正多边形和圆复习学案

正多边形和圆复习学案（共8篇）

篇1：正多边形和圆复习学案

24.3 正多边形和圆

教学过程

一、复习引入

请同学们口答下面两个问题．

1．什么叫正多边形？

2．从你身边举出两三个正多边形的实例，正多边形具有轴对称、•中心对称吗？其对称轴有几条，对称中心是哪一点？

2．实例略．正多边形是轴对称图形，对称轴有无数多条；•正多边形是中心对称图形，其对称中心是正多边形对应顶点的连线交点．

二、探索新知

如果我们以正多边形对应顶点的交点作为圆心，过点到顶点的连线为半径，能够作一个圆，很明显，这个正多边形的各个顶点都在这个圆上，如图，•正六边形ABCDEF，连结AD、CF交于一点，以O为圆心，OA为半径作圆，那么肯定B、C、•D、E、F都在这个圆上．

因此，正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．

我们以圆内接正六边形为例证明．

如图所示的圆，把⊙O•分成相等的6•段弧，依次连接各分点得到六边ABCDEF，下面证明，它是正六边形．

为了今后学习和应用的方便，•我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个多边形的中心．

外接圆的半径叫做正多边形的半径．

正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．

中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．

例1．已知正六边形ABCDEF，如图所示，其外接圆的半径是a，•求正六边形的周长和面积．

例2．利用你手中的工具画一个边长为3cm的正五边形．

EODFACMB

三、巩固练习

教材P115 练习1、2、3 P116 探究题、练习．

四、应用拓展

例3．在直径为AB的半圆内，划出一块三角形区域，如图所示，使三角形的一边为AB，顶点C在半圆圆周上，其它两边分别为6和8，现要建造一个内接于△ABC•的矩形水池DEFN，其中D、E在AB上，如图24-94的设计方案是使AC=8，BC=6．

（1）求△ABC的边AB上的高h．

（2）设DN=x，且hDNNF，当x取何值时，水池DEFN的面积最大？ hAB（3）实际施工时，发现在AB上距B点1．85的M处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为了保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树．

五、归纳小结（学生小结，老师点评）

本节课应掌握：

1．正多边和圆的有关概念：正多边形的中心，正多边形的半径，•正多边形的中心角，正多边的边心距．

2．正多边形的半径、正多边形的中心角、边长、•正多边的边心距之间的等量关系．

3．画正多边形的方法．

4．运用以上的知识解决实际问题．

六、布置作业

1．教材P107 复习巩固1 综合运用5、7 P108 8．

2．选用课时作业设计．

CNhADGEBF课时作业设计

一、选择题

1．如图1所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是（）．

A．60°

B．45°

C．30°

D．22．5°

(1)

(2)

(3)

2．圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BD相交于点P，则∠APB的度数是（）．

A．36°

B．60°

C．72°

D．108°

3．若半径为5cm的一段弧长等于半径为2cm的圆的周长，•则这段弧所对的圆心角为（）

A．18°

B．36°

C．72°

D．144°

二、填空题

1．已知正六边形边长为a，则它的内切圆面积为_______．

2．在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，以C为圆心，CA长为半径的圆交AB于D，如图2所示，若AC=6，则AD的长为________．

3．四边形ABCD为⊙O的内接梯形，如图3所示，AB∥CD，且CD为直径，•如果⊙O的半径等于r，∠C=60°，那图中△OAB的边长AB是______；△ODA的周长是_______；∠BOC的度数是________．

三、综合提高题

1．等边△ABC的边长为a，求其内切圆的内接正方形DEFG的面积．

2．如图所示，•已知⊙O•的周长等于6cm，•求以它的半径为边长的正六边形ABCDEF的面积．

3．如图所示，正五边形ABCDE的对角线AC、BE相交于M．

（1）求证：四边形CDEM是菱形；

（2）设MF2=BE·BM，若AB=4，求BE的长．

篇2：正多边形和圆复习学案

例1、求证：各角相等的圆外切五边形是正五边形.

已知：如图，在五边形ABCDE中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E，边AB、BC、CD、DE、EA与⊙O分别相切于A’、B’、C’、D’、E’.

求证：五边形ABCDE是正五边形.

分析：要证五边形ABCDE是正五边形，已知已具备了五个角相等，显然证五条边相等即可.

教师引导学生分析，学生动手证明.

证法1：连结OA、OB、OC，

∵五边形ABCDE外切于⊙O.

∴∠BAO=∠OAE，∠OCB=∠OCD，∠OBA=∠OBC，

又∵∠BAE=∠ABC=∠BCD.

∴∠BAO=∠OCB.

又∵OB=OB

∴△ABO≌△CBO，∴AB=BC，同理 BC=CD=DE=EA.

∴五边形ABCDE是正五边形.

证法2：作⊙O的半径OA’、OB’、OC’，则

OA’⊥AB，OB’⊥BC、OC’⊥CD.

∠B=∠C ∠1=∠2 = .

同理 = = = ，

即切点A’、B’、C’、D’、E’是⊙O的5等分点.所以五边形ABCDE是正五边形.

反思：判定正多边形除了用定义外，还常常用正多边形与圆的关系定理1来判定，证明关键是证出各切点为圆的等分点.由同样的方法还可以证明“各角相等的圆外切n边形是正边形”.

此外，用正多边形与圆的关系定理1中“把圆n等分，依次连结各分点，所得的多边形是圆内接正多边形”还可以证明“各边相等的圆内接n边形是正n边形”，证明关键是证出各接点是圆的等分点。

拓展1：已知：如图，五边形ABCDE内接于⊙O，AB=BC=CD=DE=EA.

求证：五边形ABCDE是正五边形.(证明略)

分小组进行证明竞赛，并归纳学生的证明方法.

拓展2：已知：如图，同心圆⊙O分别为五边形ABCDE内切圆和外接圆，切点分别为F、G、H、M、N.

求证：五边形ABCDE是正五边形.(证明略)

学生独立完成证明过程，对B、C层学生教师给予及时指导，最后可以应用实物投影展示学生的证明成果，特别是对证明方法好，步骤推理严密的学生给予表扬.

例2、已知：正六边形ABCDEF.

求作：正六边形ABCDEF的外接圆和内切圆.

作法：1过A、B、C三点作⊙O.⊙O就是所求作的正六边形的外接圆.

2、以O为圆心，以O到AB的距离(OH)为半径作圆，所作的圆就是正六边形的内切圆.

用同样的方法，我们可以作正n边形的外接圆与内切圆.

练习：P161

1、求证：各边相等的圆内接多边形是正多边形.

2、(口答)下列命题是真命题吗?如果不是，举出一个反例.

(1)各边相等的圆外切多边形是正多边形;

(2)各角相等的圆内接多边形是正多边形.

3、已知：正方形ABCD.求作：正方形ABCD的外接圆与内切圆.

(三)小结

知识：复习了正多边形的定义、概念、性质和判定方法.

能力与方法：重点复习了正多边形的判定.正多边形的外接圆与内切圆的画法.

(四)作业

教材P172习题4、5;另A层学生：P174B组3、4.

探究活动

折叠问题：(1)想一想：怎样把一个正三角形纸片折叠一个最大的正六边形.

(提示：①对折;②再折使A、B、C分别与O点重合即可)

(2)想一想：能否把一个边长为8正方形纸片折叠一个边长为4的正六边形.

(提示：可以.主要应用把一个直角三等分的原理.参考图形如下：

①对折成小正方形ABCD;

②对折小正方形ABCD的中线;

③对折使点B在小正方形ABCD的中线上(即B’);

④则B、B’为正六边形的两个顶点，这样可得满足条件的正六边形.)

探究问题：

(安徽省2002)某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”时，进行如下讨论：

甲同学：这种多边形不一定是正多边形，如圆内接矩形;

乙同学：我发现边数是6时，它也不一定是正多边形.如图一，△ABC是正三角形, 形， = = ，可以证明六边形ADBECF的各内角相等，但它未必是正六边形;

丙同学：我能证明，边数是5时，它是正多边形.我想，边数是7时，它可能也 是正多边形.

(1)请你说明乙同学构造的六边形各内角相等.

(2)请你证明，各内角都相等的圆内接七边形ABCDEFG(如图二)是正七边形(不必写已知、求证).

(3)根据以上探索过程，提出你的猜想(不必证明).

(1)[说明]

(2)[证明]

(3)[猜想]

解：(1)由图知∠AFC对 .因为 = ，而∠DAF对的 = + = + = .所以∠AFC=∠DAF.

同理可证，其余各角都等于∠AFC.所以，图1中六边形各内角相.

(2)因为∠A对 ，∠B对 ，又因为∠A=∠B，所以 = .所以 = .

同理 = = = = = = .所以 七边形ABCDEFG是正七边形.

篇3：正多边形和圆复习学案

那么, 在具体的教学实践中, 如何组织实施有效的复习教学呢?笔者通过反复地调整, 设计了一节复习课, 经过实践取得良好效果, 现将教学过程整理如下, 与大家交流。

[教学片断一]

师:同学们, 我们这几天学过哪几种图形的面积公式?

生:平行四边形、三角形、梯形。

师:我们以前还学过哪些图形面积公式?

生:长方形、正方形。

师:那你们记得它们的面积公式吗?

师:按公式的写法, 你们可以把公式分成哪几类?

生:三角形、梯形面积公式一类, 正方形、长方形、平行四边形一类。

师:为什么?

生:因为三角形、梯形面积公式的末尾有除以2, 而正方形、长方形、平行四边形没有。

师:为什么?

生:因为在推导三角形、梯形面积公式时, 要用两个完全一样的三角形或梯形拼成一个平行四边形。

师:三角形、梯形是拼成平行四边形推导公式, 那平行四边形的面积公式是怎么推导出来的呢?

生:平行四边形是通过割补、平移法变成长方形求到的面积公式。

师:你们都学得非常好。在推导这几种图形面积公式的过程中用的方法不尽相同, 但是这些方法有着共同点, 你们知道吗?

生:把要求面积的图形变成已经学习过的图形。

师:对, 这种方法在数学上叫做化归法。也就是通过变换把未知的知识变成已知的知识。这种方法在数学上大量存在。以后我们在学习过程中还会经常碰到。

[教学思考]

复习课中, 我们没有必要再详细重复各知识点。在这里我授课的重点是基本知识的整理, 使学生通过复习, 理清知识点之间的脉络。同时, 对本章最重要的化归思想进行了总结, 使学生看到平行四边形化成长方形、三角形化成平行四边形, 这样看上去完全不同的推导方法使用的是同一种数学思想。并指出化归思想在数学上被大量使用, 也为在练习中使用化归思想作好铺垫。

[教学片断二]

出示练习:三角形的面积是21平方米, 底是7米, 求高是多少? (学生练习)

生:6米。

师:怎么求的?第一步怎么算?

生:第一步先用面积乘2。

师:为什么要先用面积乘2?

生:因为三角形面积公式最后是除以2。

师:对, 这是从计算公式的角度得到的方法。谁能从图形的角度说说为什么要乘2吗?

生:乘2之后就有了2个一样的三角形。

师:对, 为什么要有2个一样的三角形?

生:2个一样的三角形可以拼成一个平行四边形。

师:对, 和三角形面积公式的推导过程一样, 利用平行四边形求高, 是吗?

[教学思考]

三角形已知面积求底或高, 一直是学生错误率较高的题目, 错就错在学生忘了先要将三角形面积乘2。而在知识复习过程中, 不单从公式角度让学生明白要先乘2, 而且数形结合, 利用三角形面积公式的推导过程, 理解三角形面积乘2是得到等底等高平行四边形面积。不但促进了学生对这个题目的理解。也加深了学生对本单元知识之间的理解。

[教学片断三]

出示练习:求下面图形的面积。

师:这个图形你准备怎么求面积?

生1:可以从中间分成两个梯形。

生2:可以分成长方形和两个三角形。

生3:可以在右边补上一个三角形或长方形求出面积, 然后减去补上的三角形的面积。

师:你们的方法都对, 都可以求出这个图形面积, 那么哪种方法最好呢?

生讨论交流并回答自己的答案。

师:你们说的都有自己道理, 其实这里很难说哪种方法更好。你在练习时觉得哪种方便就用哪种。现在我们来看这几种方法之间有没有共同的地方呢?

生讨论交流。

生:这几种方法都是把这个图形变成学过的图形求面积。就是刚刚讲的化归的方法。

师:对。看上去这些方法各不相同, 但它们和我们推导公式用的方法的基本思路是一样的, 就是化归法。事实上复杂的组合图形, 我们都是用化归法或割或补, 把它变成我们学过的图形的组合, 从而求出它的面积。

[教学思考]

组合图形面积是本单元基本知识、基本技能及基本数学思想的综合应用。在复习过程中, 老师通过各种方法对比, 加深了学生对这几种方法的理解, 顺势引导学生总结这几种方法的共同点, 从而再次回到本单元最重要的数学思想———转化。这样又和前面的公式推导联系到了一起。从而做到以数学思想为主线贯穿了本单元的基本知识和基本技能。

[课后反思]

1.数学思想的重要性毋庸置疑, 但数学思想却是抽象的、隐性的, 限于小学生的知识和水平, 数学思想的教学是渗透式的, 是与具体教学方法紧密联系的。本单元最重要的数学思想就是转化, 在新课中具体的转化方法———割、补、拼几乎天天在用。学生已有了这方面的基本活动经验, 在复习基本知识时适时总结, 在课的后半段结合练习, 再次予以强调。

2.在空间图形的教学中, 因为直观性的原因, 学生动手直接操作、验证的机会相对较多, 所以他们的活动经验也相对直接。在复习课中, 利用适当方式重复或唤醒学生已有的经验, 对于课堂效果而言是非常重要的。当学生脑海中的两个完全一样的三角形可以拼成平行四边形的记忆被唤醒, 学生对已知三角形面积求底或高要先用三角形面积乘2的理解也就顺理成章了。

篇4：复习“四边形”说课稿

人教版小学数学三年级上册第121页四边形。

二、教材与学情分析

学生在第三单元中已经初步认识了四边形和平行四边形，理解了周长的概念，会计算长方形和正方形的周长，并初步有了估计意识和能力。“授之以鱼”还要“授之以渔”，这节课我不但要与学生复习知识，更要带给其复习的方法，为今后学习更多的知识打下基础。

三、教学目标与确定依据

针对学生的年龄特点和已有知识经验，尽量放手，让学生主动获取知识，特将本节课的教学目标制订如下：

1.知识与技能

通过复习掌握四边形有关知识，会计算图形的周长。

2.过程与方法

使学生参与复习的全过程，通过自学、交流及活动，使学生形成知识网络。

3.情感、态度与价值观

使学生通过复习图形的方法，激发他们对后继相关知识的学习兴趣。

四、教学重难点

进一步掌握四边形有关知识，会计算长方形和正方形的周长，重难点突破，系统整理分类与多层次练习法。

五、教法与学法

为了實现上述目标，突破难点，我采用的是引导法，学生用的是练习法。

六、设计理念

数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上，教师应激发学生学习的积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助学生在自主探索和解决问题的过程中真正理解和掌握基本的数学知识和技能、思想和方法。因此，本节课教师改变了传统的教师始终“讲”，学生被动“听”的局面，把学习的主动权交给学生，让学生全面、全程、全心参与到每个教学环节。

七、教学程序

依据新的教学理念及学生的认知特点，教师将本节课的教学模式制定为：创设情境，导入新知—自学课本，疏理知识—多层练习，巩固深化—总结评价，领悟提升。

1.创设情景，导入新深

兴趣是最好的老师。基于这一理念，上课一开始教师采用了创设情景引入课题：“教师们学会哪些图形，这些图形你们认识吗？会分类吗？”这样引入新课，不但从学生已有的知识经验出发，而且可以让学生在轻松的氛围中进入新课的学习，还激发了学生的兴趣，又为后面的教学作了铺垫。

2.自学课本，疏理知识

作为小学数学教师，不仅要让学生学到数学基础知识、基本技能，更要教会学生怎样学习，掌握打开知识宝库的钥匙，能够自己去获取知识。俗话说得好：“教”是为了“不教”，“学”不光是为了“学会”更要“会学”，所以本节课我放手让学生自学课本，同桌交流，然后引导他们疏理知识，从而培养了学生的自学能力。

3.多层练习，巩固深化

新课标指出：练习是学生获得知识，形成技能，发展智力的重要手段，由于儿童注意力，兴趣无法维持很长时间，因此教师在练习的设计形式上要注意典型性、多样性、灵活性和层次性。

4.总结评价，领悟提升

最后教师问学生本节课你有什么收获？通过交流使学生对所学知识再次进行总结，起到梳理概括，提炼升华的作用。

八、课后反思

通过本节课的教学顺利完成了教学任务，达到了预期效果，纵观这节课，最让我满意的是整整四十分钟的一堂课。在教学过程中，我也并没有怕学生说不出来我要讲的内容，直接进行讲解，而是给学生足够的时间，让他们自学，然后让他们来说学到的知识，他们说到哪，教师讲到哪，说不到的教师点拨、引导，这也正是新课标所提倡的教学理念。

（作者单位 内蒙古自治区包头市一机七小）

篇5：《正多边形和圆》教学反思

(1)理解正多边形与圆的关系定理;

(2)理解正多边形的对称性和边数相同的正多边形相似的性质;

(3)理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念;

(4)通过正多边形性质的教学培养学生的探索、推理、归纳、迁移等能力;

教学重点：

理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角的概念和性质定理.

教学难点 ：

对“正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆”的理解.

教学活动设计：

(一)提出问题

问题：上节课我们学习了正多边形的定义，并且知道只要n等分(n≥3)圆周就可以得到的圆的内接正n边形和圆的外切正n边形.反过来，是否每一个正多边形都有一个外接圆和内切圆呢?

(二)实践与探究

组织学生自己完成以下活动.

实践：1、作已知三角形的外接圆，圆心是已知三角形的什么线的交点?半径是什么?

2、作已知三角形的内切圆，圆心是已知三角形的什么线的交点?半径是什么?

探究1：当三角形为正三角形时，它的外接圆和内切圆有什么关系?

探究2：(1)正方形有外接圆吗?若有外接圆的圆心在哪?(正方形对角线的交点.)

(2)根据正方形的哪个性质证明对角线的交点是它的外接圆圆心?

(3)正方形有内切圆吗?圆心在哪?半径是谁?

(三)拓展、推理、归纳

(1)拓展、推理：

过正五边形ABCDE的顶点A、B、C、作⊙O连结OA、OB、OC、OD.

同理，点E在⊙O上.

所以正五边形ABCDE有一个外接圆⊙O.

因为正五边形ABCDE的各边是⊙O中相等的弦，所以弦心距相等.因此，以点O为圆心，以弦心距(OH)为半径的圆与正五边形的各边都相切.可见正五边形ABCDE还有一个以O为圆心的内切圆.

(2)归纳：

正五边形的任意三个顶点都不在同一条直线上

它的任意三个顶点确定一个圆，即确定了圆心和半径.

其他两个顶点到圆心的距离都等于半径.

正五边形的各顶点共圆.

正五边形有外接圆.

圆心到各边的.距离相等.

正五边形有内切圆，它的圆心是外接圆的圆心，半径是圆心到任意一边的距离.

照此法证明，正六边形、正七边形、…正n边形都有一个外接圆和内切圆.

定理： 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.

正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距.正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等.正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角.正n边形的每个中心角都等于 .

(3)巩固练习：

1、正方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形ABCD的______.

2、正方形ABCD的内切圆⊙O的半径OE叫做正方形ABCD的______.

3、若正六边形的边长为1，那么正六边形的中心角是______度，半径是______，边心距是______，它的每一个内角是______.

4、正n边形的一个外角度数与它的______角的度数相等.

(四)正多边形的性质

1、各边都相等.

2、各角都相等.

观察正三角形、正方形、正五边形、正六边形是不是轴对称图形?如果是，它们又各应有几条对称轴?

3、正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心.边数是偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心.

4、边数相同的正多边形相似.它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方.

5、任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.

以上性质，教师引导学生自主探究和归纳，可以以小组的形式研究，这样既培养学生的探究问题的能力、培养学生的研究意识，也培养学生的协作学习精神.

(五)总结

知识：(1)正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念;

(2)正多边形与圆的关系定理、正多边形的性质.

能力：探索、推理、归纳等能力.

方法：证明点共圆的方法.

篇6：正多边形和圆教学反思

儋州市西联中学 邓高春

正多边形和圆，下面对这节课教学进行如下反思：

一、成功之处：

1、本节课的教学从生活实际出发（观看美丽图案），引导学生得出定义。这一做法渗透了数学来源于实践，反过来又作用于实践的辨证唯物主义思想。对定义的教学，不是简单地由教师告诉学生，而是由学生自己观察、猜想、探究得出结论，让学生体验知识的产生过程。

2、学生走上讲台，拉近了师生之间的距离。教师不是高高在上，而是与学生处在同等位置上，培养了学生能力。

3、备课仔细，对课堂上可能出现的问题作了充分地考虑。如在探究正多边形的定义的时候，对学生可能得出的结论作了充分的准备。反映了教师的基本功扎实。

4、整堂课都体现了对学生动手能力的培养。在探究正多边形和圆的关系时，让学生自己动手操作，画圆，实验并进行猜想，这正是新大纲教改思路的体现。

5、注重学生间的合作交流。表现形式有同位或小组讨论。实验表明学生之间的知识交流比师生间交流更利于学生的知识掌握。同时，这种形式也培养了学生将来走向社会后能够充分地表达自己的见解，听取别人的意见。

6、注重学法指导。在进行正多边形和圆关系的第二个结论时，指导学生自学，教给学生学习的方法，“授学生以渔”，为学生将来的终身教育打下基础。

7、小结的形式。

8、本节课一个突破性的地方就是在课堂上让学生质疑，让学生对本节课不明白的地方或是与老师意见不一致的地方敢于提出自己的见解。尽管在这方面做得不是很到位，但是已跨出大胆的一步。

二、不足之处：

1、在讨论时应该放得更开一些，可以采用多种形式，如：下位找自己熟悉的同学讨论，或是不局限有于一个小组，而进行多组合作，或是与老师（甚至是听课老师）讨论。

篇7：正多边形和圆复习学案

（1）使学生理解正多边形概念，初步掌握正多边形与圆的关系的第一个定理；

（2）通过正多边形定义教学，培养学生归纳能力；通过正多边形与圆关系定理的教学培养学生观察、猜想、推理、迁移能力；

（3）进一步向学生渗透“特殊——一般”再“一般——特殊”的唯物辩证法思想．

教学重点：

正多边形的概念与正多边形和圆的关系的第一个定理．

教学难点 ：

对定理的理解以及定理的证明方法．

教学活动设计：

（一）观察、分析、归纳：

观察、分析：1．等边三角形的边、角各有什么性质？

2．正方形的边、角各有什么性质？

归纳：等边三角形与正方形的边、角性质的共同点．

教师组织学生进行，并可以提问学生问题．

（二）正多边形的概念：

（1）概念：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．如果一个正多边形有n(n≥3)条边，就叫正n边形．等边三角形有三条边叫正三角形，正方形有四条边叫正四边形．

（2）概念理解：

①请同学们举例，自己在日常生活中见过的正多边形．（正三角形、正方形、正六边形，…….）

②矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？

矩形不是正多边形，因为边不一定相等．菱形不是正多边形，因为角不一定相等．

（三）分析、发现：

问题：正多边形与圆有什么关系呢？

发现：正三角形与正方形都有内切圆和外接圆，并且为同心圆．

分析：正三角形三个顶点把圆三等分；正方形的四个顶点把圆四等分．要将圆五等分，把等分点顺次连结，可得正五边形．要将圆六等分呢？

（四）多边形和圆的关系的定理

定理：把圆分成n(n≥3)等份：

(1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；

(2)经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形．

我们以n=5的情况进行证明．

已知：⊙O中，= = = =，TP、PQ、QR、RS、ST分别是经过点A、B、C、D、E的⊙O的切线．

求证：（1）五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形；

（2）五边形PQRST是⊙O的外切正五边形．

证明：（略）

引导学生分析、归纳证明思路：

弧相等

说明：(1)要判定一个多边形是不是正多边形，除根据定义来判定外，还可以根据这个定理来判定，即：①依次连结圆的n(n≥3)等分点，所得的多边形是正多迫形；②经过圆的n(n≥3)等分点作圆的切线，相邻切线相交成的多边形是正多边形．

(2)要注意定理中的“依次”、“相邻”等条件．

(3)此定理被称为正多边形的判定定理，我们可以根据它判断一多边形为正多边形或根据它作正多边形．

（五）初步应用

P157练习

1、(口答)矩形是正多边形吗?菱形是正多边形吗?为什么? 2．求证：正五边形的对角线相等．

3．如图，已知点A、B、C、D、E是⊙O的5等分点，画出⊙O的内接和外切正五边形．

（六）小结：

知识：（1）正多边形的概念．（2）n等分圆周(n≥3)可得圆的内接正n边形和圆的外切正n边形．

能力和方法：正多边形的证明方法和思路，正多边形判断能力

（七）作业 教材P172习题A组2、3． 教学设计示例2 教学目标 ：

（1）理解正多边形与圆的关系定理；

（2）理解正多边形的对称性和边数相同的正多边形相似的性质；

（3）理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念；

（4）通过正多边形性质的教学培养学生的探索、推理、归纳、迁移等能力；

教学重点：

理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角的概念和性质定理．

教学难点 ：

对“正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆”的理解．

教学活动设计：

（一）提出问题：

问题：上节课我们学习了正多边形的定义，并且知道只要n等分(n≥3)圆周就可以得到的圆的内接正n边形和圆的外切正n边形．反过来，是否每一个正多边形都有一个外接圆和内切圆呢？

（二）实践与探究：

组织学生自己完成以下活动．

实践：

1、作已知三角形的外接圆，圆心是已知三角形的什么线的交点？半径是什么？

2、作已知三角形的内切圆，圆心是已知三角形的什么线的交点？半径是什么？

探究1：当三角形为正三角形时，它的外接圆和内切圆有什么关系？

探究2：（1）正方形有外接圆吗？若有外接圆的圆心在哪？(正方形对角线的交点．)（2）根据正方形的哪个性质证明对角线的交点是它的外接圆圆心？

（3）正方形有内切圆吗？圆心在哪？半径是谁？

（三）拓展、推理、归纳：

（1）拓展、推理：

过正五边形ABCDE的顶点A、B、C、作⊙O连结OA、OB、OC、OD．

同理，点E在⊙O上．

所以正五边形ABCDE有一个外接圆⊙O．

因为正五边形ABCDE的各边是⊙O中相等的弦，所以弦心距相等．因此，以点O为圆心，以弦心距(OH)为半径的圆与正五边形的各边都相切．可见正五边形ABCDE还有一个以O为圆心的内切圆．

（2）归纳：

正五边形的任意三个顶点都不在同一条直线上

它的任意三个顶点确定一个圆，即确定了圆心和半径．

其他两个顶点到圆心的距离都等于半径．

正五边形的各顶点共圆．

正五边形有外接圆．

圆心到各边的距离相等．

正五边形有内切圆，它的圆心是外接圆的圆心，半径是圆心到任意一边的距离．

照此法证明，正六边形、正七边形、…正n边形都有一个外接圆和内切圆．

定理： 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆．

正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距．正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等．正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角．正n边形的每个中心角都等于 ．

（3）巩固练习：

1、正方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形ABCD的______．

2、正方形ABCD的内切圆⊙O的半径OE叫做正方形ABCD的______．

3、若正六边形的边长为1，那么正六边形的中心角是______度，半径是______，边心距是______，它的每一个内角是______．

4、正n边形的一个外角度数与它的______角的度数相等．

（四）正多边形的性质：

1、各边都相等．

2、各角都相等．

观察正三角形、正方形、正五边形、正六边形是不是轴对称图形？如果是，它们又各应有几条对称轴？

3、正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心．边数是偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心．

4、边数相同的正多边形相似．它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．

5、任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆．

以上性质，教师引导学生自主探究和归纳，可以以小组的形式研究，这样既培养学生的探究问题的能力、培养学生的研究意识，也培养学生的协作学习精神．

（五）总结

知识：（1）正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念；

（2）正多边形与圆的关系定理、正多边形的性质．

能力：探索、推理、归纳等能力．

方法：证明点共圆的方法．

（六）作业 P159中练习1、2、3．

教学设计示例3 教学目标 ：

（1）巩固正多边形的有关概念、性质和定理；

（2）通过证明和画图提高学生综合运用分析问题和解决问题的能力；

（3）通过例题的研究，培养学生的探索精神和不断更新的创新意识及选优意识．

教学重点：

综合运用正多边形的有关概念和正多边形与圆关系的有关定理来解决问题，要理解通过对具体图形的证明所给出的一般的证明方法，还要注意与前面所学知识的联想和化归．

教学难点 ：综合运用知识证题．

教学活动设计：

（一）知识回顾

1．什么叫做正多边形？

2．什么是正多边形的中心、半径、边心距、中心角？

3．正多边形有哪些性质？(边、角、对称性、相似性、有两圆且同心)4．正n边形的每个中心角都等于 ．

5．正多边形的有关的定理．

（二）例题研究：

例

1、求证：各角相等的圆外切五边形是正五边形．

已知：如图，在五边形ABCDE中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E，边AB、BC、CD、DE、EA与⊙O分别相切于A’、B’、C’、D’、E’．

求证：五边形ABCDE是正五边形．

分析：要证五边形ABCDE是正五边形，已知已具备了五个角相等，显然证五条边相等即可．

教师引导学生分析，学生动手证明．

证法1：连结OA、OB、OC，∵五边形ABCDE外切于⊙O．

∴∠BAO=∠OAE，∠OCB=∠OCD，∠OBA=∠OBC，又∵∠BAE=∠ABC=∠BCD．

∴∠BAO=∠OCB．

又∵OB=OB

∴△ABO≌△CBO，∴AB=BC，同理 BC=CD=DE=EA．

∴五边形ABCDE是正五边形．

证法2：作⊙O的半径OA’、OB’、OC’，则

OA’⊥AB，OB’⊥BC、OC’⊥CD．

∠B=∠C ∠1=∠2 = ．

同理 = = =，即切点A’、B’、C’、D’、E’是⊙O的5等分点．所以五边形ABCDE是正五边形．

反思：判定正多边形除了用定义外，还常常用正多边形与圆的关系定理1来判定，证明关键是证出各切点为圆的等分点．由同样的方法还可以证明“各角相等的圆外切n边形是正边形”．

此外，用正多边形与圆的关系定理1中“把圆n等分，依次连结各分点，所得的多边形是圆内接正多边形”还可以证明“各边相等的圆内接n边形是正n边形”，证明关键是证出各接点是圆的等分点。

拓展1：已知：如图，五边形ABCDE内接于⊙O，AB=BC=CD=DE=EA．

求证：五边形ABCDE是正五边形．（证明略）

分小组进行证明竞赛，并归纳学生的证明方法．

拓展2：已知：如图，同心圆⊙O分别为五边形ABCDE内切圆和外接圆，切点分别为F、G、H、M、N．

求证：五边形ABCDE是正五边形．（证明略）

学生独立完成证明过程，对B、C层学生教师给予及时指导，最后可以应用实物投影展示学生的证明成果，特别是对证明方法好，步骤推理严密的学生给予表扬．

例

2、已知：正六边形ABCDEF．

求作：正六边形ABCDEF的外接圆和内切圆．

作法：1过A、B、C三点作⊙O．⊙O就是所求作的正六边形的外接圆．

2、以O为圆心，以O到AB的距离(OH)为半径作圆，所作的圆就是正六边形的内切圆．

用同样的方法，我们可以作正n边形的外接圆与内切圆．

练习：P161

1、求证：各边相等的圆内接多边形是正多边形．

2、(口答)下列命题是真命题吗?如果不是，举出一个反例．

(1)各边相等的圆外切多边形是正多边形；

(2)各角相等的圆内接多边形是正多边形．

3、已知：正方形ABCD．求作：正方形ABCD的外接圆与内切圆．

（三）小结

知识：复习了正多边形的定义、概念、性质和判定方法．

能力与方法：重点复习了正多边形的判定．正多边形的外接圆与内切圆的画法．

（四）作业

教材P172习题4、5；另A层学生：P174B组3、4．

探究活动

折叠问题：（1）想一想：怎样把一个正三角形纸片折叠一个最大的正六边形．

（提示：①对折；②再折使A、B、C分别与O点重合即可）

（2）想一想：能否把一个边长为8正方形纸片折叠一个边长为4的正六边形．

（提示：可以．主要应用把一个直角三等分的原理．参考图形如下：

①对折成小正方形ABCD；

②对折小正方形ABCD的中线；

③对折使点B在小正方形ABCD的中线上（即B’）；

④则B、B’为正六边形的两个顶点，这样可得满足条件的正六边形．）

探究问题：

（安徽省2002）某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”时，进行如下讨论：

甲同学：这种多边形不一定是正多边形，如圆内接矩形；

乙同学：我发现边数是6时，它也不一定是正多边形．如图一，△ABC是正三角形, 形，= =，可以证明六边形ADBECF的各内角相等，但它未必是正六边形；

丙同学：我能证明，边数是5时，它是正多边形．我想，边数是7时，它可能也 是正多边形．

(1)请你说明乙同学构造的六边形各内角相等．

(2)请你证明，各内角都相等的圆内接七边形ABCDEFG(如图二)是正七边形(不必写已知、求证)．

(3)根据以上探索过程，提出你的猜想(不必证明)．

（1）[说明]（2）[证明]（3）[猜想]

解：（1）由图知∠AFC对 ．因为 =，而∠DAF对的 = + = + = ．所以∠AFC=∠DAF．

同理可证，其余各角都等于∠AFC．所以，图1中六边形各内角相．

（2）因为∠A对，∠B对，又因为∠A=∠B，所以 = ．所以 = ．

同理 = = = = = = ．所以 七边形ABCDEFG是正七边形．

篇8：正多边形和圆复习学案

教学目标：1.了解正多边形和圆的有关概念；理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用多边形和圆的有关知识画多边形． 2.复习正多边形概念，让学生尽可能讲出生活中的多边形为引题引入正多边形和圆这一节间的内容．

3、通过正多边形性质的教学培养学生的探索、推理、归纳、迁移等能力；通过正多边形有关概念的教学，培养学生的阅读理解能力．

重难点：正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、弦心距、•边长之间的关系． 教学过程

一、探索新知

如果我们以正多边形对应顶点的交点作为圆心，过点到顶点的连线为半径，能够作一个圆，很明显，这个正多边形的各个顶点都在这个圆上，如图，•正六边形ABCDEF，连结AD、CF交于一点，以O为圆心，OA为半径作圆，那么肯定B、C、•D、E、F都在这个圆上．

因此，正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．

为了今后学习和应用的方便，•我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个多边形的中心．

外接圆的半径叫做正多边形的半径．

正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．

中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．

例1．已知正六边形ABCDEF，如图所示，其外接圆的半径

ED是a，•求正六边形的周长和面积．

O

CF

AMB 现在我们利用正多边形的概念和性质来画正多边形．

例2．利用你手中的工具画一个边长为3cm的正五边形．

分析：要画正五边形，首先要画一个圆，然后对圆五等分，因此，•应该先求边长为3的正五边形的半径．

二、尝试应用

例3．在直径为AB的半圆内，划出一块三角形区域，如图所示，使三角形的一边为AB，顶点C在半圆圆周上，其它两边分别为6和8，现要建造一个内接于△ABC•的矩形水池DEFN，其中D、E在AB上，如图24-94的设计方案是使AC=8，BC=6．

（1）求△ABC的边AB上的高h．

（2）设DN=x，且hDNNF，当x取何值时，水池DEFN的面积最大？ hAB（3）实际施工时，发现在AB上距B点1．85的M处有一棵大树，问：这棵大树是否

位于最大矩形水池的边上？如果在，为了保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树．

CNhADGE

分析：要求矩形的面积最大，先要列出面积表达式，再考虑最值的求法，初中阶段，尤其现学的知识，应用配方法求最值．（3）的设计要有新意，•应用圆的对称性就能圆满解决此题．

三、归纳小结（学生小结，老师点评）本节课你有什么收获？

四、当堂达标

1．如图1所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是（）．

A．60° B．45° C．30° D．22．5°

FB

(1)(2)(3)2．圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BD相交于点P，则∠APB的度数是（）． A．36° B．60° C．72° D．108° 3．若半径为5cm的一段弧长等于半径为2cm的圆的周长，•则这段弧所对的圆心角为（）A．18° B．36° C．72° D．144°

4．已知正六边形边长为a，则它的内切圆面积为_______． 5.正五边形ABCDE的对角线AC、BE相交于M．

（1）求证：四边形CDEM是菱形；（2）设MF=BE·BM，若AB=4，求BE的长．