平行四边形证明

平行四边形证明（共14篇）

篇1：平行四边形证明

证明平行四边形

证明平行四边形

如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE。已知∠BAC=30，EF⊥AB，垂足为F，连结DF。

求证：四边形ADFE是平行四边形。

设BC=a,则依题意可得：AB=2a,AC=√3a,

等边△ABE ,EF⊥AB=>AF=1/2AB=a,AE=2a,EF=√3a

∵∠DAF=∠DAC+∠CAB=60°+30°=90°,AD=AC=√3a,∴ DF=√(AD+AF)=2a

∴AE=DF=2a,EF=AD=√3a =>四边形ADFE是平行四边形

1两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义)2两组对边分别相等的四边形是平行四边形3一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4对角线互相平分的四边形是平行四边形5两组对角分别相等的四边形是平行四边形

1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形2、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形4、对角线互相平分的四边形是平行四边形

2

1.画个圆，里面画个矩形2.假设圆里面的是平行四边形3.因为对边平行，所以4个角相等4.平行四边四个角之和等于360，5.360除以4等于906.所以圆内平行四边形为矩形..

3判定(前提：在同一平面内)(1)两组对边分别相等的.四边形是平行四边形;

(2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形; (3)两组对边分别平行的四边形是平行四边形; (4)两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 (5)两组对角分别相等的四边形为平行四边形 (注：仅以上五条为平行四边形的判定定理，并非所有真命题都为判定定理，希望各位读者不要随意更改。) (第五条对，如果对角相等，那么邻角之和的二倍等于360°，那么邻角之和等与180°，那么对边平行，(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)所以这个四边形是平行四边形) 编辑本段性质(矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形。) (1)平行四边形对边平行且相等。 (2)平行四边形两条对角线互相平分。 (3)平行四边形的对角相等，两邻角互补。 (4)连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。(推论) (5)平行四边形的面积等于底和高的积。(可视为矩形) (6)过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。 (7)对称中心是两对角线的交点。

性质9(8)矩形 菱形是轴对称图形。 (9)平行四边形ABCD中(如图)E为AB的中点，则AC和DE互相三等分， 一般地，若E为AB上靠近A的n等分点，则AC和DE互相(n+1)等分。*注：正方形，矩形以及菱形也是一种特殊的平行四边形。 (10)平行四边形ABCD中，AC、BD是平行四边形ABCD的对角线，则各四边的平方和等于对角线的平方和。 (11)平行四边形对角线把平行四边形面积分成四等分。 (12)平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形。 (13)平行四边形中，两条在不同对边上的高所组成的夹角，较小的角等于平行四边形中较小的角，较大的角等于平行四边形中较大的角。 (14)平行四边形中,一个角的顶点向他对角的两边所做的高，与这个角的两边组成的夹角相等。 编辑本段平行四边形中常用辅助线的添法一、连接对角线或平移对角线。 二、过顶点作对边的垂线构成直角三角形。 三、连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构成线段平行或中位线。 四、连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造相似三角形或等积三角形。 五、过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等。 编辑本段面积与周长1、(1)平行四边形的面积公式：底×高(推导方法如图);如用“h”表示高，“a”表示底，“S”表示平行四边形面积，则S平行四边=ah (2)平行四边形的面积等于两组邻边的积乘以夹角的正弦值;如用“a”“b”表示两组邻边长，@表示两边的夹角，“S”表示平行四边形的面积，则S平行四边形=ab*sin@ 2、平行四边形周长可以二乘(底1+底2);如用“a”表示底1，“b”表示底2，“c平”表示平行四边形周长，则平行四边的周长c=2(a+b) 底×1X高

篇2：平行四边形证明

求证：四边形ADFE是平行四边形。

设BC=a,则依题意可得：AB=2a,AC=√3a,等边△ABE,EF⊥AB=>AF=1/2AB=a,AE=2a,EF=√3a

∵∠DAF=∠DAC+∠CAB=60°+30°=90°,AD=AC=√3a,∴DF=√(AD²+AF²)=2a

∴AE=DF=2a,EF=AD=√3a=>四边形ADFE是平行四边形

1两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义)2两组对边分别相等的四边形是平行四边形3一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4对角线互相平分的四边形是平行四边形5两组对角分别相等的四边形是平行四边形

1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形

2、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形

4、对角线互相平分的四边形是平行四边形

21.画个圆，里面画个矩形2.假设圆里面的是平行四边形3.因为对边平行，所以4个角相等4.平行四边四个角之和等于360，5.360除以4等于906.所以圆内平行四边形为矩形..3判定(前提：在同一平面内)(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形;

(2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;(3)两组对边分别平行的四边形是平行四边形;(4)两条对角线互相平分的四边形是平行四边形(5)两组对角分别相等的四边形为平行四边形(注：仅以上五条为平行四边形的判定定理，并非所有真命题都为判定定理，希望各位读者不要随意更改。)(第五条对，如果对角相等，那么邻角之和的二倍等于360°，那么邻角之和等与180°，那么对边平行，(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)所以这个四边形是平行四边形)编辑本段性质(矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形。)(1)平行四边形对边平行且相等。(2)平行四边形两条对角线互相平分。(3)平行四边形的对角相等，两邻角互补。(4)连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。(推论)(5)平行四边形的面积等于底和高的积。(可视为矩形)(6)过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。(7)对称中心是两对角线的交点。

性质9(8)矩形菱形是轴对称图形。(9)平行四边形ABCD中(如图)E为AB的中点，则AC和DE互相三等分，一般地，若E为AB上靠近A的n等分点，则AC和DE互相(n+1)等分。*注：正方形，矩形以及菱形也是一种特殊的平行四边形。(10)平行四边形ABCD中，AC、BD是平行四边形ABCD的对角线，则各四边的平方和等于对角线的平方和。(11)平行四边形对角线把平行四边形面积分成四等分。(12)平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形。(13)平行四边形中，两条在不同对边上的高所组成的夹角，较小的角等于平行四边形中较小的角，较大的角等于平行四边形中较大的角。(14)平行四边形中,一个角的顶点向他对角的两边所做的高，与这个角的两边组成的夹角相等。编辑本段平行四边形中常用辅助线的添法

一、连接对角线或平移对角线。

二、过顶点作对边的垂线构成直角三角形。

三、连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构成线段平行或中位线。

四、连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造相似三角形或等积三角形。

五、过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等。编辑本段面积与周长

1、(1)平行四边形的面积公式：底×高(推导方法如图);如用“h”表示高，“a”表示底，“S”表示平行四边形面积，则S平行四边=ah(2)平行四边形的面积等于两组邻边的积乘以夹角的正弦值;如用“a”“b”表示两组邻边长，@表示两边的夹角，“S”表示平行四边形的面积，则S平行四边形=ab*sin@

篇3：“三法”证明线面平行

一、由线线平行证明线面平行

证明线面平行最基本的方法是根据线面平行的判定定理, 即证平面外的直线与平面内的一条直线平行.此种方法的关键是找到平面内的一条直线与此直线平行, 即证线线平行, 经常应用到的结论有: (1) 三角形的中位线平行于第三边; (2) 同旁内角互补、同位角相等、内错角相等的两直线平行; (3) 垂直于同一直线的两条直线平行; (4) 平行四边形的对边相等且平行; (5) 如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线, 所得的对应线段成比例, 那么这条直线平行于三角形的第三边.

【例1】如图1, 五面体中, 四边形ABCD是矩形, AB∥EF, P、Q分别为AE、BD中点.

求证:PQ∥平面BCE.

证明:连接AC, 因为四边形ABCD是矩形, Q为BD的中点, 所以Q为AC的中点, 且在△AEC中.又P为AE的中点, ∴PQ∥EC, ∵

∴PQ∥CE.

点评:要证明线面平行, 可考虑证明PQ与平面内的一条直线平行, 因为P是AE的中点, Q是AC的中点, 故考虑利用中位线的性质证明线线平行, 进而证明线面, 进而证明线面平行.

【例2】在如图2所示的几何体中, △ABC是正三角形, AE⊥平面ABC, 平面BCD⊥平面ABC, BD=CD, 且BD⊥CD.

求证:AE∥平面BCD.

证明:取BC的中点M, 连接DM、AM, 由已知可 得DM⊥BC, AM⊥BC.

又因为平面BCD⊥平面ABC, 所以DM⊥平面ABC.

因为AE⊥平面ABC, 所以AE∥DM.

又因为, 所以AE∥平面BCD.

点评:在空间中, 垂直于同一平面的两直线平行, 本题已知AE⊥平面ABC, 又可证明DM⊥平面ABC, 故可得AE∥DM, 从而证明了线面平行.

【例3】如图3, 已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形, AB∥CDE是PC的中点.证明:BE∥面PAD.

证明:取PD的中点F, 连接EF、AF, 则有

点评:本题中要证BE∥面PAD, 可考虑在平面PAD中寻找一条直线与BE平行, 根据条件中的线段关系考虑构造平行四边形解决.

二、由面面平行证明线面平行

在证明线面平行时, 若根据判断定理不容易证明, 可考虑通过证明面面平行, 达到证明线面平行的目的.

【例4】如图4, 三棱柱ABC-A1B1C1, 底面为正三角形, 侧棱A1A⊥底面ABC, 点E, F分别是棱CC1, BB1上的点, 点M是线段AC的中点, EC=2FB.

求证:BM∥平面AEF.

证明:如图4, 取EC的中点P, 连接PF、PM、PB,

∵点M是AC的中点,

∴PM∥AE,

又, ∴PM∥面AEF.

点评:要证明BM∥平面AEF, 在平面AEF中不容易找到一条直线与BM平行, 但根据条件易证明PM∥平面AEF, PB∥平面AEF.从而得到面面平行, 根据面面平行的性质, 易得线面平行.

三、法向量法

由平面的法向量可知, 如果直线与平面的法向量垂直, 且直线在平面外, 则直线与平面平行, 当题目中的条件有利于建立直角坐标系, 且用以上两种方法不易证明时, 可考虑建立直角坐标系, 利用法向量求解.

【例5】如图5, 已知四边 形ABEF是矩形, △ABC是等腰三角形, 平面ABEF⊥平面ABC, ∠BAC=120°, AB=1/2AF=4, CN=3NA, M, P, Q分别是AF, EF, BC的中点.求证:直线PQ∥平面BMN;

篇4：“三法”证明线面平行

一、由线线平行证明线面平行

证明线面平行最基本的方法是根据线面平行的判定定理，即证平面外的直线与平面内的一条直线平行.此种方法的关键是找到平面内的一条直线与此直线平行，即证线线平行，经常应用到的结论有：（1）三角形的中位线平行于第三边；（2）同旁内角互补、同位角相等、内错角相等的两直线平行；（3）垂直于同一直线的两条直线平行；（4）平行四边形的对边相等且平行；（5）如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线，所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.

点评：本题中要证BE∥面PAD，可考虑在平面PAD中寻找一条直线与BE平行，根据条件中的线段关系考虑构造平行四边形解决.

二、由面面平行证明线面平行

在证明线面平行时，若根据判断定理不容易证明，可考虑通过证明面面平行，达到证明线面平行的目的.

点评：要证明BM∥平面AEF，在平面AEF中不容易找到一条直线与BM平行，但根据条件易证明PM∥平面AEF，PB∥平面AEF.从而得到面面平行，根据面面平行的性质，易得线面平行.

三、法向量法

由平面的法向量可知，如果直线与平面的法向量垂直，且直线在平面外，则直线与平面平行，当题目中的条件有利于建立直角坐标系，且用以上两种方法不易证明时，可考虑建立直角坐标系，利用法向量求解.

所以PQ∥平面BMN.

点评：本题具备了建立直角坐标系的条件，且点的坐标易求，故考虑利用法向量证明线面平行，应注意最后必须写明PQ平面BMN.

（责任编辑钟伟芳）endprint

平行关系是几何中一种常见的位置关系，其包括线线平行、线面平行及面面平行三种类型.其中线面平行是三种平行关系中最为常见的一种，是高中数学的必修内容，它既与线线平行相关，又与面面平行有一定的联系，是三种平行关系中极为重要的一种.在2013年的高考中，有一半的试卷涉及线面平行的证明，下面以题为例研究线面平行的证明方法，寻找此类题的解题规律.

一、由线线平行证明线面平行

证明线面平行最基本的方法是根据线面平行的判定定理，即证平面外的直线与平面内的一条直线平行.此种方法的关键是找到平面内的一条直线与此直线平行，即证线线平行，经常应用到的结论有：（1）三角形的中位线平行于第三边；（2）同旁内角互补、同位角相等、内错角相等的两直线平行；（3）垂直于同一直线的两条直线平行；（4）平行四边形的对边相等且平行；（5）如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线，所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.

点评：本题中要证BE∥面PAD，可考虑在平面PAD中寻找一条直线与BE平行，根据条件中的线段关系考虑构造平行四边形解决.

二、由面面平行证明线面平行

在证明线面平行时，若根据判断定理不容易证明，可考虑通过证明面面平行，达到证明线面平行的目的.

点评：要证明BM∥平面AEF，在平面AEF中不容易找到一条直线与BM平行，但根据条件易证明PM∥平面AEF，PB∥平面AEF.从而得到面面平行，根据面面平行的性质，易得线面平行.

三、法向量法

由平面的法向量可知，如果直线与平面的法向量垂直，且直线在平面外，则直线与平面平行，当题目中的条件有利于建立直角坐标系，且用以上两种方法不易证明时，可考虑建立直角坐标系，利用法向量求解.

所以PQ∥平面BMN.

点评：本题具备了建立直角坐标系的条件，且点的坐标易求，故考虑利用法向量证明线面平行，应注意最后必须写明PQ平面BMN.

（责任编辑钟伟芳）endprint

平行关系是几何中一种常见的位置关系，其包括线线平行、线面平行及面面平行三种类型.其中线面平行是三种平行关系中最为常见的一种，是高中数学的必修内容，它既与线线平行相关，又与面面平行有一定的联系，是三种平行关系中极为重要的一种.在2013年的高考中，有一半的试卷涉及线面平行的证明，下面以题为例研究线面平行的证明方法，寻找此类题的解题规律.

一、由线线平行证明线面平行

证明线面平行最基本的方法是根据线面平行的判定定理，即证平面外的直线与平面内的一条直线平行.此种方法的关键是找到平面内的一条直线与此直线平行，即证线线平行，经常应用到的结论有：（1）三角形的中位线平行于第三边；（2）同旁内角互补、同位角相等、内错角相等的两直线平行；（3）垂直于同一直线的两条直线平行；（4）平行四边形的对边相等且平行；（5）如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线，所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.

点评：本题中要证BE∥面PAD，可考虑在平面PAD中寻找一条直线与BE平行，根据条件中的线段关系考虑构造平行四边形解决.

二、由面面平行证明线面平行

在证明线面平行时，若根据判断定理不容易证明，可考虑通过证明面面平行，达到证明线面平行的目的.

点评：要证明BM∥平面AEF，在平面AEF中不容易找到一条直线与BM平行，但根据条件易证明PM∥平面AEF，PB∥平面AEF.从而得到面面平行，根据面面平行的性质，易得线面平行.

三、法向量法

由平面的法向量可知，如果直线与平面的法向量垂直，且直线在平面外，则直线与平面平行，当题目中的条件有利于建立直角坐标系，且用以上两种方法不易证明时，可考虑建立直角坐标系，利用法向量求解.

所以PQ∥平面BMN.

点评：本题具备了建立直角坐标系的条件，且点的坐标易求，故考虑利用法向量证明线面平行，应注意最后必须写明PQ平面BMN.

篇5：平行四边形证明题

我这一化解，楼主应该明白了吧!~

希望楼主采纳，谢谢~!不懂再问！!

此题关键就是对于三角形的中位线定理熟不!~!~·

已知：F，G是△CDA的中点，所以FG是△CDA的中位线，所以FG平行DA

同理HE是△BAD的中位线，所以HE平行DA，所以FG平行HE

同理可得：FH平行GE!~

即四边形FGEH是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形

2证明：∵E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点

∴FG//AD，HE//AD，FH//BC，EG//BC

∴FG//HE，FH//EG

∴四边形EGFH是平行四边形

3.理由：连接一条对角线，AC吧。

∵AD平行BC，AB平行DC(平行四边形的性质)

∴∠DAC=∠ACB，∠BAC=∠DCA

在△ABC和△DAC中，∠DAC=∠ACB

AC=CA

∠BAC=∠DCA

所以，△ABC全等于△DAC(A.S.A)

所以，AB=DA,AD=BC

证明：∵四边形ABCD为平行四边形;

∴DC‖AB;

∴∠EAF=∠DEA

∵AE，CF，分别是∠DAB、∠BCD的平分线;

∴∠DAE=∠EAF;∠ECF=∠BCF;

∴∠EAF=∠CFB;

∴AE‖CF;

∵EC‖AF

∴四边形AFCE是平行四边形

41.画个圆，里面画个矩形2.假设圆里面的是平行四边形3.因为对边平行，所以4个角相等4.平行四边四个角之和等于360，5.360除以4等于906.所以圆内平行四边形为矩形..3判定(前提：在同一平面内)(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形;

(2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;(3)两组对边分别平行的四边形是平行四边形;(4)两条对角线互相平分的四边形是平行四边形(5)两组对角分别相等的四边形为平行四边形(注：仅以上五条为平行四边形的判定定理，并非所有真命题都为判定定理，希望各位读者不要随意更改。)(第五条对，如果对角相等，那么邻角之和的二倍等于360°，那么邻角之和等与180°，那么对边平行，(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)所以这个四边形是平行四边形)编辑本段性质(矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形。)(1)平行四边形对边平行且相等。(2)平行四边形两条对角线互相平分。(3)平行四边形的对角相等，两邻角互补。(4)连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。(推论)(5)平行四边形的面积等于底和高的积。(可视为矩形)(6)过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。(7)对称中心是两对角线的交点。

性质9(8)矩形菱形是轴对称图形。(9)平行四边形ABCD中(如图)E为AB的中点，则AC和DE互相三等分，一般地，若E为AB上靠近A的n等分点，则AC和DE互相(n+1)等分。*注：正方形，矩形以及菱形也是一种特殊的平行四边形。(10)平行四边形ABCD中，AC、BD是平行四边形ABCD的对角线，则各四边的平方和等于对角线的平方和。(11)平行四边形对角线把平行四边形面积分成四等分。(12)平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形。(13)平行四边形中，两条在不同对边上的高所组成的夹角，较小的角等于平行四边形中较小的角，较大的角等于平行四边形中较大的角。(14)平行四边形中,一个角的顶点向他对角的两边所做的高，与这个角的两边组成的夹角相等。编辑本段平行四边形中常用辅助线的添法

一、连接对角线或平移对角线。

篇6：证明(三)平行四边形

课 题3.1平行四边形（1）

班级姓名

教学目标

1．能够用综合法证明平行四边形的性质定理和其他相关的结论。2．灵活运用平行四边形的性质定理和其他相关的结论。教学重点、难点:

重点掌握平行四边形的性质定理和其他相关的结论。难点探索证明的思路和方法。教学过程

一、预习反馈 明确目标1．回顾平行四边形的性质定理； 2．回顾等腰梯形的性质； 3．等腰梯形的判定。

二、创设情境 自主探究1．证明平行四边形的性质： 定理：平行四边形的对边相等。

分析：命题的题设和结论是什么？如何借助于已有的知识来证明它？可以借助于三角形的全等来证明，通过添加辅助线，将四边形的问题转化为三角形来证明。已知：。

求证：。

证明：

2.由上面的证明过程，你还能得到什么结论？ 定理：平行四边形的对角相等。

证明：

学生讨论，教师总结，得到平行四边形的性质2。

三、展示交流 点拨提高

1.例 证明：等腰梯形在同一底上的的两个角相等。

已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC。求证：∠B=∠C,∠A=∠D。

提示：我们证明过“等腰三角形的两个底角相等”如果可以将∠B与∠C转化为等腰三角形的两个底角，那么就容易证明了，为此，可以将AB平移到DE的位置。

证明：

2.这个命题的逆命题成立吗？如果成立，请证明它。定理：同一底上的两个角相等的梯形是等腰三角形。

山丹育才中学讲学稿

四、师生互动 拓展延伸课本P84页 随堂练习：

1.证明：平行四边形的对角线互相平分。

2.证明：夹在两条平行线间的平行线段相等。

五、达标测试 巩固提高

已知:如图,AC,BD是□ABCD的两条对角线,且AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F, 求证:AE=CF。

◆ 作业布置

1．证明：等腰梯形的两条对角线相等。

2.已知：如图，平行四边形的对角线AC,BD相交与点O，过点O的直线与AD,BC分别相交于点E,F.求证：OE=OF.3已知:在□ABCD中,点E,F在对角线AC上,且AF=CE。① 线段BE与DF之间有什么关系?请证明你的结论；

E

F

② 若去掉题设中的AF=CE,请添加一个条件使BE与DF有以上同样的性质。

◆ 教学札记

图3－5

篇7：平行四边形证明提高

.［例1］如图，在ABCD的各边AB、BC、CD、DA上，分别取点K、L、M、N，使AK=CM、BL=DN，则四边形KLMN为平行四边形吗？说明理由

.11.在□ABCD中，点M、N在对角线AC上，且AM=CN，四边形BMDN是平行四边形吗？为什么？

12.如图，□ABCD中，E、F分别在BA、DC的延长线上，且AE=

12AB，CF=

12CD，AF和CE的关系如何？说明理由

.13.如图，D、E是△ABC的边AB和AC中点，延长DE到F，使EF=DE，连结CF.四边形BCFD是平行四边形吗？为什么？

14.如图，□ABCD的对角线AC、BD交于O，EF过点O交AD于E，交BC于F，G是OA的中点，H是OC的中点，四边形EGFH是平行四边形，说明理由

.15.如图，平行四边形ABCD中，M、N分别为AD、BC的中点，连结AN、DN、BM、CM，且AN、BM交于点P，CM、DN交于点Q.四边形MGNP是平行四边形吗？为什么？

篇8：巧用“射影”证明直线和平面平行

一、点射影

例1如图1所示,直线a是平面α外的一条直线,点O是不在直线a上且不在平面α内的任意一点,在直线a上取不同两点A、B,若OA、OB与平面α分别相交于点A1、B1,则直线A1B1叫做直线a关于点O在平面α内的射影,简称为点射影 。

二、方向射影

例2如图2所示,直线a是平面α外的一条直线,直线m是与平面α相交的任意直线,在直线a上取不同两点A、B,过点A、B分别作AA2、BB2平行于直线m交平面α于点A2、B2,则直线A2B2叫做直线a关于直线m在平面α内的射影,简称为方向射影。

三、应用举例

例3 已知在三棱柱ABC-A1B1C1中,E、F分别是棱B1C1、A1A上的点,且A1F∶A1A=B1E∶B1C1。求证:A1E//平面B1FC

分析一:如图3所示,取点B,连结BA1、BE分别交B1F、B1C于点P、Q,连结PQ,则PQ是A1E关于点B在平面B1FC上的射影(点射影),要证A1E//平面B1FC,只须根据平面内平行线分线段成比例定理的逆定理证:A1E//PQ。

证法一:连结BA1、BE分别交B1F、B1C于点P、Q,连结PQ。

∵B1C1//BC,B1C1=BC

∴B1E∶B1C1= B1E∶BC=EQ∶QB

∵AA1//BB1,AA1=BB1

∴A1F∶A1A= A1F∶BB1=A1P∶PB

∵A1F∶A1A=B1E∶B1C1

∴EQ∶QB= A1P∶PB

∴A1E//PQ

又∵A1E 平面B1FC ,PQ 平面B1FC

∴A1E//平面B1FC

分析二:如图4所示,取CC1为方向,过点E作EM//CC1交B1C于点M,连结FM,则FM是A1E关于直线CC1在平面B1FC上的射影(方向射影),要证A1E//平面B1FC,只须根据平行四边形的判定和性质证:A1E//FM。

证法二:过点E作EM//CC1交B1C于点M,连结FM。

∵CC1//AA1 ∴A1F//EM

∴B1E:B1C1=EM:C1C

∵A1F:A1A=B1E:B1C1

∴A1F:A1A = EM:C1C

∵A1A=C1C

∴A1F=EM

∴四边形A1FME是平行四边形

∴A1E//FM

又∵A1E 平面B1FC ,FM 平面B1FC

∴A1E//平面B1FC

篇9：与四边形有关的计算和证明

■平行四边形

与平行四边形有关的考题重点涉及平行四边形的性质及判定方法，解决有关问题需要熟练掌握平行四边形的性质和判定方法.

■ （2011四川凉山）如图1，E，F是平行四边形ABCD对角线AC上的点，CE=AF，请你猜想：线段BE与线段DF有怎样的关系，并对你的猜想加以证明.

■

■?摇猜想：BE∥DF，且BE=DF. 因为四边形ABCD是平行四边形，所以CB=AD，CB∥AD. 所以∠BCE=∠DAF. 在△BCE和△DAF中，CB=AD，∠BCE=∠DAF，CE=AF，所以△BCE≌△DAF. 所以BE=DF，∠BEC=∠DFA. 所以BE∥DF. 所以BE∥DF，且BE=DF.

■矩形

与矩形有关的考题通常为矩形折叠问题和矩形的判定，解决折叠问题，需要把折叠的特征、勾股定理及平行线的相关知识综合应用；解决矩形的判定问题应熟练掌握矩形的判定方法，并能根据所给的条件灵活选用.

■ （2011黑龙江大庆）如图2，ABCD是一张边AB长为2、边AD长为1的矩形纸片，沿过点B的折痕将∠A翻折，使得点A落在边CD上的点A1处，折痕交边AD于点E．

（1）求∠DA1E的大小.

（2）求△A1BE的面积．

■

■?摇（1）由Rt△ABE≌Rt△A1BE知A1B=AB=2，又BC=1，所以∠BA■C=30°. 因为∠BA1E=∠BAE=90°，所以∠DA1E=60°.

（2）在Rt△A1BC中，A1B=2，BC=1，所以A1C=■. 所以A1D=2-■. 设AE=x（x>0），则ED=1-x，A1E=x.?摇 在Rt△A1DE中，A1D2+DE2=A1E2，即（2-■）2+（1-x）2=x2，解得x=4-2■. 在Rt△A1BE中，A1E=4-2■，A1B=AB=2，所以S△A1BE=■×2×（4-2■）=4-2■.

■菱形

与菱形有关的考题重点考查菱形的判定，常以解答题或探索题的形式出现，解决有关的计算题需要将菱形与勾股定理相结合；解决有关的判定题，需从边、对角线两个方面进行判定.

■ （2011福建福州）已知，在矩形ABCD中，AB=4 cm，BC=8 cm，AC的垂直平分线EF分别交AD，BC于点E，F，垂足为O. 如图3，连结AF，CE，求证四边形AFCE为菱形.

■

篇10：平行四边形证明训练

1、如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE． 求证：（1）△AFD≌△CEB；（2）四边形ABCD是平行四边形．

2、如图所示，已知在平行四边形ABCD中，BE=DF求证：AE=CF．如图，在□ABCD中，E、F分别是BC、AD上的点，且AE∥CF，AE与CF相等吗？ 说明理由.4、如图，在□ABCD中，点E、F是对角线AC上两点，且AE=CF．

求证：∠EBF=∠FD

5．如图20—1—26，平行四边形ABCD中，AC是对角线，DF⊥AC于F，BE ⊥AC于E，连接BF、DE，你认为四边形BEDF是平行四边形吗?给出合理的解释．

6、如图，在□ABCD中，E、F、G、H分别是四条边上的点，且满足BE=DF,CG=AH,连接EF、GH。求证：EF与GH互相平分。

A

BEFD

7.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，BD⊥AD，求BC，CD及OB的长.8.如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，MN是过O点的直线，交BC于M，交AD于N，BM=2，AN=2.8，求BC的长.9.如图所示，已知ABCD的对角线交于O，过O作直线交AB、CD的反向延长线于E、F，求证：OE=OF.10.如图所示，在□ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E、F.那么OE与OF是否相等？为什么？

11、如图所示，ABCD中的对角线AC、BD相交于O，EF经过点O与AD延长线交于E，与CB延长线交于F。E求证：OE=OF

D

A

12.如图, ABCD 中,G是CD上一点,BG交AD延长线于E,AF=CG,DGE100.(1)求证：DF=BG;(2)求AFD的度数.D

AF

ECBG

CB13、如图，ABCD中，E、F分别为AD、BC的中点，AF与BE相交于G，DF与CE相交于H，连结EF、GH。求证：EF、GH互相平分。

AE

BF

14.如图，□ABCD O为D的对角线AC的中点，过点O作一条直线分别与AB、CD交于点M、N，•点E、F在直线MN上，且OE=OF．

（1）图中共有几对全等三角形，请把它们都写出来；

（2）求证：∠MAE=∠NCF．

15．如图12-1-8，△ABC中AB＝AC，点P在BC上任一点，PE∥AC，PF∥AB分别交AB，AC于E、F，试证明线段PE+PF=AB．

D

16如图12-1-14所示，已知中，E，F分别是AD，BC的中点，AF与EB交于G，CE与DF交于H，试说明四边形EGFH为平行四边形．

17．已知如图12-1-9，平行四边形ABCD中E，F分别是BC，AD边上的点，且BE＝DF，AC与EF交于点O．求证：

OE=OF

18如图，四边形ABCD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．

请判断四边形EFGH的形状？并说明为什么；

19如图，平行四边形ABCD，E、F两点在对角线BD上，且BE=DF，连接AE，EC，CF，FA．求证：四边形AECF是平行四边形．

20、如图，已知D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，DE交AC于点O，且OA=OC，猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系，并加以证明．

21．如图20—1—11，在平行四边形ABCD中，E、F是直线BD上的两点，且DE=BF，你认为AE=CF吗?试说明理由．

篇11：平行四边形的应用证明

1.如图，□ABCD中，AE、CF分别与直线DB 相交于E和F,且AE//CF, 求证：CE//AF.C

A

2..如图，□ABCD中，BM垂直AC于M,DN垂直AC于N, 求证：四边形BMDN是平行四边形。

C

A

3.如图，□ABCD中，点M、N是对角线AC上的点，且AM=CN,DE=BF,求证：四边形MFNE是平行四边形。

E

C

A

4.如图，AB、CD相交于点O,AC//DB,AO=BO,E、F分别为OC、OD的中点，连接AF、BE,求证：AF//BE.A

C

D

5.在四边形ABCD中，AB//CD,对角线AC、BD交于点O，EF过O交AB于E，交CD于F，且OE=OF，求证，ABCD是平行四边形。

D

B

6.如图，过□ABCD对角线的交点O作直线EF交AD、BC分别于E、F，又G、H分别为OB、OD的中点，求证：四边形EHFG为平行四边形。

AE

D

B

7.如图，在□ABCD中，E、F、G、H分别是四条边上的点，且满足BE=DF,CG=AH,连接EF、GH。求证：EF与GH互相平分。

AF

DB

E

8.如图，以△ABC的三条边为边向BC的同一侧作等边△ABP、等边△ACQ，等边△BCR，求证：四边形PAQR为平行四边形。

P

Q

9.如图所示，平行四边形ABCD中，BC=2AB，AF=AB=BE，且点E、F在直线AB上，求EOF的度数．C

F

A B

篇12：证明平行四边形是菱形

如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE。已知∠BAC=30?，EF⊥AB，垂足为F，连结DF。

求证：四边形ADFE是平行四边形。

设BC=a,则依题意可得：AB=2a,AC=√3a,

等边△ABE ,EF⊥AB=>AF=1/2AB=a,AE=2a,EF=√3a

∵∠DAF=∠DAC+∠CAB=60°+30°=90°,AD=AC=√3a,∴ DF=√(AD?+AF?)=2a

∴AE=DF=2a,EF=AD=√3a =>四边形ADFE是平行四边形

1两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义)2两组对边分别相等的四边形是平行四边形3一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4对角线互相平分的四边形是平行四边形5两组对角分别相等的四边形是平行四边形

1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形2、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形4、对角线互相平分的四边形是平行四边形

2

1.画个圆，里面画个矩形2.假设圆里面的是平行四边形3.因为对边平行，所以4个角相等4.平行四边四个角之和等于360，5.360除以4等于906.所以圆内平行四边形为矩形..

3判定(前提：在同一平面内)(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形;

(2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形; (3)两组对边分别平行的四边形是平行四边形; (4)两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 (5)两组对角分别相等的四边形为平行四边形 (注：仅以上五条为平行四边形的判定定理，并非所有真命题都为判定定理，希望各位读者不要随意更改。) (第五条对，如果对角相等，那么邻角之和的二倍等于360°，那么邻角之和等与180°，那么对边平行，(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)所以这个四边形是平行四边形) 编辑本段性质(矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形。) (1)平行四边形对边平行且相等。 (2)平行四边形两条对角线互相平分。 (3)平行四边形的对角相等，两邻角互补。 (4)连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。(推论) (5)平行四边形的面积等于底和高的积。(可视为矩形) (6)过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。 (7)对称中心是两对角线的交点。

平行四边形性质定义

(矩形(长方形)、菱形、正方形都是特殊的平行四边形。)

性质：

(1)如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等。

(简述为“平行四边形的两组对边分别相等”)

(2)如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等。

(简述为“平行四边形的两组对角分别相等”)

( 3)如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的邻角互补

(简述为“平行四边形的邻角互补”)

(4)夹在两条平行线间的平行的高相等。(平行线间的高距离处处相等)

(5)如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分。

(简述为“平行四边形的对角线互相平分”)

(6)连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。(推论)

(7)平行四边形的面积等于底和高的积。(可视为矩形).

(8)过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。

(9)平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点.

(10)平行四边形不是轴对称图形，但平行四边形是中心对称图形。矩形和菱形是轴对称图形。注：正方形，矩形以及菱形也是一种特殊的平行四边形，三者具有平行四边形的性质。

平行四边形性质判定

已知四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，因为AB=CD，AD=BC。所以四边形ABCD为平行四边形，又因为AB=BC。根据菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得平行四边形ABCD为菱形。所以四条边相等的四边形是菱形。

平行四边形ABCD中(如图)E为AB的中点，则AC和DE互相三等分，一般地，若E为AB上靠近A的n等分点，则AC和DE互相(n+1)等分。

平行四边形ABCD中，AC、BD是平行四边形ABCD的对角线，则各四边的平方和等于对角线的平方和。

平行四边形对角线把平行四边形面积分成四等份。

平行四边形中，两条在不同对边上的高所组成的夹角，较小的角等于平行四边形中较小的角，较大的角等于平行四边形中较大的角。

篇13：平行四边形证明

1 中点用于平行问题的证明

在立体几何的平行证明问题中若出现了中点的已知条件，这时我们应特别留意这一条件，因为它往往是解决本题的关键.在立体几何中若能利用好中点，平行问题的证明将会变得更具特征性，其遵循的原理即为若知一中点，即想办法找出另一个中点，那常常应注意能否应用三角形中位线、梯形中线等来证明线线平行，使之能利用中位线性质，从而得到两直线平行或平行四边形，进而可以证明线面平行的问题，从而达到证明线面的平行关系.

例1如图1，已知S是△ABC所在平面外一点，O是边AC的中点，点P是SA的中点，求证：SC∥平面BOP.

分析要证SC∥平面BOP，根据线面平行的判定定理，应证线线平行，即要证SC平行平面BOP内的一条直线.

证明因为P为AS中点，O为AS中点，所以PO为△ASC的中位线，所以PO∥SC，即SC∥PO.又SC平面BOP，PO平面BOP，所以SC∥平面BOP.

例2如图2，PA⊥平面AC，四边形ABCD是矩形，E，F分别是AB，PD的中点，求证：AF∥平面PCE.

分析要证明AF∥平面PCE，根据线面平行的判定定理，应证线线平行，即在平面PCE内找一条直线与AF平行.

证明取PC中点K，连结EK，FK.因为F为PD中点，在△PCD中，KF是△PCD的中位线，所以KF∥CD，KF=CD.

又E为AB中点，四边形ABCD是矩形，所以AE∥CD，AE=CD，所以KF瓛AE，四边形AEKF为平行四边形，AF∥EK.

又AF平面PCE，EK⊂平面PCE，所以AF∥平面PCE.

本例条件中已经告知E，F分别为AB，PD中点这一重要信息，这一重要信息如何用上呢?由于AB，PD为两条异面直线，不能直接将现有中点连接构成三角形中位线，所以需另觅中点，当再添加PC的中点K，就会使所求证的问题出现了例1中的应用三角形中位线的情况.在△PCD中即可应用中位线定理得到KF∥CD且KF=CD这一重要桥梁信息，进而可证得四边形AEKF为平行四边形，由平行四边形的性质可得到线线平行的结论.

例3如图3，在底面是菱形的四棱锥P-ABCE中，点E是PD的中点，求证：PB∥平面EAC.

分析要证明线面平行，很自然就会想着证明线线平行，而题中已知条件有点E是PD中点，若能出现第二个中点，即可以转化为前例中三角形中位线的问题，所证问题即可迎刃而解.

证明如图3，连结BD交AC于点O，连结EO.因为四边形ABCD为菱形，所以O为PD中点.又E是PD的中点，在△DPB中，EO是△DPB的中位线，所以EO∥PB.

又EO平面EAC，PB平面EAC，所以PB∥平面EAC.

本例通过连结BD交AC于点O，巧妙地构造出第二个中点，结合条件中的E是PD的中点，这就出现了三角形中两边中点问题，利用三角形中位线定理就可轻松地把问题解决.

2 中点用于垂直问题的证明

在立体几何的有关垂直问题的证明中，常见的是以证明线线垂直，线面垂直和面面垂直的题型为主，究其规律，该类垂直问题常由线线垂直证得线面垂直，由线面垂直进而证得面面垂直，这证明思路源于证明垂直问题的判定定理和垂直的定义.当题目中给出中点或在一个三角形中有两边相等时，利用好中点往往是解题的关键.

例4如图4，P是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面外的一点，P在平面ABC内的射影为BF的中点O，求证：PA⊥BF.

分析PA，BF为两条异面直线，要证明线线垂直，不能直接证得，唯有通过线面垂直证得线线垂直.即证明PA垂直BF所在的平面或证明BF垂直PA所在的平面来实现.

证明连结AO.因为AF=AB，O为BF的中点，所以AO⊥BF即BF⊥AO.

又O为P在平面ABC内的射影，所以PO⊥BF，即BF⊥PO.

又AO∩PO=O, AO, PO⊂平面PAO, 所以BF⊥平面PAO.

又PA⊂平面PAO，所以BF⊥PA，即PA⊥BF.

上例通过证明BF⊥平面PAO，进而证明了PA⊥BF，而这一证明过程中用了O为BF的中点，且AF与AB相等这一重要条件，而当连结AO时，由等腰三角形底边上的中线也为底边上的高这一结论可知有BF⊥AO，即得到了线线垂直.从而得到了证明本题的关键.

例5如图5，在三棱锥P-ABC中，AB=AC, PB=PC, 求证:PA⊥BC.

分析要证明PA⊥BC，即证明线线垂直，可证明PA垂直BC所在的平面或证明BC垂直PA所在的平面，本题有AB=AC，PB=PC两个等腰三角形，若能用好等腰三角形三线合一的性质便可使求证的问题得到解决.

证明取BC中点O，连结AO，PO.

因为AB=AC，PB=PC，O为BC中点，所以BC⊥AO，BC⊥PO.

又AO∩PO=O, AO, PO平面PAO, 所以BC⊥平面PAO.而PA平面PAO, 所以BC⊥PA, 即PA⊥BC.

本例关键是取BC的中点，由等腰三角形底边上的中点引出线线垂直，进而证得了线面垂直.

例6如图6，三棱锥P-ABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，PA=PB=PC，求证：AB⊥BC.

分析本题要证明的AB⊥BC是同一个平面内的两条直线，结合题中所给出的条件，想通过证明线面垂直来证明，这显然是走不通的，但它有条件PA=PB=PC，即它的突破点依旧是中点问题，这缘于有等腰三角形的出现.

证明如图6，取AC中点O，连结PO，BO.因为PA=PC，所以PO⊥AC.

又侧面PAC⊥底面ABC，PO⊥底面ABC，所以OB为PB在底面ABC的射影.

又PA=PB=PC，所以OA=OB=OC，即OB=AC.所以AC为直角三角形ABC的斜边，所以AB⊥BC.

要证明线线垂直，当两直线为共面直线，又无法用线面垂直进行证明时，应积极寻求其他的垂直证明依据，而出现有等腰三角形时，关注这个三角形底边上的中点常会使求证问题得到突破.

例7如图7，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD，E，F分别为CD，PB的中点，求证：EF⊥平面PAB.

分析欲证线面垂直，应证线线垂直，即证EF⊥平面PAB内的两条相交线.

证明如图7，取PA中点O，连结DO，FO.因为AD=PD，所以OD⊥PA.

又底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD.

又PD⊥底面ABCD，所以PD⊥AB，即AB⊥PD.

又PD∩AD=D，PD，AD平面PAD，所以AB⊥平面PAD.

又OD⊂平面PAD，所以AB⊥OD，即OD⊥AB.

又AB∩PA=A，AB，PA⊂平面PAB，所以OD⊥平面PAB.

又E，F分别为CD，PB的中点，所以ED

所以四边形EFOD为平行四边形，所以EF∥OD，所以EF⊥平面PAB.

本题是一道比较抽象的线面垂直证明题，从题中已知条件是无法直接证明EF⊥平面PAB，证明的突破口出现在等腰三角形PDA与已知条件中的E，F分别为CD，PB的中点的这两个条件上，总之还是由中点问题进行求证的突破，从而使求证得以证明.由此可见中点问题在立体几何证明问题应用中的重要性.

由于知识的不断深化，立体几何的证明问题将会有越来越多的变式题，但不论其如何变化，我们都可以通过对已知条件进行整理，最后回归到我们所常见的、基本的题型进行寻求解答.

参考文献

[1]王申怀.高中数学必修2 (A版) [M].北京:人民教育出版社, 2008.

[2]王林全.中学数学思想方法概论[M].广州:暨南大学出版社, 2003.

[3]陈德崇.中学数学教学论[M].广州:广东高等教育出版社, 1995.

[4]王金贵.怎样解题[M].北京:北京教育出版社, 2005.

[5]李玉琪.简明数学方法论[M].北京:科学技术文献出版社, 1994.

篇14：认识平行四边形

1.让学生经历讨论、探索平行四边形基本特征的过程，掌握它的基本特征，能正确判断平行四边形的底和高。

2.让学生在观察、操作、比较、判断等活动中，积累认识图形的经验，发展空间观念。

3.让学生感受图形与生活的联系，进一步发展“空间与图形”的学习兴趣。

【教学重、难点】探索平行四边形的特征

【教学过程】

一、创设情境，引入新课

谈话：你能指出每幅图中的平行四边形吗？

【设计意图：由学生熟悉的图画引入新课，激发学习兴趣，调动学习积极性。】

二、合作探索，学习新知

1.探索平行四邊形的特征

（1）感知平行四边形的特征

谈话：你能利用准备好的材料动手制作一个平行四边形吗？

汇报、交流、展示：说说你是怎么做平行四边形的？

（2）小组合作探究特征

谈话：如果把平行四边形画下来，怎么画？

提问：你是怎样画平行四边形的？

（3）小组汇报、交流

提问：你认为平行四边形有什么特点？

质疑：平行四边形是不是有这些特点？你能想办法验证吗？小组合作完成。

提问：验证后得到了什么结论？

（4）总结平行四边形的特点

提问：你能完整说说平行四边形有哪些特点吗？

【设计意图：引导学生经历操作、比较、观察、讨论、交流等活动，从中认识平行四边形，发现平行四边形的基本特征。】

2.认识平行四边形底和高

（1）独立尝试量出对边之间的距离

谈话：你能量出平行四边形对边之间的距离吗？

（2）集体汇报交流

提问：对边之间的距离是多少？你是怎样量的？

追问：在量对边之间的距离时，你认为要注意什么？

（3）明确底和高的概念

【设计意图：通过学生自主探索、动手实践，很方便得到了平行四边形底和高的概念。】

三、拓展应用，巩固新知

1.“试一试”

（1）出示题目，提出要求：量出它们各自的底和高。

（2）追问：如果把另一条边看做底，你还会测量出它的高吗？

2.“想想做做”第一题

让学生说一说哪些图形是平行四边形，并说明判断理由。

3.“想想做做”第二题

谈话：你能用两块完全一样的三角尺拼成一个平行四边形吗？4块呢？

4.“想想做做”第三题

（1）照样子拼出一个平行四边形，再要求移动其中的一块，将它改拼成长方形。

（2）提问：你认为把平行四边形改拼成长方形后，什么变了，什么没有变？

【设计意图：通过练习，使学生熟练掌握平行四边形的特征，能够正确画高。】

四、全课总结

提问：这节课你有哪些收获？

【设计意图：让学生说说自己的收获，可以让学生对学习过程进行反思，使学生学会学习，提高学习的能力。】

（作者单位 安徽省合肥师范附小三小）