偏导数的关系式及应用

1 引言

众所周知, 函数和它的反函数的导数互为倒数的关系, 自然会问, 多元函数和互与它的反函数的偏导数的关系是怎么样的呢?

(1) 吉米多维奇数学分析 (五) 第3400题

设都由方程所定义的函数

证明:

证明:

(2) 数学分析 (下) 第159页例题3

理想气态方程是PV=RT (R是不为0的常数)

证明:

证明:

一般地, 对于函数, 如果它满足隐函数存在的条件, 是不是也有上述关系呢?我们证明了下面的几个重要的定理和推论。

2 主要定理和推导

定理1如果多元函数的反函数存在, 并且其偏导数均不为零, 那么

推论:条件同定理1, 则

定理2如果方程可确定隐函数, 那么

其中是是两两互不相等, 且不等于k和l的整数。

本定理还可以写成:

定理2.1条件同定理2, 则

其中是中的m个数的一个选排列。

推论:

3 定理的证明

定理1的证明:令

所以推论

定理2的证明:将进行重新排列, 得到, 其中是从原函数中抽取的m个变量进行选排列 (任意排列) , 那么

定理2.1的证明:将中的所有变量进行选排列,

那么, 且

特殊情况

当不需要进行选排列时

那么

4 例题

在方程中,

如果

解:由定理可知

在方程中, 有:

求: (1) 。 (2) 当时, 的方程的表达式。

解: (1) 由定理可知

(2) 由得积分得

上式对y求偏导数得

应用 (1) 便得

再积分, 故, 从而

上式对z求便导数得

于是故因此

由已知条件可得c=4, 所以原方程为

摘要：本文研究了多元函数与它的反函数的偏导数的关系, 并得到了几个重要的恒等式。

关键词：多元函数,反函数,偏导数,恒等式

参考文献

[1] 刘玉琏, 傅沛仁.数学分析 (下) [M].北京:高等院校出版社, 1992.

[2] 费定晖, 周学圣.吉米多维奇数学分析 (五) [M].山东:山东科学技术出版社, 1994.