新课标下导数应用的进一步探索学习

2022-09-11

学以致用, 这是学习的根本目的之所在, 好的理论要能更好地服务并指导实践, 否则这个理论便会成为空论, 犹如英雄而无用武之地。如何在提高课堂教学效率的同时, 让学生感到学有所用呢?其中重要的一点就是要把课堂理论与实践挂上钩, 根据教材内容特点和学生的心理。知识等实际情况, 巧妙地应用各种行之有效的方法, 创设情景, 激发学生自主学习, 主动思考, 用创新的精神去认识生活的本质, 下面就如何让学生把理论带到实践中去谈谈几年来我在教学中的探索。

1 重视课本, 立足理论, 吃透理论

解读导数理论:函数y=f (x) 在某个点x=x处的导数实质上反映出该函数y=f (x) 在x=x0处的瞬时变化率.在函数中, 正是由于自变量的改变, 由原来的x改变为 (x+△x) , 才会引起因变量的改变f (x) →f (x+△x) 。那么如何使它有进一步的应用呢?

2 经济应用探索

2.1 边际分析

通过几年的教学, 我进行了如下的情景设置的探索。

其中“有效提问”在教学中就是一个很好的导师。

师:现实生活中, 我们经常见到某些商场打出“某某产品限量销售”。请问这是什么原因呢?如果能够多卖一些, 商家会选择多卖吗?

生A:他们想抓住顾客的购买心理, 然后可以多销售一些, 多赚点钱。

生B:也许他们的商品数量有限 (例如只有100件) , 所以他们没有办法, 只能限量销售。

师:我们日常买衣服的时候, 也常见到商家打出“断码”口号, 许多顾客觉得自己再不买可能就亏了。事实真的是如此吗?大多商家“惟利是图”他们会把到手的利润“弃之不理”吗?这似乎有背于他们的宗旨。

在经济中, 总收入函数记为R (q) , 是出售个单位商品时的全部收入, q=q (p) 为需求函数, p为单位商品的价格, (p, q互相制约, 互相影响) 所以总收入函数为:

这里, p (q) 由q=q (p) 中解得:R (q) 为边际收入函数, 在导数中它的意义是当出售商品的数量为q个单位时, 再多销售一个单位商品时所增加的收入。

举个简单的例子, 假如某商品的需求函数为q=100-5p, 求销售量为20时的总收入和边际收入。

即销售量达20个单位时, 再销售一个单位商品使总收入增加12个单位。

这里, 我们令R′ (q) =0得q=50, 即当销售量达到50个单位时, 总收入达到最大值R (50) =500个单位。另外, R′ (70) =-8, 即当销售量达到70个单位时, 再销售一个单位商品, 反而使总收入减少8个单位。所以当销售量达到为50后, 聪明的商家不会在卖产品了, 因为再卖他们会亏本。再者, 我们还可以得到, 当销售量在50个单位之内, 每增加销量时, 总收入会增加, 而销售量达50个单位以后, 每增加销量时, 收入反而会减少。

这跟我们平时所见到的开口向下的二次函数中取最值及观察其走势有异曲同工之处。从中我们也可以看得出, 卖得越多, 亏得越多, 在现实生活中, 这太出乎我们的想象了。难怪商家如此精明, 要“限量销售”, 来还是为了赚取更大的利润。

通过一些简单的例子, 可以让学生透过惑人的经济现象, 而直接抓住其本质问题, 这便是导数的威力之所在。

2.2 弹性分析

当今社会是一个经济社会, 商品随处可见, 同一商品在不同地区甚至是同一地区却有着不同的价格, 在众多的价格中, 到底应该选用哪一个价位呢?

师:给商品定价格时, 应该定高价位呢?还是应该定低价位?为什么?

生A:应该定高价位, 这样单位商品利润多些, 总利润就会高些。

生B:应该定低价位, 这样可以提高销量, 从而增加收入。

师:有没有什么办法可以看出我们所定价格是否科学合理呢?理由是什么?

生A:看利润, 利润越高越合理。

生B:跟物价局定价比较, 相近为宜。

师:其实, 用我们所学的知识再进一步探索便可解释。对于一个非常数函数来说, 自变量的改变会引起因变量的改变, 而导数的本质正好反映出一种变化率, 其值是一个极限 (表现出一个变化过程) , 进一步处理:, 于是如果用E (X) 来标记。

, 则E (X) 反映函数y=f (x) 随自变量x的变化, f (x) 变化幅度的大小, 或者f (x) 对x变化的灵敏度。例如甲商品每单位价格10元, 涨价1元, 即涨价10%, 而乙商品每单位价格1000元, 也涨价1元, 即涨价0.1%。可见, 甲﹑乙商品虽然都涨价1元, 但甲商品价格的灵敏度比乙商品价格的灵敏度大得多。

例, 设某商品的需求函数为:

求: (1) 需求弹性函数。

(2) p=3, 5, 6时的需求弹性。

解:∵

在经济学上, E (p) =-1时, 为单位弹性, 即商品需求量的相对变化与价格的相对变化基本相等, 即价格上涨1%时, 需求量将减少1%, 所以该例中E (5) =-1, p=5是最优价格。

而当E (p) <-1时, 为富有弹性, 即商品需求量的相对变化大于价格的相对变化, 此时价格的变动对需求量的影响较大, 这时候要考虑适当降价才会使需求量较大幅度上升, 从而增加收入。该例中E (6) =-1.2<-1, 即价格上涨1%时, 需求量减少1.2%, 此时要考虑适当降价。

-1-1, 即价格上涨1%时, 需求量减少0.6%, 这时可考虑适当涨价。所以商品价格受市场制约, 并不是越高越好, 也不是越低越稳妥。

通过对导数本质的进一步探索, 透过经常发生在学生身边的生活经济事迹, 激发学生学习数学的兴趣, 调动学生学习的积极性和主动性。既发展了学生的观察力, 思考能力, 增强学生的社会实践能力, 又加深学生的思维深度, 激发学生多元智能的开发, 加强实践意识的培养, 为将来成为“学习型”人才奠定良好基础。

摘要：新课程的改革, 新课标的实施, 素质教育的推广, 如何使学生学以置用, 活学活用, 在当前来说是一个重要而又符合社会发展规律的关键问题。本文从导数基本理论出发, 创设情景, 构建以生活为基础, 以科学理论为指导, 学科知识为支撑的课程模块。把理论应用于实践中, 把现实一些光怪陆离的经济现象用课本的简单理论加以解释, 联系实际, 谈谈导数应用的进一步学习。

关键词：实践,导数,创新,多元智能