“幂指函数”求导数的探讨

有些“高等数学”中都讨论了“幂指函数y=u (x) υ (x) ”求导数的两种方法: (1) “复合函数求导法”; (2) “对数求导法”。虽然“对数求导法”比通常用的“复合函数求导法”简便些, 但实用上还有没有更为别致的方法呢?笔者经过多年的教学探索得知, 对于“幂指函数求导数”的方法, 还可做更为灵活的推广。

下面就“幂指函数求导数”的传统方法进行简单的阐述, 进而加以推广。

1 对数求导法

先看下面的例子。

例1:求y=xsinx (x>) 0的导数。

解:先对y=xsinx两转业军人取对数得lny=sinxlnx, 再两边对x求导得, 从而y'=xsinx, 从而。

这种求导数的方法, 习惯上称为“对数求导法”。

2 复合函数求导法

例2:求y=xx (x>) 0的导数。

解:y=xx=exlnx, 由复合函数求导法

则得y'=exlnx (xlnx) '=xx1 (+lnx) 。

以上求导数的方法, 不妨称为“复合函数求导法”。

3 求导范围

事实上, 对某些含多个因式乘、除的函数, 使用“复合函数求导法”来求导, 也显得较方便。

另外, 在某些场合, 利用“对数求导法”来求导, 也比通常的方法简便些。

例4:求的导数。

解:两边取绝对值及对数, 得:

4 求导方法

例5:求y=u (x) υ (x) 的导数 (其中u (x) , υ (x) 均大于零且可导) 。

解:先将“幂指函数”y=u (x) υ (x) 暂且看作“幂函数”, 求导得υuυ-1u';再将y=u (x) υ (x) 暂且看作“指数函数”, 求导得uυln uυ';最后把两个部分求导结果相加, 得y'=υuυ-1u'+uυlnuυ'=uυ (υu'/u+υ'lnu) 。

以上“幂指函数”求导数的方法可由例1和例2得到验证。例如, 将y=xx暂且看作“幂函数”, 求导得xxx-1;再将y=xx暂且看作“指数函数”, 求导得xxlnx;最后再把两个部分求导结果相加, 便得y'=xxx-1+xxlnx=xx1 (+lnx) 。再如, 将y=xsinx暂且看作“幂函数”, 求导得sinxxsinx-1, 再将y=xsinx暂且看作“指数函数”, 求导得;xsinxlnx (sinx) '=xsinxlnxcosx最后也把两个部分求导结果相加, 即得y'=sinx (sinx/x+cosxlnx) 。这与例1、例2的结果惊人的一致!

事实上, 对例5这种一般情形, 还可以通过多元复合函数的求导法则来佐证:将幂指函数y=u (x) υ (x) 看成由三个函数y=uυ, u=u (x) , υ=υ (x) 复合而成, 从而。

摘要：本文在两种常见的幂指函数求导方法的基础上, 不仅对它们的应用范围进行了积极的扩展, 而且还从方法上进行了有效的创造性的探讨。

关键词：幂指函数,求导数,推广

参考文献

[1] 同济大学应用数学系.高等数学 (第5版) [M].高等教育出版社.

[2] 中国数学会《数学的实践与认识》编委会.数学的实践与认识[M].科学出版社, 2004, 1.

[3] 徐德安“.幂指函数”求导推广[J].大学时代, 2005 (6) .