已知函数单调性求参数范围的求解策略

已知函数单调性求参数范围的求解策略（精选8篇）

篇1：已知函数单调性求参数范围的求解策略

《参数问题求解策略梳理》的评课稿

听了前老师《参数问题求解策略梳理》一课，受到的启发很大。师老师的课犹如一篇关于参数问题求解策略研究的论文，对于参数本质的理解非常深入，对于参数问题求解策略的梳理也是非常的全面，同时，师老师虽然是一位数学教师，但他深厚的文学功底，幽默的课堂语言给我留下了很深的印象。

一、对于学科知识的深入理解是一堂好课的关键

参数法作为一种重要的数学方法，是学生数学解题能力的重要体现，也是学生在数学学习中必定会遇到的难点。因此，在高三的.复习阶段，设计这样一堂参数问题的探究课可以说是非常必要的。然而，由于教材中并没有这样一个内容，因此，如何设计，如何推进教学，对于教师来说是很大的挑战。师老师通过：参数是什么——求解参数问题的策略梳理——质疑与探索——小结归纳——布置作业这样五个环节的层层推进，让学生在他的引领下充分体验了解决含参数问题的一般方法和策略。应该说，整个的课堂设计是合理的，也有很独到的地方值得学习。特别是在质疑与探索环节，师老师选取了杂志上的一道题，就题目的漏洞和学生展开探讨，对于培养学生的质疑精神是很有帮助的。此外，师老师在TI 计算器的使用和研究方面所取得的成果也让我很佩服。我觉得，教师对数学研究的深入和执着的精神，对于学生学好数学是可以起很大的潜移默化的作用的。

二、恰到好处的归纳总结有利于学生知识的形成

看师老师的教案，你就可以感受到他是一个非常注重总结和归纳的人。而恰到好处的归纳和总结得对于学生知识的形成和巩固是非常有帮助的。在数学学习的过程中，解题策略的形成也有赖于适时地总结和归纳。这一点师老师在质疑和探索环节中，对于第2题研究方程的解至少有一个为整数时的a的值时，首先利用图形计算器进行解题策略的探索，逐步引导学生形成解题的思路，在启发学生思维方面有很好的示范作用。

此外，从师老师提出的“问道于参”的思想，以及在第二个环节中对于题组一和题组二中的每一个例题都能及时总结的做法，看得出教师在例题设计方面花了很多的心思。当然，如果在讲解的过程中，教师可以对解题的过程，思考的过程包括书写都能更详尽、规范一些效果可能会更好，特别对于一部分数学知识基础还不是特别好的学生可能帮助会更大。

当然，由于本堂课参与学习的学生群体水平较高，数学基础也较好，因此教师才会对于基本方法研究较简单，在教学设计上也大胆地采取了质疑和探究的环节，对于提升学生对数学的理解力和研究力有很大帮助。对于我今后在参数问题方面的教学也很有帮助和启发。

篇2：已知函数单调性求参数范围的求解策略

一．解答题（共40小题）

1．证明：函数f（x）=在（﹣∞，0）上是减函数．

2．求证：函数f（x）=4x+在（0，）上递减，在[，+∞）上递增．

3．证明f（x）=

在定义域为[0，+∞）内是增函数．

4．应用函数单调性定义证明：函数f（x）=x+在区间（0，2）上是减函数．

第1页（共23页）

5．证明函数f（x）=2x﹣在（﹣∞，0）上是增函数．

6．证明：函数f（x）=x2+3在[0，+∞）上的单调性．

7．证明：函数y=

在（﹣1，+∞）上是单调增函数．

8．求证：f（x）=

在（﹣∞，0）上递增，在（0，+∞）上递增．

9．用函数单调性的定义证明函数y=

在区间（0，+∞）上为减函数．

第2页（共23页）

10．已知函数f（x）=x+．

（Ⅰ）用定义证明：f（x）在[2，+∞）上为增函数；（Ⅱ）若

＞0对任意x∈[4，5]恒成立，求实数a的取值范围．

11．证明：函数f（x）=

在x∈（1，+∞）单调递减．

12．求证f（x）=x+的（0，1）上是减函数，在[1，+∞]上是增函数．

13．判断并证明f（x）=

在（﹣1，+∞）上的单调性．

14．判断并证明函数f（x）=x+在区间（0，2）上的单调性．

第3页（共23页）

15．求函数f（x）=的单调增区间．

16．求证：函数f（x）=﹣

﹣1在区间（﹣∞，0）上是单调增函数．

17．求函数的定义域．

18．求函数的定义域．

19．根据下列条件分别求出函数f（x）的解析式（1）f（x+）=x2+

（2）f（x）+2f（）=3x．

20．若3f（x）+2f（﹣x）=2x+2，求f（x）．

第4页（共23页）

21．求下列函数的解析式

（1）已知f（x+1）=x2求f（x）

（2）已知f（）=x，求f（x）

（3）已知函数f（x）为一次函数，使f[f（x）]=9x+1，求f（x）

（4）已知3f（x）﹣f（）=x2，求f（x）

22．已知函数y=f（x），满足2f（x）+f（）=2x，x∈R且x≠0，求f（x）．

第5页（共23页）

23．已知3f（x）+2f（）=x（x≠0），求f（x）．

24．已知函数f（x+）=x2+（）2（x＞0），求函数f（x）．

25．已知2f（﹣x）+f（x）=3x﹣1，求f（x）．

26．若2f（x）+f（﹣x）=3x+1，则求f（x）的解析式．

27．已知4f（x）﹣5f（）=2x，求f（x）．

28．已知函数f（+2）=x2+1，求f（x）的解析式．

第6页（共23页）

29．若f（x）满足3f（x）+2f（﹣x）=4x，求f（x）的解析式．

30．已知f（x）=ax+b且af（x）+b=9x+8，求f（x）

31．求下列函数的解析式：

（1）已知f（2x+1）=x2+1，求f（x）；

（2）已知f（）=，求f（x）．

32．已知二次函数满足f（2x+1）=4x2﹣6x+5，求f（x）的解析式．

33．已知f（2x）=x2﹣x﹣1，求f（x）．

34．已知一次函数f（x）满足f（f（f（x）））=2x﹣3，求函数f（x）的解析式．

第7页（共23页）

35．已知f（x+2）=x2﹣3x+5，求f（x）的解析式．

36．已知函数f（x﹣2）=2x2﹣3x+4，求函数f（x）的解析式．

37．若3f（x）+2f（﹣x）=2x，求f（x）

38．f（+1）=x2+2，求f（x）的解析式．

39．若函数f（）=+1，求函数f（x）的解析式．

40．已知f（x﹣1）=x2﹣4x．（1）求f（x）的解析式；（2）解方程f（x+1）=0．

第8页（共23页）

第9页（共23页）

函数的单调性证明

参考答案与试题解析

一．解答题（共40小题）

1．证明：函数f（x）=在（﹣∞，0）上是减函数． 【解答】证明：设x1＜x2＜0，则：

；

∵x1＜x2＜0；

∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0； ∴f（x1）＞f（x2）；

∴f（x）在（﹣∞，0）上是减函数．

2．求证：函数f（x）=4x+在（0，）上递减，在[，+∞）上递增． 【解答】证明：设0＜x1＜x2＜，则f（x1）﹣f（x2）=（4x1+）﹣（4x2+）=4（x1﹣x2）+

=（x1﹣x2）（），又由0＜x1＜x2＜，则（x1﹣x2）＜0，（4x1x2﹣9）＜0，（x1x2）＞0，则f（x1）﹣f（x2）＞0，则函数f（x）在（0，）上递减，设≤x3＜x4，同理可得：f（x3）﹣f（x4）=（x3﹣x4）（又由≤x3＜x4，第10页（共23页）），则（x3﹣x4）＜0，（4x3x4﹣9）＞0，（x1x2）＞0，则f（x3）﹣f（x4）＜0，则函数f（x）在[，+∞）上递增．

3．证明f（x）=在定义域为[0，+∞）内是增函数．

【解答】证明：设x1，x2∈[0，+∞），且x1＜x2，则：

=∵x1，x2∈[0，+∞），且x1＜x2； ∴∴f（x1）＜f（x2）；

∴f（x）在定义域[0，+∞）上是增函数．

4．应用函数单调性定义证明：函数f（x）=x+在区间（0，2）上是减函数． 【解答】证明：任取x1，x2∈（0，2），且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=

﹣（=

；

；

因为0＜x1＜x2＜2，所以x1﹣x2＜0，x1x2＜4，所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），所以f（x）=x+在（0，2）上为减函数．

5．证明函数f（x）=2x﹣在（﹣∞，0）上是增函数． 【解答】解：设x1＜x2＜0，∴f（x1）﹣f（x2）=2x1﹣﹣2x2+

=（x1﹣x2）（2+∵x1＜x2＜0，），第11页（共23页）

∴x1﹣x2＜0，2+

＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即：f（x1）＜f（x2），∴函数f（x）=2x﹣在（﹣∞，0）上是增函数．

6．证明：函数f（x）=x2+3在[0，+∞）上的单调性． 【解答】解：任取0≤x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）==（x1+x2）（x1﹣x2）

因为0≤x1＜x2，所以x1+x2＞0，x1﹣x2＜0，故原式f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以原函数在[0，+∞）是单调递增函数．

7．证明：函数y=

在（﹣1，+∞）上是单调增函数．

=1﹣

在在区间（﹣1，+∞），【解答】解：∵函数f（x）=可以设﹣1＜x1＜x2，可得f（x1）﹣f（x2）=1﹣∵﹣1＜x1＜x2＜0，﹣1+=

∴x1+1＞0，1+x2＞0，x1﹣x2＜0，∴＜0

∴f（x1）＜f（x2），∴f（x）在区间（﹣∞，0）上为增函数；

8．求证：f（x）=在（﹣∞，0）上递增，在（0，+∞）上递增．

第12页（共23页）

【解答】证明：设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=﹣∵x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，﹣（﹣）=﹣=，∴若x1＜x2＜0，则x1x2＞0，此时f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），此时函数单调递增．

若0＜x1＜x2，则x1x2＞0，此时f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），此时函数单调递增． 即f（x）=

9．用函数单调性的定义证明函数y=【解答】解：∵函数y=可以设0＜x1＜x2，可得f（x1）﹣f（x2）=∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）在区间（﹣∞，0）上为减函数；

10．已知函数f（x）=x+．

（Ⅰ）用定义证明：f（x）在[2，+∞）上为增函数；（Ⅱ）若＞0对任意x∈[4，5]恒成立，求实数a的取值范围．

﹣

=

＞0，在区间（0，+∞）上为减函数． 在（﹣∞，0）上递增，在（0，+∞）上递增．

在区间（0，+∞），【解答】（Ⅰ）证明：任取x1，x2∈[2，+∞），且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=（x1+）﹣（x2+）=，∵2≤x1＜x2，所以x1﹣x2＜0，x1x2＞4，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）=x+在[2，+∞）上为增函数；（Ⅱ）解：∵＞0对任意x∈[4，5]恒成立，第13页（共23页）

∴x﹣a＞0对任意x∈[4，5]恒成立，∴a＜x对任意x∈[4，5]恒成立，∴a＜4．

11．证明：函数f（x）=

在x∈（1，+∞）单调递减．

【解答】证明：设x1＞x2＞1，则：

；

∵x1＞x2＞1；

∴x2﹣x1＜0，x1﹣1＞0，x2﹣1＞0； ∴即f（x1）＜f（x2）；

∴f（x）在x∈（1，+∞）单调递减．

12．求证f（x）=x+的（0，1）上是减函数，在[1，+∞]上是增函数． 【解答】证明：①在（0，1）内任取x1，x2，令x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=（=（x1﹣x2）+=（x1﹣x2）（1﹣

；）﹣（）），∵x1，x2∈（0，1），x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，1﹣

＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，∴f（x）=x+在（0，1）上是减函数． ②在[1，+∞）内任取x1，x2，令x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=（）﹣（）

第14页（共23页）

=（x1﹣x2）+=（x1﹣x2）（1﹣），∵x1，x2∈[1，+∞），x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，1﹣

＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，∴f（x）=x+在[1，+∞]上是增函数．

13．判断并证明f（x）=【解答】解：f（x）=证明如下：

在（﹣1，+∞）上任取x1，x2，令x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）=

﹣

=，在（﹣1，+∞）上的单调性． 在（﹣1，+∞）上的单调递减．

∵x1，x2∈（﹣1+∞），x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，x1+1＞0，x2+1＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，∴f（x）=

14．判断并证明函数f（x）=x+在区间（0，2）上的单调性． 【解答】解：任意取x1，x2∈（0，2）且0＜x1＜x2＜2 f（x1）﹣f（x2）=x1+∵0＜x1＜x2＜2

∴x1﹣x2＜0，0＜x1x2＜4，即x1x2﹣4＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）．

第15页（共23页）

在（﹣1，+∞）上的单调递减．

﹣x2﹣=（x1﹣x2）+

﹣

=（x1﹣x2），所以f（x）在（0，2）上是单调减函数．

15．求函数f（x）=的单调增区间．

=1﹣的单调递增区间为【解答】解：根据反比例函数的性质可知，f（x）=（﹣∞，0），（0，+∞）

故答案为：（﹣∞，0），（0，+∞）

16．求证：函数f（x）=﹣

﹣1在区间（﹣∞，0）上是单调增函数．

【解答】证明：设x1＜x2＜0，则：

；

∵x1＜x2＜0；

∴x1﹣x2＜0，x1x2＞0； ∴；

∴f（x1）＜f（x2）；

∴f（x）在区间（﹣∞，0）上是单调增函数．

17．求函数的定义域．

【解答】解：根据题意，得，解可得，故函数的定义域为2≤x＜3和3＜x＜5．

18．求函数的定义域．

第16页（共23页）

【解答】解：由故函数定义域为{x|x＜}

．

19．根据下列条件分别求出函数f（x）的解析式（1）f（x+）=x2+

（2）f（x）+2f（）=3x． 【解答】解：（1）f（x+）=x2+

=（x+）2﹣2，即f（x）=x2﹣2，（x＞2或x＜﹣2）（2）∵f（x）+2f（）=3x，∴f（）+2f（x）=，消去f（）得f（x）=﹣x．

20．若3f（x）+2f（﹣x）=2x+2，求f（x）． 【解答】解：∵3f（x）+2f（﹣x）=2x+2…①，用﹣x代替x，得：

3f（﹣x）+2f（x）=﹣2x+2…②； ①×3﹣②×2得：

5f（x）=（6x+6）﹣（﹣4x+4）=10x+2，∴f（x）=2x+．

21．求下列函数的解析式（1）已知f（x+1）=x2求f（x）（2）已知f（）=x，求f（x）

（3）已知函数f（x）为一次函数，使f[f（x）]=9x+1，求f（x）（4）已知3f（x）﹣f（）=x2，求f（x）

【解答】解：（1）∵已知f（x+1）=x2，令x+1=t，可得x=t﹣1，∴f（t）=（t﹣

第17页（共23页）

1）2，∴f（x）=（x﹣1）2．（2）∵已知f（）=x，令

=t，求得 x=，∴f（t）=，∴f（x）=

．

（3）已知函数f（x）为一次函数，设f（x）=kx+b，k≠0，∵f[f（x）]=kf（x）+b=k（kx+b）+b=9x+1，∴k=3，b=，或k=﹣3，b=﹣，求 ∴f（x）=3x+，或f（x）=﹣3x﹣．

（4）∵已知3f（x）﹣f（）=x2①，∴用代替x，可得3f（）﹣f（x）=由①②求得f（x）=x2+

22．已知函数y=f（x），满足2f（x）+f（）=2x，x∈R且x≠0，求f（x）． 【解答】解：∵2f（x）+f（）=2x① 令x=，则2f（）+f（x）=②，①×2﹣②得： 3f（x）=4x﹣，∴f（x）=x﹣

23．已知3f（x）+2f（）=x（x≠0），求f（x）． 【解答】解：∵3f（x）+2f（）=x，① 等号两边同时以代x，得：3f（）+2f（x）=，② 由①×3﹣2×②，解得 5f（x）=3x﹣，∴函数f（x）的解析式：f（x）=x﹣

24．已知函数f（x+）=x2+（）2（x＞0），求函数f（x）．

第18页（共23页）

②，．

．

（x≠0）．

【解答】解：∵x＞0时，x+≥2且函数f（x+）=x2+（）2=设t=x+，（t≥2）； ∴f（t）=t2﹣2；

即函数f（x）=x2﹣2（其中x≥2）．

=2，﹣2；

25．已知2f（﹣x）+f（x）=3x﹣1，求f（x）． 【解答】解：∵2f（﹣x）+f（x）=3x﹣1，∴2f（x）+f（﹣x）=﹣3x﹣1，联立消去f（﹣x），可得f（x）=﹣3x﹣．

26．若2f（x）+f（﹣x）=3x+1，则求f（x）的解析式． 【解答】解：∵2f（x）+f（﹣x）=3x+1…①，用﹣x代替x，得：

2f（﹣x）+f（x）=﹣3x+1…②； ①×2﹣②得：

3f（x）=（6x+2）﹣（﹣3x+1）=9x+1，∴f（x）=3x+．

27．已知4f（x）﹣5f（）=2x，求f（x）． 【解答】解：∵4f（x）﹣5f（）=2x…①，∴4f（）﹣5f（x）=…②，①×4+②×5，得：﹣9f（x）=8x+∴f（x）=﹣x﹣

第19页（共23页），．

28．已知函数f（【解答】解：令t=则由f（+2）=x2+1，求f（x）的解析式． +2，（t≥2），x=（t﹣2）2．

+2）=x2+1，得f（t）=（t﹣2）4+1．

∴f（x）=（x﹣2）4+1（x≥2）．

29．若f（x）满足3f（x）+2f（﹣x）=4x，求f（x）的解析式． 【解答】解：f（x）满足3f（x）+2f（﹣x）=4x，…①，可得3f（﹣x）+2f（x）=﹣4x…②，①×3﹣②×2可得：5f（x）=20x． ∴f（x）=4x．

f（x）的解析式：f（x）=4x．

30．已知f（x）=ax+b且af（x）+b=9x+8，求f（x）【解答】解：∵f（x）=ax+b且af（x）+b=9x+8，∴a（ax+b）+b=9x+8，即a2x+ab+b=9x+8，即，解得a=3或a=﹣3，若a=3，则4b=8，解得b=2，此时f（x）=3x+2，若a=﹣3，则﹣2b=8，解得b=﹣4，此时f（x）=3x﹣4．

31．求下列函数的解析式：

（1）已知f（2x+1）=x2+1，求f（x）；（2）已知f（）=，求f（x）．

【解答】解：（1）令2x+1=t，则x=（t﹣1），∴f（t）=（t﹣1）2+1，第20页（共23页）

∴f（x）=（x﹣1）2+1；（2）令m=（m≠0），则x=，∴f（m）==，∴f（x）=（x≠0）．

32．已知二次函数满足f（2x+1）=4x2﹣6x+5，求f（x）的解析式． 【解答】解：（1）令2x+1=t，则x=则f（t）=4（）2﹣6•

；

+5=t2﹣5t+9，故f（x）=x2﹣5x+9．

33．已知f（2x）=x2﹣x﹣1，求f（x）． 【解答】解：令t=2x，则x=t，∴f（t）=t2﹣t﹣1，∴f（x）=x2﹣x﹣1．

34．已知一次函数f（x）满足f（f（f（x）））=2x﹣3，求函数f（x）的解析式． 【解答】解：设f（x）=ax+b，∴f（f（x）=a（ax+b）+b，∴f（f（f（x））））=a[a（ax+b）+b]+b=2x﹣3，∴，解得：，∴f（x）= x﹣．

第21页（共23页）

35．已知f（x+2）=x2﹣3x+5，求f（x）的解析式． 【解答】解：f（x+2）=x2﹣3x+5，设x+2=t，则x=t﹣2，∴f（t）=（t﹣2）2﹣3（t﹣2）+5=t2﹣7t+15，∴f（x）=x2﹣7x+15．

36．已知函数f（x﹣2）=2x2﹣3x+4，求函数f（x）的解析式． 【解答】解：令x﹣2=t，则x=t+2，代入原函数得 f（t）=2（t+2）2﹣3（t+2）+4=2t2+5t+6 则函数f（x）的解析式为f（x）=2x2+5x+6

37．若3f（x）+2f（﹣x）=2x，求f（x）【解答】解：∵3f（x）+2f（﹣x）=2x…①，用﹣x代替x，得：

3f（﹣x）+2f（x）=﹣2x…②； ①×3﹣②×2得：

5f（x）=6x﹣（﹣4x）=10x，∴f（x）=2x．

38．f（+1）=x2+2，求f（x）的解析式．

【解答】解：设∴x=（t﹣1）2； ∵f（+1）=x2+2+1=t，则t≥1，∴f（t）=（t﹣1）4+2（t﹣1），∴f（x）=（x﹣1）4+2（x﹣1），x∈[1，+∞）．

39．若函数f（【解答】解：令）=

+1，求函数f（x）的解析式．

=t（t≠1），则=t﹣1，第22页（共23页）

∴f（t）=2+（t﹣1）2=t2﹣2t+3，∴f（x）=x2﹣2x+3（x≠1）．

40．已知f（x﹣1）=x2﹣4x．（1）求f（x）的解析式；（2）解方程f（x+1）=0．

【解答】解：（1）变形可得f（x﹣1）=（x﹣1）2﹣2（x﹣1）﹣∴f（x）的解析式为f（x）=x2﹣2x﹣3；

（2）方程f（x+1）=0可化为（x+1）2﹣2（x+1）﹣3=0，化简可得x2﹣4=0，解得x=2或x=﹣2

第23页（共23页）

篇3：已知函数单调性求参数范围的求解策略

1 资料与方法

1.1 一般资料

本组男88例，女101例，年龄17岁～56岁，平均年龄36.4岁，病程最长达8年，最短2个月。随机分成2组：对照组94例，男45例，女49例，平均年龄为36.8岁，平均病程1.6年，其中有精神因素42例;治疗组95例，男43例，女52例，平均年龄35.5岁，平均病程为1.9年，其中有精神因素44例。2组间年龄、性别、病程、症状分布差异均无显著性，具有可比性。

1.2 病例选择

189例均符合以下标准： (1) 有上腹痛、上腹胀、早饱、嗳气、恶心、呕吐等上腹部不适症状至少持续4周; (2) 内镜检查未发现胃及十二指肠溃疡、糜烂、肿瘤等器质性病变，未发现食管炎，也无上述疾病病史; (3) 实验室、超声检查、X线检查排除肝、胆、胰疾病; (4) 无糖尿病、肾脏病、结缔组织病及精神病; (5) 无腹部手术史。

1.3 方法

在给药前均给予患者正确的心理辅导和安慰，鼓励患者积极向上，正确对待疾病、工作及生活。对照组：吗丁啉10 mg口服，3次/d;法莫替丁2 g口服，2次/d, 4周。治疗组在对照组的基础上加服阿普唑仑0.4 mg晚，2周。治疗期间，嘱患者注意饮食，调整生活习惯，禁服其他药物。每周随访1次，记录消化道的不良症状，精神、心理状态及可能的药物不良反应，同时进行血尿常规，肝、肾功能及心电图检查。

1.4 疗效评价标准

痊愈：治疗期间，症状完全消失。良好：症状缓解，但有时仍感轻微不适。改善：症状仍存在，但有所减轻。失败：症状无改善甚至加重。除失败外均视为有效。痊愈、良好及改善总例数之和与总数的百分比为总有效率。

1.5 统计学方法

采用χ2检验。

2 结果见表1。

χ2=6.87, P<0.05, 2组比较差异有显著性。

不良反应：治疗前后行血、尿常规，肝、肾功能，心电图检查未见明显变化。对照组便秘1例;治疗组口干1例，头昏、乏力1例，继续服药2组不良反应均消失。

3 讨论

目前认为FD为多因素疾病[1,2,3], 可能与胃酸分泌、胃肠功能障碍、幽门螺杆菌感染、内脏感觉功能异常、精神和环境因素有关[4]。多潘立酮直接作用于外周胃肠道多巴胺受体, 不通过血脑屏障, 故很少发生中枢神经系统的锥体外系副作用。其作用主要为促进胃排空, 使幽门扩张, 促进胃窦向十二指肠的推进性蠕动, 减少十二指肠-胃反流。常规应用促动力药、黏膜保护剂、抗酸剂及复合中成药治疗, 可使部分患者得到缓解, 但有不少患者经上述常规治疗无明显疗效, 而辗转求医, 其花费很大, 严重影响工作及生活。近年来, 提出了精神心理因素在发病中占有重要地位, 多项调查也显示有焦虑、抑郁等心理障碍的患者负性应激事件发生频率高于正常健康人, 故抗抑郁、焦虑和改善睡眠的治疗有利于症状改善, 并且临床疗效满意, 目前已受到临床的普遍重视。笔者采用常规胃肠道的促动力药和抑制胃酸分泌联合阿普唑仑治疗, 症状改善明显, 疗效显著, 治疗组与对照组相比差异有显著性 (P<0.05) 。有精神因素的患者常有不同程度的睡眠障碍, 每晚口服0.4 mg的阿普唑仑能很快改善患者睡眠状况, 并能较快地帮助患者度过急性期。阿普唑仑[4]为苯二氮类中枢神经抑制药, 除了具有抗焦虑、镇静、拮抑郁外, 还具有较好的催眠作用, 该药小剂量主要表现为镇静催眠作用。2组不良反应均少, 无差异, 在用药前后, 血尿常规, 肝、肾功能, 心电图均无变化, 不影响治疗。在治疗过程中症状可逐渐消失, 无需停药, 易为患者接受。我们单用多潘力酮治疗作为对照组, 其治疗后的症状总积分显著低于阿普唑仑加多潘力酮组。可能与阿普唑仑改善了患者的焦虑、抑郁、失眠等症状, 从而降低了内脏神经感觉阈值, 胃肠激素分泌紊乱得到一定程度的改善, 使FD患者的消化不良症状缓解, 对多潘力酮的疗效起到了协同作用有关。通过以上治疗效果的观察, 我们认为在治疗FD时加用阿普唑仑能显著改善患者的精神心理状态, 提高疗效, 增加了患者的舒适感, 从而使生活质量提高, 而且药价低廉、治疗方法简单, 值得广大同仁推广。

参考文献

[1]柯美云, 战淑慧.功能性消化不良的发病机理[J].中国实用内科杂志, 1995, 15 (1) :7～9

[2]王吉耀.内科学[M].北京:人民卫生出版社.2002, 960

[3]侯晓华.开展对功能性消化不良的病理生理研究[J].中华消化杂志, 2003, 23 (2) :69～70

篇4：已知函数单调性求参数范围的求解策略

一、二次函数

例1：已知函数f（x）=x2+4(1-a)x+1在[1,+∞)上是增函数，则a 的取值范围是_______。

解题关键：一元二次函数应抓住开口方向以及对称轴与给定区间端点的位置关系，特别注意对称轴与端点重合也是满足的。

解：f（x）的对称轴为：x=2(a-1)。

由题意可知：2（a-1）≤1

所以a≤。

变式1：函数f（x）=ax2+4（1-a）x+1在[1,+∞）上是增函数，求a的取值范围_______。

分析：由于二次项前的系数不确定故先对a是否为零进行讨论，在是一元二次函数的情况下再考虑与开口方向与对称轴。

解：1.当a=0时，f（x）=4x+1满足。

2.当a≠0时，f（x）的对称轴为 。

综上得：a∈［0，2］。

变式2：f（x）=ax2+4（1-a）x+1在［1，2］上是增函数，求a的取值范围_______。

分析：在变式1的基础上，结合开口方向与对称轴发现多了开口向下对称轴在区间右侧或右端点处的情形。

解：1.当a=0时，f（x）=4x+1满足。

2.当a≠0时，f（x）的对称轴为： 。

范围是__________。

解题关键：“先局部”，即确保各个部分均为减函数，“再整体”,即左边函数在1处的函数值大于等于右边函数在1处的函数值。

解：由题意可知：

变式：“在R上单调递增”

解：由题意可知：a无解

三、复合函数

例3：已知f（x）+log （x2-ax+3a）在［2，+∞）上单调递减，则a的取值范围是_________。

解题关键：对于复合函数应利用“同增异减”的法则转化为内层函数g（x）=x2-ax+3a的单调性，同时一定要注意内层函数整体作为真数应大于0这一前提条件。

解：外函数为f（x）+log ，内函数为g（x）=x2-ax+3a 因为外函数在（0，+∞）单调递减。由题意可知：g（x）=x2-ax+3a在［2，+∞）上单

调递增，且g（x）＞0在［2，+∞）上恒成立∴ =>-4＜a≤4

四、分式函数

例4：已知函数f（x）= 在（-2，+∞）上单调递增，则a的取值范围是_______。

解题关键：对形如 的函数通常采用分离常数的方法，再通过图像变换来处理相关问题。

解：

故f（x）的图像是将f（x）的图像向左平移2个单位，再向上平移a个单位，由题意可知：在（0，+∞）上单调递增，∴1-2a＜0，∴a＞。

五、高次函数

例5：已知f（x）=x3-ax在（-∞，-2］和［2，+∞）上单调递增，则a的取值范围是_______。

解题关键：对于高次的多项式函数常用导数来处理其单调性，即转化为导数的恒成立问题，而对恒成立问题的常规处理方法为（1）分离字母参数（2）数形结合。

解：导数f'（x）=3x2-a，因为f（x）=x3-ax在（-∞，-2］和［2，+∞）上单调递增，由题意知：f’（x）=3x2-a≥0在（-∞，-2］和 ［2，+∞）上恒成立。

方法一：分离字母参数

即：a≤3x2在（-∞，-2］和［2，+∞）上恒成立，

当x∈（-∞，-2］和［2，+∞）时[3x2]min=12，∴a≤12

方法二：数形结合

因为：f'（x）=3x2-a在（-∞，-2］上单调递减，在［2，+∞）上单调

例6．已知函数f（x）=x3+（1-a）x2-a（a+2）x 若函数f（x）在区间（-1，1）上不单调，则a的取值范围为__________。

解题关键：对“不单调”的处理

解：f（x）在（-1，1）上不单调

f'（x）=3x2+2（1-a）x-a（a+2）=0在（-1，1）上有根且非重根

f'（x）=（x-a）[3x+（a+2）]

f'（x）=0的两根为a或 ，

由题意知：-1

篇5：函数的单调性反思

积分学、微分方程乃至泛函分析等高等学校开设的数学基础课程，无一不是以函数作为基本函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数的单调性一节中的知识是今后研究具体函数的单调性理论基础；在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均需用到函数的单调性；在历年的高考中对函数的单调性考查每年都有涉及；同时在这一在本节课中的教学中以函数的单调性的概念为线，它始终贯穿于整个课堂教学过程；利 用函数的单调性的定义证明具体函数的单调性是对函数单调性概念的深层理解，且在“作差、变形、定号”过程学生不易掌握。按现行新教材结构体系，学生只学过一次函数、反比例函数、正比例函数、二次函数，所以对函数的单调性研究也只能限于这几种函数。学生的现有认知结构中能根据函数的图象观察出“随着自变量的增大函数值增大”等变化趋势，所以在教学中要充分利用好函数图象的直观性、发挥好多媒体教学的优势；由于学生在概念的掌握上缺少系统性、严谨性，在教学中须加强。

(一)注意与初中内容的衔接

函数这章内容是与初中数学最近的结合点，如果初中代数中的内容没有学习好或遗忘的过多，学习本章就有障。本章很多内容都是在初中的基础上讲授的，如函数概念，要在讲授之前复习好初中函数及其图象的主要内容，包括函数的概念、函数图象的描绘，一次函数、二次函数的性质等等；又如指数概念的扩充，如果没有正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂的基础知识，有理数指数幂就无法给出，运算性质也是如此，因此在本章教学中要注意与初中所学的有关内容的联系，做好初、高中数学的衔接和过渡工作。

(二)注意数形结合本章的内容中图象占有相当大的比重，函数图象对于研究函数的性质起到很重要的作用本身就是由函数图象给出的。所以在本章教学中要特别注意利用函数图象，使学生不仅能从图象观察得到相应的性质，同时在研究性质时也要有函数图象来印证的思维方式。在教学过程中要注意培养学生绘制某些简单函数图象的技能，记住某些常见的函数图象的草图，养成利用函数图象来说明函数的性质和分析问题的习惯

(三)注意与其他章内容的联系

本章是在集合与简易逻辑之后学习的，映射概念本身就属于集合的知识。因此，要经常联系前一章的内容来学习本章，又如学会二次不等式解集的表示就要用到求函数的定义域或表示值域等知识上来。简易逻辑中的充要条件在本章中就章节的联系，也要注意联系物理、化学等学科的知识内容来丰富和巩固本章的内容。

篇6：教学反思：函数的单调性

新课标明确指出：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，不仅把函数看成是变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，函数的思想将贯穿高中数学课程的始终《函数的单调性》的课标教学要求，从结合实际问题出发，让学生感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的重要性，初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的间断问题。数学新课标还提到：要注重提高学生的数学思维能力，即“在学生学习数学运用数学解决问题时，应经历直观感知，观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程”。

对于函数单调性，学生的认知困难主要在两个方面：（1）要求用准确的数学符号语言去刻画图象的上升与下降，这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生是比较困难的；（2）单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容，而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的．根据本课教材的特点、教学大纲对本节课的教学要求以及学生的认知水平，从三个不同的方面确定了教学目标，重视单调性概念的形成过程和对概念本质的认识；强调判断、证明函数单调性的方法的落实以及数形结合思想的渗透；突出语言表达能力、推理论证能力的培养和良好思维习惯的养成；确定本节课的重点和难点．在本节课的教学设计中在分析学生的认知发展水平和已有的只是经验的基础上，让学生通过观察函数图像的变化规律，然后归纳猜测，勇于实践探究式的教学方法，取得了较好的教学成果。

为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，教学上采取了以下的措施：

一、函数单调性可以从三个方面理解

（1）图形刻画：对于给定区间上的函数，函数图象如从左向右连续上升，则称函数在 1 该区间上单调递增，函数图象如从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减。

（2）定性刻画：对于给定区间上的函数，如函数值随自变量的增大而增大，则称函数在该区间上单调递增，如函数值随自变量的增大而减小，则称函数在该区间上单调递减。

（3）定量刻画，即定义。

上述三方面是我们研究函数单调性的基本途径

二、判断增函数、减函数的方法：

①定义法：一般地，对于给定区间上的函数，如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值、，当 时，都有 〔或都有 〕，那么就说 在这个区间上是增函数（或减函数）。

与之相等价的定义：

⑴，〔或都有 〕则说 在这个区间上是增函数（或减函数）。其几何意义为：增（减）函数图象上的任意两点 连线的斜率都大于（或小于）0。

⑵，〔或都有 〕则说 在这个区间上是增函数（或减函数）。

②导数法：一般地，对于给定区间上的函数，如果 那么就说 在这个区间上是增函数；如果 那么就说 在这个区间上是减函数；

如果函数 在某个区间上是增函数（或减函数），就说 在这一区间上具有（严格的）单调性，这一区间叫做的单调区间。如函数是增函数则称区间为增区间，如函数为减函数则称区间为减区间。导数法是一个通法，而且不要过多的技巧，但要注意本法只对于给定区间上的可导函数而言才可以用，一般含有绝对值的函数应采用其他方法。

③复合函数单调性的根据：设都是单调函数，则在上也是单调函数。

函数的单调性说明了物质是变化的，变化是有规律的，通过学习教会学生用变化的观点 2 看世界，树立与时俱进的思想意识。

篇7：函数单调性的定义

函数的单调性，也叫函数的增减性，可以定性描述在一个指定区间内，函数值变化与自变量变化的关系。当函数f(x)的自变量在其定义区间内增大(或减小)时，函数值也随着增大(或减小)，则称该函数为在该区间上具有单调性(单调增加或单调减少)。在集合论中，在有序集合之间的函数，如果它们保持给定的次序，是具有单调性的.。

如果说明一个函数在某个区间D上具有单调性，则我们将D称作函数的一个单调区间，则可判断出：

DQ(Q是函数的定义域)。

区间D上，对于函数f(x)，(任取值)x1，x2∈D且x1>x2，都有f(x1)>f(x2)。或，x1，x2∈D且x1>x2，都有f(x1)

函数图像一定是上升或下降的。

篇8：心意拳练功十六字集注

【原文】一寸之法:寸是步也。步要急快, 成其步也。

【释义】寸不仅是寸步, 这里也包括寸劲。寸劲是武术中的一种劲法, 心意拳当然也有。这里的一寸之法, 并不是单纯地指“寸是步”, 而是心意拳的寸步和寸劲。心意拳的寸步也就是快步。心意拳的“一寸之法”, 是说练心意拳的人, 在对敌实战搏击格斗时, 全身都应该发寸劲;这里既包括手发寸劲, 也包括步的移动方法等等。在防守时要寸步不发, 与敌人保持一定的距离;攻击时要把握好敌我双方的距离, 近了就发寸步 (即快步) , 远了就要发过步。所以, 心意拳谱上说:“远打一丈步为疾, 两头回转寸为先;早知回转这条路, 尽在眼前一寸中。”又说:“近打只在一寸间”, “寸步快, 以寸为先”。这就是足上的一寸之法。如果手发寸劲, 那是距敌近时发寸劲, 发力快, 杀伤力也更强。这是心意拳手上的一寸之法。所以, 单纯地把一寸之法说成是“寸是步也”是不全面的。也有人把它说成“一存之法”, 那就更是牵强附会了。

【原文】二践之法:践是腿也, 腿要猛勇, 成其践也。

【释义】践和踏是同义词。在这里, 我们可以把“践之法”理解成心意拳的演练, 在进步时脚要用力向前朝下踩踏的动作。当然, 践劲是腿上的劲, 腿肌健壮才能有劲。心意拳在动意时, 其踢、踩、踏仍然要用脚。有人单纯地把“践”说成是腿, 那是不全面的。心意拳古谱上有“马踏虎践”之说, 但真正在动意时, 不仅“腿要勇猛”, 速度还必须迅疾, 踩而践之, 才能练而有功, 动意时才能击敌必胜。

【原文】三躜之法:躜是身也, 身要强壮, 成其躜也。

【释义】此处所说的躜, 是指人的身体有向上向前冲击的意思。运用心意拳进攻敌人, 身体是呈螺旋状前进的。《拳谱》上说:“脚起而躜, 脚落而翻;不躜不翻, 武艺不管。”所以, 单纯地说身要强壮是不行的, 身体强壮不等于武艺高强。也有人把“躜”字说成“钻”。心意拳的身法包括裹、践、躜三者是合一的, 是用在拳法上, 不是用在工具上, 当然应该是足字旁的躜, 而不应是金字旁的钻了。

【原文】四就之法:就是束也, 上下束为一, 成其就也。

【释义】这里的“就”有两种意思, 一是有往前的意思, 有贴近敌人的术法;二是有束缩的意思。往前就是进攻, 尽量地靠近敌人, 便于狠狠地打击敌人;束缩就是进攻前的准备, 先束身蓄劲, 然后再展开打击敌人。《拳谱》上有“长身而起, 束身而落”和“就如蛋”的说法, 这就是指心意拳的“就”。

【原文】五夹之法:夹剪之夹, 即谷道上提, 两股夹紧也。

【释义】这个夹, 有夹剪之形和夹剪之力两种意思。所以拳谱上说:“夹剪之力, 牮柱之势”。夹剪之形是指身体的上部, 两臂可以交叉呈十字形, 或者下部两腿交叉呈麻花步。而夹剪之力则是指上部的两臂由十字形交扭发力。即两臂由开而合, 再由合而旋扭而展开。下腿也是如此, 由两腿交叉呈十字的夹剪之形再用力展开, 将力发出, 这两种都是指夹剪。原来的“谷道上提, 两股夹紧”只是指形体要求其中的一部分而已。

【原文】六合之法:合是内三合, 外三合。心与意合, 意与气合, 气与力合;此内三合存于内。外三合, 手与足合, 肩与胯合, 肘与膝合, 成其外三合, 现于外也。

【释义】所谓六合, 心意拳讲究的是内三合与外三合。而内三合是心与意合, 意与气合, 气与力合, 此三合不容易做到。外三合是手与足合, 肩与胯合, 肘与膝合, 此三合也不容易做到。如果真正做到了外三合, 内里的三合也就做到了。这里还有心与眼合多一明, 心与耳合多一灵, 心与气合多一力, 心与意合多一精。总之, 做到了外三合, 内三合也就容易了。

除此以外, 还要做到左手与右足合, 左肘与右膝合, 左膝与右肩合, 此乃合式之合。当然还要有头与手合, 手与身合, 身与步合;肝与筋合, 脾与肉合, 肺与皮合, 肾与骨合, 总而言之, 心意拳一动无有不动, 而一合无有不合是也。

值得注意的是, 六合是心意拳的灵魂, 只有做到了六合, 才能练就身强体壮且武艺上乘的心意拳强者。

【原文】七齐之法:齐是疾也, 内外合一, 成其齐也。

【释义】我们反复熟读拳谱, 谱上说:“手脚齐到方为真”。运用心意拳进攻对方, 要手脚并击, 使对方顾上不能顾下, 顾下不能顾上, 大有顾此失彼之态, 使自己立于不败之地。要做到这一点, 就必须内外合一, 上下通力合击。这种齐也要做到七疾才行。古谱说:“疾上还加疾, 打倒还嫌迟”。所以, 七齐也应是七疾之法。七疾者, 眼要疾, 手要疾, 身要疾, 足要疾, 意要疾, 进攻要疾, 退步要疾是也。

【原文】八正之法:正是直也, 看正却有斜, 看斜却有正, 是八正也。

【释义】这是对习练心意拳者的身法和姿势的要求。所谓“看正却有斜”, 是心意拳的身法, 要求演练者所站的姿势带有一种螺旋形。如人的正面对着敌人, 则受打击的面积就大了;如侧面对着敌人, 则自己只有一面可以对敌, 难以发挥双手双脚的作用。所以, 练心意拳的人, 身形和姿势都应该是“看正似斜, 看斜似正”的半侧面而站才行。原谱中说的牮柱式, 确实要从足跟, 一直到头顶要呈一斜直形, 这是身形的直。这种“牮柱步式”是与敌相搏时的发力身形, 如遇敌方反击力过大, 或者敌方也呈“牮柱步”时, 那就应以横斜之式予以化解之。心意拳的身法点是机灵多变, 而不是身法的一成不变。随心所欲才是取胜之道。但不管自己是怎样的身形姿势, 身体的上下一定不能前俯后仰, 必须尾闾中正。

【原文】九胫之法:胫是足胫相摩而行也。即两足横, 勿使开张也。摩胫而走, 内五行心意相连, 成其径也。

【释义】这里的说法和解释有很多。诸如, 很多人都引用“胫摩胫, 意响连声”之歌诀。按现代科学和生理解剖学的观点来看, 小腿有两条骨, 即胫骨和腓骨。胫骨在小腿的内侧, 腓骨在小腿的外侧, 胫骨与腓骨是并行的。显然, 人的两胫骨虽都在内, 但它们却不可能相摩, 因为上有膝关节, 下有脚的踝关节, 它们都高凸于胫骨, 人在行走时首先是膝骨相摩和脚踝骨这两个地方相摩。原文讲的“足胫相摩而行”, 只能解释为“提踵摩胫”或者“膝胫相摩”, 而两胫绝不可能相摩。意思就是说, 习练心意拳的人, 在行走时, 要么是提足时, 用足靠近胫骨, 足胫相摩;要么一足提起, 用胫去摩膝 (胫骨内侧踝和股骨内侧踝) 。古人遣字造句应是很精确的, 但毕竟缺乏科学性。心意拳先辈们, 旨在要求后学者能“合裆”“扣膝”, 这是本意, 只有这样才能合乎外六合的标准。人在行走时, 足踝和胫部相摩, 那裆部就必须合住, 敌方想进攻我的裆部就不是那么容易的了。

【原文】十警之法:警是惊起四梢也, 四梢并发。惊起四梢, 火机一发物必落, 成其警也。

【释义】所谓警者, 是高度警惕之意。人在突遇异常事变时, 大都会导致精神上的突然紧张, 诸如遽然遇到险恶, 突临危难, 目击异物, 耳闻巨响等等, 都可出现惊骇。而这种惊骇正是由于一般人的心理素质差异所导致的。有的人遇惊而内动心神, 由神惊而导致气乱, 气乱又反过来导致神经失常。所以, 掌握十警之法, 经常进行三性调养, 经常进行心理素质的训练, 应该不会遇事发生惊骇。这里主要说的是, 当你遇敌时, 要四梢警惕, 就像火机 (枪炮) 一样, 一旦发动, 对方必定应声倒地。这就要求心意拳家必须时时刻刻保持一定的高度警觉感, 只有这样才能不被打倒, 不被击垮。

【原文】十一起落之法:起是去也, 落是打也。起也打, 落也打。起如水之浪翻, 落如水之浪决, 成其起落也。

【释义】此说指的是心意拳的打法。起也打, 落也打。起的打法, 势如潮水浪涌。就是说, 我的打法过去, 敌人就像被浪抛起一样被我击打出去。落的打法, 就像敌人被巨浪从高空摔下一般被击打倒下。总之, 心意拳动意时要“抖身而起, 束身而落”, 要“起为横, 落为顺”, “起为风, 落如箭, 打倒它, 还嫌慢;起似箭, 落如风, 追赶日月不放松”。但是, 不管心意拳是起还是落, 最好是做到“起无形, 落无踪”, 这才是心意拳的最高境界。

【原文】十二进退之法:进是步低也, 退是步高也。当进则进, 当退则退, 成其进退也。

【释义】心意拳家应该知道, 当与敌人实战搏击时, 一定要抓紧时间进攻, 不能攻取时则须及时退回防守地位, 不能莽撞, 要抓住战机, 当进则进, 一战而制敌取胜。当处于不利地点或不利时机时, 必须及早退出攻击而处于防守地位, 不然徒劳而无功。故古谱曰:“知进者必胜, 知退者必不辱”, “知进知退要学艺, 不知进退枉学艺”。这就是我们学习十六字练法的指导性理论, 也是成为一个心意拳家的高明之所在。

【原文】十三阴阳之法:看阴而有阳, 看阳而有阴;天地阴阳交合能下雨, 拳上阴阳交合成为一块才能打, 皆为阴阳相交之气成为阴阳也。

【释义】阴阳是我们中华民族古老而又朴素的唯物辩证法观点, 古人常用这一观点来看待和处理日常事物。这种朴素的辩证法, 是把一切事物都看成是对立而又统一的“一分为二”之方法。心意拳认为, 人的拳是有阴阳的, 是跟天地阴阳相通的, 这就是心意拳的“天人合一”理论。只有掌握了拳上的阴阳, 才能练好心意拳。只有掌握了心意拳的阴阳, 才能战胜敌人。

【原文】十四五行之法:五行是内五行要发, 外五行要遂, 发而即遂, 成其五行也。

【释义】此处的五行是指人的内五行, 即心、肝、脾、肺、肾, 外五行是指人的眼、耳、鼻、口舌与人中。人的内五行发动, 表现在外五官上, 而从心意拳的动作上来说, “内五行要发, 外五行要顺”, 是指内五行要发动, 外五行要顺从, 才能做到内外如一, 不然就不能做到“内三合, 外三合”。再具体一点来说, 那就是心动如火焰, 外部动作要像火一样的轰轰烈烈有气势;肝动如飞箭, 外部动作要像箭射出一样疾快;肺动成雷声, 外部动作要像雷鸣电闪一样, 惊天动地;肾动快如风, 外部动作要像狂风骤雨一样, 铺天盖地;脾动力加攻, 外部动作要坚强有力, 还要力上再加力。总的一句话, 就是内部五行的发动要同外部动作紧密地配合起来, 才能做到内外一致。古谱曰:“明了四梢多一精, 明了五行多一气”。这也就说明了心意拳是内外兼修的上乘拳法。

【原文】十五动静之法:动静是为本体, 动为作用。若言其静, 未露其机;若言其动, 未见其迹。动静将发而未露, 为之动静也。

【释义】此处是说心意拳拳术的高妙就在于能掌握动静, 掌握顾打, 掌握攻守的规律, 才能稳操胜券。静为本体者, 是以静制动;动为作用者, 其心意拳的动意在乎一动而无有不动, 一静而无有不静也。高明的心意拳家在处于静时, 不会暴露自己的一点动的意思, 敌方也别想从任何地方窥测出一点破绽来;如我动意时, 又不能让敌方发现我要动的痕迹。所以, 古拳谱中说:“可以动则动, 可以止则止, 凡事皆要得其中和美。”要做到这一点, 就必须掌握心意拳的动静之法。

【原文】十六虚实之法:虚是精也, 实是灵也。精灵为之玄妙之至, 成其虚实也。

【释义】此处是说心意拳的虚实, 也是在讲辩证法。在练法上要求“虚胸实腹”, 这是符合老子道德经的要求的。在手法上, 我出手, 敌方招架, 我则为虚手;敌方不招架, 我则为实手。敌出手, 我要做到不招不架, 只是一下, 即一招制敌于死地。所以, 习练心意拳要坚持做到“精养灵根气养神, 元阳不走得其真;丹田养就千日宝, 万两黄金不与人”。在用法上, 我手与手之间有虚实, 足与足之间有虚实, 三节九窍也有虚实。这种虚实是有精灵的, 不是呆板的、教条的。故古拳谱说:“拳打三节不见形, 设若见形不为能;能要不是莫要停。能在一思前, 莫在一思后;能在一气先, 莫在一气后。”学习心意拳的人要深入体悟和研究。