如图3的空间直角坐标系.

设正方体棱长为2, 则A (2, 0, 0) , C (0, 2, 0) , M (1, 0, 2) , B (2, 2, 0) , P (2, 1, 2) , Q (1, 2, 2) .则有

方法2:设平面ACNM的法向量是n= (x, y, z) , 则由n⊥

取z=1, 则n= (2, 2, 1) .

同样可求得平面BPQ的一个法向量是m= (1, 1, ) .

由n=2m, 知n∥m,

所以面ACNM∥面BPQ.

二、垂直类问题

1. 线与线垂直

可证两条直线的方向向量互相垂直.

例4已知正三棱锥P—ABC, 求证AB⊥PC.

由正三棱锥知PA=PC=PB,

所以AB⊥PC.

评注:本例是利用基向量法进行运算.本例也可以用坐标向量法进行运算, 但建系、设坐标都较麻烦.因此, 应会根据题目的情况, 选择恰当的向量方法进行求解.

2. 线与面垂直

(1) 可证直线的方向向量与平面内两个不共线的向量垂直.

(2) 可证直线的方向向量与平面的法向量平行.

例5在正三棱柱ABC—A1B1C1中, 底边长是, 高是1, M是AB中点, 求证AB1⊥面MCA1.

证明:如图4, 取AB中点M, 建立空间直角坐标系M—xyz, 知

所以B1A⊥面MCA1.

3. 面与面垂直

(1) 可证某平面内的一个向量是另一个平面的法向量.

(2) 可证两个平面的法向量互相垂直.

例6正方体ABCD—A1B1C1D1中, M是CC1的中点, 求证面A1BD⊥面MBD.

证明:如图5, 建立坐标系D—xyz.

设平面A1BD的法向量为n= (x, y, z) , 则

取x=1, 得n= (1, -1, -1) .

又设平面MBD的法向量为m= (p, q, r) , 则

取q=1, 得m= (-1, 1, -2) .

知n⊥m, 所以面A1BD⊥面MBD.

评注:本例也可以取BD中点O, 证明是平面MBD的法向量.

篇14：线面平行垂直关系学法指导

【例１】 如图,在正三棱柱ABCA1B1C1中,D在棱BC上.

(1) 若D为BC的中点,求证：A1B∥面ADC1;

(2) 若CD=3BD,P为AA1上一点,AP=λPA1,当λ为何值时,BP∥面C1AD.

分析 (1) 此问是证明线面平行,D又为中点可以通过中位线入手用线线平行证之；又或通过面面平行证明之。(2) 此问是针对把线面平行当作条件求参量λ的值,即求比例关系,可能要转化为平面几何来求,所以此题要想到线面平行的性质定理把线面转化为线线。

证明 (1) (法一)连接A1C交AC1于H,连接HD,

因为H为A1C的中点,又D为BC的中点,所以HD∥A1B.

因为HD∥A1B,HD面ADC1,A1B面ADC1,

则A1B∥面ADC1.

(法二)取B1C1的中点E,连接BE，A1E；

因为BE∥DC1,C1D面ADC1,EB面ADC1，所以BE∥面DC1A.

同理：A1E∥面DC1A,因为BE∥面DC1A,A1E∥面DC1A,A1E∩BE=E,

所以面BA1E∥面DC1A,又A1B面A1BE,所以得证.

(2) 连接PC,交AC1于H,连接HD，

因为BP∥面C1AD,BP面BPC,面BPC∩面ADC1=HD,所以BP∥HD.

所以BDDC=PHHC=PAC1C=13,即λ=12.

点拨 利用线面平行的判定定理：欲证明线面平行可通过线与平面内一线平行,通过线面平行的判定定理证明,往往这样要作辅助线，特别是中位线等。

利用面面平行的性质：欲证明线面平行，可通过经过该线的一个平面平行我们要求证的面,当然还要通过面面平行的判定定理,但这里一定要注意面面平行的判定定理如何用。

抓住两类定理是硬道理,当然线面平行的证明还是利用线线较好；

综上:证明线面平行关系可以如下表示：

【例2】 如图,已知直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥BC,AB＝1,BC＝2,CD＝1＋3,过A作AE⊥CD,垂足为E,现将△ADE沿AE折叠,使得DE⊥EC．

(1) 求证：BC⊥面CDE；

(2) 在线段AE上找一点R,当R点满足3AR＝RE时，求证：面BDR⊥面DCB.

分析 (1) 欲证明BC⊥面CDE,则证BC垂直于该面的两相交直线即可;(2) 找出一条线非常重要,因为QC⊥DB很好找,所以我们选取QC作为线面垂直的那条线。

证明 (1) 由已知得：DE⊥AE,DE⊥EC,AE∩EC=E,

所以DE⊥平面ABCE,

所以DE⊥BC,又CE⊥BC,DE∩EC=E,

所以BC⊥面DCE.

(2) 当R点满足3AR＝RE时,取BD的中点Q,连接AC交BR于H,

连接HQ,因为QB=2,HB=255,

因为在△DBR中,cos∠DBR=105,所以QH=305,则有QH2+QC2=HC2,所以QC⊥QH,因为QC⊥DB,QC⊥QH,DB∩QH=Q,所以QC⊥面DBR,又因为QC面DBC,所以面DBC⊥面DBR.

点拨 证明垂直关系就三种：线线垂直,此类可通过线面垂直得到；线面垂直,通过判定定理中线线垂直；线面垂直还可以得到面面垂直,只要垂线过其中一个面即可。

综上：证明线面垂直关系可以如下表示:



牛刀小试

1. 如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,∠ACB＝90°,E,F,G分别是AA1,AC,BB1的中点,且CG⊥C1G．

(1) 求证：CG∥平面BEF；

(2) 求证：CG⊥平面A1C1G.



2. 如图，在四棱锥PABCD中,AB∥CD,CD=2AB,E为PC的中点.

(1) 求证：BE∥面PAD；

(2) AB⊥面PAD,面PBA⊥面PBD,求证：PA⊥PD.

3. 如图甲,在直角梯形PBCD中,PB∥CD,CD⊥BC,BC＝PB＝2CD,A是PB的中点.现沿AD把平面PAD折起,使得PA⊥AB(如图乙所示),E、F分别为BC、AB边的中点．

(1) 求证：PA⊥平面ABCD；

(2) 求证：平面PAE⊥平面PDE；

(3) 在PA上找一点G,使得FG∥平面PDE.



4. 已知△BCD中,∠BCD＝90°,BC＝CD＝1,AB⊥平面BCD,∠ADB＝60°,E、F分别是AC、AD上的动点,AEAC=AFAD=λ(0<λ<1)．

(1) 求证：不论λ为何值,总有平面BEF⊥平面ABC；

(2) 当λ为何值时,平面BEF⊥平面ACD？

书籍——通过心灵观察世界的窗口。住宅里没有书，犹如房间没有窗户。——威尔逊

【参考答案】

1. 证明：(1) 连接AG交BE于D,连接DF,EG．

∵E,G分别是AA1,BB1的中点,∴AE∥BG且AE＝BG,

∴四边形AEGB是平行四边形.∴D是AG的中点,

又∵F是AC的中点,∴DF∥CG,

则由DF面BEF,CG面BEF,得CG∥面BEF.

(注：也可证明平面A1CG∥平面BEF)

(2) ∵在直三棱柱ABCA1B1C1中,C1C⊥底面A1B1C1,∴C1C⊥A1C1．

又∵∠A1C1B1＝∠ACB＝90°,即C1B1⊥A1C1,∴A1C1⊥面B1C1CB,

而CG面B1C1CB,∴A1C1⊥CG,

又CG⊥C1G,∴CG⊥平面A1C1G.

2. 思路1：转化为线线平行,构造一个平行四边形ABEF,其中F为PD的中点.

证明：(1) 取PD的中点F,连接AF,EF,则EF为△PCD的中位线,EF∥CD,且EF=12CD,又因为AB∥CD,AB=12CD,所以EF∥AB且EF=AB.

所以四边形ABEF为平行四边形.

所以BE∥AF,BE面PAD,AF面PAD,所以BE∥面PAD.

思路2：转化为线线平行,延长DA,CB,交于点F,连接PF,易知BE∥PF.

思路3：转化为面面平行,取CD的中点F,易证面PAD∥面BEF.

(2) 在平面PBA内,作AH⊥PB于H,面PBA⊥面PBD,且面PBA∩面PBD=PB,

所以AH⊥面PBD,所以AH⊥PD,又AB⊥面PAD,所以AB⊥PD.

又因为AB∩AH=A,所以PD⊥面PBA,所以PA⊥PD.

3. (1) 证明：因为PA⊥AD,PA⊥AB,AB∩AD＝A,所以PA⊥平面ABCD．

(2) 证明：因为BC＝PB＝2CD,A是PB的中点,所以ABCD是矩形,

又E为BC边的中点,所以AE⊥ED.

又由PA⊥平面ABCD,得PA⊥ED,且PA∩AE＝A,所以ED⊥平面PAE,

而ED平面PDE,故平面PAE⊥平面PDE．

(3) 过点F作FH∥ED交AD于H,再过H作GH∥PD交PA于G,连接FG．

由FH∥ED,ED平面PED,得FH∥平面PED，

由GH∥PD,PD平面PED,得GH∥平面PED,

又FH∩GH＝H,所以平面FHG∥平面PED.所以FG∥平面PDE．

再分别取AD、PA的中点M、N,连接BM、MN,

易知H是AM的中点,G是AN的中点,

从而当点G满足AG＝14AP时,有FG∥平面PDE．

4. 证明：(1) ∵AB⊥平面BCD,∴AB⊥CD,

∵CD⊥BC且AB∩BC＝B,

∴CD⊥平面ABC.

又∵AEAC=AFAD=λ(0<λ<1),

∴不论λ为何值,恒有EF∥CD,

∴EF⊥平面ABC,EF平面BEF,

∴不论λ为何值,恒有平面BEF⊥平面ABC.

(2) 由(1)知,BE⊥EF,又平面BEF⊥平面ACD,

∴BE⊥平面ACD,∴BE⊥AC.

∵BC＝CD＝1,∠BCD＝90°,∠ADB＝60°,

∴BD=2,AB=2tan60°=6,

∴AC=AB2+BC2=7，

由AB2＝AE•AC得AE=67,

∴λ=AEAC=67.

故当λ=67时,平面BEF⊥平面ACD.