导数函数单调性的应用

导数函数单调性的应用（精选11篇）

篇1：导数函数单调性的应用

一、本节课的成功之处：

1.注重教学设计

本节课由于提前撰写了教学设计，并且经过了精心的修改，通过课堂教学的实施，能够把新课标理念渗透到教学中去，体现了以学生为主体，以教师为主导的作用发挥的比较到位，学生能极思考，思维敏捷，合作学习氛围浓厚，是一堂成功的教学设计课。

2.注重探究方法和数学思想的渗透

教学过程中教师指导启发学生以循序渐进的模式由简到难，再从理论上探究验证，这个过程中既让学生获得了关于新知的内容，更可贵的是让学生体会到如何研究一个新问题，即探究方法的体验与感知。同时也渗透了归纳推理的数学思想方法。培养了学生的探索精神，积累了探究经验。

3.突出学生主体地位，教师做好组织者和引导者

教师在整个教学过程一直保持着组织者与引导者的身份，通过抛出的若干问题，促使学生主动探索、积极思维。充分发挥学生的主动性，让学生在动脑、动口、动手的活动中掌握知识和方法，提炼规律。并体验发现规律的喜悦感，激发热爱数学的积极情绪。

4.现代信息技术的合理使用

多媒体的使用，第一，在教学上节省了时间，让学生有更多时间去探究。第二，利用几何画板的优势，使原本不能画出的图像都通过几何画板画出，直观的验证了函数的导数的正负与单调性的关系。帮助学生发现规律。使探究落到实处。

二、本节课存在的不足之处是：

(1)课件中有些漏掉的部分。

(2)作业部分未展示。

(3)复习导数概念时，由于学生说不清楚，教师没及时中断，导致引入时间有点长。

三、改进思路：

(1)加强学习现代信息技术，提高制作多媒体技术的水平。

(2)在设计教学时，在考虑全面一些，是教学过程更符合学生实际水平。

篇2：导数函数单调性的应用

第一、教学上应突出数学思想方法，本课时的定位是探究课，作为一堂探究课，学生是课堂的主体，必须把课堂时间交给学生。本节课通过复习二次函数的单调性，让学生动手发现探究原函数的单调性与其导数符号的关系，最后归纳出结论：一般地,设函数y=f(x)在某个区间内可导,则导函数的符号与函数的单调性之间具有如下关系：

1)如果在某个区间内，函数的导数，则在这个区间上，函数是增加的。

2)如果在某个区间内，函数的导数，则在这个区间上，函数是减少的。

优点：

1、从熟悉的二次函数入手，简单复习回顾以前学过的确定函数单调性的方法，使知识学习有连贯性。

2、由不熟悉的三次函数单调性的确定问题，使学生体会到，用定义法太麻烦，而图像又不清楚，必须寻求一个新的解决办法，产生认知冲突，认识到再次研究单调性的必要性。

3、从简单的、熟悉的二次函数图象入手，引导学生从函数的切线斜率变化观察函数单调性的变化，再与新学的导数联系起来，形成结论。再用代数法求出导数进行验证。另外，也使学生感受到解决数学问题的一般方法：从简单到复杂，从特殊到一般，同时体会数形结合的思想方法。

4、学生分组探讨，用导数的几何意义和代数法两种方法探讨，每组选出中心发言人，将本组讨论的结果公布出来，从而抽象概括一般性的结论。这个过程充分体现了学生的合作学习、自主学习、探究学习。

第二、例题和变式练习体现层次性、思想性。例题设计的两重用意：一是利用已知的二次函数的知识再次体验归纳结论的正确性，前面得到的是通过归纳得到的结论，没有严格的证明，这样处理有利于培养学生严谨的数学思想;二是对于二次以下的多项式函数，不仅可以通过用导数求单调性，也可以用图像法和定义法，都比较简单，也为了突出再求三次、三次以上的多项式函数或图像比较难画时的函数的单调性，应用导数的优越性。

1.通过例题让学生总结导数法求函数的单调区间的步骤，体会算法思想。

2、定义域的强调：对于求导，学生容易急于求成，往往忽略了定义域，让学生去讲例题，学生之间发现问题，他们印象会更深刻。

3、时刻注意学生基本功，学生的计算能力一直是薄弱点，每节课刻意去强调这些基本功，这样到高三就不会在这些方面费太多时间。

第三、教学中让学生“形成知识还是形成思想?”数学思想方法是以知识为载体，依附在具体的数学知识之中，是数学教学的隐形知识体系，但具体教学知识的教学不能代替数学思想方法的教学。数学思想方法将零散、具体的数学知识串起来，优化知识结构、、迅速构建学生的认知结构，从而对学生的数学思维产生深刻而持久的影响。相对而言，知识的有效性是短暂的，思想方法则是潜在的，持久的。因此，方法的掌握、思想的形成，才能使知识转化为能力，才是数学教学教育的最终目标。

篇3：三角函数单调性的灵活应用

一、速解选择题

例1 sec50°+tan10°的值为 ()

分析:因为

所以sec50°+tan10°>2.从而可排除选项 (B) 、 (C) 、 (D) , 故选 (A) .

评注:本题若用直接法求解, 技巧性强, 过程繁难.

例2 sin218°+sin254的值为 ()

分析:因为0

从而有

例3已知sinθ+cosθ=, θ∈ (, π) , 则tanθ的值为 () .

分析:因为sinx, cosx在 () 上均为减函数,

从而有f (x) =sinx+cosx在 (, π) 上为函数

所以θ∈ () , 所以tanθ<-1, 故选

二、比较大小

例5若0≤θ≤, 试比较cos (sinθ) 与sin (cosθ) 的大小.

-sinθ、cosθ均属于区间[0, ], 在此区间上正弦函数是增函数.

有sin (-sinθ) >sin (cosθ) , cos (sinθ) >sin (cosθ) .

三、证明不等式

例6求证顶点在单位圆上的锐角三角形的三个角的余弦和小于该三角形周长之半.

解:设三内角为A、B、C, 由条件知A+B>, 得A>-B.

根据余弦函数的单调性, 有cosA

同理得cosB

所以cosA+cosB+cosC

例7求证在非钝角△ABC中, 有sinA+sinB+sinC>2.

根据余弦函数的单调性, 有

四、求值域或最值

例8求函数的值域.

解:因为f (-θ) =f (θ) , 所以f (θ) 为偶函数.

因为f (θ+) =f (θ) , 所以f (θ) 是以为周期的函数.

故求函数y=f (θ) 的值域仅需考虑它在[0, ] (半个周期) 上的值域.

五、求取值范围

例9已知0<θ<, 若cos2θ+2msin-2m-2<0对任意θ恒成立, 求实数m的取值范围.

解:原不等式变形得-2m (1-sinθ) <1+in2θ, 分离参数得

因为函数f (θ) 可看成是y=x+-2与x=1-sinθ复合而成的.

所以函数f (θ) 在 (0, ) 上是增函数, 所以f (θ) >f (0) =1,

要使原不等式对任意实数θ恒成立, 只要-2m≤1, 故所求取值范围为[-, ∞) .

六、缩小角的范围, 防止增解

例10已知α, β, γ为锐角, 且sinα+sin=sinβ, cosβ+cosγ=cosα, 求α-β的值.

错解:由已知 (1) 2+ (2) 2得cos (α-β) =

因为α、β为锐角, 所以所以

剖析:由 (1) 知sinα-sinβ=-sinγ<0, 即sinα

所以α<β, -<α-β<0, 所以α-=-

在两式平方过程中产生了增解α-β=.发掘隐含条件, 利用单调性, 缩小角的范围, 则可以避免“增解”.

七、求单调区间

例11已知函数x∈[0, 1]写出函数的增减区间.

评注:换元转化, 建立一一对应, 通过研究一个新函数的单调性, 可获得原函数的单调性.

例12求函数f (x) =的单调递增区间.

解:据函数式结构, 可设, 则f (x) =sin2α.

篇4：浅谈函数单调性的应用

1． 函数单调性应用的常见几类问题

1．1 定义证明函数的单调性

利用函数单调性定义来判定函数的单调性，能更深刻的理解概念

例1 讨论f(x)=1-x2在区间［-1,1］上的单调性

解：设x1,x2∈［-1,1］且x1＜x2即-1≤x1＜x2≤1

则f(x1)-f(x2)=1-x21=1-x21-(1-x22)1-x21+1-x22=(x2-x1)(x2+x1)1-x21+1-x22

当x1＞0，x2＞0时x1+x2＞0那么f(x1)＞f(x2)

当x1＜0，x2＜0时x1+x2＜0那么f(x1)＜f(x2)

故f(x)=1-x2在区间［-1,0］上为增函数f(x)=1-x2在区间［0,1］上为减函数

1．2 利用函数单调性比较大小

比较两个含有幂指数的大小，往往显得比较复杂，把其转化为函数，利用函数的单调性就显的比较容易.

例2 比较20062007与20072006的大小

解:经过归纳，我们可以发现，当n=1,2时nn+1＜(n+1)n当n=3,4,5时nn+1＞(n+1)n因此可以猜测当n＞3时nn+1＞(n+1)n下面构造函数f(x)，利用函数的单调性证明nn+1＞(n+1)n

构造函数f(x)=xx+1(x+1)x(x≥3)则有

f(x+1)-f(x)=(x+1)x+2(x+2)x+1-xx+1(x+1)x=(x+1)2x+2-［x(x+2)］x+1(x+2)x+1(x+1)x=(x2+2x+1)x+1-(x2+2x)x+1(x+2)x+1(x+1)x＞0

所以函数f(x)在［3,+∞)∩Z上单调增加

因为f(3)=3443=8164＞1 故当n＞3时，f(n)=nn+1(n+1)n＞1

即nn+1＞(n+1)n 所以20062007＞20072006

1．3 求函数最值

根据函数单调性的增加（或减少）的性质，来解决函数的最值问题，问题显的更加简洁，容易解决

例3 已知数列{an}中，a1=1且点(an,an+1)在直线x+y-1=0上

（1） 求数列{an}的通项公式

（2） 若f(n)=1n+a1+1n+a2+…+1n+an(n∈N,n≥2)求f(n)的最小值

解:（1） 因为点(an,an+1)在直线x+y-1=0上

所以an+1-an=1 由{an}是首项和公差为1的等差数列 故an=n

（2） 因为f(n)=1n+1+1n+2+…+12n

f(n+1)-f(n)=1n+2+1n+3+…+12n+2-1n+1+…+12n

=12n+1+12n+2-1n+1=1(2n+1)(2n+2)>0

所以f(n)为增函数 由f(n)≥f(2)=12+1+12+2=712则f(n)min=712

1．4 函数单调性在不等式中的应用

不等式是数学中重要组成部分，在实际应用中，最为简捷的方法，利用函数单调性来解决不等式中的问题.

例4 a,b∈R+ a+b=1,求解a+1ab+1b的最值.

解 由a+1ab+1b=ab+2ab+2而0＜ab≤a+b22=14

令ab=x0＜x≤14构造函数f(x)=x+2x+2则f′(x)=1-2x2

显然当0＜x＜2时，f′(x)＜0又f(x)在x∈(0,2］上为严格单调减函数,f(x)在x∈0,14为减函数 当x∈0,14时,f(x)≥f14则x+2x+2≥14+8-2=254

所以ab+2ab-2≥254即a+1ab+1b≥254

1．5 利用单调性解决数列问题

数列{an}中的an是以n为自变量的函数，所以在解决有关数列的最值问题时，可考察其单调性.

例5 已知an=1n+1+1n+2+…+13n+1(n∈N+),

若an＞2b-5恒成立,且b为自然数.求b的最大值

解 因为an=1n+1+1n+2+…+13n+1 an+1=1n+2+1n+3+…+13n+4

则an+1-an=13n+2+13n+3+13n+4-1n+1=13n+2+13n+4-23n+3

=23(n+1)(3n+2)(3n+4)＞0

所以an+1>an所以数列｛an｝是递增数列

{an}min=a1=12+13+14=1312

则由2b-5＜1312可解得b＜7324

2. 函数单调性在高考中的应用

函数是高中数学的重要内容,是高考重点考察的对象，也是常考不衰的考点不但考察函数单调性的概念，而且更主要的是考察其思想.

例6 （2005年全国卷Ⅱ）设函数f(x)=2｜x+1｜-｜x-1｜，求f(x)≥22使的取值范围？

解:要求f(x)≥22即2｜x+1｜-｜x-1｜≥22

又y=2x是增函数 所以｜x+1｜-｜x-1｜≥32 (1)

1. 当x≥1时｜x+1｜-｜x-1｜=2时(1)恒成立

2. 当-1＜x＜1时｜x+1｜-｜x-1｜=2x(1)式化为2x≥32得x≥34

即34≤x＜134≤x＜1

3. 当x≤-1时｜x+1｜-｜x-1｜=-2 (1)式无解

综上x取值范围34,+∞

篇5：利用导数求函数的单调性解读

利用导数求函数的单调性

例 讨论下列函数的单调性：

1．f(x)axax（a0且a1）；

2．f(x)loga(3x25x2)（a0且a1）； 3．f(x)bx(1x1,b0)． 2x1分析：利用导数可以研究函数的单调性，一般应先确定函数的定义域，再求导数f(x)，通过判断函数定义域被导数为零的点所划分的各区间内f(x)的符号，来确定函数f(x)在该区间上的单调性．当给定函数含有字母参数时，分类讨论难于避免，不同的化归方法和运算程序往往使分类方法不同，应注意分类讨论的准确性．

解：

1．函数定义域为R．

f(x)axlnaaxlna(x)lna(axax).当a1时，lna0,axax0,f(x)0.∴函数f(x)在(,)上是增函数． 当0a1时，lna0,aaxx0,f(x)0.∴函数f(x)在(,)上是减函数． 2．函数的定义域是x1或x2.3f(x)logae(6x5)logae2(3x5x2)

3x25x2(3x1)(x2)1时，logae0,6x50,(3x1)(x2)0，3①若a1，则当x∴f(x)0，∴函数f(x)在，上是增函数；

当x2时，f(x)0，∴函数f(x)在,2上是减函数 ②若0a1，则当x131时，f(x)0，3∴函数f(x)在，上是减函数； 13清华园教育网

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当x2时，f(x)0，∴函数f(x)在,2上是增函数 3．函数f(x)是奇函数，只需讨论函数在（0，1）上的单调性

x(x21)x(x21)当0x1时，f(x)b 22(x1)b(x21)

2

(x1)2若b0，则f(x)0，函数f(x)在（0，1）上是减函数； 若b0，则f(x)0，函数f(x)在（0，1）上是增函数．

又函数f(x)是奇函数，而奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性．所以当b0时，函数f(x)在（－1，1）上是减函数，当b0时，函数f(x)在（－1，1）上是增函数． 说明：分类讨论是重要的数学解题方法．它把数学问题划分成若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的“不确定因素”不再影响问题的解决，当这些局部问题都解决完时，整个问题也就解决了．在判断含参数函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定f(x)的符号，否则会产生错误判断．

分类讨论必须给予足够的重视，真正发挥数学解题思想作为联系知识与能力中的作用，从而提高简化计算能力．

利用导数求函数的单调区间

例

求下列函数的单调区间： 1．f(x)x2x3； 2．f(x)2xx2； 3．f(x)x42b(b0).x分析：为了提高解题的准确性，在利用求导的方法确定函数的单调区间时，也必须先求出函数的定义域，然后再求导判断符号，以避免不该出现的失误．

4解：1．函数f(x)的定义域为R，f(x)x4x4(x1)(x1)x

令f(x)0，得1x0或x1．

∴函数f(x)的单调递增区间为（－1，0）和(1,)； 令f(x)0，得x1或0x1，清华园教育网

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∴函数f(x)的单调递减区间为(,1)和（0，1）． 2．函数定义域为0x2.f(x)(2xx2)22xx21x2xx2.令f(x)0，得0x1． ∴函数f(x)的递增区间为（0，1）； 令f(x)0，得1x2，∴函数f(x)的单调递减区间为（1，2）． 3．函数定义域为x0,f(x)1b1(xb)(xb).22xx令f(x)0，得xb或xb．

∴函数f(x)的单调递增区间为(,b)和(b,)； 令f(x)0，得bxb且x0，∴函数f(x)的单调递减区间是(b,0)和(0,b)．

说明：依据导数在某一区间内的符号来确定函数的单调区间，体现了形象思维的直观性和运动性．解决这类问题，如果利用函数单调性定义来确定函数的单调区间，运算显得繁琐，区间难以找准．学生易犯的错误是将两个以上各自独立单调递增（或递减）区间写成并集的形式，如将例1函数f(x)的单调递增区间和递减区间分别写成(1,0)(1,)和(,1)(0,1)的错误结果．这里我们可以看出，除函数思想方法在本题中的重要作用之外，还要注意转化的思想方法的应用．

求解析式并根据单调性确定参数

例

已知f(x)xc，且f[f(x)]f(x1).1．设g(x)f[f(x)]，求g(x)的解析式；

2．设(x)g(x)f(x)，试问：是否存在实数，使(x)在,1内为减函数，且在（－1，0）内是增函数．

分析：根据题设条件可以求出(x)的表达式，对于探索性问题，一般先对结论做肯定

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存在的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证，由推证结果是否出现矛盾来作出判断．解题的过程实质是一种转化的过程，由于函数(x)是可导函数，因此选择好解题的突破口，要充分利用函数的单调性构造等价的不等式，确定适合条件的参数的取值范围，使问题获解．

解：1．由题意得f[f(x)]f(x2c)(x2c)2c，f(x21)(x21)2c.f[f(x)]f(x21)，∴(x2c)2c(x21)2c,x2cx21,c1.∴f(x)x21,g(x)f[f(x)]f(x21)(x21)21.2．(x)g(x)f(x)x4(2)x2(2)． 若满足条件的存在，则(x)4x32(2)x.∵函数(x)在,1内是减函数，∴当x1时，(x)0，即4x32(2)x0对于x(,1)恒成立． ∴2(2)4x2,x1,4x24.∴2(2)4，解得4．

又函数(x)在（－1，0）上是增函数，∴当1x0时，(x)0 即4x2(2)x0对于x(1,0)恒成立，∴2(2)4x,1x0,44x0.∴2(2)4，解得4．

故当4时，(x)在,1上是减函数，在（－1，0）上是增函数，即满足条件的存在．

说明：函数思维实际上是辩证思维的一种特殊表现形式，它包含着运动、变化，也就存在着量与量之间的相互依赖、相互制约的关系．因此挖掘题目中的隐含条件则是打开解题思路的重要途径，具体到解题的过程，学生很大的思维障碍是迷失方向，不知从何处入手去沟通已知与未知的关系，使分散的条件相对集中，促成问题的解决．不善于应用f(x)a恒成立[f(x)]maxa和f(x)a恒成立[f(x)]mina，究其原因是对函数的思想方法理解不深．

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利用导数比较大小

例

已知a、b为实数，且bae，其中e为自然对数的底，求证：ab． 分析：通过考察函数的单调性证明不等式也是常用的一种方法．根据题目自身的特点，适当的构造函数关系，在建立函数关系时，应尽可能选择求导和判断导数都比较容易的函数，一般地，证明f(x)g(x),x(a,b)，可以等价转化为证明F(x)f(x)g(x)0，如果

baF(x)0，则函数F(x)在(a,b)上是增函数，如果F(a)0，由增函数的定义可知，当x(a,b)时，有F(x)0，即f(x)g(x)．

解：证法一：

bae，∴要证abba，只要证blnaalnb，设f(b)blnaalnb(be)，则f(b)lnaa． bbae，∴lna1，且

a1，∴f(b)0.b∴函数f(b)blnaalnb在(e,)上是增函数． ∴f(b)f(a)alnaalna0，即blnaalnb0，∴blnaalnb,ab.证法二：要证ab，只要证blnaalnb(eab)，即证babalnalnblnx1lnx(xe)，则f(x)0，设f(x)2abxx∴函数f(x)在(e,)上是减函数． 又eab,f(a)f(b)，即

lnalnb,abba.ab说明：“构造”是一种重要而灵活的思维方式，应用好构造思想解题的关键是：一要有明确的方向，即为什么目的而构造；二是要弄清条件的本质特点，以便重新进行逻辑组合．解决这种问题常见的思维误区是不善于构造函数或求导之后得出f(x)g(x)f(x)g(x)的错误结论．

判断函数在给定区间上的单调性

例

函数ylog1121在区间(0,)上是（）x清华园教育网

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A．增函数，且y0

B．减函数，且y0

C．增函数，且y0

D．减函数，且y0

分析：此题要解决两个问题：一是要判断函数值y的大小；二是要判断此函数的单调性． 解：解法一：令u11，且x(0,),u1，x则ylog1u0，排除A、B．

2由复合函数的性质可知，u在(0,)上为减函数．

又ylog1u亦为减函数，故ylog11221排除D，选C． 在(0,)上为增函数，x解法二：利用导数法

y11log1e2log2e0 1xx(1x)21x1（x(0,)），故y在(0,)上是增函数． 由解法一知y0．所以选C．

说明：求函数的值域，是中学教学中的难关．一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解，也可以用函数的单调性求出最大、最小值等（包括初等方法和导数法）．对于复合函数的单调性问题，简单的复合函数是可以利用复合函数的性质进行判断，但是利用导数法判断一些较复杂的复合函数还是有很大优势的．

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篇6：函数单调性的定义

函数的单调性，也叫函数的增减性，可以定性描述在一个指定区间内，函数值变化与自变量变化的关系。当函数f(x)的自变量在其定义区间内增大(或减小)时，函数值也随着增大(或减小)，则称该函数为在该区间上具有单调性(单调增加或单调减少)。在集合论中，在有序集合之间的函数，如果它们保持给定的次序，是具有单调性的.。

如果说明一个函数在某个区间D上具有单调性，则我们将D称作函数的一个单调区间，则可判断出：

DQ(Q是函数的定义域)。

区间D上，对于函数f(x)，(任取值)x1，x2∈D且x1>x2，都有f(x1)>f(x2)。或，x1，x2∈D且x1>x2，都有f(x1)

函数图像一定是上升或下降的。

篇7：对函数单调性的教学反思

《函数的单调性》这节内容是初中有关内容的深化、延伸和提高，我是这样安排教学流程的：首先通过对具体函数图像的归纳和抽象，概括出函数在某个区间上是增函数或减函数的准确含义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的。其次，根据其定义进行逻辑推理的严格方法。最后将两种方法统一起来，形成根据观察图像得出猜想结论，进而用推理证明猜想的体系。我的设计理由是：在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学。按现行新教材结构体系，学生只学过一次函数、二次函数、反比例函数，所以对函数的单调性研究也只能限于这几种函数。依据现有认知结构，学生只能根据函数的图象观察出“随着自变量的增大，函数值增大”的变化趋势，而不能用符号语言进行严密的代数证明，只能依据形的直观性进行感性判断而不能进行“思辩”的理性认识。所以在教学中要找准学生学习思维的“最近发展区”进行有意义的建构教学。在教学过程中，要注意学生第一次接触代数形式的证明，为使学生能迅速掌握代数证明的格式，要注意让学生在内容上紧扣定义贯穿整个学习过程，在形式上要从有意识的模仿逐渐过渡到独立的证明。

教学重、难点的制定：在本节课的教学中以函数的单调性的概念为线，它始终贯穿于教师的整个课堂教学过程和学生的学习过程；利用函数的单调性的定义证明简单函数的单调性是对函数单调性概念的深层理解，且“取值、作差与变形、判断、结论”过程学生不易掌握。所以对教学的重点、难点确定如下：教学重点：函数的单调性的判断与证明；教学难点：增、减函数形式化定义的形成及利用函数单调性的定义证明简单函数的单调性。我是这样突破重难点的——让学生通过观察函数图象的基础上，从特殊到一般的方法归纳出函数单调性的定义及有关概念，通过例题归纳出证明函数单调性的方法、步骤及注意点。例题与练习由浅入深，完整，全面。练习的设计有新意，有深度，为学生数学思维能力、创造能力的培养提供了平台。

篇8：函数单调性的应用方法与技巧

一、求参数的取值范围

函数的单调性经常用来求参数的取值范围,解这类问题的关键是将问题转化为不等式的恒成立问题.大多数情况下,我们需要运用到题目中的所有条件.因此,学生解题时要注意看清题目条件,多加联想.

【例1】设函数f(x)=lnx-ax,g(x)=ex-ax,其中a为实数.若f(x)在(1,+∞)上是单调减函数,且g(x)在(1,+∞)上有最小值,求a的取值范围.

点评:这道题是综合考查导数和函数单调性的题目.利用导数求解函数的单调性,可使解题思路清晰,步骤明确.另外,学生在解题时要注意函数自身隐含的参数的取值范围,如lnx隐含的条件是x>0.

二、求最值

很多时候,函数的单调性都是和极值、最值联系在一起的.比如,当x<a时,函数f(x)单调递增;当x>a时,f(x)单调递减,则f(x)在x=a时取极大值.同理,若当x<a时,函数f(x)单调递减;当x>a时,f(x)单调递增,则f(x)在x=a时取极小值.有时,题目不直接给出函数关系,学生需要自己根据题目条件建立相关的函数并求出最值.

【例2】已知点B(0,6),C(0,2),试在x轴的正半轴上确定一点A,使得∠BAC最大.

点评:本题运用转化思想,将角度的大小转化为与直线斜率有关的式子,实现求解.学生应该牢记这一转换,简化问题的解答过程,在平时注意积累、记忆,在解题时需要多加联想,结合自己掌握的知识进行解答.

三、解不等式

函数的单调性用来解不等式问题时,通常是根据题目条件格式的特殊性构造相应的函数,利用函数的单调性,将不等式问题转化为两个式子的大小关系问题,进而求解.

点评:通过本题的解答可以看出,利用函数的单调性解一些特殊不等式问题时有很大的优势.解题的关键在于根据题目条件,找出其形式的特殊性,构造好相应的函数,再利用所构造的函数的单调性求解.

函数的单调性是函数的性质中应用最广泛的.从上述的几道题可以看出,利用函数的单调性解题的关键是充分、合理地利用题目条件,构造相应的函数,进而求解.学生在平时的练习中应当多加总结,合理利用函数的单调性进行解题.

摘要：函数在高中数学中占着很大的比例,函数的单调性是函数教学中的重点,也是高考的热点.掌握函数单调性的应用方法与技巧,会给解题带来极大的方便,对提升学生的解题能力也有很大的帮助.

篇9：导数函数单调性的应用

【摘要】三位省评优课一等奖获得者的同课异构，各有千秋，说明了一节“好课”没有固定的标准，没有程式化的设计，但教师一定要肯下功夫，投入真感情，琢磨新套路，注重课堂的真实性、生成性和师生交流的和谐性.

【关键词】真实性；生成性；和谐性；同课异构

教材对导数与函数单调性关系的解释隐藏较深，不易提炼教学主线.因此，不同的教师对教材的编写意图有着不同的理解，不同的教学策略产生了不同的效果，这也使我对如何实现课堂的高效有了一个新的认识.以下是笔者对其中三位一等奖的授课情况的对比分析.1三位教师的教学过程简介

1.1A教师的解释过程

1.11问题情境：黑暗中，你是怎样通过远处汽车自身的灯光判断该车是上坡还是下坡的？

A教师利用生活中的常见问题：“汽车灯光的指向与上下坡之间的联系”，引导学生发现道路可以抽象成函数的图象，灯光可以抽象为切线（图1），这样，问题就转化为切线斜率与函数增减之间的联系，从而轻松高效地联系起导数与函数的单调性.

1.12猜想归纳：导数与函数的单调性有什么联系呢？

从图象上，我们发现，单调递增区间上，曲线呈上升趋势，函数单调递增，每一点处的切线倾斜角均为锐角，斜率大于0（图2）；在单调递减区间上，曲线呈下降趋势，函数单调递减，每一点处的斜线倾斜角为钝角，斜率小于0（图3）.

于是，可以猜想结论：对于函数y=f（x），

如果在某区间上f′（x）>0，那么f（x）为该区间上的增函数；

如果在某区间上f′（x）<0，那么f（x）为该区间上的减函数.

A教师从“形”的角度，对具体例子进行动态演示，通过观察、猜想到归纳、总结出结论，让学生体验知识的发现、发生过程.

1.13验证猜想：请举出几个常见的函数，探究导数与函数单调性之间的联系，验证前面猜想的结论.

函数f（x）=x3+xf（x）=exf（x）=cosx，x∈0，π

图象

单调性单调递增单调递增单调递减

导数

符号f′（x）=3x2+1>0f′（x）=ex>0f′（x）=-sinx<0，

x∈（0，π）

A教师通过师生合作，归纳已经学过的常见函数的特征，进一步验证了所猜想的结论的正确性.

1.14例题设置：

例1：确定函数f（x）=x2-4x+3在哪个区间上是增函数，在哪个区间上是减函数.

例2：确定函数f（x）=2x3-6x2+7在哪些区间上是增函数.

例3：确定函数f（x）=sinx（x∈（0，2π））的单调减区间.

变式：证明函数f（x）=sinx在区间（π2，3π2）上是单调减函数.

A教师从二次函数、三次函数到三角函数，让学生体会导数法研究函数单调性的一般性和普遍适用性.

1.2B教师的解释过程：

1.21认知冲突：是否能用已有的初等方法来确定函数f（x）=xlnx的单调区间？若不行，是否存在其它工具来研究该类函数的单调性.

B教师以学生的认知冲突为切入点，引导学生探究新方法，培养学生的好奇心，从而引入了导数工具，同时，让学生感受导数法研究单调性具有一般性和有效性.

1.22数形结合：

代数角度：函数y=f（x），在定义域内某区间I上，若对任意x1≠x2都有f（x1）-f（x2）x1-x2>0则函数在该区间上单调递增，此时区间I为单调增区间.图4

几何角度：在区间I上，存在x=x0，使得fx1-fx2x2-x1=f′x0>0（图4）.

故此，导数与函数单调性的关系为：

如果在某区间上f′（x）>0，那么f（x）为该区间上的增函数；

如果在某区间上f′（x）<0，那么f（x）为该区间上的减函数.

B教师采用中学生能够接受的方式引入了拉格朗日中值来证明上述结论，用直观的方法来分析和说明，培养学生严密的逻辑思维能力和意识.

1.23例题设置

证明函数f（x）=x3+x在R上单调递增.

变式1：确定函数f（x）=x3-x在哪些区间上是增函数.

变式2：确定函数f（x）=ex-x的单调区间.

变式3：你能编制出相应一道题目吗？

试结合y=x3思考：如果f（x）在某个区间上单调递增，那么在该区间上必有f′（x）>0吗？

B教师的例题设置从充分性与必要性两个角度来让学生理解导数与单调性的关系.

1.3C教师的解释过程：

1.31寻找共性

函数的单调性刻画了函数在某区间上的变化趋势（上升或下降的变化趋势）.

导数刻画了函数在某点处的变化趋势（图像经过该点时的上升或下降趋势）.

C教师基于学生的原有认知结构，从两点知识的功能出发，寻找共性，引导学生猜测两者之间可能存在的联系.

1.32定义再探

单调递增函数：函数y=f（x），在定义域内某区间I上，若对任意x1≠x2都有f（x1）-f（x2）x1-x2>0，则函数在该区间上单调递增.

几何解释：区间I上任意两点的割线斜率大于零则函数单调递增.

导数的定义：当Δx→0时，ΔyΔx=fx0+Δx-fx0Δx→f′x0.

几何解释：当割线两端点无限逼近时，割线斜率逼近切线斜率.

C教师引导学生从数学的本质“定义”出发寻找两者之间的关系，通过两个定义的再解释，发现割线的斜率是沟通导数与单调性之间的纽带.

1.33以直代曲

图5

随着点Q沿曲线向点P运动，割线PQ在P点附近越来越逼近曲线（图5），当点Q无限逼近P点时，割线PQ最终成为在P点附近最逼近曲线的直线切线l（图6）.图6

C教师利用导数的本质思想：“以直代曲”沟通了导数与单调性之间的关系，即曲线经过P的上升与下降的变化趋势可用P点处的切线斜率的正负来刻画.

1.34量到质变

若f′x0>0刻画的是曲线f（x）在点P0处的上升趋势，那么若对任意x∈a，b都有f′（x）>0时，则函数f（x）在a，b上单调性如何呢？

C教师运用“动点成线”的原理，由曲线经过某区间内的每一点的上升与下降趋势来刻画函数在该区间内的单调性，从而由量变到质变获得了结论.

1.35例题设置

例1：确定函数f（x）=x2-4x+3的单调区间.

例2：确定下列函数的单调区间.

（1）fx=2x3-6x2+7

（2）fx=xlnx

例3：请用导数证明f（x）=sinx-x在区间0，π上是减函数.

变式1：请思考该函数在区间-π，0、-π，π上的单调性？

变式2：请思考该函数在区间-π，π上导函数的符号？

变式3：结合以上问题判断，函数单调递减时，f′x<0一定成立吗？

C教师的例题设置除了让学生体会导数法研究函数单调性的一般性和普遍适用性以外，更利用例3的变式让学生理解了导数法判断函数单调性的非必要性.2教学目标的对比

教学目标是教学的航向，是教学成功与否的关键.三位教师的教学目标的主旨均为：理解导数与单调性的关系，掌握用导数法研究函数的单调性.通过课堂练习来看，三堂课学生基本都能掌握用导数法求解函数单调区间的步骤，然而在实现“理解导数与函数单调性的关系”这一目标时，三位教师所达到的效果不尽相同：A教师遵循的课堂展开思路是“猜想”——“验证”——“实践”，在这三个环节中结论是由不完全归纳得到，师生虽然花了大量的时间与例子去验证，但在实践过程中例题设置只是前者猜想归纳的简单重复，没有思维的层次性，学生没能理解.B教师的例题设计有了层次性，并且设置了一个开放性问题，让学生自主编写题目，教师由此引导学生进一步思考：若函数单调递增则f′（x）的符号是否一定为正？C教师的例题设置不仅完成了让学生巩固导数法求单调区间，并且每个例题都有其目的：例1的目的是让学生感受导数法的有效性；例2的目的是让学生感受导数法的一般性；例3及变式的安排是让学生感受导数法证明函数单调性的工具性及非必要性.从目标的完成度来说C教师完成的更好，更自然.3重难点突破方法的对比

从教学过程中可看出三位教师确定的重难点均为：探索函数的单调性与导数的关系.但三位教师对这个内容的理解角度不同，处理方式也就不同：A教师的探索过程是由不完全归纳法得到，缺乏严密的推理论证，并且该教师是由从函数的单调性得出导数的正负，但在应用时又将该结论对调，逻辑较为混乱.B教师从学生能接受的角度引入了拉格朗日中值定理，学生能在一定程度上理解该定理，但由于缺乏罗尔中值定理的铺垫，该定理的出现显得很突兀.C教师能从学生的原有认知结构出发，紧扣教材，从导数的根本含义“以直代曲”的角度出发，由点到线，逐步深入取得了十分好的效果.从思维层次与教学效果来看，C教师的设计显然更胜一筹.4总结

篇10：高中函数单调性的教学设计

教学目标

1、会用等比数列的通项公式和前n项和公式解决有关等比数列一些简单问题;提高分析、解决实际问题的能力。

2、通过公式的灵活运用，进一步渗透分类讨论的思想、等价转化的思想。

函数的单调性

知识目标：初步理解增函数、减函数、函数的单调性、单调区间的概念，并掌握判断一些简单函数单调性的方法。

能力目标：启发学生能够发现问题和提出问题，学会分析问题和创造地解决问题;通过观察——猜想——推理——证明这一重要的思想方法，进一步培养学生的逻辑推理能力和创新意识。

德育目标：在揭示函数单调性实质的同时进行辩证唯物主义思想教育。：

教学重点：函数单调性的有关概念的理解

教学难点：利用函数单调性的概念判断或证明函数单调性

教 具： 多媒体课件、实物投影仪

教学过程：

一、创设情境，导入课题

[引例1]如图为黄石市元旦24小时内的气温变化图.观察这张气温变化图：

问题1：气温随时间的增大如何变化?

问题2：怎样用数学语言来描述“随着时间的增大气温逐渐升高”这一特征?

[引例2]观察二次函数的图象，从左向右函数图象如何变化?并总结归纳出函数图象中自变量x和 y值之间的变化规律。

结论：(1)y轴左侧：逐渐下降; y轴右侧：逐渐上升;

(2)左侧 y随x的增大而减小;右侧y随x的增大而增大。

上面的结论是直观地由图象得到的。还有很多函数具有这种性质，因此，我们有必要对函数这种性质作更进一步的一般性的讨论和研究。

二、给出定义，剖析概念

①定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值

⑴若当<时，都有f

⑵若当<时，都有f()>f(),则f(x) 在这个区间上是减函数(如图4)。

②单调性与单调区间

若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.由此可知单调区间分为单调增区间和单调减区间。

注意：

(1)函数单调性的几何特征：在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。

当x1

几何解释：递增 函数图象从左到右逐渐上升;递减 函数图象从左到右逐渐下降。

(2)函数单调性是针对某一个区间而言的，是一个局部性质。

有些函数在整个定义域内是单调的;有些函数在定义域内的部分区间上是增函数，在部分区间上是减函数;有些函数是非单调函数，如常数函数。

判断2：定义在R上的函数 f (x)满足 f (2)> f(1)，则函数 f (x)在R上是增函数。(×)

函数的单调性是函数在一个单调区间上的“整体”性质，具有任意性，不能用特殊值代替。

训练：画出下列函数图像，并写出单调区间：

三、范例讲解，运用概念

例1 、如图，是定义在闭区间[-5，5]上的函数的图象，根据图象说出的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还减函数。

注意：

(1)函数的单调性是对某一个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题。

(2)在区间的端点处若有定义，可开可闭，但在整个定义域内要完整。

例2 判断函数 f (x) =3x+2 在R上是增函数还是减函数?并证明你的`结论。

引导学生进行分析证明思路，同时展示证明过程：

证明：设任意的，且，则

由，得

于是

即。

所以，在R上是增函数。

分析证明中体现函数单调性的定义。

利用定义证明函数单调性的步骤：

①任意取值：即设x1、x2是该区间内的任意两个值，且x1

②作差变形：作差f(x1)-f(x2)，并因式分解、配方、有理化等方法将差式向有利于判断差的符号的方向变形

③判断定号：确定f(x1)-f(x2)的符号

④得出结论：根据定义作出结论(若差0，则为增函数;若差0，则为减函数)

即“任意取值——作差变形——判断定号——得出结论”

例3、 证明函数在(0,+)上是减函数.

证明：设，且，则

由，得

又由，得，

于是即。

即。

所以，函数在区间上是单调减函数。

问题1 ：在上是什么函数?(减函数)

问题2 ：能否说函数在定义域上是减函数? (学生讨论得出)

四、课堂练习，知识巩固

课本59页 练习：第1、3、4题。

五、课堂小结，知识梳理

1、增、减函数的定义。

函数单调性是对定义域的某个区间而言的，反映的是在这一区间上函数值随自变量变化的性质。

2、函数单调性的判断方法：(1)利用图象观察;(2)利用定义证明：

证明的步骤：任意取值——作差变形——判断符号——得出结论。

六、布置作业，教学延伸

篇11：对数函数的单调性、奇偶性的运用

张军丽

一、对数函数的单调性及其应用

利用函数的单调性可以：①比较大小；②解不等式；③判断单调性；④求单调区间；⑤求值域和最值.要求同学们：一是牢固掌握对数函数的单调性；二是理解和掌握复合函数的单调性规律；三是树立定义域优先的观念.1.比较下列各组数中的两个值大小：

(1)log23.4，log28.5

(2)log0.31.8，log0.32.7

(3)loga5.1，loga5.9(a>0且a≠1)

思路点拨：由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成.(1)解法1：画出对数函数y=log2x的图象，横坐标为3.4的点在横坐标为8.5的点的下方，所以，log23.4

解法2：由函数y=log2x在R+上是单调增函数，且3.4<8.5，所以log23.4

解法3：直接用计算器计算得：log23.4≈1.8，log28.5≈3.1，所以log23.4

(2)与第(1)小题类似，log0.3x在R+上是单调减函数，且1.8<2.7，所以log0.31.8>log0.32.7；

(3)注：底数是常数，但要分类讨论a的范围，再由函数单调性判断大小.解法1：当a>1时，y=logax在(0，+∞)上是增函数，且5.1<5.9，所以，loga5.1

当0loga5.9

解法2：转化为指数函数，再由指数函数的单调性判断大小，令b1=loga5.1，则

所以，b1

所以，b1>b2，即举一反三：

【变式1】（2011 天津理 7）已知

A．

解析：另

B．，C．，则（）

D．，令b2=loga5.9，则

.当a>1时，y=ax在R上是增函数，且5.1<5.9

当0

又∵为单调递增函数，∴

2.证明函数

故选C.上是增函数.思路点拨：此题目的在于让学生熟悉函数单调性证明通法，同时熟悉利用对函数单调性比较同底数对数大小的方法.证明：设

举一反三：

【变式1】已知f(logax)=的单调性.解：设t=logax(x∈R+，t∈R).当a>1时，t=logax为增函数，若t1

则

又∵y=log2x在即f(x1)

上是增函数.上是增函数

∴函数f(x)=log2(x2+1)在∵ 01，∴ f(t1)

解：设t=-x2+2x+3，则t=-(x-1)2+4.∵ y=≤4，∴ y≥

=-2，即函数的值域为[-2，+∞.(-x2+2x+3)的定义域为-x2+2x+3>0，即

再由：函数y=-1

二、函数的奇偶性

4.判断下列函数的奇偶性.(1)

(2)

.t(-x2+2x+3)的减区间为(-1，1)，增区间为[1，3.(1)思路点拨：首先要注意定义域的考查，然后严格按照证明奇偶性基本步骤进行.解：由

所以函数的定义域为：(-1，1)关于原点对称

又

所以函数

是奇函数；

总结升华：此题确定定义域即解简单分式不等式，函数解析式恒等变形需利用对数的运算性质.说明判断对数形式的复合函数的奇偶性，不能轻易直接下结论，而应注意对数式的恒等变形.(2)解：由

以函数的定义域为R关于原点对称

即f(-x)=-f(x)；所以函数

所

又

.总结升华：此题定义域的确定可能稍有困难，函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧，要求掌握.三、对数函数性质的综合应用

5．已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1).(1)若函数f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)的值域为R，求实数a的取值范围.思路点拨：与求函数定义域、值域的常规问题相比，本题属非常规问题，关键在于转化成常规问题.f(x)的定义域为R，即关于x的不等式ax2+2x+1>0的解集为R，这是不等式中的常规问题.f(x)的值域为R与ax2+2x+1恒为正值是不等价的，因为这里要求f(x)取遍一切实数，即要求u=ax2+2x+1取遍一切正数，考察此函数的图象的各种情况，如图，我们会发现： 使u能取遍一切正数的条件是

.的解集为R，解：(1)f(x)的定义域为R，即：关于x的不等式ax2+2x+1>0

当a=0时，此不等式变为2x+1>0，其解集不是R；

当a≠0时，有∴ a的取值范围为a>1.(2)f(x)的值域为R，即u=ax2+2x+1能取遍一切正数

a>1.a=0或

0≤a≤1，∴ a的取值范围为0≤a≤1.6．已知函数h(x)=2x(x∈R)，它的反函数记作g(x)，A、B、C三点在函数g(x)的图象上，它们的横坐标分别为a，a+4，a+8(a>1)，记ΔABC的面积为S.(1)求S=f(a)的表达式；(2)求函数f(a)的值域；

(3)判断函数S=f(a)的单调性，并予以证明；(4)若S>2，求a的取值范围.解：(1)依题意有g(x)=log2x(x>0).并且 A、B、C三点的坐标分别为A(a，log2a)，B(a+4，log2(a+4))，C(a+8，log2(a+8))(a>1)，∴A，C中点D的纵坐标为〔log2a+log2(a+8)〕

∴ S=|BD|·4·2=4|BD|=4log2(a+4)-2log2a-2log2(a+8).(2)把S=f(a)变形得：S=f(a)=2〔2log2(a+4)-log2a-log2(a+8)〕=2log2=2log2(1+).，又函数y=log2x

由于a>1时，a2+8a>9，∴1<1+在(0，+∞)上是增函数，∴ 0<2log2(1+)<2log2，即0(1+)-(1+)=16(+8a2>0，)=16·+8a1>0，a1-a2<0，由a1>1，a2>1，且a2>a1，∴ a1+a2+8>0，∴ 1<1+

<1+，再由函数y=log2x在(0，+∞)上是增函数，于是可得f(a1)>f(a2)