正弦定理导学案

正弦定理导学案（共13篇）

篇1：正弦定理导学案

§1.1.1 正弦定理(一)导学案

学习目标:

1、通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；

2、会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题；

3、通过正弦定理的探究学习，培养学生探索数学规律的思维能力，培养学生用数学的方法解决实际问题的能力，激发学生对数学学习的热情。

教学重点:正弦定理的证明及基本运用。

教学难点:正弦定理的探索和证明及灵活应用。

一、预习案: “我学习，我主动，我参与，我收获！”

1、预习教材P45---482、基础知识梳理：

(1)正弦定理

在一个三角形中，各边和它所对角的_______________的比相等，即在ABC中,___________=__________=____________=2R.，(其中2R 为外接圆直径)

（2）由正弦定理

abc2R可以得到哪些变形公式？ sinAsinBsinC

（3）三角形常用面积公式：

对于任意ABC，若a，b，c为三角形的三边，且A,B,C为三

边的对角，则三角形的面积为：

①SABC_____ha(ha表示a边上的高）.②SABC1211absinCacsinB____________.223、预习自测：

（1）有关正弦定理的叙述：

①正弦定理只适用于锐角三角形；

②正弦定理不适用于直角三角形；

③在某一确定的三角形中，各边与它的对角的正弦的比是定值；

④在ABC中，sinA:sinB:sinC

其中正确的个数是（）

A、1B、2C、3D、4（2）在ABC中，一定成立的等式是（）．

A． a sin A = b sin BB.a cos A = b cos B

C.a sin B = b sin AD.a cos B = b cos A

（3）在ABC中,sinAsinC,则ABC是（）

A、直角三角形 B、等腰三角形C、锐角三角形 D、钝角三角形

(4)在ABC中，三个内角A,B,C的对边分别为a，b，c，已知

A:B:C=1:2:3,则a：b：c=_____________________.a:b:c。

我的疑惑:__________________________________________

二、探究案: “我探究，我分析，我思考，我提高！”

探究

一、叙述并证明正弦定理。

探究

二、在

ABC中，已知B30,AB面积SABC试求BC。

探究

三、已知ABC中，bsinBcsinC,且sin2Asin2Bsin2C,试判断ABC的形状。

合作探究后谈谈你的解题思路。

规律方法总结：_________________________________________

训练案：“我实践，我练习，我开窍，我聪慧！”

1、在

ABC中，ABAC1,且B,A,C成等差数列，求ABC的面积。

2、在ABC中，角A,B,C的对边分别为a，b，c，且

试判断ABC的形状。

cosAcosabBcoscC，我的收获

-----反思静悟体验成功

-----请写出本堂课学习中，你认为感悟最深的一至两条收获。

篇2：正弦定理导学案

【使用说明】

1、预习教材P2-P4页，在规定时间完成预习学案

【预习目标】1.明确在直角三角形中边与角的正弦之间的关系，2.弄清楚正弦定理的表达形式，能对表达式做简单的变形.3.通过自主学习、合作讨论探究，体验学习的快乐

.【重点难点】正弦定理的推导过程和定理的应用.一、知识链接

1.在RtABC中sinA=sinB=sinC=

2.正弦定理：

二、教材导读

1、从直角三角形中边与角的正弦之间的关系可以得到

锐角三角形的证明在钝角三角形中进行证明。

2、思考正弦定理的其他证明方法，可以借助向量来证明吗？

3、从正弦定理的结构形式上看正弦定理可以解决哪些解三角形的问题？（教材第3页）

4、尝试完成例1和例2。注意：①例1和例2的条件有什么不同；②为什么例2会有两种情况呢？是否已知两边及其一边的对角就有两种情况呢？可能还有哪些情况？（参考教材P8和P9）.asinAbsinBcsinCasinAbsinBcsinC，仿照教材第2页

三、预习自测

《点金训练》P2自我评价和知识整合例1；

1.在ABC中，(1)sinA=

012 ,则A=_______(2)cosA=012，则A=_______ 2.在ABC中，若C=90，a=6，B=30，则c-b等于（）

A．1B.-1C.23D.23

3．在ABC中，sinA1

2，sinB

0032，则ABC对应三边的比值为a︰b︰c=4．在ABC中，已知A45,C30,c10，求边a=。

四、探究、合作、展示 在三角形的外接圆中正弦定理

可以得到哪些边角关系？

篇3：谈正弦定理与余弦定理的运用

例1在△ABC中，a,b,c分别为内角A、B、C的对边，根据下列条件，判断△ABC的形状(1)acos A=bcos B;(2)(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B).

分析:对于上述例1中(1)和(2)分析以后可以发现，给出的条件中都是既有边长也有角度，所以一般都应该对于给出的这类条件进行整理，最终化简为仅有角度或者边长的形式，而在这个过程中一般采用正弦定理和余弦定理的变式效果会更好．

解:对于(1)的求解，可以考虑两种方法，

解法1:因为a=2Rsin A,b=2Rsin B，所以2Rsin Acos A=2Rsin Bcos B，即sin2A=sin2B，所以2A=2B或者2A+2B=π．

可以得到A=B或者，所以该三角形为等腰或者直角三角形．

解法2:因为，所以，即a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2)将该表达式进行因式分解可得(a2-b2)(a2+b2-c2)=0，也就是a=b或者a2+b2=c2，同样得到该三角形为等腰或者直角三角形．

相比(1)而言，(2)的形式相对复杂，一般在解题过程中发现A+B这样的条件往往化为π-C，但本题等式两侧的次数相对对称，对于左侧的A-B需要展开，因此右侧保留A+B，得到

a2[sin(A-B)-sin(A+B)]=b2[-sin(A+B)-sin(A-B)]，即2a2cos Asin B=2b2cos Bsin A，此时可以将所有条件化角或者化边，可以得到sin Asin B(sin2A-sin2B)=0或者，也就是sin2A=sin2B或者(a2-b2)(a2+b2-c2)=0，同(1)类似，可以得到该三角形为等腰或者直角三角形．

二、观察结构，注重与定理的联系

例2在△ABC中，a,b,c分别为内角A、B、C的对边，

(2)若△ABC的面积为S，且2S=(a+b)2-c2，求tan C的值．

分析:上述两个问题给出的条件与问题之间存在较大距离，需要对给出的条件进行代数变形，而结构中都含有边长的平方关系，可以与正、余弦定理的公式联系在一起．

(2)由于条件右侧含有a2+b2-c2的形式且最终所求也与角C有关，容易想到左侧的面积，所以条件可以化为

三、利用图形，恰当选择变量和定理

正、余弦定理是三角形内边角关系的两个定理，因此还有一类问题需要在图形中解决长度和角度问题．

例3如图1，在边长为1的等边△ABC中，D、E分别为边AB、AC上的点，若A关于直线DE的对称点A1恰好在线段BC上，求AD长度的最小值．

分析:由于需要求解线段长度，则将线段放在三角形中进行计算．图中存在对称，不妨连结A1D，得A1D=AD，因此可以在△A1BD中进行求解，而对于图形问题的变量选择，可以选择边长也可以选择角度．

解法1:不妨设A1B=x,AD=y，则在△A1BD中，

例3给出一个图形，要解决某条线段长度的最值问题，需要将该线段放在三角形内利用正余弦定理进行计算，由于所选三角形的不一样以及求解所用定理的不同，选择了两种不同的变量设法，而这也是求解图形问题常见的解决方法．

篇4：正弦定理和余弦定理

正、余弦定理是高考的必考内容，主要涉及解三角形中的求角、求边的问题和判断三角形的形状.

（1）解三角形就是已知三角形中的三个独立元素（至少一边）求出其他元素的过程. 三角形中的基本元素（边和角）与非基本元素（如中线、高、角平分线、外接圆半径、内切圆半径）之间的联系要通过有关的概念与公式（周长、面积、射影定理、勾股定理、内角和定理、全等关系、正余弦定理等）的掌握来实现.

（2）解斜三角形分以下四种类型：

①已知三角形的两角和任一边，求三角形的其他边与角；

②已知三角形的两边和其中一边的对角，求三角形的其他边与角；

③已知三边，求三个角；

④已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；

（3）理解已知两边和其中一边的对角解斜三角形时，有一解、二解或无解三种情况，并会判断哪些条件使得三角形有一解、二解或无解.

（4）关于三角形的已学过的一些结论：如边角不等关系；全等关系；三角形的面积公式等等，在解三角形过程中可能要用到.

（5）要注意归纳总结学习过程中的一些共性和结论. 如常见的三角形边角关系恒等式、三角形面积的公式等.

（6）注意三角公式的灵活运用，主要是利用两角和与差的三角函数、二倍角的三角函数，诱导公式等进行三角函数变换.

篇5：正弦定理2学案

一、学习目标1.熟练掌握正弦定理及其变式的结构特征和作用 2.探究三角形的面积公式

3.能根据条件判断三角形的形状

4.能根据条件判断某些三角形解的个数

二、学法指导

1.利用正弦定理可以将三角形中的边角关系互化，同时要注意互补角的正弦值相等这一关系的应用；

2.利用正弦定理判定三角形形状，常运用变形形式，结合三角函数的有关公式，得出角的大小或边的关系。

三、课前预习

1.正弦定理____________________=________ 2.正弦定理的几个变形

(1)a =________ ,b=_________ ,c=_________

(2)sinA=_______, sinB=________ , sinC=_______(3)a:b:c =____________________.3.在解三角形时，常用的结论

（1）在ABC中，A>B______________________(2)sin(A+B)=sinC

四、课堂探究 1.正弦定理：（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使aksinA,bksinB,cksinC；

（2）正弦定理的变形形式：

1）————————————————————； 2）————————————————————； 3）————————————————————．

（3）利用正弦定理和三角形内角和定理，可解决以下两类斜三角形问题：1）____________________________________________________ 2）____________________________________________________ 一般地，已知两边和其中一边的对角解斜三角形，有两解或一(4)三角形的面积公式：

______________________________________________

例1仿照正弦定理的证法一，证明S1

ABC

absinC，并运用此结论解决下面问题：（1）在ABC中，已知a2，b3，C150，求SABC；

（2）在ABC中，已知c10，A45，C30，求b和SABC；

五、数学运用

例2(2005年北京春季高考题)在ABC中，已知2sinAcosBsinC，那么ABC一定是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形

变式练习：ABC中，已知abcosAcosBc

cosC，试判断三角形的形状.六、巩固训练

（一）当堂练习

1.在ABC中，若a3,A60,那么ABC的外接圆的 周长为________ 2.在ABC中,cbcosCcosB,则ABC的形状为______ 3.在ABC中，若A600,a3，则

abc

sinAsinBsinC

_______

4.ABC中，tanAsin2

BtanBsin2

A，那么ABC一 定是_______

5.ABC中，A为锐角，lgblg

c

lgsinAlg2，则 ABC形状为_____

篇6：正弦定理导学案

一、设计思想：

定理教学中有一种简陋的处理方式：简单直接的定理呈现、照本宣科的定理证明，然后是大剂量的“复制例题”式的应用练习。本课采用实验探究、自主学习、合作交流的研究性学习方式，重点放在定理的形成、证明的探究及定理基本应用上，努力挖掘定理教学中蕴涵的思维价值。从实际问题出发，引入数学课题，最后把所学知识应用于实际问题。

二、教学目标：

让学生从已有的知识经验出发,通过对特殊三角形边角间数量关系的探求，发现正弦定理；再由特殊到一般，从定性到定量，探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，猜想，比较，推导正弦定理，由此培养学生合情推理探索数学规律的数学思考能力；培养学生联想与引申的能力，探索的精神与创新的意识，同时通过三角函数、向量与正弦定理等知识间的联系来帮助学生初步树立事物之间的普遍联系与辩证统一的唯物主义观点。

三、教学重点与难点：

本节课的重点是正弦定理的探索、证明及其基本应用；难点是正弦定理应用中“已知两边和其中一边的对角解三角形，判断解的个数”，以及逻辑思维能力的培养。

四、教学过程设计：

（一）创设情境:

如图，现在河岸两侧A，B两点间建一座

桥，需要知道A，B间的距离．由于环境因素不能

直接测量A，B间的距离．你有办法间接测量A，B

两点间的距离吗？

引出：解三角形——已知三角形的某些边和

角，求其他的边和角的过程。C A [设计意图：从实际问题出发，引入数学课题。]

师：解三角形，需要用到许多三角形的知识，你对三角形中的边角知识知多少？

生：······，“大角对大边，大边对大角”

师：“a＞b＞c←→ A＞B＞C”，这是定性地研究三角形中的边角关系，我们能否更深刻地、从定量的角度研究三角形中的边角关系？

引出课题：“正弦定理

[设计意图：从联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构。]

（二）猜想、实验：

1、发散思维，提出猜想：从定量的角度考察三角形中的边角关系，猜想可能存在哪些关系？

[学情预设：此处，学生根据已有知识“a＞b＞c←→ A＞B＞C”，可能出现以

下答案情形。如

a/A=b/B=c/C,a/sinA=b/sinB=c/sinC,a/cosA=b/cosB=c/cosC,a/tanA=b/tanB=c/tanC，〃〃〃〃〃〃等等。]

[设计意图：培养学生的发散思维，猜想也是一种数学能力]

2、研究特例，提炼猜想：考察等边三角形、特殊直角三角形的边角关系，提炼出asinA=bsinB=csinC。

3、实验验证，完善猜想：这一关系式在任一三角形中是否成立呢？

请学生以量角器、刻度尺、计算器为工具，对一般三角形的上述关系式进行验证，教师用几何画板演示。在此基础上，师生一起得出猜想，即在任意三角形中，有asinA=bsinB=csinC。

[设计意图：着重培养学生对问题的探究意识和动手实践能力]

（三）证明探究：

对此猜想，据以上直观考察，我们感情上是完全可以接受的，但数学需要理性思维。如何通过严格的数学推理，证明正弦定理呢？

1、特殊入手，探究证明 ：在初中，我们已学过如何解直角三角形，角与边的等式关系。在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,C900，根据锐角

abcsinAsinBsiCnc,则的正弦函数的定义，有c，c，又

a

sinA



b

sinB



c

sinC

c

a，从而在直角三角形ABC中，sinA



b

sinB



c

sinC。

2、推广拓展，探究证明 ：

问题2：在锐角三角形ABC中，如何构造、表示 “a与sinA、b与sinB”的关系呢？

探究1：能否构造直角三角形，将问题化归为已知问题？

[学情预设：此处，学生可能出现以下答案情形。学生对直角三角形中证明定理的方法记忆犹新，可能通过以下三种方法构造直角三角形。

生1：如图1，过 C作BC边上的线CD，交BA的延长线于D，得到直角三角形DBC。

生2：如图2，过A作BC边上的高线AD，化归为两个直角三角形问题。生3：如图3，分别过B、C作AB、AC边上的垂线，交于D，连接AD，也得到两个直角三角形〃〃〃〃〃〃] 经过师生讨论指出：方法2，简单明了，容易得到“c与sinC、b与sinB”的关系式。

[知识链接：根据化归——这一解决数学问题的重要思想方法，把锐角三角形中正弦定理的证明归结为直角三角形问题是自然不过的。而方法3将把问题

a

延伸到四点共圆，深究下去，可得sinA思考解决

]



b

sinB



c

sinC=2R，对此，可留做课后

图

1图

图3图

4探究2：能否引入向量，归结为向量运算？（1）图2中蕴涵哪些向量关系式？

学生探究，师生、生生之间交流讨论，得



ABBCAC,ABBCCA0,ABCBCA,（这三个式子本质上是相同的）, 0等,（2）如何将向量关系转化为数量关系？(施以什么运算?)生：施以数量积运算

（3）可取与哪些向量的数量积运算？

[学情预设：此处，学生可能会做如下种种尝试，如两边自乘平方、两边）同时点乘向量（或、，均无法如愿。此时引导学生两边同时点乘向量,并说出理由：数量积运算产生余弦，垂直则实现了余弦与正弦的转换。]



[知识链接：过渡教材中，证明方法所引用的单位向量j就是与向量AD 共

线的单位向量。过去，学生常对此感到费解，经如此铺垫方显自然]

探究3：能否引入向量的坐标形式，把向量关系转化为代数运算？

（1）如图4，建立直角坐标系，可得：A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA),（2）向量BC的坐标=？（bcosA-c，bsinA）

（3）哪一点的坐标与向量的坐标相同？由三角函数的定义，该点的坐标又为多少？

根据平行四边形法则，D（acos(1800B),asin(1800B)），从而建立等量关系：bcosA－c=acos(bcosA+ 1800B), bsinA= asin(1800B), 整理，得c= acosB（这其实是射影定理），a/sinA=b/sinB，同理可得a/sinA=c/sinC。

[知识链接：向量，融数与形于一体，是重要的数学工具，我们可以通过向量的运算来描述和研究几何元素之间的关系（如角与距离等），这里学生已经学过向量，可根据学生素质情况决定是否采用探究2与3]

问题3：钝角三角形中如何推导正弦定理？（留做课后作业）

（四）理解定理、基本应用：

1、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

abc



sinAsinBsinC

问题

4、定理结构上有什么特征，有哪些变形式？

（1）从结构看：各边与其对角的正弦严格对应，成正比例，体现了数学的和谐美。

（2）从方程的观点看：每个方程含有四个量，知三求一。从而知正弦定理的基本作用为：

bsinA

①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如a；

sinB

②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如

sinAsinB

a。

2、例题分析

例1．在ABC中，已知A450，C300，c10cm，解三角形。评述：定理的直接应用，对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。

例2．在ABC

中，已知a2,cA450，解三角形

评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。课后思考：已知三角形的两边一角，这个三角形能唯一确定吗？为什么？

3、课堂练习：（1）、引题（问题1）（2）、在△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

[设计意图：设计二个课堂练习，练习（1）目的是首尾呼应、学以致用；练习（2）则是将正弦定理、简易逻辑与平面几何知识整合，及时巩固定理，运用定理。]

（五）课堂小结：

问题5：请同学们用一句话表述学习本课的收获和感受。生1：原来我只会解直角三角形，现在我会解一般三角形了 师：通过本课学习，你发现自己更强大了。

生2：原来我以为正弦定理的证明，只有书上一种方法，今天我们学到了课本以外的众多方法。

师：我们学习过两个重要数学工具，即三角函数与平面向量，正弦定理的证明充分展示了它们的妙用。

生3：公式很美。师：美在哪里？

生3：体现了公式的对称美，和谐美······

在同学们的热烈讨论的基础上，用课件展示小结：

1、在正弦定理的发现及其证明中，蕴涵了丰富的思想方法，既有由特殊到一般的归纳思想，又有严格的演绎推理。在定理证明中我们从直观几何角度、向量运算角度探求了数学工具的多样性。

2、正弦定理反映了边与其对角正弦成正比的规律,据此，可以用角的正弦替代对边，具有美学价值

3、利用正弦定理解决三类三角形问题：

（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角。

（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边 的对角，进而求出其他的边和角。

（3）实现边与角的正弦的互化。

[设计意图：通常，课堂小结均由老师和盘托出，学生接受现成的结论。本设计充分发挥学生思维参与的主动性和创造性，师生合作，让课堂小结成为点睛之笔。]

（六）分层作业：

1、书面作业：课时训练对应内容

2、研究类作业：

1）在钝角三角形中探求证明定理的不同方法。

abc

ksinAsinBsinC2）在△ABC中，研究k的几何意义

3）已知三角形的两边一角，这个三角形能唯一确定吗？ [设计意图：对问题3），根据分散难点，循序渐进原则，在例2中初步涉及，在课后让学生先行思考，在“正、余弦定理”第三课时中予以下图的剖析阐述。]

已知边a,b 和A

Ha

无解

Ha = CH = bsinA仅有一个解

CH = bsinA

篇7：正弦定理导学案

责任学校小街中学责任教师段永杰

一、学习目标

1、理解命题的相关概念，能找出命题的题设和结论，会判断命题的真假；知道什么是定理，初步感知证明的一般步骤。

2、通过独立思考，交流合作，体会探索数学结论的过程，发展推理能力。

二、预习内容

自学课本20页至21页，完成下列问题：

1、叫做命题，命题由和两部分组成，题设是，结论是。命题常可以写成的形式。

2、叫做真命题，叫做假命题。

3、命题“两直线平行，内错角相等”的题设是，结论是。将它改写成“如果...那么...”的形式：。

4、叫做定理。

5、叫做证明。

三、探究学习

1、命题的组成及结构：

请同学们观察一组命题，思考命题由哪几部分组成？

（1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；

（2）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；

（3）如果两个角的和是90º，那么这两个角互余；

（4）等式两边都加同一个数，结果仍是等式．

2、命题“在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条”是真命题还是假命题？你是怎么判断的？怎么证明你的判断？.四、巩固测评

（一）基础训练：

1、判断下列语句是不是命题？

（1）两点之间，线段最短；（）

（2）请画出两条互相平行的直线；（）

（3）过直线外一点作已知直线的垂线；（）

（4）两个角的和是90º，那么这两个角互余．（）

2、将下列命题改成“如果„„，那么„„”的形式.（1）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；

（2）等式两边都加同一个数，结果仍是等式；

（3）互为相反数的两个数相加得0；

（4）同旁内角互补；

（5）对顶角相等．

3、下列命题哪些是真命题，哪些是假命题？

（1）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；

（2）等式两边都加同一个数，结果仍是等式；

（3）互为相反数的两个数相加得0；

（二）变式训练：

4、填空：

已知：∠1=∠2，∠3=∠4，求证：EG∥FH．

证明：∵∠1=∠2（已知）

∠AEF=∠1（）；

∴∠AEF=∠2（）．

∴AB∥CD（）．

∴∠BEF=∠CFE（）．

∵∠3=∠4（已知）；

∴∠BEF－∠4=∠CFE－∠3．

即∠GEF=∠HFE（）．

∴EG∥FH（）．

（三）综合训练：

如图，EF∥AD,∠1=∠2,∠BAC=70°,求∠AGD.∵EF∥AD,∴∠2=____(_________________________)

又∵∠1=∠2,∴∠1=∠3(___________)

∴AB∥____(_______________________)

∴∠BAC+______=180°

(_________________________)

∵∠BAC=70°

（4）同旁内角互补；

∴∠AGD=_______。CGA

篇8：正弦定理导学案

1.掌握余弦定理的两种表示形式； 2.证明余弦定理的向量方法；

本的解三角形问题．

【重点难点】 1.重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用.2.难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用.【知识链接】

复习1：在一个三角形中，各和它所对角的的相等，即==．

复习2：在△ABC中，已知c10，A=45，C=30，解此三角形．

思考：已知两边及夹角，如何解此三角形呢？

【学习过程】 ※ 探究新知

问题：在ABC中，AB、BC、CA的长分别为c、a、b. ∵AC，∴ACAC

同理可得：a2b2c22bccosA，c2a2b22abcosC．

新知：余弦定理：三角形中任何一边的等于其他两边的的和减去这两边与它们的夹角的的积的两倍．

思考：这个式子中有几个量？

从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？

从余弦定理，又可得到以下推论：

b2c2a

2，． cosA2bc

[理解定理]

（1）若C=90，则cosC，这时c2

a2b2

由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．

（2）余弦定理及其推论的基本作用为：

①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；

②已知三角形的三条边就可以求出其它角．

试试：

（1）△ABC

中，a，c2，B150，求b．

（2）△ABC中，a

2，b，c1，求A．

※ 典型例题

例1.在△ABC

中，已知a

bB45，求A,C和c．

变式：在△ABC中，若AB，AC＝5，且cosC＝9

10，则BC＝________．

例2.在△ABC中，已知三边长a3，b

4，c，求三角形的最大内角．

变式：在ABC中，若a2b2c2bc，求角A．

【学习反思】

※ 学习小结

1.余弦定理是任何三角形中边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；

2.余弦定理的应用范围：

① 已知三边，求三角；

② 已知两边及它们的夹角，求第三边．

※ 知识拓展

在△ABC中，若a2b2c2，则角C是直角；

若a2b2c2，则角C是钝角；

222）.A.很好B.较好C.一般D.较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1.已知a

c＝2，B＝150°，则边b的长为（）.2.已知三角形的三边长分别为3、5、7，则最大角为（）.A．60B．75C．120D．150

3.已知锐角三角形的边长分别为2、3、x，则x的取值范围是（）.A

x

＜x＜

5C． 2＜x

D

＜x＜5 4.在△ABC中，|AB|＝3，|AC|＝2，AB与AC的夹角为60°，则|AB－AC|＝________． 5.在△ABC中，已知三边a、b、c满足

b2a2c2ab，则∠C等于．

1.在△ABC中，已知a＝7，b＝8，cosC＝13

14，求最大角的余弦值．

篇9：正弦定理余弦定理练习

一、选择题

1、已知ABC中，a4,b43,A300,则B=（）

A.300B.300或1500 C.600D.600或12002、已知ABC中，AB6,A300,B1200,则SABC()

A.9B.18C.93D.1833、已知ABC中，a:b:c1:3:2，则A:B:C（）

A.1:2:3B.2:3:1C.1:3:2D.3:1:24、已知ABC中，sinA:sinB:sinCk:(k1):2k(k0)，则k的取值范围是（）

A.2,B.,0C.二、填空题

1、已知ABC中，B300,AB23,AC2,则SABC

2、已知ABC中，b2csinB,则角

3、设ABC的外接圆的半径为R，且AB4,C450,则R=

4、已知SABC32,b2,c3,则角1,02D.1,2 A=

5、已知ABC中，B450,C600,a2(31)，则SABC

三、简答题

01、在ABC中，若B30,AB23,AC2,求SABC.2、已知ABC中，C60,BCa,ACb,ab6.(1)写出ABC的面积S与a的函数关系式；(2)当a等于多少时，Smax？并求出Smax.23、已知ABC中，aa2(bc),a2b2c3,若sinC:sinA4:，求a,b,c.04、a,b,c是ABC的三内角A,B,C的对边，4sin

篇10：正弦定理和余弦定理2

第一章

解三角形

§1.1.2正弦定理和余弦定理

班级

姓名

学号

得分

一、选择题

1．在△ABC中，已知b＝43，c＝23，∠A＝120°，则a等于……………….（）

A．221 B．6

C．221或6

D．21563

2．在△ABC中，已知三边a、b、c满足(a＋b＋c)(a＋b-c)＝3ab，则∠C等于…..()

A．15° B．30°

C．45°

D．60°

3．已知在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大角是…（）

A．135° B．90°

C．120°

D．150°

4．在△ABC中，若c4-2(a2＋b2)c2＋a4＋a2b2＋b4＝0，则∠C等于………………….()

A．90° B．120°

C．60°

D．120°或60°

5．已知A、B、C是△ABC的三个内角，则在下列各结论中，不正确的为………...()

A．sinA＝sinB＋sinC＋2sinBsinCcos(B＋C)

B．sin2B＝sin2A＋sin2C＋2sinAsinCcos(A＋C)

C．sin2C＝sin2A＋sin2B-2sinAsinBcosC

D．sin(A＋B)＝sinA＋sinB-2sinBsinCcos(A＋B)6*．在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，则ABBC的值为……………………()

A．79

二、填空题

7．已知△ABC中，A＝60°，最大边和最小边是方程x2-9x＋8＝0的两个正实数根，那么BC边长是________．

13222222 B．69

C．5

D．-5 8．在△ABC中，已知a＝7，b＝8，cosC＝14，则最大角的余弦值是________．

abac＝________． 9．在△ABC中，∠C＝60°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，则bc9 10*．在△ABC中，若AB＝5，AC＝5，且cosC＝10，则BC＝________．

三、解答题

11．已知a＝33，c＝2，B＝150°，求边b的长及S△．

大毛毛虫★倾情搜集★精品资料 大毛毛虫★倾情搜集★精品资料

A12．在△ABC中，cos2 bc2c910，c＝5，求△ABC的内切圆半径．

13．已知△ABC的三边长a、b、c和面积S满足S＝a2-(b-c)2，且b＋c＝8，求S的最大值．

14*．已知a、b、c为△ABC的三边，且a-a-2b-2c＝0，a＋2b-2c＋3＝0，求这个三角形的最大内角．

大毛毛虫★倾情搜集★精品资料

2大毛毛虫★倾情搜集★精品资料

§1.1.2正弦定理和余弦定理参考答案

一、选择题

A D C D D D

二、填空题

17．57

8．-7

9．1 10．4或

5三、解答题

11．解：b2＝a2＋c2-2accosB＝(33)2＋22-2·23·2·(-2)＝49．

∴ b＝7，1113

S△＝2acsinB＝2×33×2×2＝2bc93．

12．解：∵ c＝5，2cA210，∴ b＝4

b1cosA22 又cos222bc2cbca2bc222 ∴ cosA＝c 又cosA＝

bca

∴ 2bcb2222222c∴ b＋c-a＝2b∴ a＋b＝c

∴ △ABC是以角C为直角的三角形．a＝cb＝3

∴ △ABC的内切圆半径r＝2(b＋a-c)＝1．

112222

13．解：∵ S＝a-(b-c)又S＝2bcsinA∴ 2bcsinA＝a-(b-c)

bca222

∴ 2bc114(4-sinA)∴ cosA＝4(4-sinA)∴ sinA＝4(1-cosA)

2tanAcosA28sin2A22AA ∴ 2sin22∴ tan214∴ sinA＝

1tanA24812171()4

21大毛毛虫★倾情搜集★精品资料 大毛毛虫★倾情搜集★精品资料

SS41712bCsinA(bc)424176417bc64∴ c＝b＝4时，S最大为17

14．解：∵ a2-a-2b-2c＝0，a＋2b-2c＋3＝0

由上述两式相加，相减可得

c＝4(a2＋3)，b＝4(a-3)(a＋1)1

∴ c-b＝2(a＋3)

∵ a＋3＞0，∴ c＞b

c-a＝4(a2＋3)-a＝4(a2-4a＋3)＝4(a-3)(a-1)1

∵ b＝4(a-3)(a＋1)＞0，∴ a＞3 1

∴ 4(a-3)(a-1)＞0

∴ c＞a

∴ c边最大，C为最大角

abc222

∴ cosC＝a22ab2

2116(a3)(a1)2a14116(a3)2212(a3)(a1)

∴ △ABC的最大角C为120°

篇11：正弦定理与余弦定理习题总结

ab

1.正弦定理：sinA=sinBc=sinC

=2R，其中R是三角形外接圆半径.b2c2a

22bc.2.余弦定理：a=b+c-2bccosA,b=a+c-2accosB,cosA=

3.S△ABC

=21absinC=21bcsinA=2

acsinB,S△=

p(pa)(pb)(pc)=pr(p=

abc

2,r为内切圆半

abc

径)=4R(R为外接圆半径).4.在三角形中大边对大角，反之亦然.5.射影定理：a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA.6.三角形内角的诱导公式

(1)sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tanC=-tan(A+B),cos

C2

CABAB

2=sin,sin2=cos2

在△ABC中，熟记并会证明tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC;7.解三角形常见的四种类型

ab

(1)已知两角A、B与一边a,由A+B+C=180°及sinA=sinB

c=sinC，可求出角C再求b、c.(2)已知两边b、c与其夹角A，由a=b+c-2bccosA，求出a，再由余弦定理，求出角B、C.(3)已知三边a、b、c，由余弦定理可求出角A、B、C.ab

(4)已知两边a、b及其中一边的对角A，由正弦定理sinA=sinBac求出c，再由sinA=sinC

判断方法，如下表：，求出另一边b的对角B，由C=π-(A+B)，ab

求出C，而通过sinA=sinB

求B时，可能出一解，两解或无解的情况，其

8.9.三角形的分类或形状判断的思路，主要从边或角两方面入手.专题一：正、余弦定理的应用

例1．在ABC

中，已知a

针对练习：

1．（2010上海文数）18.若△，c，B600，求b及A；

ABC的三个内角满足 sinA:sinB:sinC5:11:13，则△ABC

（A）一定是锐角三角形.（B）一定是直角三角形.（C）一定是钝角三角形.(D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.2．（2010湖南文数）7.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C=120°，A.a＞bB.a＜bC.a＝bD.a与b的大小关系不能确定例2．（2009北京理）.在ABC中，角

a，则

A,B,C的对边分别为a,b,c,B



cos，A,b

5（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）求ABC的面积.针对练习：

3．设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且acosB＝3，bsinA＝4.(1)求边长a；(2)若△ABC的面积S＝10，求△ABC的周长l.4．（2010天津理数）（7）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若ab

2，sinCB，则A=（A）300（B）60（C）120（D）1500

5.(2010年天津)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若a2－b2＝3bc，sinC＝2 B，则A＝()A．30°B．60°C．120°D．150°

专题二：正、余弦定理、三角函数与向量的综合应用

例3.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若

（Ⅰ）判断△ABC的形状；（Ⅱ）若c针对练习：

k(kR).2,求k的值.1

56.（2009岳阳一中第四次月考）.已知△ABC中，ABa，ACb，ab0，SABC，

a3,b5，则BAC A.． 30B ．150C．1500D

． 30或1500

7．（2009浙江理）在ABC中，角

A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足cos



ABAC3．（I）求ABC的面积；（II）若bc6，求a的值．

A2，8.设△ABC的三个内角分别为A、B、C，向量m＝3sinA，sinB)，n＝(cosB3cosA)，若

m·n ＝1＋cos(A＋B)，则C＝()

ππ2π5πA.B.C.D.63369.(2010年辽宁)在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA＝(2a＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.(1)求A的大小；(2)求sinB＋sinC的最大值． 专题三：三角形面积

例3．在ABC中，sinAcosA和ABC的面积。，2AC2，AB

3,求tanA的值

针对练习

10．(2010年安徽)△ABC的面积是30，内角A、B、C所对边长分别为a、b、c，cosA＝1

3→→求AB·AC；(2)若c－b＝1，求a的值． 11．（2009湖南卷文）在锐角ABC中，BC

1,B2A,则AC

cosA的值等于，AC的取值范围为.12.在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C

2csinA,求a＋b的值。

(Ⅰ)确定角C的大小：（Ⅱ）若c＝

7,且△ABC的面积为

3专题三：解三角形的实际应用

例4：（2009辽宁卷理）如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点

30，的仰角分别为75，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60，AC=0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km

000

1.41

42.449）针对练习

13.如图3，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，求cosθ的值．

篇12：《正弦定理和余弦定理》教学反思

《正弦定理、余弦定理》教学反思

我对教学所持的观念是：数学学习的主要目的是：“在掌握知识的同时，领悟由其内容反映出来的数学思想方法，要在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。”数学学习的有效方式是“主动、探究、合作。”现代教育应是开放性教育，师生互动的教育，探索发现的教育，充满活力的教育。可是这些说起来容易，做起来却困难重重，平时我在教学过程中迫于升学的压力，课堂任务完不成的担心，总是顾虑重重，不敢大胆尝试，畏首畏尾，放不开，走不出以知识传授为主的课堂教学形式，教师讲的多，学生被动的听、记、练，教师唱独角戏，师生互动少，这种形式单一的教法大大削弱了学生主动学习的兴趣，压抑了学生的思维发展，从而成绩无法大幅提高。今后要改变这种状况，我想在课堂上多给学生发言机会、板演机会，创造条件，使得学生总想在老师面前同学面前表现自我，让学生在思维运动中训练思维，让学生到前面来讲，促进学生之间聪明才智的相互交流。

三角形中的几何计算的主要内容是利用正弦定理和余弦定理解斜三角形，是对正、余弦定理的拓展和强化，可看作前两节课的习题课。本节课的重点是运用正弦定理和余弦定理处理三角形中的计算问题，难点是如何在理解题意的基础上将实际问题数学化。在求解问题时，首先要确定与未知量之间相关联的量，把所求的问题转化为由已知条件可直接求解的量上来。为了突出重点，突破难点，结合学生的学习情况，我是从这几方面体现的：我在这节课里所选择的例题就考常出现的三种题型：解三形、判断三角形形状及三角形面积，题目都是很有代表性的，并在学生练习过程中将例题变形让学生能观察到此类题的考点及易错点。这节课我试图根据新课标的精神去设计，去进行教学，试图以“问题”贯穿我的整个教学过程，努力改进自己的教学方法，让学生的接受式学习中融入问题解决的成份，企图把讲授式与活动式教学有机整合，希望在学生巩固基础知识的同时，能够发展学生的创新精神和实践能力，但我觉得自己还有如下几点做得还不够：①课堂容量中体来说比较适中，但由于学生的整体能力比较差，没有给出一定的时间让同学们进行讨论，把老师自己认为难的，学生不易懂得直接让优等生进行展示，学生缺乏对这几个题目事先认识，没有引起学生的共同参与，效果上有一定的折扣；②没有充分挖掘学生探索解题思路，对学生的解题思维只给出了点评，而没有引起学生对这一问题的深入研究，例如对于运用正弦定理求三角形的角的时候，出了给学生们常规方法外，还应给出老教材中关于三角形个数的方法，致少应介绍一下；③没有很好对学生的解题过程和方法进行点评，没起到“画龙点睛”的作用。④ 00

篇13：正弦定理教案

教学目标：

1．知识目标:通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。

2.能力目标:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。

3．情感目标：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。

教学重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。

教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

教学过程：

一、复习引入

创设情境：

【师】：世界闻名的巴黎埃菲尔铁塔，比其他的建筑高出很多。如果只提供测角仪和皮尺，你能测出埃菲尔铁塔的高度吗？

【生】：可以先在离铁塔一段距离的地方测出观看铁塔的仰角，再测出与铁塔的水平距离，就可以利用三角函数测出高度。

【创设情境总结】：解决上述问题的过程中我们将距离的问题转化为角，进而转化为三角函数的问题进行计算。这个实际问题说明了三角形的边与角有紧密的联系，边和角甚至可以互相转化，这节课我们就要从正弦这个侧面来研究三角形边角的关系即正弦定理。

二、新课讲解

【师】：请同学们回忆一下，在直角三角形中各个角的正弦是怎么样表示的？

【生】：在直角三角形ABC中，sinAab,sinB,sinC1 cc

abc,c,c，也就是说在Rt△ABCsinAsinBsinC【师】：有没有一个量可以把三个式子联系起来？ 【生】：边c可以把他们联系起来，即c

中abc sinAsinBsinC

【师】：对，很美、很对称的一个式子，用文字来描述就是：“在一个直角三角形中，各边与

它所对角的正弦比相等”，那么在斜三角形中，该式是否也成立呢？让我们在几何画板中验证一下，对任意的三角形ABC是不是都有“各边与它所对角的正弦比相等”成立？

【师】：通过验证我们得到，在任意的三角形中都有各个边和他所对的角的正弦值相等。

在上面这个对称的式子中涉及到了三角形三个角的正弦，因此我们把它称为正弦定理，即我们今天的课题。

【师】：直观的印象并不能代替严格的数学证明，所以，只是直观的验证是不够的，那能不

能对这个定理给出一个证明呢？

【生】：可以用三角形的面积公式对正弦定理进行证明：S1111absinCacsinBbcsinA，然后三个式子同时处以abc就可以得222

2到正弦定理了。

【师】：这是一种很好的证明方法，能不能用之前学过的向量来证明呢？答案是肯定的。怎

么样利用向量只是来证明正弦定理呢？大家观察，这个式子涉及到的是边和角，即向量的模和夹角之间的关系。哪一种运算同时涉及到向量的夹角和模呢？

（板书：证法二，向量法）

【生】：向量的数量积ababcos

【师】：先在锐角三角形中讨论一下，如果把三角形的三边看做向量的话，则容易得到三角

形的三个边向量满足的关系：ABBCAC,那么，和哪个向量做数量积呢？还

有数量积公式中提到的是夹角的余弦，而我们要得是夹角的正弦，这个又怎么转化？（启发学生得出通过做点A的垂线根据诱导公式来得到）

【生】：做A点的垂线

【师】：那是那条线的垂线呢？

【生】：AC的垂线

【师】：如果我们做AC垂线上的一个单位向量j，把向量j和上面那个式子的两边同时做数

cos(90A)cos(90C)cos90，化简000

即可得到csinAasinC，即acbc，同理可以得到。即在sinAsinCsinBsinC

锐角三角形ABC中有每条边和它所对的角的正弦值相等这个结论。

【师】：如果△ABC是钝角三角形呢？又怎么样得到正弦定理的证明呢？不妨假设∠A是钝

角，那么同样道理如果我们做AC垂线上的一个单位向量j，把向量j和上面那个式

子ABBCAC的两边同时做数量积运算就可以得到

00jABcos(C90)jBCcos(90C)jACcos900，化简即可得到csinAasinC，即acbc，同理可以得到。即在钝角三角sinAsinCsinBsinC

形ABC中也有每条边和它所对的角的正弦值相等这个结论。

【师】：经过上面的证明，我们用两种方法得到了正弦定理的证明，并且得到了正弦定理对

于直角、锐角、钝角三角形都是成立的。

【师】：大家观察一下正弦定理的这个式子，它是一个比例式。对于一个比例式来说，如果

我们知道其中的三项，那么就可以根据比例的运算性质得到第四项。因此正弦定理的应用主要有哪些呢？

【生】：已知三角形的两边一其中一边的对角求另外一边的对角，或者两角一边求出另外一

边。

【师】：其实大家如果联系三角形的内角和公式的话，其实只要有上面的任意一个条件，我们都可以解出三角形中所有的未知边和角。下面我们来看正弦定理的一些应用。

三、例题解析

【例1】优化P101例

1分析：直接代入正弦定理中运算即可

absinAsinB

csinA10sin45

asinCsin30

bcsinBsinC

B180(AC)180(4530)105

csinB10sin105b205sinCsin30总结：本道例题给出了解三角形的第一类问题（已知两角和一边，求另外两边和一

角，因为两个角都是确定的的，所以只有一种情况）

【课堂练习1】教材P144练习1（可以让学生上台板演）

【随堂检测】见幻灯片

四、课堂小结

【师】：本节课的主要内容是正弦定理，即三角形ABC中有每条边和它所对的角的正弦值相等。写成数学式子就是abc。并且一起研究了他的证明方法，利用它解决sinAsinBsinC

了一些解三角形问题。对于正弦定理的证明主，要有面积法和向量法，其实对于正弦定理的证明，还有很多别的方法，有兴趣的同学下去之后可以自己去了解一下。

五、作业布置

世纪金榜P86自测自评、例

1、例

2板书设计：