钉子板上的多边形评课（精选8篇）
篇1：钉子板上的多边形评课
基地数学学科《钉子板上的多边形》教学设计
溧阳市平桥小学
潘红星
教学目标：
1.经历画图、填表、分析数据、探索规律的过程，让学生自主发现钉子板上的钉子数与面积之间的关系。
2.初步感悟通过固定某些变量的值来探求其余变量的变化规律的科学思维方法。3.培养学生获取由简单到复杂的探究问题的方法和经验。教学过程：
一、认识钉子板
同学们，大屏幕上的是什么？今天我们要学习与钉子板有关的数学知识，老师没有带钉子板，怎么办，有没有替代品。
讲述：钉子板上的多边形是用橡皮筋围的，今天我们就用画的形式表示好吗？
二、揭题
1.今天我们学习的数学内容是什么？ 生：钉子板上的多边形 师板书：钉子板上的多边形
师：你觉得我们今天会研究多边形的什么数学问题呢？ 生：面积、周长……
2.师：今天我们就学习多边形的面积，想一想，今天学习的多边形面积还可能和什么有关系？ 生：钉子板
师补充：钉子板上的钉子，你觉得会有什么样的关系呢？ 生：钉子越多，面积越大
师：这只是你的猜想，要想得到证明，我们还要进行操作是吗？ 师：我们从简单的图形学起 师：说一说上面图形的面积各是多少 说一说你是用什么方法的呢？
根据学生的回答板书：算 说一说你是用什么方法的 根据学生的回答板书：数
3.师提问：刚才我们说多边形的面积可能和什么有关系啊？ 生：钉子数
4.多媒体出示：多边形边上的钉子数 一起读一读，我们要数什么 5.一起和老师数，师点生数 6.你发现了什么？
生：钉子数÷2＝面积
…… 让3－4名学生说一说。
师：很难说，如果我们用字母表示就简单多了。
用s表示多边形的面积，用n表示多边形边上的钉子数你会表示吗？ 学生根据自己的理解得到S＝N÷2
三、引发矛盾
师：刚才我们的图上是不是还有4幅图形啊，我们一起来验证一下好吗？ 师：你有什么想要说的
师：现在我们从不同中找相同，回头再看看前面4幅图，你有什么发现？ 生：中间只有一枚钉子 师：点一点
师：你觉得刚才我们的这句话应该怎么说才更合适呢？ 生：当中间只有一枚钉子时，师：如果中间钉子数用字母ａ表示，这个公式应该怎么表示。
四、反思与小结
师：刚才我们研究了什么，你能不能用一句话说一说。生：多边形的面积等于多边形边上的钉子数除以2。
五、迁移研究
师：接下来，我们应该研究什么了，生：A＝2 师出示：两幅图，你还记得刚才的数据吗？说一说
师：现在拿出你的钉子板纸，在上面画一个中间有两枚钉子的多边形，并写出他的面积与边上的钉子数。生演示并汇报，师填写
师：你有什么发现，在小组里和大家说一说。指名说一说你的发现
师：刚才我们又研究了什么，你能不能用一句话说给大家听一听。研究A＝3 师：你觉得接下来我们要研究什么了。在你的钉子板上画一画，小组里完成表格。迁移知识：如果A＝4、5…..当A＝0的时候呢？
学生利用学习研究单分别研究出A＝2、3、4、5等多边形的面积与边上钉子数的关系。
师：象这样的研究我们还可以继续，如果你有兴趣的话，老师推荐你一本书有两个人。
出示两个关于这一数学现象研究的数学家。六：全课小结
这节课，我们一起研究了什么？能不能把你的发现和大家说一说。
篇2：钉子板上的多边形评课
教学目标：
1.经历画图、填表、分析数据、探索规律的过程，发现皮克公式。
2.初步感悟通过固定某些变量的值来探求其余变量的变化规律的科学思维方法。
3.获取由简单到复杂的探究问题的方法和经验。
4.能类比迁移探求问题的方法，尝试拓展研究同类新问题。教学重点：
发现、得出多边形的面积与边上钉子数和多边形中间钉子数之间的规律 教学难点：
类比推导出一般规律 教学准备：
作业纸，多媒体课件 教学过程：
一、激趣生疑，直观感知
1、呈现一个钉子板上的多边形
说明：每相邻的四个钉子构成一个正方形，边长是1，面积是1个面积单位。提问：这个图形有几个面积单位？你是怎么知道的？ 组织交流：（1）、面积公式计算；（2）、分割数方格
2、启发：你能再围一个面积和刚才不一样的多边形吗？在围过程中想一想多边形的面积可能跟什么有关呢？
学生动手围一围，同桌相互说一说怎样求出面积的。
3、追问：跟哪里的钉子数有关？
4、揭题：面积与钉子数之间是否存在一定的规律呢？我们这节课就来研究钉子板上的多边形面积与钉子数之间的关系。提问：想一想，我们可以怎样来研究？ 提出猜想——验证猜想——概括结论
二、简单入手，探究多边形内有一枚钉子的情况
1、个例发现，形成猜想
出示：一组钉子板上的多边形。提问：每个多边形各有多少个面积单位？边上的钉子数各有多少枚？先数一数、算一算，把结果填入表中，再和同桌说说你的发现。
生独立计数，完成表格 出示资源： 提问：（1）校对结果
（2）你有什么发现？
全班交流：（1）多边形边上的钉子数越多，面积越大
（2）多边形的面积等于多边形边上钉子数的一半
如果用S表示面积单位的个数，n表示多边形边上的钉子数，你能用字母表达式表示这一发现吗？动手写一写。
2、举例验证，明确前提
引导：由刚才这四个图形，有了这样的发现，这一发现是否也适用于钉子板上的其他图形呢？我们还要举例验证。
要求：在钉子板上画一些多边形，验证刚才的发现。并列呈现学生资源，引导观察。
（1）符合规律（2）不符合规律
提问：看来刚才的发现并不适合钉子板上的所有图形，到底怎样的图形才具有这样的规律呢？，它们有什么共同的特点？仔细观察，把你的发现说给同桌听听。
指名交流：多边形中间只有一枚钉子
3、归纳概括，形成结论
总结：看来要使这一发现成立，还要加个前提，谁能把这个规律完整的说一说？
同桌互相说一说，再指名交流。
当多边形里面只有1枚钉子时，多边形的面积等于多边形边上钉子数的一半。
如果把多边形里面的钉子数用a来表示，完善字母表达式。总结：看来钉子板上的多边形的面积不仅跟多边形边上的钉子数有关，还跟多边形里面的钉子数有关。
正因为面积和两个量都有关系，所以我们研究是时候先确定一个量（里面的钉子数）
三、运用结构，探究多边形内有多枚钉子的情况
1、探究形内有2枚钉子的情况
形内只有1枚钉子的情况已经研究了，往下我们应该研究？
当形内有2枚钉子时会有怎样的规律呢？同学们也像刚才那样画一些形内只有2枚钉子的多边形，老师这里也提供一些，算一算，数一数，多边形有几个面积单位？多边形边上的钉子数有几枚？把结果填入表中，再与同桌说说你的发现。
过程指导：也像刚才那样，把钉子数除以2，再跟面积进行比较。看看有什么规律。
如果用字母表达式来表示这一规律应该怎么写？ 学生独立探究，发现规律 个别交流：当多边形内有2枚钉子时，多边形的面积等于多边形边上的钉子数÷2＋1 同桌互说规律 学生独立完成
板书：当a=2时，S= n÷2＋1
2、推想形内有2枚以上钉子的情况
提问：比较这两个规律，你觉得a=3、4时会有怎样的规律? 如果你能直接推想出规律，那就写出你的猜想，然后举例验证，如果不能，那也像刚才那样先画出图形内有3枚钉子的多边形，再数一数、算一算，看看有什么规律。左边同学研究a=3的情况，右边同学研究a=4的情况。
分工合作，推想规律 个别交流规律
当a=3时，S=n÷2＋2 当a=4时，S=n÷2＋3
3、归纳推理，形成一般公式
像这样推想下去，当a=m时，s=？ 学生独立完成 个别交流：
当a=m时，s=n÷2＋m－1 同学们：今天我们通过对形内有1枚、2枚、3枚、4枚钉子数的的多边形的研究，发现多边形的面积单位个数与钉子数之间的关系，并归纳推理出一般公式，当a=m时，s=n÷2＋m－1，这一公式对于形内有5、6…甚至更多钉子时是否成立，我们还需举例验证，下节课我们就来验证这一规律。板书设计：
钉子板上的多边形
当多边形内只有1枚钉子时，多边形面积单位的个数等于多边形边上的钉子数÷2 当a=1时，S=n÷2
篇3：钉子板上的多边形评课
一、让学生在有趣而扎实的感知活动中明确学习目标
小学数学课堂活动应围绕明确的教学任务和目标展开。一节课要解决什么问题, 达成什么目标, 应该让学生在课堂学习的开始阶段就有明确的感知, 有了学习目标学生才能有的放失地投入到学习活动中, 学习效果才能更有效。教学中可以通过创设一定的教学情境, 提出一些数学问题和一系列学习任务, 让学生在情境中发现问题、在分析问题的过程中明确目标任务, 引起学生探究的兴趣和积极性。
1. 提 供 对 比 素 材 , 让 学 生 在观 察 活动 中 感 悟 学 习内容
教师出示下面一组钉子板上围成的多边形, 引导学生观察思考: 你觉得钉子板上围成的多边形的面积可能与什么有关系?
根据老师提供的学习素材, 学生可能会有三种体会:①面积与图形的底和高有关系;②面积与空格有关系;③面积与点有关系。在组织学生观察思考的过程中, 当学生说出第1种情况后教师要引导学生明白, 钉子板上围成的图形底和高的长短是由点之间的距离确定的, 我们研究的这些钉子板上的点之间的距离都是1厘米, 然后让学生数出底和高, 并用计算公式算出这两个图形的面积。当学生说出第2种情况时, 让学生观察钉子板上每格面积是多少? 体会钉子板上的图形面积还可以看它占几格, 占几格就是几平方厘米。当学生说出第3种情况时, 引导学生观察钉子板上围成的多边形, 看看每个多边形把钉子板上的钉子分成几部分, 体会多边形内的钉子、多边形外的钉子和边上的钉子, 再让学生数一数①②这两个多边形内有几个点, 边上有几个点。
2.动态呈现素材, 引导学生在对比活动中发现学习任务
继续观察①②两个多边形, 引导学生猜想, 这些多边形的面积可能与哪些钉子数有关? 让学生算出它们的面积, 体验并发现, 边上的钉子数多面积就大, 然后增加一个图形, 让学生对比第③个多边形与第②个多边形有什么相同和不同, 再算出第③个多边形的面积, 体会并发现当边上的钉子数一样多时, 多边形内的钉子数多面积就大。
分步、动态地呈现教学内容和学习素材, 引导学生抓住关键观察, 把握重点分析, 可打开学生思路, 能引发学生的思维, 有助于学生思考和解决数学问题。
3.创设认知冲突, 让学生在问题解决活动中明确学习目标
(1) 基本计算, 收集需要的数据。出示钉子板上围成的中间只有一个点的多边形。
引导学生先观察, 发现它们的共同点。让学生找出围成的多边形内都有一个钉子, 接着思考:它们边上的钉子数一样多吗?然后让学生自由计算出每个多边形的面积, 再汇报整理计算结果 (老师把每个多边形的面积记录在图形下面) , 在这个学习活动中还相机复习了基本图形的面积计算方法, 重点指导交流第⑥个多边形面积计算的方法, 帮助学生梳理出:钉子板上多边形的面积可用“面积计算公式”“数方格”和“转化成规则图形”等方法来获得。
(2) 设置冲突, 发现研究的关键。在上图中再出示第⑦个多边形, 让学生说说它的面积, 当学生用上面的基本方法无法快速解决时, 教师引导学生思考: 刚才大家就猜想过钉子板上的多边形的面积可能与多边形边上的钉子数有关系。那么, 它们之间有什么样的规律呢?我们来深入研究这方面的知识———揭示课题, 明确学习目标。
认知冲突是指认知主体已有认知结构与新知识或新情境之间不能包容。孔子曾说“不愤不启, 不悱不发”, 老师就应该在学生知与不知之间为学生的进一步学习活动启发点拨、解疑释难、铺路架桥。课堂上用学生已有的知识基础、活动经验和生活实际选择和呈现教学内容, 创设学生已识与未知之间的冲突, 引起学生对新知识的注意, 激发学生对新学内容的兴趣, 使学生产生自主探究的动机, 从而促使学生积极主动地投入到新知学习活动的全过程。
二、让学生在有效而丰富的探究活动中构建学习内容
1.扶———老师指导 下的自主 探究活动 , 引导学生发现多边形内有一个钉子的多边形的面积与边上钉子数的关系
(1) 填表、分析数据, 发现规律。让学生把上图中前4个多边形的面积和边上的钉子数填写在规律探究表1内。
我的发现是:多边形的面积是 () 钉子数的 () 。
然后教师引导学生观察, 找出两组数据之间的关系, 小组同学合作探究, 在小组内说说自己的发现, 找出规律“多边形的面积是边上钉子数的一半”, 师生合作, 写出公式:S=n÷2。
(2) 自由构图, 验证规律。你们发现的这个规律对不对呢? 我们可以验证一下, 请你在钉子板上围一个这样的多边形, 算一算, 数一数, 验证这个规律“S=n÷2”是不是正确的。
(3) 运用规律, 解决疑问。请你用这个规律算出第⑦个多边形的面积。
“从问题中来, 到问题中去”, 探索起源于疑问, 结论服务于问题的解决, 这个学习活动符合科学探究的规律, 符合知识形成的规律, 也符合学生的认知规律, 能让学生体会探索成功的乐趣, 强化学生的学习信心, 激发进一步探究的动力。
2.放 ——— 同 伴 合 作 的 自 主 探 究 活 动 , 学 生 独 立 研究多边形内有两个钉子的面积与边上钉子数的关系
(1) 创设矛盾, 再次产生疑问。先出示輥輯訛輥輰訛两个多边形。
请你用刚才发现的规律, 说出輥輯訛輥輰訛两个多边形的面积, 再用以前学过的面积计算公式算出它们的面积, 让学生发现刚才的规律不能用于这两个多边形, 引导学生辨析:为什么规律在这里又不适用了呢? 用课件动态出示⑧—⑩让学生观察对比两组图, 得出:S=n÷2是图内有1个钉子的规律, 结合板书形成完整的规律“当a=1时, S=n÷2”。
(2) 同伴合作, 共同研究。老师提出能激发学生思考的问题:“大家通过刚才的研究发现, 当a=1时, 钉子板上的多边形面积正好是边上钉子数的一半; 那么当a=2时, 多边形的面积又是什么呢? ”请每小组4名同学合作研究, 其中3人在钉子板上围一个多边形内有2个钉子的图形, 算出面积, 数数边上钉子数, 组长观察每一人的操作过程, 帮助他们核查, 然后把得到的数据报给组长填写在规律探究表2内, 共同研究, 发现规律。
我的发现是:多边形的面积是 () 钉子数的 () 。
(3) 展示交流, 师生共同研讨。让小组代表展示他们围成的图形和表中数据, 交流他们发现的规律, 师生共同总结得出:
当a=2时, S=n÷2+1。
(4) 验证规律。你发现的这个规律可以求钉子板上哪一类多边形的面积, 请你快速算出輥輯訛輥輰訛两个多边形的面积。
这个教学活动, 教师应充分相信学生的学习潜能, 完全放手让学生自己构图, 用自己创造的素材进行相关的研究, 把学生置于学习的主体地位, 增强他们自主探索的信心, 也增强新知获得的认同感, 并提高小组合作的效率。小组合作如何有效, 不是小组四名同伴重复做一样的事, 而是让每一位成员分工协作, 搜集不同的素材, 提供有用的数据, 然后汇总进行合作研究, 这也符合科学研究的方法。
3.引———大 胆猜 想 的 自 主 探索 活动 , 师生 共同 完善知识的整体建构
(1) 老师结合下面两个已知结论, 指导学生思考:
当a=1时, S=n÷2, 当a=2时, S=n÷2+1。
那么, 请你大胆猜一猜, 当a=3时, S=______ ;当a=4时, S=______ 。请男生猜想a=3的规律, 女生猜想a=4的规律, 然后把你们的猜想写在规律探究表3上, 再想办法验证自己的猜想。
我围成的多边形内有 ( ) 个钉子, 边上有 ( ) 个钉子。用猜想的规律算出的面积是S= ( ) ÷2+ ( ) , 用面积计算公式算:S=______ 。两次算的面积______ (相等, 不等) , 规律是______ (正确, 错误) 。
(2) 展示交流, 形成共同的认识。让男、女生代表分别展示自己围成的多边形、面积等相关数据, 分别得出:
当a=3时, S=n÷2+2;当a=4时, S=n÷2+3。
引导学生观察已经发现的4道公式, 接着追问:a=5呢? a=8呢? a=100呢?
最后思考:当a不确定时, 多边形的面积S等于什么?得出:S=n÷2+a-1。接着教师引导学生思考:“这些规律这样写显然有些复杂, 请你从中选一个简单地表示这个规律, 并说说它的意思。”
(3) 用公式解释前面的发现, 促进对知识的深入理解和整体把握。为什么当a=1时, S=n÷2, 其实就是当a=1时, S=n÷2+1-1=n÷2; 接着让学生推导当a=0时, S=n÷2=0-1=n÷2-1。
这一教学过程, 学生在老师的引导下, 通过猜想、讨论、整理探究成果、回顾学习过程, 对获得的知识进行总结与梳理。学生在猜想中模仿, 在模仿中应用, 在应用中认知, 不断推进和深化学习过程。
三、让学生在有效而实用的实践中提升数学素养
知识要在应用中才能得到巩固与深化, 技能要在应用中才能形成与熟练, 思想方法要在应用中才能得到理解和升华, 活动经验要在应用中才能得到积累与丰富, 思维水平要在应用中才能得到激发与提升。数学课堂教学既要重视学生数学知识的获得过程, 也要重视数学练习的训练过程, 让学生在练习中提高数学能力。
(1) 应用公式解决问题 , 出示不规则图形 , 算出它的面积。
本组练习只能用本节课学习的规律解决问题, 既巩固新知, 也让学生体会到新知的作用, 体验探索成功的价值, 品味学习的乐趣。
(2) 在点子图中画两个形状不同、面积相等的不规则图形, 让学生在实践中进一步积累实践经验、培养创造意识。
(3) 介绍皮克定理, 让学生体会自己在课堂上的研究与发现和数学家的伟大发现是如此相似, 激发学生数学学习的积极性和主动性。
(4) 介绍数学科普读物《格点和面积》, 引导学生课后深入学习。
学生的数学素养不仅包括数学知识、数学技能、数学思想方法、数学活动经验, 还应该包括数学史与文化等背景知识, 课堂上我们不但要让学生获得知识, 形成能力, 还应该结合教学内容有机地进行数学文化素养的渗透, 从而丰富学生的数学素养, 提升学生的数学思维水平。
这节课在设计与组织活动过程中始终不忘“我是谁”“依靠谁”和“为了谁”的理念, 努力提升课堂效率。
课堂教学中“我是谁”应从两个层面落实:一是教师层面, 教师是课堂教学的组织者、引导者、合作者。在课堂上, 教师要创造性地用好教材, 整合优化教学资源;在学生认知的关键点, 为学生提供丰富多彩而有价值的学习材料;在学生认知的疑惑处, 为学生指引点拨;在学生成功时, 给学生鼓励与表扬, 给学生学习不断地输送“助推剂”。二是学生层面, 学生才是学习的主人, 教师要引导学生全程参与学习, 在操作、思考、观察、实验、交流等活动中获得知识。
课堂教学“依靠谁”? 课堂教学的主人既然是学生, 学习过程中各种活动的设计就要考虑学生的情, 教学活动的组织与实施要依靠学生。本课教学中, 疑问让学生自己产生和提出, 问题让学生自己分析解决, 学习素材让学生自己收集, 数据让学生自己整理, 规律让学生自己发现、验证和理解, 小组活动让学生自己参与、自己分工、自己完成, 充分体现学生学习的主体地位。
篇4：《钉子板上的多边形》教学实录
苏教版义务教育教科书《数学》五年级上册第108～109页。
【教学目标】
1.让学生在操作、观察、猜测、验证等活动中，发现在钉子板上围出的多边形与它的边所经过的钉子数，以及多边形内部钉子数的关系，会用含有字母的式子表示发现的规律。
2.让学生在探索规律、发现规律和表达规律的过程中，进一步感受数学抽象的意义，培养比较、分析和简单推理的能力，增强发现问题、提出问题的意识，积累数学活动经验。
【教学重点】
探索钉子板上多边形的面积与多边形边上钉子数、内部钉子数之间的关系。
【教学难点】
综合和归纳多边形的面积与多边形上钉子数、内部钉子数之间的关系。
【教学准备】
学生准备钉子板、橡皮筋，教师准备课件、研究单等。
【教学过程】
一、引入问题，揭示课题
师：同学们，你们喜欢做游戏吗？（喜欢）今天的数学学习就让我们从游戏开始。
瞧，这是什么？（课件出示钉子板图）
生：钉子板。
师：用钉子板可以做什么呢？
生：可以在钉子板上围图形。
师：好，现在请大家在自己的钉子板上围出一个自己喜欢的多边形。（学生自主围一围）谁来给我们展示一下：你围出的是什么样的多边形？
生1：我围出的是个直角三角形。
师：如果相邻的两个钉子之间的距离是1 cm，你能算出：围出的这个多边形的面积是多少吗？
生1：根据三角形的面积公式算出它的面积是4 cm2。
师：请你再数一数：你围出的这个多边形的边上有多少枚钉子？
生1：8枚。
师：谁能像这样完整地说一说？好，请你来。
生2：我围出的是个直角梯形，它的面积是6 cm2，边上有10枚钉子。
……
小结：刚才，同学们都各自围出了一个多边形，从刚才三位同学的汇报中，我们发现：他们围出的图形各不相同，它们的面积和所围出多边形边上的钉子数也不同。多边形的面积似乎与它边上的钉子数存在着一定的关系，那么，到底有着怎样的关系呢？今天这节课，我们就一起来研究《钉子板上的多边形》（板书课题）。
二、分层探索，发现规律
（一）引导尝试，初步感知
1.出示下图，引导学生观察
师：刚才看到同学们在钉子板上都围出了自己喜欢的多边形，我也忍不住动手围出了几个多边形，并把它们拍了下来。（课件出示图形）
师：请你们帮我看看：这些多边形的面积各是多少平方厘米？每个多边形边上的钉子各有多少枚？先数一数、算一算，再与同学说说你的想法。（生数、算、说，师巡视。）
2.汇报交流，完成表格
师：有想法了吗？它们的面积分别是多少呢？（指名说，随着学生的回答，完成表格。）现在我们一起来数一数每个多边形边上的钉子数分别有多少枚？（学生随着课件动态闪烁一起数）
3.观察数据，比较发现
师：请同学们仔细观察这张表格，你们能发现什么？把你的发现先和你的同桌说一说。（同桌互说）
师：谁愿意和大家分享一下你的发现？（指名说）
生1：我发现多边形边上的钉子数是多边形的面积的2倍。
师：嗯，请坐。你说。
生2：我发现多边形的面积是多边形边上钉子数的一半。
师：是吗？请你说。
生3：我也发现多边形的面积是多边形边上钉子数的一半，我还发现这些多边形有个共同的地方：多边形里面都有一枚钉子。
师：说得真好，请大家把掌声送给他……
师：好，谁来说说你的想法？（指名说）随着学生的回答，板书：a=1，S=n÷2。
小结：刚才，同学们通过观察、填表、分析数据，找出了多边形内有1枚钉子时，多边形的面积与钉子数的关系。真的很了不起！
（二）深入探究，寻找规律
1.提出问题，引发思考
师：请你们想一想：如果多边形内有2枚钉子时，多边形的面积与多边形边上的钉子数又有着什么关系呢？请大家分组合作探究。
2.小组合作，探究规律。
（1）课件出示合作要求，并指名一学生读一读。
（2）分组探究，师行间巡视。
3.汇报交流，发现规律。
得出结论：a=2，S=n÷2+1。
师：同学们，真的很棒！大家在组长的带领下通力合作、自主探究，发现了规律。让我们把掌声送给自己，祝贺我们了不起的发现！
（三）引导猜想，概括规律
1.引发猜想
师：通过刚才的研究，我们发现：当多边形内钉子数a=1，S=n÷2；a=2，S=n÷2+1。请你们联系这里的规律猜一猜：如果多边形内有3枚钉子时，它的面积与多边形边上的钉子数又有怎样的关系呢？先把你的想法和你的同桌说一说。
……
2.画图验证
3.汇报交流
师：通过举例验证，我们发现：当多边形内有3枚钉子时，多边形的面积S=n÷2+2。（擦去板书中的“？”）
4.得出结论
师：同学们，请大家观察黑板上的关系式，你们能发现什么？如果a=4，面积与钉子数会是什么关系？a=5呢？当a=m呢？（指名说）随着学生的回答，完成板书：S=n÷2+m-1。
仔细观察黑板上的这些关系式，你们能发现什么？你能用一个表达式概括出钉子板上多边形的面积与钉子数的关系吗？（指名说）板书：S=n÷2+a-1。同学们，很聪明！……课后，请大家画图验证规律。
5.拓展延伸
师：其实，我们今天研究的规律是历史上著名的“格点面积”：我国数学家闵嗣鹤曾写过这方面的一本著作叫做《格点和面积》，也是数学史上著名的皮克定理，有兴趣的、想进一步了解的同学可以上网查找相关资料阅读。
三、总结回顾，交流体会
师：回顾刚才探索和发现规律的过程，你有什么体会和收获？（指名说）
小结：在数学学习活动中，我们体验到了“数学好玩”，在今后的学习中，希望大家能“玩好数学”。
篇5：钉子板上的多边形 教学设计
教学内容：五年级上册p108-109探索规律“钉子板上的多边形” 教学目标：
1、使学生探索并发现钉子板上围城的多边形的面积，与围城的多边形边上的钉子 数、多边形内部钉子数之间的关系，并尝试用字母式子表示关系。
2、使学生经历探索钉子板上围城的多边形面积与相关钉子数间的关系的过程，体 会规律的复杂性和全面性，体会归纳思维，体会用字母表示关系的简洁性，发展 观察、比较、推理、综合和抽象、概括等思维能力。
3、使学生获得探索规律成功的体验，树立学习数学的自信心，感受数学规律的奇 妙，对数学产生好奇心，提高学习数学的兴趣和积极性。
教学重点：探索钉子板上多边形的面积与多边形边上钉子数、内部钉子数之间的关系 教学难点：综合、归纳多边形的面积与多边形边上钉子数、内部钉子数之间的关系 教学过程：
课前活动:每个小组里发一个钉子板实物。并激发他们在钉子板上围多边形。玩出精彩！有一位数学家就在小小的钉子板上玩出了精彩。皮克定理是世界上的最重要的100个数学定理之一。今天我们也走进钉子板的世界去看一看。
一：创设情境，引出问题
今天我们研究————钉子板上的多边形（出示课题）
师：为了研究的方便，我们通常用这样的点阵图代替钉子板。每相邻两个钉子之间的距离都是1cm，相邻4个点围成一个面积是1cm²。你们看现在点阵图上的点子可以怎么分分类？
边上的钉子，图形内的钉子、图形外的钉子
出示课件：钉子板上的多边形，共3个不同的多边形。问题1：你想研究钉子板上的多边形的哪些项目呢？
生：多边形的面积、面积的大小和什么有关？······
问题2：你猜想下，钉子板上的多边形的面积会有什么因素有关？
生：钉子数、多边形边上的钉子数、多边形内的钉子数······
师小结：这些多边形的面积是否和以上的各个因素有关呢？下面我们就来研究下这些图形。
二：自主研究，得出猜想
问题1：你想怎样研究？
生：画图、计算、数······
师：很好，下面我们就来研究影响多边形面积的因素，我们从最简单的一组图形开始。
研究1：独立完成“钉子板上的多边形”研究单1
1、学生通过算一算、数一数，完成研究单1；
2、师展示学生的研究单，说一说你的研究过程；——学生自己介绍表格中数据的由来。
3、观察分析表格中的数据，你有什么发现？
——同桌互相说一说
——个别的汇报
4、通常我们用S表示面积，n表示多边形边上的钉子数，你能用一个式子表示上面得到的关系吗？
——S=n÷2
小结：根据学生的研究和汇报，初步得出多边形的面积等于多边形边上的钉子数除以2.三、质疑验证，归纳结论
S=n÷2这个规律是否对钉子板上所有的多边形都成立呢？应该怎么办？————验证
1、完成研究单1上面的第二题的①②两个，并填表。
2、出示课件上⑦⑧两个图形，再次验证。
3、通过两次的验证，你有什么发现？——发现S=n÷2在其它的多边形中不成立。
4、思考：为什么呢？
引导学生再次观察①②③④四个图形，你有什么发现？同桌互相说一说，再个 别发表看法。————得出：①②③④四个多边形内部都只有一个点。
5、再次验证：每位学生再提供的备用点子图上画一个内部只有一个点的多边形，计算并观察多边形的面积和边上的钉子数是否符合S=n÷2？
6、谁能完整的把刚才的规律说一说？
小结：多边形的面积不仅仅和边上的钉子数有关，还和多边形内的钉子数有关。多边形内的钉子数用a表示，上面的规律可以归纳为：
当a=1时，S=n÷2 数学中的一些美丽定理具有这样的特性：它们极易从事实中归纳出来，但证明却隐藏的极深。----高斯
四、合作探究，得出规律
引入：多边形内有一枚钉子的情况，同学们已经研究过了，而且找出了一般规律，那下面你们想研究什么呢？——————多边形内有2枚钉子的时候，面积和钉子数的关系。
合作交流,完成研究单1的第二题。
1、首先独立画一个内部两个点的多边形，得出S和n；
2、同桌交流，完善表格。
3、观察表格中的S与n的 值，再互相说一说，你有什么发现？
4、个别同学汇报发现，其他同学根据自己的图形验证发现是否正确。
小结：多边形的面积不仅仅和边上的钉子数有关，还和多边形内的钉子数有关。多边形内的钉子数用a表示，上面的规律可以归纳为：
当a=2时，S=n÷2+1
五、推想、验证，得出规律
引入：当a=1时，S=n÷2 当a=2时，S=n÷2+1 猜想：当a=3、4、5······时，S与n之间有什么关系呢？
学生猜想：当a=3时，S=n÷2+2 当a=4时，S=n÷2+3 学生验证：分组研究，分成4人小组
1、组内确定研究主题：a=3或者a=4.2、三人每人分别画一个，并且得出S与n的值，第四个人汇总并汇报小组的研究成果。
3、观察比较分析，研究的结果和猜想的结论是否一致？
小 结： 根据刚才同学们的研究，我们得到了这些规律
当a=1时，S=n÷2 当a=2时，S=n÷2+1 当a=3时，S=n÷2+2 当a=4时，S=n÷2+3
请你说一说
当a=5时，S=
······
当a=10时，S=
·······
问题：你能用一个含有S、n、a的式子概括出以上所有的规律吗？
——————
S=n÷2+a-1
六：拓展研究，形成体系
出示：钉子板上的多边形实物图形，观察这些多边形有什么特点？
——内部的钉子数为0.即a=0
问题：当a=0时，上面的规律还成立吗？你是怎么想的？说一说你的想法和结论。
七：总结收获，形成方法。
说明：我们今天研究的规律，就是数学上著名的皮克定理（适当介绍）。有兴趣的同学，可以在网络上或书籍里了解皮克定理。如果有进一步认识的要求，那记住这本书：闵酮鹤的著作《格点和面积》，以后有兴趣、有条件了，可以去阅读。
回顾过程，交流体会。
提问：回顾刚才探索和发现规律的过程，你有什么体会和收获？ 追问：还有什么疑问吗？
篇6：钉子板上的多边形评课
------连云港市院前小学 李吉爱
教学内容：义务教育教科书数学五年级上册第108-109页。教学目标：
1．探索并初步发现钉子板上多边形内有1、2、3枚以以上钉子的多边形的面积与多边形边上的钉子数之间的关系，激发进一步探索钉子板上的多边形面积与钉子数关系的兴趣。
2．经历探索过程，积累探索经验，体验成功乐趣。
3．通过小组合作，类比迁移探索问题的方法，尝试探索研究同类问题。教学重点：
探索钉子板上的多边形面积与边上钉子数和中间钉子数之间的规律。教学难点：在有限的课堂时间内进行类比推导，得出一般规律。教具准备：钉子板、钉子板套管（橡皮泥替代）、板贴、多媒体课件。学具准备：钉子板、作业纸等 教学过程：
课前交流对话：（预设3分钟）
主要围绕“会观察、敢猜想”这两个关键词。
1.孩子们，认识老师吗？老师姓啥名啥？你是怎么知道的？（在学生猜想后点击课件全部显示）只显示一半你就能猜出来，你属牛的吧！你太牛了！可见你善于观察，敢于猜想（磁板分别贴出善于观察、敢于猜想），这两点是我们学习数学时，很优秀的品质。
2.你知道今天将要学习什么知识吗？（在学生回答后点击课件出示课题）你是怎么知道的？看来咱们班会观察，敢猜想的同学真不少！
老师希望这节课中能看到更多的同学具有这种品质！准备好了吗？下面我们开始上课！
一、激趣生疑，直观感知（预设：3分钟）
1.复习学过的平面图形的面积，引出一道稍难的问题，埋下伏笔，引出课题。a.过渡引入：我们学过好多平面图形，老师考考你，谁能在20秒之内答出它的面积是多少吗？（点击课件出示例题中平行四边形的那道题）
b.看来这种题目难不倒大家！老师再出一道，考考你！（点击出示在20秒后，点击课件消失，问：怎么没有刚才那么迅速呢？），预设：学生会说出关于“割补”的字眼。教师板书“割补拼接”二字。教师用课件配合进行点拨。（揭示答案17.5平方厘米）
c.过渡：老师想告诉你，只要你用心上完这节课，保你在20秒之内就能解答出来！你们想学习这个绝招吗？（想）
告诉你吧，解决这个难题的奥妙就藏在这个小小的钉子板中。（磁板贴出课题：钉子板上的多边形），学生齐读。
二、学习新课，建构知识（预设33分钟）
1.呈现一个钉子板围成的多边形-----简化成点子图。（预设：2分钟）a.师：为了便于研究，我们把钉子板上的多边形简化在点子图上。（课件显示）我们约定钉子板上以及点子图上的每相邻两个点之间的距离都是1厘米。（显示1cm）
b.请问这四枚钉子围成的多边形，它的面积是多少平方厘米？
c.这八枚钉子围成的多边形呢？你是怎么知道的？（求出来的，还可以数出来。我们数数看，小结：这种规则的多边形用“数”的办法更实用）d.观察比较：这两个图形有什么不同之处呢？
预设：边长不同，面积不相等；边上的钉子枚数也不相同；里面钉子个数不同； 边上的钉子枚数越多，围成的图形的面积就越大。如果学生说不出“边上钉子数” 这点，点击课件，友情提示。
2.探究多边形内有1枚钉子的规律。（10分钟）（1）个例发现，形成猜想。
a.过渡：看来一个图形的面积与这个图形边上的钉子数密切有关。（在表述的同时进行板贴：“多边形的面积”“边上的钉子数”）它们之间到底有着怎样的联系呢？
b.我们先来观察这几个图形。带着学生一起数一数1号图形的边上有几枚钉子？面积是多少呢？4号图形我们刚才就已经知道了它的面积，它边上的钉子数是几呢？（在学生回答后，点击课件显示）
c.出示探究表格，让学生仿照老师的样子独立完成剩下的2个图形吗？ d.全班集体交流。
指名学生回答，教师即时点击课件显示。在反馈3号图形时，稍加突出，追问：这个图形的面积是多少？你是怎么想的？还可以怎么想？教师小结：在核算面积时，巧妙的“割补拼接”是个好方法。
填写完成后，让学生仔细观察表格，你有什么发现？
预设:学生回答出“多边形面积平方厘米数乘以2等于边上钉子的数量”；教师就追问：倒过来怎么说呢？（多边形边上的钉子数的一半，等于多边形面积的平方厘米数）用数量关系式表达出来就是-----。在学生答道点子上后，即时整理板书，补充“=”、“÷2”。
评价：宝贝们，你们太了不起了，异中求同，找到了规律！（板贴：异中求同）（2）举例验证，再生疑惑。
过度：不过我们发现的这个规律，到目前为止只能算是一个“猜测”，只有经得住“验证”（板贴勤于验证），才能称作规律。下面我们找个多边形验证一下，好吗？
课件出示：一个底4厘米，高2厘米的三角形。
师：让学生一起数边上的钉子数（8枚），按照刚才的发现，这个图形的面积就应该是?(8的一半，等于4平方厘米)，用原先底×高÷2的方法，谁帮老师算一下？（4×2÷2=4），完全符合！
师：老师这儿还有一个边上是8枚钉子的图形（点击课件），它的面积是？（预设大多数学生上当会说是4）
师：追问：同意吗？教师课件点拨---这儿光整格子就已经是4平方厘米了，何况还多了一个三角形呢！怎么回事呢？（3）归纳概括，形成结论。
师：我们暂且不看这个图形，先比较一下这几个符合规律的有什么共同点？（内部钉子只有一枚）
师：看样多边形的面积不仅和边上的钉子数有关，还和内部的钉子数有关系！因而我们的这个发现，必须要加上一个条件，才能正确！附加什么条件呢？（在学生表述后，贴上板贴：“内部钉子数1枚”；在贴上板贴时，教师故意贴不下，用 3
字母表示的需求由此而生。）
师：这么多字，都贴不下了，有办法让这句话简洁一些吗？（用字母表示）我们在表示面积时一般用s表示，多边形边上的钉子数用n表示，（在对应的位置板书“s”、和“n”）那么这个规律可以写成-----s=n÷2。
小结回顾：回顾刚才我们在探索规律的过程，我们先是仔细观察，然后异中求同，提出猜想，最后通过验证，终于找到了这样的一条规律：（指着板书）当多边形内部钉子数1枚时，-----提示学生齐读“多边形的面积=边上钉子数÷2”，也就是s=n÷2。
3.探究多边形内有2枚钉子的情况。（预设10分钟）
过渡：老师有个疑问：（对着课件）这种内部有2枚钉子的多边形，会不会也有类似的规律呢？我们能继续探究吗？（能）
（1）出示探究要求。请看活动要求，师 简单解读活动要求，宣布活动开始。（2）学生小组合作，完成探究活动
（二），教师巡视，选取完成迅速的且具有典型性的2个小组作品，贴在黑板上。同时让学生代表用钉子板套管（或者橡皮泥）在内部钉子上做标记，并到电脑上输入相应的数据。（3）班级反馈。
教师带着全班同学先检查内部钉子数是否符合要求。
（宝贝们，完成的小组向老师示意一下。不好意思，因为时间有限，所以不能让你们尽情的玩了。没有完成的小组，也停下来，好吗？我们一起来检查一下这几个小组围成的图形内部有几枚钉子）
然后指名其中一个小组代表表述发现的规律。（这是哪个小组的？能说说你们的发现吗？）
教师随机板书： 当内部钉子数2枚 s=n÷2+1。
课件中其它输入的数据，仅当作验证规律使用。(这是哪一组的数据，你们同意刚才的发现吗？我们一起来验证一下)预设：如果出现s=（n+2）÷2这种情况，可以把÷2转化为×0.5，用乘法分配率处理。
4.探究多边形内有3枚以及更多钉子的情况。（预设10分钟）（1）推想多边形内部有3枚以及3枚以上钉子的规律。
过度：（对着板书）你们太了不起来，如此迅速的从不同的多边形中找到了两条规律。这两个规律，看起来有些不同，但又有所相同。如果多边形内部有3枚钉子，你猜猜会有怎样的变化？（学生表述后，教师板书“3”、“s=n÷2+2”）4枚呢？（教师板书“4”、“s=n÷2+3”）5枚呢？（教师板书“5”、“s=n÷2+4”）6枚呢？7枚呢？8枚呢？ 20枚呢？a枚呢？
师追问：后面加上的数有什么规律？（在学生回答到“后面加的数比内部的钉子数少1”，板贴：内部钉子数－1）（2）出示验证要求，完成探究活动
（三）a.过度：你们太棒了，特别善于观察，敢于猜测！但是这些猜测现在要打上一个“？”，因为只用通过验证，才能完全成立！时间关系，我们分组行动吧！请你们小组合作，从中选择一条加以验证。
b．活动前稍加指导：（出示课件）如果你们小组想验证“内部钉子数3枚”，这儿就填上3，如果你们小组想验证“内部钉子数4枚”，这儿就填上4，这儿要填写刚才相应的推测！明白了吗？活动开始吧！c.学生活动，教师巡视。
d．集体交流。现在我们来汇报一下你们的验证结果！哪组先说？请你们组的一位同学把你们围成的图形举起来，给大家看一下，哪位代表发言？还有哪个组和他们组一样，也是验证这种类型的？你们和他们的结论一致吗？ 你们组是验证那一条？能说说吗？ e．得出结论：
师：经过大家的努力，我们现在可以确定这些猜想都是成立的。这么多的规律归结成一句话就是----多边形的面积=边上钉子数÷2+内部钉子数-1，用字母表示就是s=n÷2+a-1，这里的a可以表示许多数。
老师有个疑问：这里的a可以是0吗？（预设：不能|能）
教师点拨：（点击课件）出示四根钉子围成的一个正方形，我们把它放大一下（课件显示放大后的图形）带着学生一起核算。板书（0 s=n÷2+0-1，并随机改成s=n÷2-1）
三、课堂总结（预设3分钟）
1.简介皮克定理
师：孩子们，今天我们一起探索发现了---多边形的面积等于边上钉子数除以2，加上内部钉子数减一这个规律。实际上这和伟大的科学家皮克发现的“皮克定理”是一致的：（课件展示）皮克在1899年发现：给定顶点坐标均是整点（或正方形格点）的简单多边形，其面积S与内部格点数a、边上格点数n的关系：S=n÷2 + a-1。
2.照应课前的问题。课件出示课前谈话中的难题，并告诉学生边上钉子数与内部钉子数，让学生快速计算。3.回顾反思：
师：同学们谢谢你们的精彩合作！回顾我们探索和发现规律的过程，得出这个结论固然重要，但我觉得更重要的是整个过程中的体会，你想说说吗？（预设，学生不说，出现冷场，这样应对：老师估计你们会说，却不敢说，三个人是条龙，一个人变成“虫”！
这样吧，老师送你一个“李悟”吧，注意此“李悟”非“礼”物但胜似“礼物”-----那是什么礼物呢？（点击课件出示）“一切推理猜想都必须从观察与验证得来。---李界”
四、课外拓展：推荐一本书《格点与面积》
今天我们学习的这个只是到初中大家还要深入学习，有兴趣的同学可以阅读这本书《格点与面积》。在这本书中提及了这种横竖不相等的格点，有兴趣的同学自己探究一下。
板书设计：
板书设计
钉子板上的多边形
教师随机运用区
割补拼接
学生钉子板粘贴区
善于观察
异中求同
多边形的面积 = 内部钉子数1枚:
s = 2:
s = 3: s = 4: s = 5: s = 6: s = a: s = 0:
s
=
敢于猜想 边上钉子数 n n n n n n n n
勤于验证 2
+内部钉子数-1 2 2 +1 2 +2 2 +3 2 +4 2 +5 2 +a-1 2
+0-1
篇7：钉子板上的多边形评课
看到题目，大家会认为多边形会有什么秘密呢?多边形只看上去只是普通的图形，但是在钉子板上的多边形有着巨大的秘密，会是什么呢?
这个还联系到一堂数学课。课前，老师说数学要追求完美简洁，不得有一丝马虎。全部符合的几幅图，他们的内部都不是一枚钉子。上课后，同学们便认真了起来。老师带大屏幕上亮出四个多边形。多边形的面积和多边形边上钉子数之间到底有没有关系?又有怎样的关系呢?在老师的引导下，大家把相关数据填在了作业纸上，发现:多边形的面积是多边形边上的钉子数的一半。老师又说到：“如果用s表示多边形的面积，表示多边形边上的钉子数，那么这个规律可以怎么表示呢?”这是同学们异口同声说道：“s=n÷2。”大家在发现这个规律后都欣喜若狂，是否任意的多边形都存在这样的关系呢?大家接着在作业纸上画图验证，但奇怪的是，有人最后的结论符合刚才的发现，而有人最后的结论却不符合，是不是多边形的面积还与别的什么有关呢?在老师的引导下，大家的目光又回到了刚开始的四个图形上。小刚高兴地说：“哦，老师我知道了。”小刚举起自己的手，老师让小刚来回答，小刚说：“我发现这四个多边形内都只有一枚钉子。”老师在让我们观察符合发现规律的几幅图，果然他们的内部都只有一枚钉子，而不符合的几幅图，他们的内部都不是一枚钉子。原来多边形的面积不仅和多边形边上的钉子数有关，还与多边形内的钉子数有关。如果用a表示多边形内的钉子数的话，也就是说：a=1时，S=n÷2。
老师并不让整节课的探究止步于此，老师又说到：“如果多边形内有两枚钉子，多边形的面积和多边形边上的钉子数是不是也存在着一定的规律呢?”
同学们议论纷纷：“怎么解决这个问题呢!”“可以先画图。”“画的图需要符合什么条件呢!”“是的，那画完图呢?”“算出多边形的`面积并数出多边形边上的钉子数。”“很好，那有了这些数据之后呢?”“观察这些数据，想一想多边形的面积和多边形边上的钉子数之间有什么关系呢?”
按照这样的要求，大家在合作研究之后发现了：a=2时，S=n÷2+1。
当大家得出：a=1时，S=n÷2和a=2时，S=n÷2+1后，似乎感觉到了它们之间的联系。在老师的指引下，大家提出了猜想：a=3时，S=n÷2+2;a=4时，S=n÷2+3。有了前面的经验，接下来的探究难不倒大家，按照“画、算或数、想。”这样的步骤进行验证后，大家得到了结论：猜想是正确的。就这样，我们经历了“提出猜想，举例验证，得处结论”的过程。
从a=1到a=4，大家的认识不断深入，发现不断完善。大家又对a=5、a=6及a=0等的情况都提出了猜想。
篇8：钉子板上的多边形评课
苏教版五年级上册“用字母表示数”单元后有一节综合实践活动课“钉子板上的多边形”。
当学生通过教师所举的多边形内只有一个钉子的例子, 发现“多边形的面积是多边形边上钉子数的一半”之后, 教师启发道:“这句话怎么表示可以更简洁?”
学生面面相觑。教师提示学生可以用字母表示数、用字母式表示数量关系, 板书a=1, S=n÷2。然后, 教师让学生自己举例验证。
展示几个学生的例子后, 教师准备总结:同学们, 你们举的例子也都符合结论吧?……
生1 (举手) :老师, 我的不符合结论。
师 (感到突然, 也感到奇怪) :哦?不符合?!
生1作业纸的点子图上徒手画了这样一个圆 (如下图) :圆的边上钉子数是4, 代入S=n÷2算出的面积是2, 但我用割补法发现实际面积应该比2大。
师 (略有迟疑) :同学们, 你们对这个反例有什么看法?
生2:二年级的时候, 我们已经知道钉子板上是围不出圆的。
生1 (不服) :但可以画出来啊。
生2感觉自己的理由不充分, 坐下继续思考。
师 (欣喜地表扬生2) :是啊!钉子板上是围不出圆的, 所以这个反例不符合要求, 结果自然不符合结论。现在, 我宣布刚才的结论正确。
课终, 教师让学生回想刚才的学习过程, 板书“猜想—验证—结论”, 总结了找规律的方法。
“问”:病历记录
课后, 笔者与执教者进行了这样一番交流——
笔者:课中生2的反对意见“钉子板上是围不出圆的”, 可以成为反对生1提出的反例的理由吗?
执教者:不可以么?钉子板上确实围不出圆的啊。
笔者:你有没有发觉生1并不服气?
执教者:嗯。
笔者:他的申辩“但可以画出来啊”是否有道理呢?
执教者 (反问) :有道理吗?画出来不等于围出来。
笔者:你知道皮克公式么?
执教者:不知道。
笔者换了一个话题——
笔者:圆是多边形吗?
执教者:……
“切”:病理诊治
“钉子板上的多边形”属于规律探索类课型, 是苏教版教材修订后新放入的内容。教材依次呈现多边形内有1个钉子、2个钉子的图形, 引导学生通过数一数、算一算等方法发现多边形面积与边上钉子数之间的关系, 在此基础上, 探索、推导多边形内有3个、4个等更多钉子的情况, 最后得出一般结论。
苏教版教材原来单独设置“找规律”单元, 新教材则分解后融入相关教学之中。在教学“找规律”知识时, 教材提出重在“找”, 所以这一综合实践活动教学的价值取向不在于“获得的结论是什么”, 而重在“你是怎么获得结论的”, 让学生经历规律探索的一般过程与方法, 积累数学活动经验, 培养学生善于发现的眼光、科学严谨的态度、归纳概括的能力。
不过, 我们需要注意的是, 这节课的“找规律”是五年级的内容, 学生在之前的学习中, 已经经历过了专门的“找规律”的直接教学, 如“周期规律”“搭配规律”等。除了这些抬头写着“找规律”标识的专门教学, 很多探究性的教学内容其实也是在“找规律”, 例如代数领域的“商不变性质”“运算律”等, 几何领域的“三角形的三边关系”“三角形的内角和”等, 只是这种内容的教学重点不只在“找规律”, 还须在“用规律”。可以说, “找规律”作为一条路径或一个环节, 隐身在许多教学内容中。但如果教师在教学这些内容的时候, 都能够把它们看作“找规律”知识, 并按照“找规律”教学的一般规律来设计, 那么学生到五年级本节课教学的时候, 已经相当熟悉找规律的方法流程和技术手段, 足以实现知识上和学法上的正迁移。
然而, 从这节课“课终, 教师让学生回想刚才的学习过程, 板书‘猜想—验证—结论’, 总结了找规律的方法”来看, 要么教师的潜意识中还把这节课当作找规律知识的“独生子女”, 无视知识的血脉联系, 要么不肯放手让学生自己设计找规律的探究程序, 无视学生的能动作用。也就是说, 如果教师“眼中有过去”“眼中有学生”, 那么他会在课的一开始就让学生回想过去, 让学生循着一般流程和一般方法去找规律, 而不会把它作为新玩意儿在课终让学生去总结。
学生在以往的“找规律”学习中, 除了知道找规律的一般流程, 还知道找规律的一般方法, 遵循由易到难、由点到面、由表到里的思路向更远处迈进、向更深处挺进。这也就告诉我们, 在找规律的时候, 学生自己会从最简单、最特殊的例子入手进行研究。这节课的找规律, 比以前的“找规律”内容更复杂, 存在着第三个变量, 但我们不必担心学生, 他们还是会依照研究的一般规律, 从比较容易的形内钉子数a=1的规则图形开始, 然后逐步展开, 课中教师只需顺着学生的这种认识规律设计教学线索、设置教学板块。此中, 可能会出现学生从形内钉子数a=0的规则图形开始的原始想法, 对这种情况, 教师不必“强扭”, 而可以抓住学生在比较由此得到的数据时探索规律存在困难, 及时引导学生调整研究起点, 把a=1作为突破点。如此一来, 到最后, 学生自己会不忘回过来探索a=0的情形, 给探究活动画上圆满的句号。这样让学生“念念不忘”的课堂必将呈现出一番生“动”局面。
在此还需要着重指出的是, 现在小学教材上编排的“找规律”内容大多是让学生运用不完全归纳法发现规律, 这是由小学生的学情决定的, 由此带来的好处是, 它有助于教师设计丰富多彩的探究活动, 也有利于学生在探究活动中充分体验发现的过程, 发展观察、比较、推理、综合和抽象、概括等思维能力。不过, 用不完全归纳法而发现的结论未必为真, 所以在平时教学中, 教师要转换立场, 把自己当作并不知“真”情的学生, 这样才不会忘记让学生在每次验证的时候尝试寻找反例。并且这种寻找反例的过程不能流于形式、一带而过, 需要真的留出时间给学生。
鉴于现行教材编排的“找规律”都是能够找到规律的, 经历几次后, 学生可能会形成“发现的结论必定为真”的定势和误解, 这显然与科学探究的真相不符, 也阻碍了学生学习的科学态度的形成。于是, 有教师特意自编了一种“探究失败, 结论错误”的教材, 以此冲击和矫正学生或已形成的固见和错觉, 这不失为一种明智之举。
以此观察本节课的教学, 教师的提问 (其实不是真的在问, 只是作为过渡的应景性的随口一问) ——“同学们, 你们举的例子也都符合结论吧?”结果有学生发现了反例, 从教师“感到突然, 也感到奇怪”的反应中可以看出, 教师的预设并没有“让学生寻找反例”这一教学环节, 由此也可以看出这位教师在以往的“找规律”教学中也没有“让学生寻找反例”这一教学习惯。这不符合科学探究的本义, 虽然对真命题教材来说, 寻找反例属于多此一举, 但我们的教学却不能视之为多此一举, 因为你已知其“真”, 而学生尚在求“真”。
接下来的课堂, 从学生举出反例之后教师的应对来看, 我们可以发现, 教师对教材的研究并不透彻。“钉子板上是围不出圆的”这一回答真的可以成为反对反例的理由吗?
如果深究教材内容, 我们可以发现“钉子板上的多边形”不过是皮克公式的“替身”。皮克公式是奥地利数学家皮克发现的一个计算点阵中多边形的面积公式。数学科普读物《格点和面积》也介绍了什么是格点以及面积的主要内容:一张方格纸, 上面画着纵横两组平行线, 相邻平行线之间的距离都相等, 这样两组平行线的交点, 就是所谓格点, 怎样用格点的个数去计算平面上有限区域的面积, 或者反过来, 在平面上已知面积的一个有限区域内至少有多少个格点。《格点和面积》就是这样围绕着格点和面积这个主题, 讲述了数学上一些有用的问题。
由此我们可以作这样的推断, “钉子板上的多边形”的原型是“格点图中的多边形”。而教材为何要把研究背景放在钉子板上呢?更多的是考虑到钉子板上围图形是小学生喜闻乐见的活动, 也是学生在低年级已经做过的事, 有着丰富的活动经验, 并且这样的呈现方式富有童趣, 给了学生玩数学的乐趣。然而, 这一小小的改变, 也可能会蒙蔽学生的眼睛。课中生2的回答“钉子板上是围不出圆的”, 从教材表面看, 不可说不对, 但从知识本质看, 就难以服众。如果教师知道了这些, 就不会肯定生2的看法, 而对生1的申辩“但可以画出来啊”倍加关注并借机发挥, 把“钉子板上的多边形”及时转到“格点图中的多边形”, 引导学生看到教材背后的知识真相。之后, 引导学生去寻找问题的真解——“因为圆不是多边形”。这一生成性问题也在提醒我们, 教师在教学时, 先要找到源知识, 这样才能让教学内容不会偏离本质太远, 课终也就会向学生指明知识的发展方向, 介绍皮克公式和《格点和面积》一书, 开阔学生的视野。
最后, 附带一提的是, 本节课虽然是找规律类型的课, 但它附属在“用字母表示数”单元后, 那么我们就不能忘记另一个教学任务, 让学生在找规律的过程中复习和巩固“用字母表示数”的知识。不过, 要让学生在表述规律的时候能够主动想到用字母表示数以及用字母式表示数量关系, 仅仅靠像课中教师那样依靠知识的优越性——“这句话怎么表示可以更简洁”来牵线搭桥, 还不足以体现知识的本质属性——“用字母表示数演绎了‘数’到‘代数’的一次飞跃, 它体现了一个数从‘确定’到‘不确定’的变化趋势”。在缩写水平上运用字母, 只展示用字母表示数的简洁性, 会让学生存在认识上的局限性——将符号概括水平上的运用和音节缩写水平上的运用混为一谈。从教学现场看, 学生并不觉得“多边形面积是边上钉子数的一半” (注:用“多边形面积数是边上钉子数的一半”的表述更为科学) 这一关系句表述烦琐, 这一尴尬局面的解决之道是, 我们应该抓住多边形的面积、边上钉子数以及形内钉子数等数据的“在变化”, 来引导学生想到用字母来表示这种“变化”。换一句话说就是, 我们应展示用字母表示数的概括性, 来引导学生真正理解用字母表示数的本质——“不是因为不知道这个数量是多少, 而是因为这个已知的数量在不断的变化中”。