定理与证明导学案

定理与证明导学案（共11篇）

篇1：定理与证明导学案

《命题、定理、证明》导学案

一、学习目标：

知识点： 1了解命题、定理和证明的概念，能区分命题的题设和结论，2能判断命题的真假

3能对命题的正确性进行证明 重点：命题的判断及区分题设、结论 难点：对命题的正确性进行证明

二、合作探究：自学课本21-23页，5分钟内完成下列问题。要求先自主学习，确有困难以组为单位，组长组织讨论解决，仍解决不了的可跨组讨论。

1、叫命题，命题是由和组成，2 数学中的命题常可以写成“如果„，那么„”的形式．

“如果”后接的部分是，“那么”后接的部分是．3命题分为两种和

如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫如果题设成立，不能保证结论一定成立 这样的命题

4有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，这样的真命题叫做写出我们学过的两个基本事实5有些命题的正确性是经过推理证实的，这样的真命题叫做

如:平行线判定定理平行线性质定理6证明的根据可以是

三、尝试应用

1、判断下列语句是不是命题？（1）你吃饭了吗？（）（2）两点之间，线段最短。（）（3）请画出两条互相平行的直线。（）（4）过直线外一点作已知直线的垂线。（）（5）如果两个角的和是90º，那么这两个角互余。（）（6）对顶角不相等。（）

2、下列命题中的题设是什么？结论是什么？ ①如果两个角是邻补角，那么这两个角互补

② 如果a＞b，b＞c，那么a=c

③ 对顶角相等

④同位角相等下列语句是命题吗？如果是请将它们改写成“如果„„，那么„„”的形式.（1）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；

（2）等式两边都加同一个数，结果仍是等式；

（3）互为相反数的两个数相加得0

（4）对顶角相等

4判断下列命题的真假。真的用“√”，假的用“× 表示。1 一个角的补角大于这个角()2 相等的两个角是对顶角（）3 若A=B，则2A =2B（）4）同旁内角互补（）

四、拓展提升：

1请同学们判断下列两个命题的真假，并思考如何判断命题的真假．

命题1： 在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条．

命题1是真命题还是假命题？

你能画出图形并用符号语言表述命题的题设和结论吗？

请同学们思考如何利用已经学过的定义定理 来证明这个结论呢？

命题2相等的角是对顶角 判断这个命题的真假

这个命题题设和结论分别是什么？

你能举出反例吗？（画出图形）

五、知识小结：

谈一谈本节课你的收获：

篇2：定理与证明导学案

责任学校小街中学责任教师段永杰

一、学习目标

1、理解命题的相关概念，能找出命题的题设和结论，会判断命题的真假；知道什么是定理，初步感知证明的一般步骤。

2、通过独立思考，交流合作，体会探索数学结论的过程，发展推理能力。

二、预习内容

自学课本20页至21页，完成下列问题：

1、叫做命题，命题由和两部分组成，题设是，结论是。命题常可以写成的形式。

2、叫做真命题，叫做假命题。

3、命题“两直线平行，内错角相等”的题设是，结论是。将它改写成“如果...那么...”的形式：。

4、叫做定理。

5、叫做证明。

三、探究学习

1、命题的组成及结构：

请同学们观察一组命题，思考命题由哪几部分组成？

（1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；

（2）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；

（3）如果两个角的和是90º，那么这两个角互余；

（4）等式两边都加同一个数，结果仍是等式．

2、命题“在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条”是真命题还是假命题？你是怎么判断的？怎么证明你的判断？.四、巩固测评

（一）基础训练：

1、判断下列语句是不是命题？

（1）两点之间，线段最短；（）

（2）请画出两条互相平行的直线；（）

（3）过直线外一点作已知直线的垂线；（）

（4）两个角的和是90º，那么这两个角互余．（）

2、将下列命题改成“如果„„，那么„„”的形式.（1）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；

（2）等式两边都加同一个数，结果仍是等式；

（3）互为相反数的两个数相加得0；

（4）同旁内角互补；

（5）对顶角相等．

3、下列命题哪些是真命题，哪些是假命题？

（1）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；

（2）等式两边都加同一个数，结果仍是等式；

（3）互为相反数的两个数相加得0；

（二）变式训练：

4、填空：

已知：∠1=∠2，∠3=∠4，求证：EG∥FH．

证明：∵∠1=∠2（已知）

∠AEF=∠1（）；

∴∠AEF=∠2（）．

∴AB∥CD（）．

∴∠BEF=∠CFE（）．

∵∠3=∠4（已知）；

∴∠BEF－∠4=∠CFE－∠3．

即∠GEF=∠HFE（）．

∴EG∥FH（）．

（三）综合训练：

如图，EF∥AD,∠1=∠2,∠BAC=70°,求∠AGD.∵EF∥AD,∴∠2=____(_________________________)

又∵∠1=∠2,∴∠1=∠3(___________)

∴AB∥____(_______________________)

∴∠BAC+______=180°

(_________________________)

∵∠BAC=70°

（4）同旁内角互补；

∴∠AGD=_______。CGA

篇3：定理与证明导学案

一、直角投影定理及其逆定理

各版本《机械制图》或《画法几何》教材对“直角投影定理”的叙述大体相同。

定理:垂直相交的两直线, 若其中一直线平行于某投影面, 则两直线在该投影面上的投影仍然垂直。

逆定理:若相交两直线在某一投影面上的投影垂直, 且其中一条直线平行于该投影面, 则该两直线在空间必相互垂直。

1. 直角投影定理的证明

已知:BC ⊥ AB, BC ∥ H面, ab、bc分别是AB、BC在H面上的投影, 如图1 所示。

求证:bc ⊥ ab。

证明:因为BC ∥ H面, Bb ⊥ H面, 所以BC ⊥ Bb;

又BC ⊥ AB, 所以BC ⊥ 投射面BAab;

又因BC ∥ H面, bc ∥ BC, 所以bc ⊥投射面BAab。根据立体几何定理可知bc垂直于平面BAab上的所有直线, 故bc ⊥ ab。

2. 直角投影定理逆定理的证明

已知:ab、bc分别是AB、BC在H面上的投影, bc ⊥ ab, BC ∥ H面, 如图1 所示。

求证:BC ⊥ AB。

证明:因为bc ⊥ ab, bc ⊥ Bb, 所以bc ⊥投射面BAab;又题知BC ∥ bc, 所以BC ⊥投射面BAab, 故BC ⊥ AB。

二、直角投影定理及其逆定理的分析

直角投影定理 (综述) :两条垂直 (相交或交错) 直线, 若其中一直线平行于某投影面, 则两直线在该投影面上的投影仍然垂直。

直角投影定理逆定理 (综述) :若两条直线在某投影面上的投影垂直, 则该两条直线垂直 (相交或交错) 的充分必要条件是至少有一条直线平行于该投影面。

1. 直角投影定理 (综述) 的证明

以下就“两条垂直 (交错) 直线”情况证明。如图2 所示。

已知:AB和CD异面, AB ⊥ CD, 且CD ∥ H面。

求证:ab ⊥ cd。

证明:在直线CD上任取一点, 如取D点, 过D点作直线ED ∥ AB, 则ED ⊥ CD, 根据图1 所证则有ed ⊥ cd;

又因ED ∥ AB, 所以ed ∥ ab, 所以ab ⊥ cd。

2. 直角投影定理逆定理 (综述) 的证明

几何法证明充分性。关于结论“两条直线垂直 (相交) ”情况, 在图2 中已经证明。以下仅证明结论“两条直线垂直 (交错) ”情况。如图2 所示。

已知:AB和CD异面, ab ⊥ cd, 且CD ∥ H面。

求证:AB ⊥ CD。

证明:在直线CD上任取一点, 如取D点, 过D点作直线ED ∥ AB, 则ed ∥ ab, 又ab ⊥ cd, 所以ed ⊥ cd, 而CD ∥ H面, 根据直角投影定理逆定理则有ED ⊥ CD;又因ED ∥ AB, 所以AB ⊥ CD。

直角投影定理虽然只是“机械制图”课程中的一小部分内容, 但它却有着多方面的延伸。该定理在解决线与线、线与面、面与面之间相互垂直的问题上是一个很重要的理论依据。在学习直角投影定理内容的时候, 若能够从以上进行全方位理解, 对于分析解决问题才能达到纲举目张、举一反三、得心应手的程度。

参考文献

[1]卢元.直角投影定理及推广的证明[J].教师, 2013 (32) :50.

篇4：浅谈勾股定理的证明与推广应用

关键词：勾股定理；定理证明；推广应用

1引言

自我国改革开放以来，国内政治、经济、社会、文化等诸多环境得以完善，从而吸引了大量外国企业、居民进入国内，给中国当代文化氛围、科学技术发展带来了较为深刻的影响。中外文化的交流，在一定程度上给整个世界学术界、实务界的发展提供更加鲜活的血液与动力。（删除）勾股定理作为世界范围内数学界最为伟大的发明之一，其是一个十分伟大的数学定理。迄今为止，勾股定理已经被利用多种方法给予证明，并在较多领域中得以推广。作为一个具有历史厚重感的数学定理，在当前中学教课书中也是仅仅列举了一种证明方法，而对其他方法的证明及其推广应用的介绍十分之少。为此，作者将在本文中针对勾股定理的证明方法进行研究，作者谨此希望能够利用本文的研究丰富当代中学生的视野，使他们能够利用对定理背后历史的探究，更好的掌握数学应用方法，为步入大学校园继续深造奠定坚实的基础，为社会主义现代化建设需求人才素质的提升做出自身贡献（删除）。

2勾股定理的证明方法研究

勾股定理作为一种举世闻名的数学定理，其（删除）现存的证明方法繁复多样，可根据主流的分类方法将其归为三类。在下文当中，作者将对前两种方法分别进行一种证明方法的研究。

第一，面积法。该种证明方法是由毕达哥拉斯所发明的，其当初所使用的面积法证明采用了分解的思路，具体如下图所示：

在两个绘制的图形当中，可以发现，毕达哥拉斯共设计出了八个大小完全相等的直角三角形。并对每个直角三角形的边进行了赋值，其中直角边的赋值分别为a与b、斜边的赋值为c。接下来，在上述八个直角三角形的位置周围绘制出了三个等边正方形。最终就形成了如上两个图形。在做好上述准备工作之后，就可开始对勾股定理进行了证明，其证明思路主要为利用正方形所具有的面积对定理进行证明。可以发现，左图当中将所有小矩形的面积进行相加，就等于整个大正方形的面积。并可得出如下公式：

（a+b）2=a2+b2+4×1/2×ab

在得出上述等式基础上，再将面积相等的方法应用于右图当中，也可以得出另一等式：

（a+b）2=c2+4×1/2×ab=c2+2ab

通过上述两个公式之间的合并，最终可以得到勾股定理的公式：a2+b2=c2

第二，拼接法。拼接法证明与面积法证明之间存在着较大差异。为此，可以先绘制以下图形，以便于利用拼接法进行更为准确的证明：

其通常所采用的方法之一具体由上图列示。该图形主要由四个大小相同的直角三角形所构成。并对每个直角三角形的边进行赋值，赋值方法与面积法基本相同。在此基础上，可利用上述拼接图形进行勾股定理的证明。由上图可以发现，DE=AF=HE=b，且角GDE为90度，也存在有FB=FG=BC=a，且角BCG为90度。因此，上图当中的两个四边形就可以利用已经为直角三角形的赋值进行替代表示。从而又可将上图分解为两个图形，并实现勾股定理的证明。

3勾股定理的推广应用研究

勾股定理不但可以在平面图形当中得以应用，更加可以在三维图形，乃至n维图形当中得以应用，并给解决诸多较为复杂的数学问题提供重要帮助。例如：假设ABC为等边三角形，D是该三角形内部的一点。如果假设角BDC为150度，并假设BD长度为2，CD长度为1。那么，AD的长度应当是多少。在上述旋转三角形边长求解的运算当中，就可以借助勾股定理的方法实现对最终答案的求解。该求解的主要利用图形的旋转将现有三角形ABC等位移动至三角形AEC处，从而构造出了一个新的等边三角形ADC。那么，依据这一思路之后，就可以利用对现有容易求解的方法对ED求解，并利用两者之间相等的思想，实现对目标边AD长度的求解。其中针对EC的求解就可以应用到勾股定理，并构造如下等式：DE=（DC2+CE2）1/2=51/2。进而也就求得了边AD的长度。通过这则案例可以得出结论，勾股定理在平面图形之外的立体多位图形当中可以实现推广与应用。

4结论

通过本文的研究，可以发现，勾股定理作为一个举世闻名的数学定理，其现存的证明方法繁复多样，可根据主流的分类方法将其归为三类：其一为面积法；其次为拼接法；另外一种为定理法。通过对不同方法的探究，作者以案例的方式对其中两种方法的大致证明思路提出了思考，并在此基础上对不同方法的推广应用进行了研究。作者谨此希望，能够利用本文的研究，给数学界勾股定理应用范围及深度的提升带来促进作用，也希望能够在未来求学过程中继续深入思考研究数学理论的相关问题。

参考文献

篇5：正弦定理导学案

【使用说明】

1、预习教材P2-P4页，在规定时间完成预习学案

【预习目标】1.明确在直角三角形中边与角的正弦之间的关系，2.弄清楚正弦定理的表达形式，能对表达式做简单的变形.3.通过自主学习、合作讨论探究，体验学习的快乐

.【重点难点】正弦定理的推导过程和定理的应用.一、知识链接

1.在RtABC中sinA=sinB=sinC=

2.正弦定理：

二、教材导读

1、从直角三角形中边与角的正弦之间的关系可以得到

锐角三角形的证明在钝角三角形中进行证明。

2、思考正弦定理的其他证明方法，可以借助向量来证明吗？

3、从正弦定理的结构形式上看正弦定理可以解决哪些解三角形的问题？（教材第3页）

4、尝试完成例1和例2。注意：①例1和例2的条件有什么不同；②为什么例2会有两种情况呢？是否已知两边及其一边的对角就有两种情况呢？可能还有哪些情况？（参考教材P8和P9）.asinAbsinBcsinCasinAbsinBcsinC，仿照教材第2页

三、预习自测

《点金训练》P2自我评价和知识整合例1；

1.在ABC中，(1)sinA=

012 ,则A=_______(2)cosA=012，则A=_______ 2.在ABC中，若C=90，a=6，B=30，则c-b等于（）

A．1B.-1C.23D.23

3．在ABC中，sinA1

2，sinB

0032，则ABC对应三边的比值为a︰b︰c=4．在ABC中，已知A45,C30,c10，求边a=。

四、探究、合作、展示 在三角形的外接圆中正弦定理

可以得到哪些边角关系？

篇6：三角形内角和定理导学案

成功其实很简单，就是当你坚持不住的时候，再坚持一下！

-----教师寄语

学前预习案

1、复习知识点：平角、平行线的性质、平行线的判定

2、用硬纸剪一个三角形

3、预习第五章情景导航 教学过程

一、学习目标

（一）学习知识点：三角形的内角和定理的证明.（二）能力训练要求：掌握三角形内角和定理，并初步学会利用辅助线证题，同时培养学生观察、猜想和论证能力.（三）情感与价值观要求：通过新颖、有趣的实际问题，来激发学生的求知欲.二、自读文本，自学感知

1.结合课本情景导航，通过动手操作，探究三角形内角和。思考后小组展示。2.结合探究过程思考如何证明。并将证明过程整理出来，思考后小组展示。

三、答疑解难，精讲点拨

1、写出证明过程

2.你还能用哪些添加辅助线的方法，证明三角形内角和定理呢？

3.由下图及三角形内角和定理，你还发现了什么？写出你的发现并证明

四、质疑问难

合作探究

1、如图,AB//CD,∠ABD与∠BDC的平分线相交于点O,求∠O的度数.2.已知:如图,在△ABC中,AD平分外角∠EAC,∠B= ∠C.求证:AD∥BC.五、课堂小结

三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于1800

推论1:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.推论2:三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

在几何证明中，辅助线起非常重要的作用，添加不同的辅助线解法也不同。

六、当堂检测

1、已知:如图,在△ABC中, ∠1是它的一个外角, E为边AC上一点,延长BC到D,连结DE.求证: ∠1>∠2.2、已知：如图，在△ABC中，DE//BC，∠A = 60°，∠C=70°。求证：∠ADE = 50°

3、△ABC中，已知∠A:∠B:∠C=3:2:1，则∠A=___ ° ∠B=___ ° ∠C=___

拓展延伸

1、AD、AF分别是△ABC的高和角平分线，已知∠B = 36°，∠C = 76°，求∠DAF

篇7：定理与证明导学案

§1．1．1 正弦定理

【情景激趣】

有一个旅游景点，为了吸引更多的游客，想在风景区两座相邻的山之间搭建一条观光索道。已知一座山A到山脚C的上面斜距离是1500米，在山脚测得两座山顶之间的夹角是450，在另一座山顶B测得山脚与A山顶之间的夹角是300。求需要建多长的索道？

【目标明晰】

1.知识与技能

通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题.2.过程与方法

让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作.3.情感态度与价值观

培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一.二、教学重点、难点

1.重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用.2.难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数.学习过程

（一）自主探究

RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,，有abcsinA，sinB，又sinC1则ccc

以上关系式是否仍然成立？可分为c那么对于任意的三角形，sinAsinBsinC

锐角三角形和钝角三角形两种情况： abc

1.叙述正弦定理的内容：

2.正弦定理的变形

①边化角：a=，b=，c=；

②角化边：sin，sin，sinC；

3.正弦定理的推论： a:b:c

从而知正弦定理的基本作用为：

①

②

一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作_______

【交流释疑】

（二）合作探讨

类型一已知两角及一边解三角形

例1.在ABC中，已知A45，B60，a42cm，解三角形．

变式：在ABC中，已知B45，C60，a12cm，解三角形．

规律总结：

类型二已知两边及一边的对角解三角形

例2.在ABC中，cA45,a2,求b和B,C．

变式

：在ABC中，bB60,c1,求a和A,C．

规律总结：

类型三判断三角形的形状

例3在ABC中，已知a2tanBb2tanA，试判断三角形的形状。

变式：已知在ABC中，bsinBcsinC，且sin2Asin2Bsin2C，试判断三角形的形状。

规律总结：

类型四 三角形面积公式

1absinC，并运用此结论解决下面问题：

2（1）在ABC中，已知a2，b3，C150，求SABC；仿照正弦定理的证法一，证明SABC

（2）在ABC中，已知c10，A45，C30，求b和SABC；



规律总结：

【反思回忆】

● 目标回忆

● 构建体系

● 总结规律

● 完善存疑

【课时练习】完成课时作业

（一）课时作业

（一）第一章解三角形

§1.1.1正弦定理

1.正弦定理适用的范围是（）Ａ．直角三角形Ｂ．锐角三角形Ｃ．钝角三角形Ｄ．任意三角形

2.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c

等于 bB120，则a（）

B．2C

D

A

3.在△ABC中，若A2B，则a等于（）

A．2bsinAB．2bcosAC．2bsinBD．2bcosB

4.已知△ABC中，A∶B∶C＝1∶1∶4，则a∶b∶c等于（）.A．1∶1∶4B．1∶1∶2C．1∶

1D．2∶2在△ABC中，若sinAsinB，则A与B的大小关系为（）.A.ABB.ABC.A≥BD.A、B的大小关系不能确定

6．在△ABC中，C105，B45，c5，则b的值为（）

A5(31)B5(31)C10D5(6

7．在△ABC中，已知a3，b4，sinB

A002)2，则sinA=（）3311BCD 1 46

2

8.在△ABC中，已知B30，b，c150，那么这个三角形是（）

Ａ．等边三角形 Ｂ．直角三角形 Ｃ．等腰三角形 Ｄ．等腰三角形或直角三角形

9.根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是（）

A、a8,b16,A30，有两解 B、b18,c20,B60，有一解

C、a5,b2,A90，无解

10.ABC中，C=2B，则 D、a30,b25,A150，有一解 sni3B等于（）sniB

baacA、B、C、D、abca

311.三角形两边之差为2，夹角的余弦值为。该三角形的面积为14，则这两边分别为（）

5A、3和5B、4和6C、5和7D、6和8

a4,b42，12.在ABC中，A=60°，则角B等于（）

A、45°或135° B、135°C、45°D、以上答案都不对

13.在ABC中，已知(bc):(ca):(ab)4:5:6，则sinA:sinB:sinC等于

14.在ABC中，a3,b1,B30，则三角形的面积等于。

15.在ABC中，若acosAbcosB，则ABC的形状为16.在ABC中，已知bc8，B30，C45，则bc．

17.在ABC中，如果A30，B120，b12，那么aABC的面积是．

18在ABC中，bc

30，SABC，则A19.在△ABC中，三边a、b、c所对的角分别为A、B、C，已知，b=2，△ABC的面积S=3，求角C

20.．在三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且A,B为锐角，sinA

=,sinB

=（1）求A+B的值：

（2）若

a-b=

篇8：勾股定理的历史与证明

从以上的对话中可知商高不仅知道勾股定理, 还会运用勾股定理, 在《周髀算经》卷上之二《陈子模型》中就有这样的记载。“侯勾六尺, 即取竹, 空径一寸, 长八尺, 捕影而视之。空正掩日, 而日应空之孔, 由此观之, 率八十寸而得径一寸, 故以勾为首, 以髀为股, 从髀至日下六万里, 则八万里。若求邪至日者, 以日下为勾, 日高为股, 勾股各自乘, 并而开方除之, 得斜至日。”陈子不仅知道和熟练运用勾股定理, 陈子还能把勾股定理为模型运用在天体的测量之中。

几千年来, 古今中外的人们一直在探索它的证明方法, 不但有数学家, 还有物理学家, 甚至画家、政治家。世界上几乎所有文明古国都对此定理有所研究。我国古代数学家赵爽 (字卿, 东汉末吴国人) 是最早运用这种思想证明勾股定理的人, 赵爽利用把一个正方形分成四个全等的直角三角形和一个小正方形, 给出了勾股定理的详细证明。具体证明为:每个直角三角形的面积为;中间的得小正方形的面积为 (a-b) 2。他是世界上第一个最先用形数结合方法得到勾股定理的人, “赵爽弦图”是后世证明的先导, 就是把图形作适当的分割、移、补、拼、凑, 显示出图形之间的数量关系, 如图1:

赵爽创制的这幅“勾股圆方图”中, 以弦为边长得到正方形ABCD, 是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为;中间的小正方形的面积为 (a-b) 2。于是便可得如下的式子:, 化简得c2=a2+b2。这种证明方法很简明, 很直观, 它表现了我国古代数学家赵爽高超的证题思想和对数学的钻研精神, 是我们中华民族的骄傲。刘徽用了“青朱出入图”为代表的证明, 不用文字说明, 不用数学符号推理, 只要一看图形, 勾股定理的证明便清晰地呈现, 整个证明单靠移动几块图形而得出, 也被称为“无字证明”, 即剪贴证明法, 他把勾股为边的正方形上的某些区域剪下来 (出) , 移到以弦为边的正方形的空白区域内 (入) , 结果刚好填满, 完全用图解法就解决了问题。 (如图2)

传说中毕达哥拉斯的证法 (如图3) :

欧几里得《几何原本》对勾股定理的证明在西方是最早的, 如图3。证明大致步骤如下:

∵△ABF≌△ADC,

△ABF的面积=正方形ACHF的面积

△ADC的面积=四边形ADLM的面积

∴正方形ACHF的面积=四边形ADLM的面积

∵△BAK≌△BCE

△BAK的面积=正方形BKGC的面积

△BCE的面积=四边形BMLE的面积

∴正方形BKGC的面积=四边形BMLE的面积

∴S正方形ACHF+S正方形BKGC=S正方形ADEB

即:因此, 在外国称为“毕达哥拉斯定理”。

美国第20任总统茄菲尔德的证法如图4:

这个直角梯形是由2个直角边分别为a、b, 斜边为c的直角三角形和1个直角边为c的等腰直角三角形拼成的。因为3个直角三角形的面积之和等于梯形的面积, 所以可以列出等式, 化简得c2=a2+b2。

这种证明方法由于用了梯形面积公式和三角形面积公式, 从而使证明更加简洁, 它在数学史上被传为佳话。

勾股定理的证明有400多种证法, 如图5的证法是几何课本常用的方法。左边的正方形是由一个边长为a的正方形和一个边长为b的正方形以及4个直角边分别为a、b, 斜边为c的直角三角形拼成的。右边的正方形是由一个边长为c的正方形和4个直角边分别为a、b, 斜边为c的四个直角三角形拼成的。因为这两个正方形的面积相等 (边长都是a+b) , 所以可以列出等式, 化简得。

篇9：导学案的实践与感悟

与传统的教案相比，原来教案的教学目标、重难点只有教师本人能够看见，最多在上课前给学生说说，印象肯定不够深刻。而在导学案上学生首先看到的就是本课时的教学目标、重难点，一目了然，在学习时随时可以回顾目标，学习的指向性更加明晰，有利于课堂教学效率的提高。

与传统的教学相比，采用导学案进行教学，从自主学习、合作探究到展示解析、拓展延伸等每个步骤都依照学生的认知规律进行编排设计，各个环节都有明确的任务和要求，即使没有老师的引导，学生在导学稿的“引领”下也可以完成学习的任务，使抽象的学习目标变得具体可感。语文教学不再是老师一个人的“独角戏”，每一个学生都变成了学习的主角，突出了学生的学习主体地位。“导学案”帮助学生将新学的知识与已有的知识经验形成链接，为新知识的学习提供适当的附着点，以利于学生形成更为牢固的知识体系，还指导学生掌握学习新知识的方式方法。但俗语说得好：世间万物皆有利也有弊，使用导学案进行教学亦然。

因为利用导学案进行教学在突出了学生的学习主体地位的同时，也限制了教师主观能动性的发挥。教师极具个性的激情讲解在传统教学中是最吸引学生的地方，而使用导学案后，由于过分强调学生的学习主体地位，这种讲解是难得一见了，课堂虽不缺乏热闹却总让人感觉缺少一种激情，一种学生毕生都难以忘记的激情。再则由于导学案强调从预习到练习、作业合一，当堂完成。而学习的任务、方法在导学案上都一目了然，一些学习较好的学生往往不听老师的任务安排，以做完导学案上所有的习题为目标，不帮扶差生，不参与课堂讨论，为做题而做题。

另外导学案的容量有限，问题都是预设好的，缺少了灵活性。课堂教学的精妙在于艺术性地激发学生的情趣，调动他们的积极性，使其产生顿悟，迸发出创造性的思维火花。而导学案大都是教师在授课之前就已经按照自己的思路设计好的，所以在授课中只是按教师预定的教学内容和教学过程以导学稿的形式固化起来，其实质背离了以“学生为中心”的教学思想，这不利于鼓励学生发现、探究问题。另外导学案对于后进生的学习效果是不太理想的，还必须考虑分层次教学，因人而异灵活设计、灵活地运用，任务非常艰巨！

“路漫漫其修远兮”，针对以上种种的困惑与问题，都有待于在以后的语文教学实践中不断地加以改进和提高，使导学案更有实效，同时需要我们付出更为艰辛的劳动！

篇10：数学归纳法证明不等式导学案一

选修4-5学案§4.1.1数学归纳法证明不等式姓名☆学习目标：1.理解数学归纳法的定义、数学归纳法证明基本步骤;

2.☻

重点：应用数学归纳法证明不等式.知识情景：

关于正整数n的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以采用下面方法来证明其正确性：

.验证n取时命题(即n＝n时命题成立)(归纳奠基）20.假设当时命题成立，证明当n=k＋1时命题 归纳递推）.30.由10、20知，对于一切n≥n的自然数n命题！(结论）

要诀: 递推基础, 归纳假设, 结论写明.☆ 数学归纳法的应用：

例1.用数学归纳法证明不等式sinn≤nsin.例2已知x> 1，且x0，nN*，n≥2．求证：(1+x)n>1+nx.例3 证明: 如果n(n为正整数)个正数a1,a2,,an的乘积a1a2an1,那么它们的和a1a2an≥n.例4证明:1

1221321n221n

(nN,n≥2).第 1 页；

例5.当n≥2时,求证

:1





5、用数学归纳法证明

1

111111112342n12nn1n22n

2n6、.用数学归纳法证明41+3n+2能被13整除，其中n∈N

选修4-5练习§4.1.1值为()A.30

数学归纳法证明不等式（1）姓名

1、已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然数m,使得对任意n∈N,都能使m整除f(n)，则最大的m的B.26

C.36

D.62、.观察下列式子：1

3,2

21

115,22323

1

1117 223242

4…则可归纳出_____.7、求证：

3an13、已知a1, an1,则a2,a3,a4,a5的值分别为，由此猜想

an

32an_________.111

5(n2,nN)n1n23n64、用数学归纳法证明: An5n23n11(nN*)能被8整除.1118、已知，Sn1,nN，用数学归纳法证明：

23n

第 2 页

S1n

2(n2,nN

2n)

9、.求证：用数学归纳法证明

2n2n2(nN*)．

答案:

1.关于正整数n的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以采用下面方法来证明其正确性：10.验证n取第一个值时命题成立(即n＝n时命题成立)(归纳奠基）；20.假设当n=k时命题成立，证明当n=k＋1时命题也成立(归纳递推）.30.由10、20知，对于一切n≥n的自然数n命题都成立！(结论）

要诀: 递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉.例1 ⑴当n1时,上式左边sin

右边,不等式成立.⑵设当nk(k≥1)时,不等式成立,即有sink≤ksin.那么,当nk1时,sin(k1)=

例2证明:(1)当n=2时，左＝(1＋x)2=1+2x+x

2∵ x0，∴ 1+2x+x2

>1+2x=右,∴n=2时不等式成立（2）假设n=k(k≥2)时，不等式成立，即(1+x)k

>1+kx当n=k+1时，因为x> 1，所以1+x>0，于是左边=(1+x)k+

1右边=1+(k+1)x．

因为kx2＞0，所以左边＞右边，即(1+x)k+1

>1+(k+1)x．这就是说，原不等式当n=k+1时也成立．

根据(1)和(2)，原不等式对任何不小于2的自然数n都成立.例3 证明:⑴当n1时,有a11，命题成立.⑵设当nk(k≥1)时，命题成立，即若k个正数a1,a2,,ak的乘积a1a2ak1,那么它们的和a1a2ak≥k.那么当nk1时,已知k1个正数a1,a2,,ak,ak1满足a1a2akak11.若k1个正数a1,a2,,ak,ak1都相等,则它们都是1.其和为k1,命题成立.若这k1个正数a1,a2,,ak,ak1不全相等,则其中必有大于1的数,也有小于1的数(否则与a1a2akak11矛盾).不妨设a11,a21.第 3 页

例4证:(1)当n=1时,左边=1

12254 ,右边=21322 ,由于

5342

故不等式成立.(2)假设n=k(kN,k≥2)时命题成立,即11111

2232k22k

.则当n=k+1时, 1

12211111

32k2(k1)22k(k1)

21k1(k1)221k1k(k1)21k(111

kk1)2k1

.即当n=k+1时,命题成立.由(1)、(2)原不等式对一切nN,n≥2都成立.例5（1）当n2时，左式1

11

17.2右式当n2时，不等式成立（2）假设当nk（2)时，不等式成立，即1



则当nk

1时，左式1









右式

当nk1时，不等式成立。

由（1）（2）可知，对一切nN，且n2，不等式都成立。

练习

1．解析：∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36

∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除.证明：n=1,2时，由上得证，设n=k(k≥2)时，f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除，则n=k+1时，f(k+1)－f(k)=(2k+9)·3k+1－(2k+7)·3k =(6k+27)·3k－(2k+7)·3k

=(4k+20)·3k=36(k+5)·3k－

2(k≥2)

f(k+1)能被36整除 ∵f(1)不能被大于36的数整除，∴所求最大的m值等于36.答案：C

1

12、解析：

2232即11(11)

2

21

111 1

11511222323,即1(11)2(21)2



21

21 归纳为1

1221321(n1)2



2n1

n1(n∈N*)答案:1

1221321(n1)2



2n1

n1(n∈N*)3

3.解析:a3a12a3

33同理,137252

a3a233333333a5,a4945,a51055,猜想an

2383n

5答案:337、8、39、310

3n

54、证:(1)当n=1时,A1=5+2+1=8,命题显然成立.(2)假设当n=k时,Ak能被8整除,即Akk523k11是8的倍数.那么: A

1k1

5k23k15(5k23k11)4(3k11)5Ak4(3k11)

因为Ak是8的倍数,3k-1+1是偶数即4(3k-1+1)也是8的倍数,所以Ak+1也是8的倍数,即当n=k+1时,命题成立.由(1)、(2)知对一切正整数n, An能被8整除.111

15．证明： 1当n=1时，左边=1-2=2，右边=11=2，所以等式成立。

2假设当n=k时，等式成立，1

1111即

2342k112k1k11k212k。

第 4 页

那么，当n=k+1时，111112342k112k112k12k2 11111k1k

22k2k1

2k2 1111111111234k2k32k2k1(k12k2)



k21k312k12k11

2(k1)

这就是说，当n=k+1时等式也成立。

综上所述，等式对任何自然数n都成立。6．证明：(1)当n=1时，42×1+1+31+2=91能被13整除

(2)假设当n=k时，42k+1+3k+2能被13整除，则当n=k+1时，42(k+1)+1+3k+3=42k+1·42+3k+2·3－42k+1·3+42k+1·3=42k+1·13+3·(42k+1+3k+2)∵42k+1·13能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除∴当n=k+1时也成立.由①②知，当n∈N*时，42n+1+3n+2能被13整除.111．1

7证明：（1）当n=2时，右边=34566，不等式成立．

111

5（2）假设当nk(k2,kN*)时命题成立，即k1k2

3k6．则当nk1时，1(k1)11(k1)21111

3k3k13k2

3(k1)1k11k2111113k(3k13k23k3k1)516(3k113k213k31k1)511116(3k33k33k3k1)56(313k31k1)56.所以则当nk1时，不等式也成立．

由（1），（2）可知，原不等式对一切n2,nN*

均成立．

8.证明：

S1

1213141131212

（1）当n=2时，222，∴命题成立．

nk(k2,k*

S（2）假设当

N)时命题成立，即 2k1

11231k

2k12．

则当nk1时，S112131111

1

2k2k2k12k22k1

1

k212111k111

k2k22k1122k12k12k11k2k1k1k122k112212.所以则当nk1时，不等式也成立．

由（1），（2）可知，原不等式对一切n2,nN*

均成立．

9、证明：（1）当n=1时，21212，不等式成立；当n=2时，22222，不等式成立；当n=3时，23232，不等式成立．

（2）假设当

nk(k3,kN*)时不等式成立，即 2k2k2．则当nk1时，2k122(2k2)22k22(k1)2k2

2k3，∵k3，∴k2

2k3(k3)(k1)0，（*）

第 5 页

k122222(k1)k2k3(k1)从而，k1222(k1)∴．

即当nk1时，不等式也成立．

由（1），（2）可知，2n2n2对一切nN*

都成立．

篇11：定理与证明导学案

一、基础过关

1．(x＋2)6的展开式中x3的系数是A．20B．40

2x－6的展开式的常数项是2.2xA．20A．33

()A．－5

()A．840

二、能力提升

6．设S＝(x－1)3＋3(x－1)2＋3(x－1)＋1，则S等于A．(x－1)3C．x

3B．(x－2)3 D．(x＋1)3

()

B．－840

C．210

D．－210

B．

5C．－10

D．10

5．(x2y)10的展开式中x6y4项的系数是

B．－20B．29

()

C．80

D．160

()

C．40C．23

D．－40

()

D．19

3．若(1＋2)4＝a＋b2(a、b为有理数)，则a＋b等于4．在(1－x)5－(1－x)6的展开式中，含x3的项的系数是

7．(1＋2x)3(1－x)5的展开式中x的系数是

()A．－

4B．－2

C．2D．4

3x2－n的展开式中含有常数项，则正整数n的最小值为8．在2xA．4

B．

5C．6

D．7

()

9．若(1－2x)5的展开式中，第2项小于第1项，且不小于第3项，则x的取值范围是()

11111

A．x<－B．－

10104104

10．(1＋x＋x2)(x6的展开式中的常数项为________．

x

x＋2n11.展开式第9项与第10项二项式系数相等，求x的一次项系数．

x

12．设a>0，若(1＋n的展开式中含x2项的系数等于含x项的系数的9倍，且展开式中第2

3项等于135x，求a的值．

三、探究与拓展

13．已知f(x)＝(1＋2x)m＋(1＋4x)n(m，n∈N*)的展开式中含x项的系数为36，求展开式中含

x2项的系数最小值．

答案

1．D 2.B 3.B 4.D 5.A 6.C 7.C8．B 9.B 10.－5

911．解 C8n＝Cn，17－rrr∴n＝17，Tr＋1＝Crx2·x－ 1723

17－rr∴1，∴r＝9，23

9∴T10＝C17·x4·29·x3＝C929·x，17·－

9其一次项系数为C9172.12．解 通项公式为

1rrrrTr＋1＝Cr(ax＝Cax.nn·22

若含x2项，则r＝4，此时的系数为C4a4； n·

若含x项，则r＝2，此时的系数为C2a2.n·

422根据题意，有C4na＝9Cna，22即C4na＝9Cn.①

2又T3＝135x，即有C2na＝135.② 2C49C由①②两式相除，得Cn135

5结合组合数公式，整理可得3n2－23n＋30＝0，解得n＝6，或n＝(舍去)． 3

将n＝6代入②中，得15a2＝135，∴a2＝9.∵a>0，∴a＝3.1113．解(1＋2x)m＋(1＋4x)n展开式中含x的项为Cm·2x＋C14x＝(2C1n·m＋4Cn)x，1∴2C1m＋4Cn＝36，即m＋2n＝18，(1＋2x)m＋(1＋4x)n展开式中含x2项的系数为

22222t＝C2m2＋Cn4＝2m－2m＋8n－8n，∵m＋2n＝18，∴m＝18－2n，∴t＝2(18－2n)2－2(18－2n)＋8n2－8n

＝16n2－148n＋612

37153n2－＋，＝1644

37∴当nt取最小值，但n∈N*，8