一阶导数在函数中的应用——单调区间、极值点与最值点的判别

1 单调区间的判定

判断函数f (x) 在某个区间内的单调性时, 常常利用导数来判断。一般会用单调性的充分条件。

定理1 (函数单调性的充分条件)

设函数y=f (x) 在区间 (a, b) 内可微。

(1) 若当时, , 则f (x) 在内 (a, b) 单调递增。

(2) 若当时, , 则f (x) 在 (a, b) 内单调递减。

例1讨论函数 的单调性。

列表得:

由表知, 函数 在内单调递增, 在 内单调递减。

2 极值点的判别

判断函数f (x) 在一点x0处是否取得极值, 常常用到极值的定义以及极值的第一充分条件, 即极值判别法Ⅰ。

定义1 (极值的定义)

设函数y=f (x) 在x0的一个邻域内有定义, 若对于该邻域内异于x0的x恒有:

(1) f (x0) >f (x) , 则称f (x0) 为函数f (x) 的极大值, x0称为f (x) 的极大值点。

(2) f (x0)

定理2 (极值判别法Ⅰ)

设函数y=f (x) 在x0的一个空心邻域内可微 (在x0处可以不可微, 但必须连续) , 若当在该邻域内由小于x0连续地变为大于x0时, 其导数f` (x) 改变符号, 则f (x0) 为函数的极值, x0为函数的极值点, 并且

(1) 若导数f` (x) 的符号由“+”变为“-”, 则x0为极大值点, f (x0) 为f (x) 的极大值。

(2) 若导数 的符号由“-”变为“+”, 则x0为极小值点, f (x0) 为f (x) 的极小值。

而当x在该邻域内由小于x0连续地变为大于x0时, 其导数f` (x) 不改变符号, 则f (x0) 不是函数的极值。x0也不是函数的极值点。

定理3 (极值的必要条件) 设函数y=f (x) 在点x0处可导, 且f (x0) 为函数的极值 (x0为极值点) , 则

定义3 (驻点) 使 的点, 称为函数f (x) 的驻点。

2.1 驻点不一定是极值点

例2

由此图1可以观察得知, 曲线y=f (x) 在点x1、x2、x3和x5处的切线都平行于x轴, 即这四个点都是函数f (x) 的驻点, 但是根据极值定义可以知道, 点x1、x2、x3都是极值点, 而点x5却不是极值点。所以, 驻点不一定是极值点。

2.2 连续不可导点可能是极值点

在图1中, 我们得知点x1、x2、x3都是函数f (x) 的驻点, 且都是极值点, 另外, 我们也可以发现函数f (x) 在点x4处没有导数, 但是在点连续, 并且点x4也是函数f (x) 的极值点之一。

例3求函数 的极值。

解:定义域 , 令 , 得驻点x=2, 当时 不存在。列表得:

在例3中, 虽然x=1时, 不存在, 但根据极值判别法Ⅰ, 在x=1两侧的符号由“+”变为“-”, 可知为极值点, 且为极大值点。所以, 连续不可导点可能是极值点。

2.3 不在定义域内的点一定不是极值点

在上表中, 我们可以得知 在x=1两侧的符号由“+”变为“-”, 但实际上函数f (x) 在x=-1没有定义, 即x=-1不是该函数的极值点。所以, 不在定义域内的点一定不是极值点。

3 最值点的判别

函数最值点的取值在极值点或端点, 那么极值点与最值点之间是否是互为充分的呢?结果是否定的。

3.1极值点不一定是最值点

例5

由图1可得知, 在闭区间[a, b]上, 虽然点x1、x2、x3、x4都是函数f (x) 的极值点, 但都不是最值点。此时函数f (x) 在左端点x=a取得最小值, 右端点x=b取得最大值。3.2最值点不一定是极值点

由函数在一点可导的定义可知, 该函数f (x) 在x=0处可导且, 并且函数f (x) 的最小值为0, 点x=0是f (x) 的最小值点之一。但在以原点0为中心的任何邻域内, 存在无穷个 使f (x) =0, 此时皆不成立f (x) >0, 根据函数极值的定义, 可知最小值点x=0不是f (x) 的极小值点, 即最值点不一定是极值点。

摘要：在单调区间、极值点以及最值点的判断中, 会出现不同的情况, 本文通过一些例题来归纳说明它们之间的联系, 以及一些特殊情况。

关键词：一阶导数,单调区间,极值点,最值点