导数的应用函数单调性

第一篇：导数的应用函数单调性

高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.1 导数在研究函数中的应用—单调性教学设计1 苏教版选修2-2

1.3导数在研究函数中的应用

教学目标：

1、知识与技能目标：通过实例，借助图形直观探索并了解导数与函数单调性的关系，理解并掌握利用导数研究函数的单调性以及求解函数单调区间;

2、过程与方法目标：会用导数研究函数单调性，并会用导数求解函数单调区间;

3、情感态度与价值观目标：探究导数与函数单调性关系的过程中培养学生数形结合思想和从特殊到一般的数学思想，以及发现问题、解决问题的能力。 教学重点：利用导数研究函数的单调性，求函数的单调区间; 教学难点：发现和揭示导数值的符号与函数单调性的关系; 教学方法与手段：探究式教学模式;利用多媒体现代设备教学 教学过程：

一、 复习回顾：

我们知道平均变化率可以刻画函数的变化趋势，大家还记得 问题1：函数yfx在区间x1,x2上平均变化率的数学表达式吗?

fx2fx1生1：(教师板书)，

x2x1师：那你能给出这个二次函数fxx4x3在x1,x2上的平均变化率吗?

2问题2：导数的概念和它的几何意义?

生2：x2x1时，fx2fx1fx1(教师板书)

x2x1师：这个导数又有什么几何意义?

生2：曲线yfx在点x1,fx1处切线的斜率

师：这个二次函数fxx4x3，它对应的fx1又是什么?

2生3：fx12x14

师：今天我们一起来学习导数在研究函数中的应用，导数作为函数变化率比较精确地刻画了函数的变化趋势，(板书“导数在研究函数 中的应用”)

二、建构数学 师：观察二次函数fxx24x3图象，请大家给出在对称轴左右两侧函数的变化趋势 生：对称轴x2左边下降趋势，对称轴x2右边上升趋势，

师：也就是在,2为减函数，在2,为增函数，这也是函数的单调性 师：你是怎样判断函数单调性的? 生：图象法(教师板书)

师：我们曾经还学习过判断函数单调性还有什么方法? 生：定义法(教师板书) 问题3：那函数单调性定义又是什么?

生：函数yfx的定义域为A，区间IA，任取x1,x2I，当x1x2时，fx1fx2，则yfx在区间I上是单调增函数; fx1fx2，则yfx在区间I上是单调减函数。

师：回答的非常好!请大家用定义法证明二次函数fxx4x3在2, 为增函数

2生： x1,x22,，不妨设x1x2，则fx2fx1x2x1x1x240，所以fx1fx2，所以函数在2,为增函数。

问题4：大家注意观察，从形式上你发现定义法和平均变化率对应的两式之间有关系吗?

f(x2)f(x1)x1x24，f(x2)f(x1)x2x1x1x24

x2x1生：有关系

师：说的很好!我们发现平均变化率与定义法之间存在某种密切的关系

问题5：当自变量的改变量无限趋近于0时平均变化率无限趋近于导数，而定义法可以判断函数的单调性，大家发现了什么?

生：导数与单调性之间可能也有关系

师：说的太好了!同学们发现了导数与函数单调性之间可能也有着某种密切的关系，这个问题的发现是很非常了不起的，那今天我们就来学习导数在研究函数的单调性中的应用。(教师补全课题)

问题6：导数与单调性之间究竟什么关系?

师：请大家结合切线斜率来观察这个二次函数fxx4x3在对称轴左右两侧导数值有

2什么不同特点?切线在对称轴左侧移动时，观察导数值特点并记录你所观察到的结果，切线在对称轴右侧移动时，同样也观察导数值特点并记录你的观察结果。

yfxx24x3x

生： 在区间,2上， fx0函数在该区间为减函数;

在区间2,上， fx0函数在该区间为增函数。(教师板书) 师：我们通过图形直观观察得出结论，请大家回到导数定义中来，

o2fx2fx1不妨假设x1x2，x2x1时，fx12x14

x2x1问题7：你能从“数”的角度解释为什么在2,上，fx0得到在该区间为增函数?

生：小组交流讨论 教师点评归纳：

不妨设x1x2，当x2x1时，

fx2fx1x1x24fx12x14，

x2x1fx2fx10，所以 fx2fx1，

x2x1若fx10，得到x12， x1x240，得到在2,为增函数。

师：对于这个二次函数我们体会到平均变化率、定义法、导数、单调性四者密切相关，通过这四者之间的关系，我们从图形直观观察得到结论，又结合导数定义从“数”的角度解释了结论，做到了数形的完美结合。更一般地，我们也可以用导数值的符号来判断函数的单调性，你能归纳出一个一般性的结论吗? 生：对于函数yfx，

在某个区间上fx0函数在该区间上为增函数; 在某个区间上fx0函数在该区间上为减函数

师：归纳的很好!这样大家便有了一种研究函数单调性新的方法——导数法。尤其对于那些很难作出图象，或者用定义法也很难判断单调性的函数，我们就可以选择导数法(板书)。

三、数学运用：

例1：用导数法确定函数fxx2x3在哪个区间上是增函数，在哪个区间上是减函数?

2解：fx2x2，

令fx0，解得x1，即在区间,1上为增函数

令fx0，解得x1，即在区间1,上为减函数(教师板书) 师：结合这道例题，你能归纳出利用导数求解函数单调区间的主要步骤吗? 生：回答 教师点评步骤：

(1)求导数fx;(2)解fx0和fx0;(3)写出单调区间。最后不忘函数定义域

四、课堂练习：

例2：用导数法确定函数fx2x6x7在哪些区间上是增函数?在哪个区间上是减函数?

32(请学生板演)

解：fx6x12x6x(x2) 2令fx0，解得x0或x2，令fx0，解得0x2， 因此函数在,0和2,上为增函数，在0,2上为减函数

教师追问：你能根据函数单调性在演练纸上作出反映三次函数fx2x36x27单调性变化趋势的简图吗?(实物投影学生演练纸)

生：解释怎样做出函数简图：(1)找导函数零点;(2)分区间;(3)由单调性作图

师：我们利用导数值的符号来研究了函数的单调性，体会到导数法可以作为研究函数单调性的一般方法，那对于这个结论请大家思考：

问题8：若函数fx在某个区间单调递增，那么在该区间上必有fx0吗?大家请结合函数fxx3来思考

生：fx3x2，发现 f00

师：由此看来若函数fx在某个区间单调递增，那么在该区间上不一定有fx0。 师：通过这节课的学习，你学习了哪些知识?体会了哪些数学思想?

五、回顾小结：

生1： 学习到利用导数值的符号来判断函数的单调性，及利用导数求解函数的单调区间; 生2：在探究导数与函数单调性之间的关系时，通过图形直观观察，体会到了数形结合的数学思想和特殊到一般的数学思想。

师总结归纳：平均变化率、定义法、导数、单调性四者密切相关，通过四者关系我们得到了一个结论，学习了判断函数单调性新的方法—导数法，在探究这个结论的过程中，以一个二次函数为例，先从图形直观观察得出结论，然后结合导数定义从“数”的角度解释结论，最后将结论一般化，渗透了两种思想：数形结合、研究问题从特殊到一般，利用导数求解函数单调区间时把握三个主要步骤“一求，二解，三写”最后不忘定义域，利用导数研究函数单调性是非常重要的，为后面用导数研究函数的极值、最值打下基础，对后续学习非常重要。

六、课外作业：

1、课本29页第1题(必做题)

2、课本29页第3题(选做题)

第二篇：高中数学 3.1.1 导数与函数的单调性(一) 教案 北师大选修2-2

3.1.1 导数与函数的单调性

教学过程： 【引 例】

1、 确定函数yx24x3在哪个区间内是增函数?在哪个区间内是减函数? 解：yx24x3(x2)21，在(,2)上是减函数，在(2,)上是增函数。 问：

1、为什么yx24x3在(,2)上是减函数，在(2,)上是增函数?

2、研究函数的单调区间你有哪些方法?

都是反映函数随自(1) 观察图象的变化趋势;(函数的图象必须能画出的)

变量的变化情况。 (2) 利用函数单调性的定义。(复习一下函数单调性的定义)

322、确定函数f(x)=2x-6x+7在哪个区间内是增函数?哪个区间内是减函数?

(1) 能画出函数的图象吗?那如何解决?试一试。提问一个学生：解决了吗?到哪一步解决不了?(产生认知冲突)

(2) (多媒体放映)

【发现问题】定义是解决单调性最根本的工具，但有时很麻烦，甚至解决不了。尤其是在不

32知道函数的图象的时候，如函数f(x)=2x-6x+7，这就需要我们寻求一个新的方法来解决。

(研究的必要性)事实上用定义研究函数yx24x3的单调区间也不容易。 【探 究】

我们知道函数的图象能直观的反映函数的变化情况，下面通过函数的图象规律来研究。

32问：如何入手?(图象) 从函数f(x)=2x-6x+7的图象吗?

1、研究二次函数yx4x3的图象; (1) (2) (3) (4) (5) 学生自己画图研究探索。

提问：以前我们是通过二次函数图象的哪些特征来研究它的单调性的? (开口方向，对称轴)既然要寻求一个新的办法，显然要换个角度分析。

提示：我们最近研究的哪个知识(通过图象的哪个量)能反映函数的变化规律? 学生继续探索，得出初步规律。几何画板演示，共同探究。 得到这个二次函数图象的切线斜率的变化与单调性的关系。(学生总结)： ①该函数在区间(,2)上单调递减，切线斜率小于0，即其导数为负; 在区间(2,)上单调递增，切线斜率大于0，即其导数为正;

注：切线斜率等于0，即其导数为0;如何理解?

②就此函数而言这种规律是否一致?是否其它函数也有这样的规律呢?

2、先看一次函数图象;

3、再看两个我们熟悉的函数图象。(验证) (1) 观察三次函数yx的图象;(几何画板演示)

(2) 观察某个函数的图象。(几何画板演示)

指出：我们发现函数的单调性与导数的符号有密切的关系。这节课我们就来学习如何用导数

专心

爱心

用心

- 13

∴y=x-9x+24x的单调增区间是(4，+∞)和(-∞，2) 令3(x-2)(x-4)<0，解得20，解得-11或x<-1. 3∴y=3x-x的单调减区间是(-∞，-1)和(1，+∞)

2、设yf(x)是函数yf(x)的导数, yf(x)的 图象如图所示, 则yf(x)的图象最有可能是( ) 32小结：重点是抓住导函数的图象与原函数的图象从哪里发生联系? 【课堂小结】

1.函数导数与单调性的关系:若函数y=f(x)在某个区间内可导, ′如果f(x)>0, 则f(x)为增函数;如果f′(x)<0, 则f(x)为减函数. 2.本节课中,用导数去研究函数的单调性是中心,能灵活应用导数解题是目的,另外应注意数形结合在解题中的应用. 3.掌握研究数学问题的一般方法:从特殊到一般,从简单到复杂. 【思考题】

32对于函数f(x)=2x-6x+7 思考

1、能不能画出该函数的草图? 思考

2、2x76x在区间(0，2)内有几个解? 【课后作业】 3课本p42习题2.4 1,2

专心

爱心

用心

第三篇：函数的单调性

教学目标

知识目标：初步理解增函数、减函数、函数的单调性、单调区间的概念，并掌握判断一些简单函数单调性的方法。

能力目标：启发学生能够发现问题和提出问题，学会分析问题和创造地解决问题;通过观察——猜想——推理——证明这一重要的思想方法，进一步培养学生的逻辑推理能力和创新意识。

德育目标：在揭示函数单调性实质的同时进行辩证唯物主义思想教育。：

教学重点：函数单调性的有关概念的理解

教学难点：利用函数单调性的概念判断或证明函数单调性

教 具： 多媒体课件、实物投影仪

教学过程：

一、创设情境，导入课题

[引例1]如图为2006年黄石市元旦24小时内的气温变化图.观察这张气温变化图：

问题1：气温随时间的增大如何变化?

问题2：怎样用数学语言来描述“随着时间的增大气温逐渐升高”这一特征?

[引例2]观察二次函数

的图象，从左向右函数图象如何变化?并总结归纳出函数图象中自变量x和 y值之间的变化规律。

结论：(1)y轴左侧：逐渐下降; y轴右侧：逐渐上升;

(2)左侧 y随x的增大而减小;右侧y随x的增大而增大。

上面的结论是直观地由图象得到的。还有很多函数具有这种性质，因此，我们有必要对函数这种性质作更进一步的一般性的讨论和研究。

二、给出定义，剖析概念

①定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值

⑴若当图3);

⑵若当图4)。 <时，都有f(

)>f(

),则f(x) 在这个区间上是减函数(如<时，都有f(

)

),则f(x)在这个区间上是增函数(如

②单调性与单调区间

若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.由此可知单调区间分为单调增区间和单调减区间。

注意：

(1)函数单调性的几何特征：在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。

当x1 f(x2)y随x增大而减小。

几何解释：递增 函数图象从左到右逐渐上升;递减 函数图象从左到右逐渐下降。

(2)函数单调性是针对某一个区间而言的，是一个局部性质。

有些函数在整个定义域内是单调的;有些函数在定义域内的部分区间上是增函数，在部分区间上是减函数;有些函数是非单调函数，如常数函数。

。

判断2：定义在R上的函数 f (x)满足 f (2)> f(1)，则函数 f (x)在R上是增函数。(×)

函数的单调性是函数在一个单调区间上的“整体”性质，不能用特殊值代替。

训练：画出下列函数图像，并写出单调区间：

三、范例讲解，运用概念

具有任意性，例1 、如图，是定义在闭区间[-5，5]上的函数出函数。 的单调区间，以及在每一单调区间上，函数

的图象，根据图象说

是增函数还减

注意：

(1)函数的单调性是对某一个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题。

(2)在区间的端点处若有定义，可开可闭，但在整个定义域内要完整。

例2 判断函数 f (x) =3x+2 在R上是增函数还是减函数?并证明你的结论。

引导学生进行分析证明思路，同时展示证明过程：

证明：设任意的 由

于是

即

所以，。

在R上是增函数。 ，得

，且

，则

分析证明中体现函数单调性的定义。

利用定义证明函数单调性的步骤：

①任意取值：即设x

1、x2是该区间内的任意两个值，且x1

②作差变形：作差f(x1)-f(x2)，并因式分解、配方、有理化等方法将差式向有利于判断差的符号的方向变形

③判断定号：确定f(x1)-f(x2)的符号

④得出结论：根据定义作出结论(若差0，则为增函数;若差

0，则为减函数)

即“任意取值——作差变形——判断定号——得出结论”

例

3、 证明函数

证明：设

，且

在(0,+)上是减函数. ，则

由

又由

于是

即。 ，得

，得即

(*)

，

。

所以，函数

问题1 ：

在区间

在

上是单调减函数。

上是什么函数?(减函数) 在定义域

上是减函数? (学生讨论

问题2 ：能否说函数得出)

四、课堂练习，知识巩固

课本59页 练习：第

1、

3、4题。

五、课堂小结，知识梳理

1、增、减函数的定义。

函数单调性是对定义域的某个区间而言的，反映的是在这一区间上函数值随自变量变化的性质。

2、函数单调性的判断方法：(1)利用图象观察;(2)利用定义证明：

证明的步骤：任意取值——作差变形——判断符号——得出结论。

六、布置作业，教学延伸

课本60页 习题2.3 ：第

4、

5、6题。

第四篇：函数的单调性（教案）

一、 教学目标

1、使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法。

2、通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力;通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力。

3、通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程。

二、 重点、难点分析

1、重点：函数单调性的概念、判断及证明。

2、难点：归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性。

三、 教学过程

1、学生动手作图，引入课题：结合函数图像画法的相关知识，让学生实际动手操作，分别画出函数f(x)x,f(x)x,f(x)x2,f(x)x2的图像。如下：

图1 图2

图3 图4

2、借助图像，直观感知：引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考。并让学生回答以下两个问题：

(1) 以上4个函数图像中，随自变量x的变化，函数值f(x)发生了怎样的变化?

① 图1中，函数值f(x)随自变量x的增大而增大，减小而减小; ② 图2中，函数值f(x)随自变量x的增大而减小，减小而增大;

③ 图3中，对于y轴的左半部分而言，函数值f(x)随自变量x的增大而减小，减小而增大。对于y轴的右半部分而言，函数值f(x)随自变量x的增大而增大，减小而减小。

④ 图4中，对于y轴的左半部分而言，函数值f(x)随自变量x的增大而增大，减小而减小。对于y轴的右半部分而言，函数值f(x)随自变量x的增大而减小，减小而增大。

(2) 如何用数学语言描述上述函数中，函数值f(x)随自变量x的变化情况?

① 对于函数f(x)x而言，x1,x2(,)，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)。

② 对于函数f(x)x而言，x1,x2(,)，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)。

③ 对于函数f(x)x2而言，x1,x2(,0)，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)。而x1,x2(0,)，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)。

④ 对于函数f(x)x2而言，x1,x2(,0)，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)。而x1,x2(0,)，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)。

3、归纳探索，形成概念：引导学生归纳总结出增函数和减函数的定义：

(1) 增函数：I为函数f(x)的定义域，DI，若x1,x2D，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，则函数f(x)在D上是增函数。

(2) 减函数：I为函数f(x)的定义域，DI，若x1,x2D，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，则函数f(x)在D上是增函数。

4、例题讲解，巩固定义;归纳总结，寻求一般证明步骤：讲解例题，引导学生归纳证明函数单调性的步骤(设元、求差、变形、断号，定论)。

k例题1：证明波意耳定律P,(k为正常数)为减函数。

Vk 证明：按题意，只要证明函数P在区间(0,)上是减函数即可。

V V1,V2(0,)，当V1V2时，有：

设元

P(V1)P(V2)kk

求差 V1V2V2V

1变形 VV1

2 k

又V1,V2(0,)，V1V2

VV120,V1V20，同时，k0， 断号

P(V1)P(V2)0

即，P(V1)P(V2). 所以，函数Pk在区间(0,)上是减函数。 定论 V3

5、通过例题，强调关键点：提出课文中容易误解和忽略指出，予以提醒。

1(1)例题2：“已知f(x)，因为f(1)f(2)，所以函数f(x)是增函数。”

x这种说法对吗?

解析：单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性。

2(2)例题3：能否直接观察函数f(x)x,(x0)的图像(如下)，说出这

x个函数分别在哪个区间为增函数和减函数?

图5

解析：学生难以确定分界点的确切位置。从而，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究。

(3)例题4：如何从解析式的角度说明f(x)x2在[0,)为增函数?

222法一： 在给定区间内取两个数，例如1和2，因为12,所以f(x)x[0,)为增函数。

法二：仿法一，取很多组验证均满足，所以f(x)x2在[0,)为增函数。 法三：任取x1,x2[0,)且x1x2，因为x12x22(x1x2)(x1x2)0,即x12x22，所以f(x)x2在[0,)为增函数。

解析：自变量不可能被穷举，证明函数的单调性时，要在给定的区间内任意取两个自变量。

(4)例题5：“若函数f(x)满足f(2)f(3)，则函数在区间[2,3]上为增函数。”这种说法对吗?

解析：对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)。

(5)例题6：“若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数。”与“因为函数f(x)减函数，所以f(x)1在区间(,0]和(0,)上都是x1在(,0]和(0,)上是减函数”这两种种说法对吗? x解析：函数在定义域内的两个区间A,B上都是增(或减)函数，一般不能认为函数在Ab上是增(或减)函数。

四、 作业布置

教材p39 A组：第2题、第5题、第6题; B组：第1题、第3题。

第五篇：函数的单调性教学反思

函数的单调性是函数非常重要的性质，在初中学习函数时，对这个问题已经有了初步的探究，当时研究比较粗浅，没有明确的定义。函数的单调性从图像的角度看，简单，清楚，直观容易理解。因此，这节课的设计是从熟悉的简单的具体的一次函数，二次函数入手，让每个学生通过图像体会图像的变化情况，并用普通语言描述。通过动画演示，让学生观察两个点在运动的过程中横、纵坐标之间的关系，并用抽象的数学符号语言来刻画，即当x1f(x2)，给出增函数的定义，再通过类比给出减函数的定义，并对函数单调性作深入的讨论。最后通过两个例题的讲解加强学生对概念的理解。例1让学生学会通过函数图像找出函数的单调区间，明白函数的单调性是在定义域的子区间上的性质，由例2归纳出用定义法证明函数单调性的一般步骤，从而突破难点。

本节课是学生在教师的指导下的逐步探索过程。在探索过程中，让学生通过观察、实验归纳及抽象概括等体会从特殊到一般，从具体抽象、从简单到复杂的研究方法，让学生学会图形语言、普通语言以及抽象上学符号语言之间相互转换，并渗透数形结合的，分类讨论等数学思想。

在整个课堂的教学中，我暴露了作为新老师的种种问题。 (1) 本节课教学旨体现了课堂教学从“灌输式”到“引导发现式”的转变，以教师提出问题、学生探讨解决问题为途径，以相互补充展开教学，总结科学合理的知识体系，形成师生之间的良性互动，提高课堂教学效率。然而在实际授课中，引导学生主动发现问题，主动解决问题的语言不够精炼，并不能很好的引导学生的思维，而是变成了“满堂贯”。

⑷ 本人认为在概念教学中多花一些时间是值得的，因为只有理解掌握了概念，才能更好地帮助学生落实“双基”，更好地帮助学生认识数学，认识数学的思想和本质，进一步地发展学生的思维，提高学生的解题能力。在例题的讲解中我注意培养学生回答问题的规范性。教师起到一个引导作用，教学有法，教无定法，相信只要我们大胆探索，勇于尝试，课堂教学一定会更精彩!但是，在实际课堂中，在对概念的讲解时并没有强调到关键点，比如单调性中对“任意的”的理解，因此在对概念的讲解上还需要加强。而在例题的讲解过程中，也没有引导学生对例题有一个整体的思考，引导学生学会读题，从哪里入手解题等等问题，而是直接给出了此类题型的一般解法，而由于学生的基础不扎实，因而对教师所给的解法不理解，导致在变式证明函数的单调性的时候，觉得无从下手。实际授课时，过度不自然，从创设情境到概念的讲解，最后到例题，过度的显得生硬不通畅。这些都需要加强。

⑸ 在实际中的不足：教师语速平平，可能会使学生容易走神，应做到抑扬顿挫，有感情，用教师的激情去感染学生;在讲台上小动作过于明显，教姿教态有待进一步的提高，以积极饱满的情绪感染学生，这样学生才会有主动学习的动力。