定义法证明函数单调性

定义法证明函数单调性（通用12篇）

篇1：定义法证明函数单调性

用函数单调性定义证明

例

1、用函数单调性定义证明:

(1)为常数)在 上是增函数.(2)在 上是减函数.分析：虽然两个函数均为含有字母系数的函数，但字母对于函数的单调性并没有影响，故无须讨论.证明:(1)设

则 是 上的任意两个实数，且，=

由 得，由

得，.于是，即即..(2)设在 是 上是增函数.上的任意两个实数，且，则

由 得，由

得

于是 即.又，..在 上是减函数.小结：由(1)中所得结论可知二次函数的单调区间只与对称轴的位置和开口方向有关，与常数 无关.若函数解析式是分式，通常变形时需要通分，将分子、分母都化成乘积的形式便于判断符号.根据单调性确定参数

例

1、函数

在上是减函数，求的取值集合.分析：首先需要对 前面的系数进行分类讨论，确定函数的类型，再做进一步研究.解：当

具备增减性.当，解得

.故所求的取值集合为

.时，函数此时为，是常数函数，在上不时，为一次函数，若在上是减函数，则有

小结：此题虽比较简单，但渗透了对分类讨论的认识与使用.

篇2：定义法证明函数单调性

ax11ax

xf(x)，所以f(x)为奇函数。（1）f(x)xa1a1

ax1(ax1)221（2）f(x)x，a1ax1ax1

因为a0，所以a11，所以0

所以f(x)的值域为(1,1).（3）任取x1,x2R，且x1x2，则 xx22，ax1

ax11ax2122f(x1)f(x2)x1x2x2x1 a1a1a1a1

2(ax11)2(ax21)2(ax1ax2) x1(ax11)(ax21)(a1)(ax21)

xx因为a1，x1x2，所以a1a2，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)

篇3：利用函数的单调性证明不等式

一、利用一次函数的单调性证明不等式

例1已知|a|<1,|b|<1,|c|<1,求证:abc+2>a+b+c.

证明:欲证abc+2>a+b+c,需证(bc-1)a+2-b-c>0.

视a为主元,构造函数f(a)=(bc-1)a+2-b-c.

因为|b|<1,|c|<1所以bc-1<0,故函数f(a)在(-1,1)上是减函数.

又f(1)=bc-1+2-b-c=(1-b)(1-c)>0,

所以当a∈(-1,1)时,总有f(a)>0,故原不等式得证.

二、利用三次函数的单调性证明不等式

例2已知p3+q3=2,求证:p+q≤2.

证明:设f(x)=x3+q3-2,则函数f(x)在R上是增函数.

因为f(2-q)=(2-q)3+q3-2=6(1-q)2≥0,f(p)=p3+q3-2=0,

所以f(2-q)≥f(p),从而2-q≥P,故原不等式得证.

三、利用分式函数的单调性证明不等式

例3已知

证明:构造函数.易知函数在(0,+∞)上是增函数.

因为a+b+ab>a+b>0,所以f(a+b+ab)>f(a+b).

所以

四、利用指数函数的单调性证明不等式

例4已知a、b、c>0,且a2+b2=c2,n>2且n∈N*,求证:an+bn

证明:构造函数

由已知

所以函数f(x)在R上是减函数.

又因n>2,所以f(n)

例5已知a∈R,求证:a8-a5+a2-a+1>0.

证明:(1)当a≤0或a=1时,原不等式显然成立.

(2)当a>1时,函数y=ax在R上是增函数,

所以a8>a5,a2>a所以a8-a5+a2-a+1>0.

(3)当0a5,1>a.又a8>0,所以a8-a5+a2-a+1>0.

综上,对一切a∈R,不等式a8-a5+a2-a+1>0成立.

五、利用三角函数的单调性证明不等式

例6已知求证:

证明:因为

从而有

均属于区间在此区间上正弦函数是增函数.

有,即cos(sinθ)>sin(cosθ).

例7求证顶点在单位圆上的锐角三角形的三个角的余弦和小于该三角形周长之半.

证明:设三内角为A、B、C,由条件知,得.

根据余弦函数的单调性,有.

同理得cosB

所以cosA+cosB+cosC

由正弦定理,有,所以.所以,故原命题得证.

六、利用“对勾”函数的单调性证明不等式

例8已知

证明:令

因为0≤x≤π,所以-1≤t≤1,而函数f(t)在t∈[-1,1]上是增函数,

所以f(-1)≤y≤f(1).

而.

篇4：函数单调性定义应用例谈

（1） 如果对于属于定义域A内某个区间I上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1

（2） 如果对于属于定义域A内某个区间I上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1

现找出其中的核心内容:① x1

本文就三种情形分别谈谈函数单调性定义的简单应用.

1． ①②③,即根据定义判断或证明函数的单调性

例1 确定函数f(x)=11-2x的单调性.

简解:由1-2x＞0,得x＜12.

设x1＜x2＜12,由f(x1)-f(x2)=11-2x1-11-2x2=1-2x2-1-2x11-2x1•1-2x2

=(1-2x2-1-2x1)(1-2x2+1-2x1)1-2x1•1-2x2•(1-2x2+1-2x1)=2(x1-x2)1-2x1•1-2x2•(1-2x2+1-2x1)＜0,得f(x1)＜f(x2).

∴f(x)在-∞,12上是增函数.

点评:根据定义判断或证明单调性的一般步骤:设数→作差→变形→判号→结论.关键是“变形”要到位.本例中变形运用了“分子有理化”这一运算方法.

2． ①③②,即利用单调性比较函数值大小

例2 若偶函数f(x)在［0,π］上单调递增,则f(-π),f-π2,flog214的大小关系为 .

简解:∵f(-π)=f(π),f-π2=fπ2,flog214=f(-2)=f(2),

而fπ2＜f(2)＜f(π),

∴f-π2＜flog214＜f(-π).

点评:此应用是三种应用中最简单的一种.

3． ②③①,即利用单调性“脱去”f,将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系

例3 已知定义在［-1,1］上的函数f(x)是减函数,且是奇函数,若f(a2-a-1)+f(4a-5)>0,求实数a的取值范围.

简解:易得f(a2-a-1)＞-f(4a-5)=f(5-4a)

∴-1≤a2-a-1≤1-1≤5-4a≤1a2-a-1＜5-4a,解之得,1≤a＜-3+332.

点评:（1） 要将f(a2-a-1)+f(4a-5)>0标准化为单调性定义中f(x1)＞f(x2)的形式;

（2） 不要遗忘函数的定义域要求.

例4 已知函数f(x)对任意的a,b∈R都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,且当x＞0时,f(x)＞1.（1） 求证:f(x)是R上的增函数;（2） 若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)＜3.

简解:（1） 设x1＜x2,由f(a+b)=f(a)+f(b)-1,可得

f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1

∵x2-x1＞0,∴f(x2-x1)＞1,

∴f(x2)-f(x1)＞0,即f(x2)＞f(x1).∴f(x)在(-∞,+∞)上是增函数.

（2） 令a=b=2,∴f(2)=3.

∵f(x)在R上是增函数

∴当且仅当x=2时f(2)=3.

∴f(3m2-m-2)＜f(2)

∴3m2-m-2＜2,解之得-1＜m＜43.

篇5：专题：函数单调性的证明

函数的单调性需抓住单调性定义来证明，这是目前高一阶段唯一的方法。

一、证明方法步骤为：

① 在给定区间上任取两个自变量x1、x2且x1＜x2 ② 将fx1与fx2作差或作商（分母不为零）

③ 比较差值（商）与0（1）的大小 ④ 下结论，确定函数的单调性。

在做差比较时，我们常将差化为积讨论，常用因式分解（整式）、通分（分式）、有理化（无理式）、配方等手段。

二、常见的类型有两种：

（一）已知函数的解析式：

1例1：证明：函数fx=在x∈（1，+∞）单调递减

x-

1例2：证明：函数fx=x+x+1在x∈R时单调递增

3[1，+）时单调递增 例3：证明：函数fx=x-1在x∈2

例4：讨论函数fx=x+

1在（1，+）的单调性，并求最小值 x-1

例5：求函数fx= x+2的单调区间 x-1+）单调递增 练习：

1、证明函数fx=x+（a＞0）在（a，2、讨论函数fx=1+x-x的单调性

2ax

（二）fx抽象函数的单调性：

抽象函数的单调性关键是抽象函数关系式的运用，同时，要注意选择作差还是作商，这一点可观察题意中与0比较，应作差；与1比较，应作商。如下三例：

例1：已知函数满足x、y∈R时，f(xy)f(x)f(y)恒成立，且当x＞0时，＞0.证明：f(x)在R上单调递增.例2：已知函数满足x、y∈R时，f(xy)f(x)f(y)恒成立，且当x＞1时，0.证明：f(x)在(0,+∞)上单调递增.例3：已知函数满足x、y∈R时，f(xy)f(x)f(y)恒成立，且当x＞1时，1.若f(x)0.证明：f(x)在(0,+∞)上单调递增.练习：

1、已知函数

fx对于任意的x、y∈R，fx+fy=fx+y，且当x＞0时，fx＜0；f1=-23.f(x)＞f(x)＞总有（1）求证：fx在R上是减函数

（2）求fx在[-3，3]上的最大值与最小值

2、已知函数fx的定义域为R，且m、n∈R，恒有fm+fn=fm+n+1，且f-＞-1=0，当x21时，fx＞0.2（1）求证：fx是单调递增函数（2）求fx在[-2,2]的最大值与最小值.3、定义在R上的函数fx恒为正，且满足fx+y=fxfy，当x＞0时，fx＞1.（1）证明：fx在R上单调递增.2（2）若函数fx的定义域为[-1,1]时，解不等式fx-1＞f2x



4、函数fx的定义域为R，对于任意的a、b∈R皆有fa+fb=fa+b+1，且x＞0时，fx＞1（1）求证：fx是R上的增函数

2（2）若f4=5，解不等式f3m-m-2＜3

篇6：巧用函数的单调性证明不等式

在证明不等式中，通过联想构造函数，将常量作为变量的瞬时状态置于构造函数的单调区间内，利用其单调性证明一些不等式十分便捷，以下举例说明。

例1 已知

求证：。分析：直接求证非常困难，观察条件及所证结论不难发现a、b、c是对称的，变形所证不等式为

构造函数。，只需证恒成立。

例2 已知a、b。分析：应用比较法、分析法等证明都较繁琐，观察其左、右两边为函数

别令对应的函数值。中分构造函数。

例3 已知。

证法1：因为左右两边分别具有

证法2：要证只要证

证法3：两边写成设 后为比值形式，亦可构造三角函数证明。则点A（b,a），B（-m，-m）在坐标系中位置如图1。

例4 设a>0，求证 证明：

上述不等式转化为类型，通过构造函数。应用函数性质：（1）k>0，0）及时，在单调递减，在）上单调递增；（2）k<0时，在（（0，）上分别递增。证明一些不等式非常便捷。

例5 求证 证明：因为

对于构造以上类型的函数进行推广，如，亦可转化为的形式。分母变为熟悉的类型，如：

例6 求证：。证明：

对于一些结构较复杂的不等式，需要统观全局，整体把握，合理代换，化复杂为简单，从而达到顺利求证的目的。

例7 已知。分析：设是关于a,b的二次奇次式。由条件得b>0 若令：

同样，证明不等式若能构造具有型的函数，亦可根据a、b的正负确定函数相应的单调性区间，同以上方法一样类似进行证明，这里不再缀述。

篇7：函数单调性

北京教育学院宣武分院 彭 林

函数单调性是学生进入高中后较早接触到的一个完全形式化的抽象定义，对于仍然处于经验型逻辑思维发展阶段的高一学生来讲，有较大的学习难度。一直以来，这节课也都是老师教学的难点。最近，在我区“青年教师评优课”上，听了多名教师对这节课不同风格的课堂教学，通过对他们教学案例的研究和思考，笔者认为，在函数单调性概念的教学中，关键是把握住如下三个关键点。

关键点1。学生 学习函数单调性的认知基础是什么？

在这个内容之前，已经教学过一次函数、二次函数、反比例函数等简单函数，函数的变量定义和映射定义，以及函数的表示。对函数是一个刻画某些运动变化数量关系的数学概念，也已经形成初步认识。接踵而来的任务是对函数应该继续研究什么。在数学研究中，建立一个数学概念的意义就是揭示它的本质特征，即共同属性或不变属性。对各种函数模型而言，就是研究它们所描述的运动关系的变化规律，也就是这些运动关系在变化之中的共同属性或不变属性，即“变中不变”的性质。按照这种科学研究的思维方式，使得当前来讨论函数的一些性质，就成为顺理成章的、必要的和有意义的数学活动。至于在多种函数性质中，选择这个时机来讨论函数的单调性而不是其他性质，是因为函数的单调性是学生从已经学习的函数中比较容易发现的一个性质。

就中小学生与单调性相关的经历而言，学生认识函数单调性可以分为四个阶段： 第一阶段，经验感知阶段（小学阶段），知道一个量随另一个量的变化而变化的具体情境，如“随着年龄的增长，我的个子越来越高”，“我认识的字越多，我的知识就越多”等。

第二阶段，形象描述阶段（初中阶段），能用抽象的语言描述一个量随另一个量变化的趋势，如“y随着x的增大而减少”。

第三阶段，抽象概括阶段（高中必修1），能进行脱离具体和直观对象的抽象化、符号化的概括，并通过具体函数，初步体会单调性在研究函数变化中的作用。

第四阶段，认识提升阶段（高中选修系列1、2），要求学生能初步认识导数与单调性的联系。

基于上述认识，函数单调性教学的引入应该从学生的已有认知出发，建立在学生初中已学的一次函数、二次函数以及反比例函数的基础上，即从学生熟悉的常见函数的图象出发，直观感知函数的单调性，完成对函数单调性定义的第一次认识.。

让学生分别作出函数数值有什么变化规律？ 的图象，并且观察自变量变化时，函在学生画图的基础上，引导学生观察图象，获得信息：第一个图象从左向右逐渐上升，y随x的增大而增大；第二个图象从左向右逐渐下降，y随x的增大而减小.然后让学生明确，对于自变量变化时，函数值具有这两种变化规律的函数，我们分别称为增函数和减函数.第三个函数图象的上升与下降要分段说明，通过讨论使学生明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的．

在此基础上，教师引导学生用自己的语言描述增函数的定义： 如果函数在某个区间上的图象从左向右逐渐上升，或者如果函数

在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数在该区间上为增函数．

关键点2。为什么要用数学的符号语言定义函数的单调性概念？

对于函数单调性概念的教学而言，有一个很重要的问题，即为什么要进一步形式化。学生在初中已经接触过一次函数、反比例函数、二次函数，对函数的增减性已有初步的认识：随x增大y增大是增函数，随x增大y 减小是减函数。这个观念对他们而言是易于接受的，很形象，他们会觉得这样的定义很好，为什么还要费神去进行符号化呢？如果教师能通过教学设计，让学生感受到进一步符号化、形式化的必要性，造成认知冲突，则学生研究的兴趣就会大大提高，主动性也会更强。其实，数学概念就是一系列常识不断精微化的结果，之所以要进一步形式化，完全是数学精确性、严密性的要求，因为只有达到这种符号化、形式化的程度，才可以进行准确的计算，进行推理论证。

所以，在教学中提出类似如下的问题是非常必要的：

右图是函数函数吗？ 的图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减

对于这个问题，学生的困难是难以确定分界点的确切位置．通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究,使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性，从而将函数的单调性研究从研究函数图象过渡到研究函数的解析式.关键点3：如何用形式化的语言定义函数的单调性？

从数学学科这个整体来看，数学的高度抽象性造成了数学的难懂、难教、难学，解决这一问题的基本途径是顺应学习者的认知规律：在需要和可能的情况下，尽量做到从直观入手，从具体开始，逐步抽象，即数学的思考方式。恰当运用图形语言、自然语言和符号化的形式语言，并进行三者之间必要的转化，可以说，这是学习数学的基本思考方式。而函数单调性这一内容正是体现数学基本思考方式的一个良好载体，教学中应该充分关注到这一点。长此以往，便可使学生在学习知识的同时，学到比知识更重要的东西—学会如何思考？如何进行数学的思考？

一般说，对函数单调性的建构有两个重要过程，一是建构函数单调性的意义，二是通过思维构造把这个意义用数学的形式化语言加以描述。对函数单调性的意义，学生通过对若干函数图象的观察并不难认识，因此，前一过程的建构学习相对比较容易进行。后一过程的进行则有相当的难度，其难就难在用数学的符合语言来描述函数单调性的定义时，如何才能最大限度地通过学生自己的思维活动来完成。这其中有两个难点：

（1）“x增大”如何用符号表示；同样，“f(x)增大”如何用符号表示。（2）“‘随着’x增大，函数f(x)‘也’增大”，如何用符号表示。

用数学符号描述这两种数学意义的最大要害之处，在于要用数学的符号来描述动态的数学对象。

在初中数学中，除了学习函数的初级概念，用y=f(x)表示函数y随着自变量x的变化而变化时，接触到一点动态数学对象的数学符号表示以外，绝大多数都是用数学符号表示静态的数学对象。因此，从用静态的数学符号描述静态的数学对象，到用静态的符号语言刻画动态数学对象，在思维能力层次上存在重大差异，对刚刚由初中进入高中学习的学生而言，无疑是一个很大的挑战！

因此，在教学中可以提出如下问题2： 如何从解析式的角度说明

在上为增函数？

这个问题是形成函数单调性概念的关键。在教学中，教师可以组织学生先分组探究，然后全班交流，相互补充，并及时对学生的发言进行反馈、评价，对普遍出现的问题组织学生讨论，在辨析中达成共识.对于问题2，学生错误的回答主要有两种：

①在给定区间内取两个数，例如1和2，因为函数． ,所以

在上为增②可以用0，1，2，3，4，5验证： 在所以函数上是增函数。

对于这两种错误，教师要引导学生进一步展开思考。例如，指出回答②试图用自然数列来验证结论，而且引入了不等式表示不等关系，但是，只是对有限几个自然数验证不行，只有当所有的比较结果都是一样的：自变量大时，函数值也大，才可以证明它是增函数，那么怎么办？如果有的学生提出：引入非负实数a，只要证明

就可以了，这就把验证的范围由有限扩大到了无限。教师应适时指出这种验证也有局限性，然后再让学生思考怎样做才能实现“任意性”就有坚实的基础了。也就是，从给定的区间内任意取两个自变量,然后求差比较函数值的大小，从而得到正确的回答: 任意取在,有为增函数． ,即，所以这种回答既揭示了单调性的本质，也让学生领悟到两点：(1)两自变量的取值具有任意性；(2)求差比较它们函数值的大小。至此，学生对函数单调性有了理性的认识.在前面研究的基础上，引导学生归纳、抽象出函数单调性的定义，使学生经历从特殊到一般，从具体到抽象的认知过程。

教学中，教师引导学生用严格的数学符号语言归纳、抽象增函数的定义，并让学生类比得到减函数的定义.然后指导学生认真阅读教材中有关单调性的概念,对定义中关键的地方进行强调.同时设计了一组判断题：

判断题：

①②若函数③若函数满足f(2)

和(2,3)上均为增函数，则函数在(1,3)上为增函数．④因为函数减函数.在上都是减函数，所以在上是通过对判断题的讨论，强调三点：

①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性． ②有的函数在整个定义域内单调(如一次函数)，有的函数只在定义域内的某些区间单调(如二次函数)，有的函数根本没有单调区间(如常函数)．

③函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数．

从而加深学生对定义的理解

北京4中常规备课

【教学目标】

1．使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．

2．通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力．

3．通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．

【教学重点】 函数单调性的概念、判断及证明．

【教学难点】 归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性． 【教学方法】 教师启发讲授，学生探究学习． 【教学手段】 计算机、投影仪． 【教学过程】

一、创设情境，引入课题 课前布置任务：

(1)由于某种原因，2008年北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟到8月8日，请查阅资料说明做出这个决定的主要原因.(2)通过查阅历史资料研究北京奥运会开幕式当天气温变化情况.课上通过交流，可以了解到开幕式推迟主要是天气的原因，北京的天气到8月中旬，平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降，比较适宜大型国际体育赛事.下图是北京市今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图.引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考． 问题：观察图形，能得到什么信息？

预案：(1)当天的最高温度、最低温度以及何时达到；(2)在某时刻的温度；

(3)某些时段温度升高，某些时段温度降低.在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的．

问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？ 预案：水位高低、燃油价格、股票价格等．

归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小． 〖设计意图〗由生活情境引入新课，激发兴趣．

二、归纳探索，形成概念

对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，初中同学们就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义.1．借助图象，直观感知

问题1：

分别作出函数数值有什么变化规律？ 的图象，并且观察自变量变化时，函

预案：(1)函数

在整个定义域内 y随x的增大而增大；函数

在整个定义域内 y随x的增大而减小．

(2)函数在上 y随x的增大而增大，在上y随x的增大而减小．

(3)函数 在上 y随x的增大而减小，在上y随x的增大而减小．

引导学生进行分类描述(增函数、减函数)．同时明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质．

问题2：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数? 预案：如果函数

在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数

在某个区间上随自变量x的增大，y越来越小，我们在该区间上为增函数；如果函数说函数在该区间上为减函数．

教师指出：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观，描述性的认识． 【设计意图】从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识． 2．探究规律，理性认识

问题1：下图是函数和减函数吗？ 的图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增函数

学生的困难是难以确定分界点的确切位置．

通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究．

〖设计意图〗使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性． 问题2：如何从解析式的角度说明

在为增函数？

22预案：(1)在给定区间内取两个数，例如1和2，因为1<2,所以为增函数．

(2)仿(1)，取很多组验证均满足，所以(3)任取，所以

在,因为

为增函数．

在为增函数．

在,即对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量．

【设计意图】把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度,完成对概念的第二次认识．事实上也给出了证明单调性的方法，为证明单调性做好铺垫.3．抽象思维，形成概念

问题：你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗?

师生共同探究，得出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义．(1)板书定义(2)巩固概念 判断题：

①．

②若函数

③若函数 在区间

和(2,3)上均为增函数，则函数

在区间(1,3)上为增函

．

④因为函数在区间上是减函数.上都是减函数，所以在

通过判断题，强调三点：

①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性． ②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)．

③函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数．

思考：如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数? 【设计意图】让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识.三、掌握证法，适当延展

例 证明函数

在上是增函数．

1．分析解决问题

针对学生可能出现的问题，组织学生讨论、交流．

证明：任取 ，设元

求差

变形，断号

∴

∴

即

∴函数

2．归纳解题步骤

在上是增函数．

定论

引导学生归纳证明函数单调性的步骤：设元、作差、变形、断号、定论．

练习：证明函数

问题：要证明函数

在区间

上是增函数，除了用定义来证，如果可以证得对

在上是增函数．

任意的，且有可以吗? 引导学生分析这种叙述与定义的等价性．让学生尝试用这种等价形式证明函数在

〖设计意图〗初步掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤．等价形式进一步发展可以得到导数法，为用导数方法研究函数单调性埋下伏笔．

四、归纳小结，提高认识

学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结．

1．小结

(1)概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性．(2)证明方法和步骤：设元、作差、变形、断号、定论．(3)数学思想方法和思维方法：数形结合，等价转化，类比等． 2．作业

书面作业：课本第60页习题2.3 第4，5，6题． 课后探究：(1)证明：函数

在区间

上是增函数的充要条件是对任意的上是增函数．，且

有．

(2)研究函数的单调性，并结合描点法画出函数的草图．

《函数的单调性》教学设计说明

一、教学内容的分析

函数的单调性是学生在了解函数概念后学习的函数的第一个性质，是函数学习中第一个用数学符号语言刻画的概念，为进一步学习函数其它性质提供了方法依据． 对于函数单调性，学生的认知困难主要在两个方面：（1）要求用准确的数学符号语言去刻画图象的上升与下降，这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生是比较困难的；（2）单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容，而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的．根据以上的分析和教学大纲的要求，确定了本节课的重点和难点．

二、教学目标的确定

根据本课教材的特点、教学大纲对本节课的教学要求以及学生的认知水平，从三个不同的方面确定了教学目标，重视单调性概念的形成过程和对概念本质的认识；强调判断、证明函数单调性的方法的落实以及数形结合思想的渗透；突出语言表达能力、推理论证能力的培养和良好思维习惯的养成．

三、教学过程的设计

为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，教学上采取了以下的措施：（1）在探索概念阶段, 让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，完成对单调性定义的三次认识,使得学生对概念的认识不断深入．

（2）在应用概念阶段,通过对证明过程的分析，帮助学生掌握用定义证明函数单调性的方法和步骤．

篇8：单调函数的积函数的单调性

问题:已知y=f (x) 与y=g (x) 是定义在D上的单调函数, 试讨论函数F (x) =f (x) g (x) (x∈D) 的单调性。

分析:设x1, x2∈D, 且x1

当f (x) >0, g (x) >0时, 若f (x) , g (x) 均为D上的增函数, 则有F (x1)

若f (x) , g (x) 均为D上的减函数, 则有F (x1) >F (x2) , 此时F (x) 是D上的减函数。若f (x) , g (x) 在D上的单调性相反, 则F (x1) -F (x2) 的符号不确定, 此时F (x) 在D上的单调性也不确定。

当f (x) <0, g (x) <0时, 若f (x) , g (x) 均为D上的增函数, 则有F (x1) >F (x2) , 此时F (x) 是D上的减函数。若f (x) , g (x) 均为D上的减函数, 则有F (x1)

当f (x) >0, g (x) <0时, 若f (x) 为D上的增函数, g (x) 为D上的减函数, 则有F (x1) >F (x2) , 此时F (x) 是D上的减函数。若f (x) 为D上的减函数, g (x) 为D上的增函数, 则有F (x1)

当f (x) <0, g (x) >0时, 若f (x) 为D上的增函数, g (x) 为D上的减函数, 则有F (x1) F (x2) , 此时F (x) 是D上的减函数。若f (x) , g (x) 在D上的单调性相同, 则F (x1) -F (x2) 的符号不确定, 此时F (x) 在D上的单调性也不确定。

通过以上分析, 对于定义在D上的单调函数y=f (x) 与y=g (x) , 其积函数F (x) =f (x) g (x) (x∈D) 的单调性有如下规律:

篇9：对函数单调性定义的认识与理解

最初学习单调性时往往容易将定义域与单调区间混淆.有些函数在整个定义域上是单调的，如一次函数；有些函数在整个定义域上是非单调的，如常函数y=c，又如函数y=1，x∈Q，0，x∈RQ；而有些函数在整个定义域上是非单调的，但在其部分区间上是增函数，在其另一部分区间上是减函数，如二次函数.

若函数在定义域的两个区间A，B上都是增（减）函数，一般不能简单地认为其在A∪B上是增（减）函数.如

f（x）=在（-∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上也是减函数，但不能说它在（-∞，0）∪（0，+∞）上是减函数，事实上，取x1=-1＜1=x2，而f（x1）=-1＜1=f（x2），并不符合减函数的定义.又如函数g（x）的图像如图1所示，g（x）在（-∞，0）上是增函数，在［0，+∞）上也是增函数，且对任意的x1＜0≤x2，g（x1）＜g（x2），则可以说g（x）在R上是增函数.能不能说函数在A∪B上是增（减）函数，关键看它是否符合函数单调性的定义.

例1 （2006年北京理科卷）已知f（x）=（3a-1）x+4a，x＜1，logax，x≥1（a＞0且a≠1）是（-∞，+∞）上的增函数，那么实数a的取值范围是.

分析 这是利用分段函数在其定义域上是增函数这样一个条件，求其中字母参数的问题.毫无疑问，f（x）在分段函数的各段范围上都应该是增函数，于是可以分别获得a的取值范围.那么怎么实现f（x）在定义域（-∞，+∞）上是增函数呢？ 这就需要借助函数单调性的定义了.显然函数f（x）两部分的图像分布状况如图2，图3或图4所示，其中图2，图3满足函数单调性的定义，于是应有（3a-1）×1+4a≥loga1.

答案：，.

点评 函数单调性的定义强调“任意”所取的“x1，x2”来自于“同一区间”，所以函数的两个（或多个）单调区间能否写成并集形式的关键是，在并集中任意取x1，x2时，是否符合函数单调性的定义.

函数的单调性是对于函数定义域内的某一子集而言的.反过来，在讨论函数单调性时，不能遗忘首先是在定义域的大前提下进行的.

例2 已知f（x）=loga（2-ax）（a＞0且a≠1）在［0，1］上是减函数，则实数a的取值范围是.

分析 函数可以分解成y=logat和t=2-ax，显然t=2-ax是x的减函数，于是要使得f（x）=loga（2-ax）是减函数，只需y=logat是t的增函数，故有a＞1.但对数函数要求真数大于零，故t=2-ax是x的减函数应理解为是［0，1］上的正值递减函数.同学们，下面怎么处理，你想到了吗？

答案：（1，2）.

函数的单调区间反映的是函数值的连续变化情况，属于函数的整体性质，是函数具有增（减）性质的所有部分，如函数f（x）=x2+1的单调增区间为［0，

+∞）；而函数在区间上单调体现的是函数在被考察区间上的局部特征，如函数f（x）=x2+1在［1，2］和（3，+∞）上单调递增.一般地，后者应为前者的子集.

例3 已知函数f（x）=x2-2ax+1在区间［1，+∞）上递增，求实数a的取值范围.

分析 思路一 函数f（x）=x2-2ax+1的单调增区间是［a，+∞），所以［1，+∞）应为［a，+∞）的子集.

思路二 函数f（x）=x2-2ax+1在区间［1，+∞）上递增，即有当1≤x1＜x2时，f（x1）＜f（x2）恒成立，从而求出实数a的取值范围.

答案：（-∞，1］.

点评 （1） 判断函数单调性的常用方法有：图像法，即根据图像的上升和下降进行判断；定义法，即根据增、减函数的定义，按照“取值——作差、变形——定号——下结论”的步骤进行判断（其中“作差、变形——定号”的目的是比较大小，有时也可作商）.

（2） 不等式a＜对1≤x1＜x2恒成立，即a小于右式的最小值.这里尽管1并不是右式的最小值，但它是右式取值的端点，右式均比1大，故a可取1.

（3）本题中的在［1，+∞）上递增，也可说成在（1，+∞）上递增，因为函数在某点处的函数值是确定的，讨论函数在某点处的单调性没有意义.事实上，只要函数连续且在区间端点有意义，函数单调区间既可以写成闭区间，也可以写成开区间，所以本题区间无论是开或闭，都不影响结果.

在所讨论的区间上任取x1＜x2，当f（x1）＜f（x2）时，函数是增函数，当f（x1）＞f（x2）时，函数是减函数.实际上，若任取x1＞x2，当f（x1）＞f（x2）时，函数为增函数，当

f（x1）＜f（x2）时，函数为减函数.即如果自变量的大小关系与函数值的大小关系一致时，函数为增函数，反之，函数为减函数.

例4 已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，求不等式f（x）＜f（8（x-2））的解集.

分析 函数f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，所以自变量的大小关系与函数值的大小关系相反，可以列出相应的不等式，注意不要忘记定义域，即有x＞0，8（x-2）＞0，x＞8（x-2），解得2＜x＜，所以原不等式的解集为x2＜x＜?摇.

1. 若函数f（x）=x2+2ax+2在［-5，5］上是单调函数，则实数a的取值范围是.

2. 已知函数f（x）是（-∞，+∞）上的增函数，则f（a2+a+1）f（填“＜”，“＞”，“≤”或“≥”符号），不等式f（x）＞f（2-x）的解集为.

3. 已知0＜x≤2，则函数f（x）=的最大值为.

4. 判断函数f（x）=（a≠0）在区间（-1，1）上的单调性.

1. {a|a≤-5或a≥5}. 2. ≥，{x|x＞1}. 3. -1.

篇10：能力提升 函数单调性

函数单调性

1.（1）已知函数f(x)＝x2+2(a-1)x+2在区间(-∞，4］上是减函数，则实数a的取值范围是.（2）已知函数f(x)＝x2+2(a-1)x+2的递减区间是(-∞，4］，则实数a的取值范围是.ax12.函数f(x)在区间（-2，+∞）上是增函数，那么a的取值范围是（）x2

11A.0aB.aC.a<-1或a>1D.a>-2 22

ax4.判断f(x)2。(a0)在[1,)上的单调性并给出证明．．．．．x1

5.f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且f（（1）求f(1)的值．

（2）若f(6)= 1，解不等式 f(x＋3)－f（(3)设f（2）=1，解不等式f(x)f(1)＜2 ． xx)= f(x)－f(y)y1)2x3

3.已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，2f(1)＝－3(1)求证：f(x)在R上是减函数；

篇11：函数的单调性教案

§1.3.1函数的单调性

姓名：吴志强

班级：统计08-2班 院系：数学与统计学院

学号：08071601021 §1.3.1函数的单调性

一、教学目标

1)通过已学过的函数，学会运用函数图象理解和研究函数性质 2)理解函数单调性的定义及单调函数的图像特征

3)能够熟练的应用定义判断函数在某一区间的单调性

4)通过本节知识的学习，培养学生严密的逻辑思维能力、用运动变化、数形结合、分类讨论的思想方法去分析和处理问题，以提高学生的思维品质

二、教学重点

函数单调性的定义及单调函数的图像特征

三、教学难点

利用函数的单调性的定义判断或证明函数的单调性

四、教学与学法

启发式教学，充分发挥学生的主体作用

五、教学过程

(一)引入

如图为某地区2012年元旦这一天24小时内的气温变化图，教师提问：在0点到4点，气温随着时间的推移是怎么变化的？在4点到14点，气温随着时间的推移又是怎么变化的？

教师指出：上面两种现象都是单调性现象。那么，在数学上我们如何定义函数的单调性呢？

(二)作出下列函数的图像

 图像1 y2x1在R上，y随x的增大而增大，若任意x1x2,则f(x1)f(x2)（左到右为上升）称为增函数

 图像2 y2x1在R上，y随x的增大而减小，若任意x1x2,则f(x1)f(x2)（左到右为下降）称为减函数  图像3

yx2以对称轴，左侧下降，右侧上升

在(,0]上，y随x的增大而减小，得出函数在此区间为减函数 在(0,]上，y随x的增大而增大，得出函数在此区间为增函数

问：如何用数学语言来描述增函数与减函数呢？ 以yx2为例，在(0,]上任取x1，都有x1x222、x2，则

f(x1)x12，f(x2)x22，对任意的0x1x2xx2，所以在区间(0,]上，对任意的1都有f(x1)f(x2)2，即yx在(0,]上，当x增大时，函数值f(x)相应随之增大，得出yx2在(0,]上为增函数

2在区间(,0]上同理推得yx

（三）定义

为减函数

一般的设函数f(x)的定义域为I

a)如果对于定义域I内某一区间D上任意两个自变量的值1、2，当都有f(x1)f(x2)xxx1x2时，那么说函数f(x)在区间D上为增函数

xxx1x2b)如果对于定义域I内某一区间D上任意两个自变量的值1、2，当都有

f(x1)f(x2)时，那么说函数f(x)在区间D上为减函数

（四）单调性、单调区间定义：

如果函数yf(x)在这一区间D上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在这区间具有（严格的）单调性，区间D为yf(x)的单调区间

（五）举例

例

1、如图，yf(x)在定义在[5,5]的函数，根据图像说出函数的单调区间，以及每一单调区间上它为增函数还是减函数。

解：单调区间[5,2],[2,1],[1,3],[3,5]

[5,2],[1,3]为减函数，[2,1],[3,5]为增函数

注意：

a)书写时，区间与区间用逗号隔开，不能用“”链接

b)对于孤立点，没有单调性，所以区间端点处如有定义，写开闭均可 c)函数为增函数、减函数是对定义域内某一区间而言的

例

2、证明f(x)2x3在R上为单调减函数 证明：

设x1，x2是R上任意两个值，且x1x2，则f(x1)-f(x2)=(-2x1+3)-(-2x2+3)=-2(x1-x2)x1x2　　x1x20　　　-2(x1x2)0f(x1)f(x2)0　　　　即f(x1)f(x2)函数f(x)2x3在R上为单调减函数

小结：证明函数单调性的步骤 a)设值，设任意的1、b)作差变形，xx2，且

x1x2

f(x1)-f(x2)变形常用的方法有：因式分解、配方、有理化等 的正负 c)判断差符号，确定

f(x1)-f(x2)d)下结论，由定义得出函数的单调性

（六）课堂练习证明f(x)x在[0,+]是增函数证明：设x1,x2[0,+),且x1x2则f(x1)-f(x2)=x1-x2=x1-x21(x1-x2)(x1(x1x20x2)x2)x1-x2x1+x2(对分子有理化详细讲解）又0x1

给学生时间做Ｐ32　　练习4

解： 设x1，x2是R上任意两个值，且x1x2，则f(x1)-f(x2)=(-2x1+１)-(-2x2+１)=-2(x1-x2)x1x2　　x1x20　　　-2(x1x2)0　f(x1)f(x2)0　　　　即f(x1)f(x2)函数f(x)2x1在R上为单调减函数

（七）课堂小结

a)增函数、减函数的定义 b)图像法判断函数的单调性

（由左到右上升，为增函数，由左到右下降，为减函数）c)证明单调函数的步骤

（设值…………作差变形………….判断差符号………..下结论………..）

（八）作业

P39　习题1、3　　A　组

1、题2

篇12：函数的单调性性教学反思

函数的单调性性教学反思

在教学过程中针对学生已经初步认识了函数是刻画某些运动变化数量关系的数学概念，在教学中借助图像对函数进行研究特别是对函数加以直接考察，利用一次函数，二次函数，反比例函数等几个具体函数了解它们的图像和性质。“图像是上升的，函数是单调增的；图像是下降的，函数是单调减的”仅就图像角度直观描述函数单调性的特征，学生并不感到困难。困难在于，把具体的，直观形象的函数单调性抽象出来，用数学的符号语言描述，教学中通过像及数值变化特征的研究，得到“图像是上升的”，相应地，即“随着x的增大，Y也增大，”初步提出单调性的说法。通过讨论、交流，让学生尝试，就一般情况进行刻画，提出单调性的定义，然后通过辨析，练习等帮助学生理解一概念。

在教学中要适当把握节奏，在一节课企图让学生完成对单调性的真正理解是不可能的，在今后的教学中学生通过判断函数单调性，寻找函数单调区间，应用函数单调性解决具体问题，等一系列学习活动逐步理解这一概念。