立体几何垂直平行证明

立体几何垂直平行证明（共10篇）

篇1：立体几何垂直平行证明

高一垂直证明基础练习专项

1、点线面位置关系判定问题

解题方法与技巧：在判定点线面的位置关系时，通常有两个切入点（1）集合：点、线点、面的位置关系从集合的从属关系来判定；线、面都是点集，所以在考虑线面关系时从集合与集合的包含关系或者集合与集合的交、并、补关系来判定；（2）几何：把集合与几何关系结合来判定线线，线面，面面关系

例1、设是三个不重合的平面，l是直线，给出下列命题

①若，则；

②若l上两点到的距离相等，则；

③若

④若

其中正确的命题是

（）

A．①②

B．②③

C．②④

D．③④

解析：

①由面面垂直关系已知不成立，可能垂直也可能相交平行。错误；②由点到面距离易知直线还可能和平面相交；③因为所以在平面β内一定有一直线垂直α所以正确④根据平行关系易知正确

答案选D

练习1、设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（）

（A）若，则

（B）若，则

（C）若，则

（D）若，则

练习2、给定下列四个命题：

（）

①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；

②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；

③垂直于同一直线的两条直线相互平行；.④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中，为真命题的是

A．①和②

B．②和③

C．③和④

D．②和④

练习3.（2009浙江卷文）设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

练习4．顺次连接空间四边形各边中点所成的四边形必定是（）

A、平行四边形

B、菱形

C、正方形

D、梯形

练习题答案：练习1：B；练习2：

D；练习3：

C；练习4：

A；

2、空间中线面的平行垂直证明

例1：如图：四棱锥—中，底面是平行四边形，为侧棱的中点，证明：∥平面

解析：

证明PC平行于面EBD，只需在面EBD内找一条直线和已知直线平行即可

E为中点，首先考虑构造等腰三角形中位线，取AC中点O连接EO即可

证明：取AC的中点O,连接EO，例2：三棱柱—中，为的中点，为的中点，为的中点，证明：平面∥平面

解析：面面平行的证明定理，证明两平面内两组相交直线平行，即把面面

平行问题转化为线线平行问题，按解决线线平行的思路即可解决问题

证明：连接BC1,EF

分别为BC、B1C1、BB1、CC1的中点，例3：如图：四棱锥—中，⊥平面，底面是矩形，为的中点，⊥，证明：⊥

解析：线线垂直的证明分同平面直线垂直证明和异平面垂直证明，在处理异平面垂直证

明问题时，优先考虑证明一直线垂直于另一直线所在平面，转化为线面垂直证明问题

即证明PD垂直于面BEF即可

证明：点

例4：如图：四棱锥—中，⊥平面，底面是矩形，证明：平面⊥平面

练习1：如图：四棱锥—中，底面是平行四边形，为侧棱的中点，证明：∥平面

练习2：如图：三棱柱—中，为的中点，证明：∥平面

练习3：如图：三棱柱—中，为的中点，证明：∥平面

练习4：如图：四棱锥—中，底面是平行四边形，、分别为、的中点，证明：∥平面

练习5：如图：三棱柱—中，、分别为、的中点，证明：∥平面

练习6：如图：四棱锥—中，底面是平行四边形，、分别为、的中点，证明：∥平面

练习7：如图：三棱柱—中，为的中点，为的中点，证明：∥平面

练习8：如图：四棱锥—中，⊥平面，底面是梯形，∥，，为的中点，证明：⊥

练习9：如图：直三棱柱—中，，、分别为、的中点，为的中点，证明：⊥

练习10：如图：四棱锥—中，⊥平面，⊥，，⊥，⊥，为的中点，证明：⊥

练习11：如图：四棱锥—中，底面是矩形，平面⊥平面，证明：平面⊥平面

练习12：如图：五面体中，是正方形，⊥平面，∥，证明：平面⊥平面

练习13：如图：四棱锥—中，⊥平面，是菱形，为的中点，证明：平面⊥平面

练习14：如图：四棱锥—中，平面⊥平面，，证明：平面⊥平面

篇2：立体几何垂直平行证明

姓名

2.掌握正确的判定和证明平行与垂直的方法.D

1【学习目标】1.通过学习更进一步掌握空间中线面的位置关系;

例1．已知正方体ABCD—A1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点．

求证：（1）C1O//平面AB1D1；（2）A1C⊥平面AB1D1．【反思与小结】1.证明线面平行的方法：2.证明线面垂直的方法：

AD

C1

BC【变式一】如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中,ADAA11,AB1，点E在棱AB上移动。求证：D1E⊥A1D；

【反思与小结】1．证明线线垂直的方法：

1． 谈谈对“点E在棱AB上移动”转化的动态思考 2． 比较正方体、正四棱柱、长方体

【变式二A】如图平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩

形，且AF

D

1A

E

B

C

C

AD2,G是EF的中点，2（1）求证平面AGC⊥平面BGC；（2）求空间四边形AGBC的体积。

反思与小结1．证明面面垂直的方法：2．如果把【变式二A】的图复原有什么新的认识？ 【变式二B】.如图，在直三棱柱(侧棱与底面垂直的三棱柱)ABCA1B1C1中，AB8，AC6，BC

（Ⅰ）求证：

10，D是BC边的中点.ABA1C；（Ⅱ）求证：AC1∥ 面AB1D；

【反思与小结】和前面证明线线垂直、线面平行比较有什么新的认识？ 【变式三】如图组合体中，三棱柱ABCA1B1C1的侧面ABB1A1 是圆柱的轴截面，C是圆柱底面圆周上不与A、B重合一个点.（Ⅰ）求证：无论点C如何运动，平面A1BC平面A1AC；

（Ⅱ）当点C是弧AB的中点时，求四棱锥A1BCC1B1与圆柱的体积比．

【反思与小结】

1．观察两个图之间的变化联系，写出感受。

2．和【变式一】进行比较，谈谈你把握动态问题的新体会

【变式四】如图，四边形ABCD

为矩形，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，F 为CE上的点，且BF⊥平面ACE．

（1）求证：AE⊥BE；

（2）设M在线段AB上，且满足AM＝2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE.【反思与小结】1．和前面两个动态问题比较，解答本题的思路和方法有什么不同？ _P【变式五】如图5所示，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，ABBCCA3，M为AB的中点，四点P、A、M、C都在球O的球面上。

（1）证明：平面PAB平面PCM；（2）证明：线段PC的中点为球O的球心；

【反思与小结】1．探讨球与正方体、长方体等与球体之间的关系。

2．结合前面几组图形的分割变化规律，说明正方体、正四棱

柱、长方体、直三棱柱、四棱锥、三棱锥的变化联系。

3．总结立几中证明“平行与垂直”的思路和方法

课后练习

1．如图所示，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=BB1，AC1⊥平面A1BD，D为AC的中点。（I）求证：B1C//平面A1BD；

（II）求证：B1C1⊥平面ABB1A

（III）设E是CC1上一点，试确定E的位置，使平面A1BD⊥平面BDE，并说明理由。

2.如图，已知AB平面ACD，DE平面ACD，三角形ACD

为等边三角形，ADDE2AB，F为CD的中点

（1）求证：AF//平面BCE；

（2）求证：平面BCE平面CDE；

P1． 如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点．（1）求证：CDAE；

A

D（2）求证：PD面ABE．

2． 如图，四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，PA=BC=_A_M_B_C1AD.2B

（I）求证：平面PAC⊥平面PCD；

（II）在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？若

存在，请确定E点的位置；若不存在，请说明理由.5.如图，在四棱锥SABCD中，SAAB

2，SBSD底面ABCD是菱形，且ABC60，E为CD的中点．

（1）证明：CD平面SAE；

（2）侧棱SB上是否存在点F，使得CF//平面SAE？并证明你的结论． D【课后记】1．设计思路（1）两课时； C（2）认识棱柱与棱锥之间的内在联系；

（3）掌握探寻几何证明的思路和方法；

（4）强调书写的规范性

2．实际效果：

（1）用时两节半课；

篇3：立体几何垂直平行证明

1 中点用于平行问题的证明

在立体几何的平行证明问题中若出现了中点的已知条件，这时我们应特别留意这一条件，因为它往往是解决本题的关键.在立体几何中若能利用好中点，平行问题的证明将会变得更具特征性，其遵循的原理即为若知一中点，即想办法找出另一个中点，那常常应注意能否应用三角形中位线、梯形中线等来证明线线平行，使之能利用中位线性质，从而得到两直线平行或平行四边形，进而可以证明线面平行的问题，从而达到证明线面的平行关系.

例1如图1，已知S是△ABC所在平面外一点，O是边AC的中点，点P是SA的中点，求证：SC∥平面BOP.

分析要证SC∥平面BOP，根据线面平行的判定定理，应证线线平行，即要证SC平行平面BOP内的一条直线.

证明因为P为AS中点，O为AS中点，所以PO为△ASC的中位线，所以PO∥SC，即SC∥PO.又SC平面BOP，PO平面BOP，所以SC∥平面BOP.

例2如图2，PA⊥平面AC，四边形ABCD是矩形，E，F分别是AB，PD的中点，求证：AF∥平面PCE.

分析要证明AF∥平面PCE，根据线面平行的判定定理，应证线线平行，即在平面PCE内找一条直线与AF平行.

证明取PC中点K，连结EK，FK.因为F为PD中点，在△PCD中，KF是△PCD的中位线，所以KF∥CD，KF=CD.

又E为AB中点，四边形ABCD是矩形，所以AE∥CD，AE=CD，所以KF瓛AE，四边形AEKF为平行四边形，AF∥EK.

又AF平面PCE，EK⊂平面PCE，所以AF∥平面PCE.

本例条件中已经告知E，F分别为AB，PD中点这一重要信息，这一重要信息如何用上呢?由于AB，PD为两条异面直线，不能直接将现有中点连接构成三角形中位线，所以需另觅中点，当再添加PC的中点K，就会使所求证的问题出现了例1中的应用三角形中位线的情况.在△PCD中即可应用中位线定理得到KF∥CD且KF=CD这一重要桥梁信息，进而可证得四边形AEKF为平行四边形，由平行四边形的性质可得到线线平行的结论.

例3如图3，在底面是菱形的四棱锥P-ABCE中，点E是PD的中点，求证：PB∥平面EAC.

分析要证明线面平行，很自然就会想着证明线线平行，而题中已知条件有点E是PD中点，若能出现第二个中点，即可以转化为前例中三角形中位线的问题，所证问题即可迎刃而解.

证明如图3，连结BD交AC于点O，连结EO.因为四边形ABCD为菱形，所以O为PD中点.又E是PD的中点，在△DPB中，EO是△DPB的中位线，所以EO∥PB.

又EO平面EAC，PB平面EAC，所以PB∥平面EAC.

本例通过连结BD交AC于点O，巧妙地构造出第二个中点，结合条件中的E是PD的中点，这就出现了三角形中两边中点问题，利用三角形中位线定理就可轻松地把问题解决.

2 中点用于垂直问题的证明

在立体几何的有关垂直问题的证明中，常见的是以证明线线垂直，线面垂直和面面垂直的题型为主，究其规律，该类垂直问题常由线线垂直证得线面垂直，由线面垂直进而证得面面垂直，这证明思路源于证明垂直问题的判定定理和垂直的定义.当题目中给出中点或在一个三角形中有两边相等时，利用好中点往往是解题的关键.

例4如图4，P是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面外的一点，P在平面ABC内的射影为BF的中点O，求证：PA⊥BF.

分析PA，BF为两条异面直线，要证明线线垂直，不能直接证得，唯有通过线面垂直证得线线垂直.即证明PA垂直BF所在的平面或证明BF垂直PA所在的平面来实现.

证明连结AO.因为AF=AB，O为BF的中点，所以AO⊥BF即BF⊥AO.

又O为P在平面ABC内的射影，所以PO⊥BF，即BF⊥PO.

又AO∩PO=O, AO, PO⊂平面PAO, 所以BF⊥平面PAO.

又PA⊂平面PAO，所以BF⊥PA，即PA⊥BF.

上例通过证明BF⊥平面PAO，进而证明了PA⊥BF，而这一证明过程中用了O为BF的中点，且AF与AB相等这一重要条件，而当连结AO时，由等腰三角形底边上的中线也为底边上的高这一结论可知有BF⊥AO，即得到了线线垂直.从而得到了证明本题的关键.

例5如图5，在三棱锥P-ABC中，AB=AC, PB=PC, 求证:PA⊥BC.

分析要证明PA⊥BC，即证明线线垂直，可证明PA垂直BC所在的平面或证明BC垂直PA所在的平面，本题有AB=AC，PB=PC两个等腰三角形，若能用好等腰三角形三线合一的性质便可使求证的问题得到解决.

证明取BC中点O，连结AO，PO.

因为AB=AC，PB=PC，O为BC中点，所以BC⊥AO，BC⊥PO.

又AO∩PO=O, AO, PO平面PAO, 所以BC⊥平面PAO.而PA平面PAO, 所以BC⊥PA, 即PA⊥BC.

本例关键是取BC的中点，由等腰三角形底边上的中点引出线线垂直，进而证得了线面垂直.

例6如图6，三棱锥P-ABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，PA=PB=PC，求证：AB⊥BC.

分析本题要证明的AB⊥BC是同一个平面内的两条直线，结合题中所给出的条件，想通过证明线面垂直来证明，这显然是走不通的，但它有条件PA=PB=PC，即它的突破点依旧是中点问题，这缘于有等腰三角形的出现.

证明如图6，取AC中点O，连结PO，BO.因为PA=PC，所以PO⊥AC.

又侧面PAC⊥底面ABC，PO⊥底面ABC，所以OB为PB在底面ABC的射影.

又PA=PB=PC，所以OA=OB=OC，即OB=AC.所以AC为直角三角形ABC的斜边，所以AB⊥BC.

要证明线线垂直，当两直线为共面直线，又无法用线面垂直进行证明时，应积极寻求其他的垂直证明依据，而出现有等腰三角形时，关注这个三角形底边上的中点常会使求证问题得到突破.

例7如图7，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD，E，F分别为CD，PB的中点，求证：EF⊥平面PAB.

分析欲证线面垂直，应证线线垂直，即证EF⊥平面PAB内的两条相交线.

证明如图7，取PA中点O，连结DO，FO.因为AD=PD，所以OD⊥PA.

又底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD.

又PD⊥底面ABCD，所以PD⊥AB，即AB⊥PD.

又PD∩AD=D，PD，AD平面PAD，所以AB⊥平面PAD.

又OD⊂平面PAD，所以AB⊥OD，即OD⊥AB.

又AB∩PA=A，AB，PA⊂平面PAB，所以OD⊥平面PAB.

又E，F分别为CD，PB的中点，所以ED

所以四边形EFOD为平行四边形，所以EF∥OD，所以EF⊥平面PAB.

本题是一道比较抽象的线面垂直证明题，从题中已知条件是无法直接证明EF⊥平面PAB，证明的突破口出现在等腰三角形PDA与已知条件中的E，F分别为CD，PB的中点的这两个条件上，总之还是由中点问题进行求证的突破，从而使求证得以证明.由此可见中点问题在立体几何证明问题应用中的重要性.

由于知识的不断深化，立体几何的证明问题将会有越来越多的变式题，但不论其如何变化，我们都可以通过对已知条件进行整理，最后回归到我们所常见的、基本的题型进行寻求解答.

参考文献

[1]王申怀.高中数学必修2 (A版) [M].北京:人民教育出版社, 2008.

[2]王林全.中学数学思想方法概论[M].广州:暨南大学出版社, 2003.

[3]陈德崇.中学数学教学论[M].广州:广东高等教育出版社, 1995.

[4]王金贵.怎样解题[M].北京:北京教育出版社, 2005.

[5]李玉琪.简明数学方法论[M].北京:科学技术文献出版社, 1994.

篇4：立体几何垂直平行证明



类型1：直线与平面平行的判定

【例１】 已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,求证：

(1) 四边形EFGH是平行四边形；

(2) AC∥平面EFGH.

分析 （1） 通过一组对边平行且相等,证明是平行四边形；(2) 只要在平面EFGH中找到与AC平行的直线。

证明 (1) 连接AC,BD,∵E,F分别是△ABC的边AB,BC的中点,

∴EF∥AC,同理,HG∥AC,∴EF∥HG,同理EH∥FG．

所以，四边形EFGH是平行四边形．

(2) 由(1)知,四边形EFGH是平行四边形,所以E,F,G,H在同一平面上．

又HG∥AC,AC平面EFGH,HG平面EFGH,

所以，AC平面EFGH．

点拨 问题(2)是常见问题。通过找到“与平面内的直线平行”这一个关键步骤而得证。

【例１】 如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,D是AC的中点,

求证：AB1∥平面DBC1．

分析 在平面DBC1上找到一条与AB1平行的直线即可,连接BC1与B1C交于点P,连接DP,则DP∥AB1。

证明 连接BC1与B1C交于点P,连接DP,

∵△ACB1中,D、P是相应边的中点,

则DP∥AB1,AB1平面DBC1,DP平面DBC1,∴AB1∥平面DBC1.

点拨 本题的关键是在平面DBC1中找出与AB1平行的直线,利用中位线与对应底边平行的性质。

类型2：直线与平面平行的性质

【例2】 已知空间四边形ABCD中,AC∥平面EFGH,BD∥平面EFGH,

证明：四边形EFGH是平行四边形．

分析 要证平行四边形,可证一组对边平行且相等,或证两组对边平行,本题可以选用第二种方式。

证明 因为AC∥平面EFGH,AC面ABC,平面EFGH∩面ABC=EF,

∴EF∥AC,又因为AC∥平面EFGH,AC面ADC,平面EFGH∩平面ADC=GH,

∴GH∥AC,∴GH∥EF,同理：EH∥FG．

所以,四边形EFGH是平行四边形．

点拨 本题看似很显然的结论,在严格证明时,要有理有据,本题就是线面平行的性质定理的一个很好的例子,与例1有联系又有区别。

类型2：线面垂直的判定与性质

【例2】 在正四面体ABCD中,E是边CD的中点，求证：CD⊥面ABE.

分析 要证CD⊥面ABE,只要证CD⊥BE,CD⊥AE即可。

证明 在正四面体ABCD中,AC=AD,BC=BD,E是CD的中点,

∵CD⊥AE,CD⊥BE,

AE∩BE=E,

AE、BE面ABE,

∴CD⊥面ABE．

点拨 证明线面垂直的关键是要找到该线与该平面的两相交直线垂直。

【奇思妙想1】 在空间四边形ABCD中,BC＝AC,AD＝BD,作BE⊥CD,E为垂足,作AH⊥BE于H,求证：AH⊥平面BCD．

分析 一方面,要证AH⊥平面BCD,已有AH⊥BE,必须再证AH与平面BCD中的另一条直线垂直。另一方面,等腰三角形底边上的中线也是高,故一般常将底边中点取出,并与顶点连接。

证明 因为BC＝AC,AD＝BD,在AB取中点F,连接FD,FC，

则FD⊥AB,FC⊥AB,又FD∩FC=F，FD、FC面FDC,所以AB⊥面FDC，

又CD面FDC,所以AB⊥CD,因为BE⊥CD,AB∩BE=B，AB、BE面ABE，

所以CD⊥面ABE，AH面ABE,所以CD⊥AH,

又已知BE⊥AH,BE∩CD=E，

BE、CD面BCD,所以AH⊥面BCD．

点拨 本题进行了多次线线垂直得到线面垂直,线面垂直再得到线线垂直的循环。这也是本题的一个难点,反复使用判定和性质,是本题的关键。

【奇思妙想2】 如图,已知ABCDA1B1C1D1是底面为正方形的长方体,∠AD1A1=60°,AD1=4,点P是AD1上的动点,试判断不论点P在AD1上的任何位置,是否都有平面B1PA1垂直于平面AA1D1？并证明你的结论.

分析 从问题考察,应该研究动平面和定平面始终垂直,而动平面的一条定直线与定平面垂直即可。

解 不论点P在AD1上的任何位置,都有平面B1PA1垂直于平面AA1D1．

证明如下：由题意知,B1A1⊥A1D1,B1A1⊥A1A，

又∵AA1∩A1D1=A1,∴B1A1⊥平面AA1D1，

又A1B1平面B1PA1,

∴平面B1PA1⊥平面AA1D1．

点拨 找出动中之静是非常重要的一种能力,也是同学们容易忽视的地方。

【奇思妙想3】 如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,动点E、F在A1B1棱上,动点P,Q分别在棱AD,CD上,若EF=1,AE=x,DQ=y,DＰ＝ｚ（x,y,z大于零）,则四面体PEFQ的体积与 .

①与x,y,z都有关

②与x有关,与y,z无关

③与y有关,与x,z无关

④与z有关,与x,y无关

分析 四面体的体积与哪些因素有关,怎么把变量转化为定量是本题的关键。

解 应该是④。四面体PEFQ的体积计算公式是V=13Sh,S看作△EFQ的面积,

则EF=1,Q到EF的距离就是CD与AB的距离是22,

而P到平面EFQ的距离就是P到平面EFCD的距离,它随着P的移动而变化着,

所以,只与ｚ有关.

牛刀小试

1. 求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边所在的平面．

2. 如图,在底面为平行四边形的四棱锥PABCD中,AB⊥AC,PA⊥平面ABCD且PA=AB,点E是PD的中点．

(1) 求证：AC⊥PB；

(2) 求证：PB∥平面AEC.

3. 空间四边形ABCD中,AB=2,AC=BC=2,正△ADB以AB为轴转动.

(1) 当平面ADB⊥平面ABC时,求CD的长.

(2) 当△ADB转动时,是否总有AB⊥CD?证明你的结论.

【参考答案】

1. 证明：连接BD，AC.

∵AE=EB,AF=FD,

∴EF∥BD（三角形中位线的性质），

EF平面BCD,BD平面BCD.

∴EF∥平面BCD.

2. (1) ∵PA⊥平面ABCD,

∴AB是PB在平面ABCD上的射影.

又∵AB⊥AC,AC平面ABCD,∴AC⊥PB.

(2) 连接BD与AC相交于O,连接EO.

∵ABCD是平行四边形,∴O是BD的中点，

又E是PD的中点,∴EO∥PB.

又PB平面AEC,EO平面AEC,

∴PB∥平面AEC.

3. （1） 取AB的中点E,连接DE,CE.

∵△ADB是正三角形,∴DE⊥AB,

当平面ADB⊥平面ABC时,

∵平面ADB∩平面ABC=AB,

∴DE⊥平面ABC,可知DE⊥CE，

由已知可得DE=3,EC=1,

在Rt△DEC中,CD=DE2+EC2=2.

（2） 当△ADB以AB为轴转动时,总有AB⊥CD.证明如下：

当D在平面ABC内时,

∵AC=BC,AD=BD,

∴C,D都在线段AB的垂直平分线上,

则AB⊥CD．

当D不在平面ABC内时,

由（1）知DE⊥AB,又AC=BC,

∴CE⊥AB.

又DE,CE为相交直线,∴AB⊥平面CDE.

由AB⊥平面CDE,得AB⊥CD.

综上可得,AB⊥CD．

篇5：立体几何垂直平行证明

2、利用空间向量证明平行、垂直关系

基础性练习：

1、在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，则AC与平面DEF的位置关系是（）

A、平行B、相交C、在平面内D、不能确定

2、在正方体ABCD—A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于（）

A、ACB、BDC、A1DD、A1A3、已知三角形ABC在平面α内,∠A=900,DA⊥平面α,则直线CA与DB的位置关系是

4、在正方体ABCD—A1B1C1D1中，EF是异面直线AC和A1D的公

垂线，则EF和BD1的关系是（）

A、垂直B、异面不垂直C、相交D、平行

巩固性练习：

5、如图，已知矩形ABCD，AB=1，BC=a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点满足PQ⊥QD，则a的值等于

6、已知四面体ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，求证：AD⊥BC7、求证：若两条平行线中的一条与一个平面垂直，那么另一条也与这个平面垂直。

8、已知直线l平面，平面平面，且l不在平面中，求证:l//

B9、如图：ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，M、N分别是PC、AB中点，求证：

MN⊥平面PCD.(12分)

10、（12分）在正方体ABCDA1B1C1D1中，如图Ｅ、Ｆ分别是

BB1，ＣＤ的中点，（1）求证：D1F平面ADE；

（2综合性练习：

11、如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PDDC，E是PC的中点，作EFPB交PB于点F.（1）证明 PA∥平面EDB；

（2）证明PB平面EFD；

篇6：立体几何垂直平行证明

（二）线面平行与垂直

一、定理内容（数学语言）

（1）证明线面平行

（2）证明面面平行

（3）证明线面垂直

（4）证明面面垂直

二、定理内容（文字语言与数学图形）

（1）证明线面平行：

（2）证明面面平行：

（3）证明线面垂直：

（4）证明面面垂直：

三、典型例题

1．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PD底面ABCD，M、N 分别为PA、BC的中点，且PDAD．（Ⅰ）求证：MN∥平面PCD；（Ⅱ）求证：AC⊥平面PBD．

M

N

A

B

C

2．在三棱锥PABC中，侧棱PA底面ABC，ABBC，E、F分别是棱BC、PC 的中点．

（Ⅰ）证明：EF∥平面PAB；（Ⅱ）证明：EFBC．

3．在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1AC．

F

P

A

E

B

C

BC1；（Ⅰ）若ABAC，求证：AC

1BC1，求证：ABAC．（Ⅱ）若AC1

B

4．在三棱锥PABC中，平面PAB平面ABC，ABBC，APPB，求证：平面PAC平面PBC．

C

B

5．如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBB1,AC1平面A1BD，D为AC的中点．

（Ⅰ）求证：B1C//平面A1BD；（Ⅱ）求证：B1C1平面ABB1A1；

（Ⅲ）设E是CC1上一点，试确定E的位置使

平面A1BD平面BDE，并说明理由．

D

A

C

AB1

C1



6．三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱与底面垂直，ABC90，ABBCBB12，M,N分别是AB，AC1的中点．

（Ⅰ）求证：MN∥平面BCC1B1；（Ⅱ）求证：MN平面A1B1C；

（Ⅲ）求三棱锥MA1B1C的体积．

B

M

A

CN

A1

B1

C1

四、练习

1．如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中,AC3,BC4,AB5,AA14．（Ⅰ）求证ACBC1；

（Ⅱ）在AB上是否存在点D，使得AC1∥平面CDB1，若存在，试给出证明；

若不存在，请说明理由．

CC

1A1

B1

A

B

2．在三棱锥PABC中，PAC和

PBCAB2，O是AB中点.（Ⅰ）在棱PA上求一点M，使得OM∥平面

（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面ABC．

B

．如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，ABADCACBCDBD2．

（Ⅰ）求证：AO平面BCD；

（Ⅱ）在AC上是否存在点F，使AO∥面DEF？若存在，找出点F的位置；

若不存在，说明理由．

B

五、模拟试题与真题

1．如图，正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长和底面边长均为2，D是BC的中点．（Ⅰ）求证：AD平面B1BCC1；（Ⅱ）求证：A1B∥平面ADC1；（Ⅲ）求三棱锥C1ADB1的体积．

2．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，BAD60，Q为AD的 中点，PAPDAD2．（Ⅰ）求证：AD平面PQB；（Ⅱ）点M在线段PC上，PMtPC，试确定t的值，使PA//平面MQB．

3．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，ACIBD=O.（Ⅰ）若ACPD，求证：AC平面PBD；（Ⅱ）若平面PAC^平面ABCD，求证：PB=PD；

（Ⅲ）在棱PC上是否存在点M（异于点C）使得BM∥平面PAD?

PPM

若存在，求的值；若不存在，说明理由．



B

C

PC

B

A

O

C

4．如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，DABDBF60，且FAFC．

（Ⅰ）求证：AC平面BDEF；（Ⅱ）求证：FC∥平面EAD．

5．四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，侧面PAD底面ABCD，BCD60，PAPDE是BC中点，点Q在侧棱PC上．

（Ⅰ）求证：ADPB；（Ⅱ）若

6．已知菱形ABCD中，AB=4，BAD60（如图1所示），将菱形ABCD沿对角线BD翻折，使点C翻折到点C1的位置（如图2所示），点E，F，M分别是AB，DC1，BC1的中点．（Ⅰ）证明：BD∥平面EMF；（Ⅱ）证明：AC1BD；

（Ⅲ）当EF

AB时，求线段AC1的长．



PQ

，当PA∥平面DEQ时，求的值． PPC

Q

CE

A

B

DC

1FM

A

图1

BAE

图2

B

7．如图1，在RtABC中，C90，D，E分别为

AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将ADE

沿DE折起到A1DE的位置，使A1FCD，如图2．（Ⅰ）求证：DE//平面A1CB；（Ⅱ）求证：A1FBE；

A1

DFC

图1

B

C

F

B

图2

E

⊥平面DEQ？（Ⅲ）线段A1B上是否存在点Q，使AC1

篇7：线面平行与垂直的证明题

线面平行与垂直的证明

1：如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中.（1）求证：AC⊥平面B1BDD1；

（2）求三棱锥B-ACB1体积．

2：如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO底面ABCD，E是PC的中点．

A

D

C

B

DA

1B1 1

求证：（1）PA∥平面BDE；（2）平面PAC平面BDE．

3：如图：在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中，∠ABC = 90°，SA⊥面ABCD，SA = AB = BC = 1，AD（Ⅰ）求四棱锥S—ABCD的体积；（Ⅱ）证明：平面SBC⊥平面SCD.4：已知多面体ABCDFE中，四边形ABCD为矩形，AB∥EF，AF⊥BF，平面ABEF⊥平面ABCD，O、M分别为AB、FC的中点，且AB = 2，AD = EF = 1.（Ⅰ）求证：AF⊥平面FBC；（Ⅱ）求证：OM∥平面DAF.1．

25：．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．

（1）证明 PA//平面EDB；（2）证明PB⊥平面EFD；

6：已知正方形ABCD和正方形ABEF所在的平面相

交于AB，点M，N分别在AC和BF上，且AM=FN.求证：MN‖平面BCE.7：如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a（1）求证：直线A1B//平面ACD1（2）求证：平面ACD1平面BD1D；

8： 如图，已知△ABC是正三角形，EA、CD都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a,DC=a,F是BE的中点，求证：(1)FD∥平面ABC(2)AF⊥平面EDB.C

9：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G分别是CB、CD、CC1的中点，（1）求证：平面A B1D1∥平面EFG;（2）求证：平面AA1C⊥面EFG.10：如图，PA矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点.（1）求证：MN//平面PAD；（2）求证：MNCD；

P

N

D

C

A

M

B

11：如图，棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：⑴AC⊥平面B1D1DB;

⑵求证：BD1⊥平面ACB1⑶ 求三棱锥B-ACB1体积．

D

A

B

C

D

1AB1

P

12: 四棱锥ABCD中，底面ABCD是正方形，O是正方形ABCD的中心，PO底面ABCD，E是PC的中点． 求证：（Ⅰ）PA∥平面BDE；（Ⅱ）平面PAC平面BDE.13：在三棱锥SABC中，已知点D、E、F分别为棱AC、SA、SC的中点.①求证：EF∥平面ABC.②若SASC，BABC，求证：平面SBD⊥平面ABC.14：如图, 已知正三角形PAD, 正方形ABCD,B

平面PAD平面ABCD, E为PD的中点.（Ⅰ）求证：CDAE;（Ⅱ）求证：AE平面PCD.15：四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，M、N分别是

AB、PC的中点，PAAOa．

（1）求证：MN//平面PAD；（2）求证：平面PMC⊥平面PCD．（自己画图）

P

A

B

C

篇8：平行垂直问题的空间向量证明方法

一、平行类问题

1. 直线平行于直线

可证两条直线的方向向量平行.

例1在正方体ABCD—A1B1C1D1中, E、F分别是BC、CC1的中点, M、N分别是AB、C1D1的中点, 求证MN∥EF.

证明:如图1, 分别以DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D—xyz, 设正方体棱长为则0) , F (0, 2, 1) .由此有

2. 直线平行于平面

对于平面外的一条直线,

(1) 可证直线的方向向量平行于平面内的一个向量.

(2) 可证直线的方向向量可用平面内的两个不共线的向量线性表示.

(3) 可证直线的方向向量与平面的一个法向量垂直.

例2如图2, 三个正方形ABCD、ADEF、CDEG, P在DF上, Q在AC上, 且DP=DF, CQ=CA, 求证PQ∥面CDEG.

证明:以DA、DC、DE为x轴、y轴、z轴, 建立空间直角坐标系D—xyz, 设各正方形边长为1, 则P

方法1:显然= (1, 0, 0) 是平面CDEG的一个法向量.而在平面CDEG外, 所以PQ∥面CDEF.

方法2:在平面CDEF内取两个不共线的向量DC= (0, 1, 0) , = (0, 0, 1) .

因此, PQ∥面CDEF.

方法3:取DE中点M (0, 0, ) , 知

则在平面CDEG内, 在平面CDEG外, 所以PQ∥面CDEG.

点评:本例用到了证明直线与平面平行的三种方法.其中方法2用的是待定系数法;方法3中取DE中点M是关键, 这需要一定的观察探索能力.

3. 平面平行于平面

(1) 可证一个平面内有两个不共面的向量都平行于另一个平面.

(2) 可证两个平面的法向量共线.

例3正方体ABCD—A1B1C1D1中, M、N、P、Q是相应各棱的中点, 求证面ACNM∥面BPQ.

证明:建立如图3的空间直角坐标系.

设正方体棱长为2, 则A (2, 0, 0) , C (0, 2, 0) , M (1, 0, 2) , B (2, 2, 0) , P (2, 1, 2) , Q (1, 2, 2) .则有

方法2:设平面ACNM的法向量是n= (x, y, z) , 则由n⊥

取z=1, 则n= (2, 2, 1) .

同样可求得平面BPQ的一个法向量是m= (1, 1, ) .

由n=2m, 知n∥m,

所以面ACNM∥面BPQ.

二、垂直类问题

1. 线与线垂直

可证两条直线的方向向量互相垂直.

例4已知正三棱锥P—ABC, 求证AB⊥PC.

由正三棱锥知PA=PC=PB,

所以AB⊥PC.

评注:本例是利用基向量法进行运算.本例也可以用坐标向量法进行运算, 但建系、设坐标都较麻烦.因此, 应会根据题目的情况, 选择恰当的向量方法进行求解.

2. 线与面垂直

(1) 可证直线的方向向量与平面内两个不共线的向量垂直.

(2) 可证直线的方向向量与平面的法向量平行.

例5在正三棱柱ABC—A1B1C1中, 底边长是, 高是1, M是AB中点, 求证AB1⊥面MCA1.

证明:如图4, 取AB中点M, 建立空间直角坐标系M—xyz, 知

所以B1A⊥面MCA1.

3. 面与面垂直

(1) 可证某平面内的一个向量是另一个平面的法向量.

(2) 可证两个平面的法向量互相垂直.

例6正方体ABCD—A1B1C1D1中, M是CC1的中点, 求证面A1BD⊥面MBD.

证明:如图5, 建立坐标系D—xyz.

设平面A1BD的法向量为n= (x, y, z) , 则

取x=1, 得n= (1, -1, -1) .

又设平面MBD的法向量为m= (p, q, r) , 则

取q=1, 得m= (-1, 1, -2) .

知n⊥m, 所以面A1BD⊥面MBD.

评注:本例也可以取BD中点O, 证明是平面MBD的法向量.

篇9：“平行与垂直”说课

“平行与垂直”是《苏教版小学数学》四年级上册的内容,它是在学生认识了直线的基础上安排的,是深入学习空间与图形的重要基础。考虑到学生已有的认知结构和心理特征,这一课时,我将例1的认识平行线和例3的认识垂直线进行整合教学。

教学目标

1.感知生活中的垂直与平行现象,初步认识平行线和垂直线的本质,理解它们是同一平面内线与线的位置关系。2.引导学生观察、操作、讨论、辨析,培养主动探究的意识,发展空间想象能力。3.创设有序有趣有效的课堂,激发学生的学习热情。

难点:理解看似不相交而实际上相交的现象。

教学过程

一、在生活情境中引入

生活中,我们经常要在墙上贴挂东西,而往往会喊人站在远处帮忙看着正不正,我将这一生活情境再现课堂:“老师要贴一张画在黑板上,同学们帮我看看贴正没有?”接着我抛出一个问题:你是怎么判断这幅画贴“正”了?在学生一番交流后引导他们道出其中的奥秘:原来我们是在参照黑板边线,看画的边线到黑板边线两头的宽窄是不是一样。我将宽窄相同与不同两种情况抽象成图:

“这两组直线到底有什么本质的区别呢?今天我们就来研究同一平面内线与线的位置关系。”在这里我把“同一平面”板书出来并加以直观演示,让学生建立异面直线和平面直线的不同概念。

【设计意图】我这样巧设生活情境,引导学生运用已有的知识和经验进行观察讨论,把生活问题逐步抽象到数学研究的对象上来,唤起学生探究新知的欲望。

二、在自主探究中发现

这一环节是本课的重点,在这里要捋顺两层关系:即同一平面内的直线只有相交和不相交两种情况,关系是对立的;而相交中又有成直角与不成直角两种现象,垂直与相交属于包含关系;并弄清“相交、垂直、平行”三个概念。为此我搭建了三个活动平台:

扔一扔 摆一摆

首先是探究这两组直线的区别,先让学生通过想象延长和操作延长有一个感性认识:一组永不相交,一组会相交。再由学生通过自学去了解平行的定义,解决学生存在的疑问,重点理解互相平行中“互相”的意思。

接着我通过扔一扔,摆一摆的活动,引导学生进行深入探究。

扔一扔:把两根小棒当直线,随意扔在桌面上,判断其可能的位置关系并分析讨论。

经过小组交流,集中汇报以后,形成结论:同一平面内的直线如果不平行就会相交,如果不相交就一定平行。

摆一摆:既然随意扔出平行线的概率很小,那我们就摆一组平行线,在组内介绍摆的好方法,看看别人摆的有什么不同。

总结:直线平行要满足两个条件,即:同一平面,不相交。

【设计意图】这里我抓住重难点和疑点,进行多层次、多方位的设问,把问题引向纵深,启发学生积极思考,有效巩固和深化新知。

画一画 分一分

首先我让学生每人画一组不平行的直线,选择各种有代表性的作品展示出来,组织学生进行分类。最后引导学生观察思考:“到底哪种分法比较合理呢?”由学生自己争辩,达成共识:直线相交时有成直角和不成直角两种情况。

这时我将垂直的基本图形画在黑板上,让学生说说像什么。帮助学生建立表象以后,再让他们自学垂直的定义,了解垂直符号和垂足。

【设计意图】分类活动是开放的,分类结果也是多样的,引导学生在画、分、辩中达成一致,加深了对概念的理解。

说一说 看一看

生活中平行与垂直的现象无处不在,你能说说吗?学生各抒己见以后,我再引领他们进行欣赏。

三、在操作练习中拓展

这一环节,我设计的练习是一折二找三摆。

折,是让学生折出互相平行与垂直的折痕;找:在平面图形中找平行线段与垂直线段;摆:把两根小棒都摆成与第三根小棒互相平行,这两根小棒互相平行吗?把两根小棒都摆成与第三根小棒互相垂直,这两根小棒有什么关系?

【设计意图】这些活动都是学生喜欢的,这样一环接一环,层层深入,使学生进一步巩固了新知,发展了空间观念。

板书:

篇10：空间线面平行与垂直的证明

本考点以空间几何体为载体，既考查几何体的概念和性质，又考查空间线面位置关系（平行与垂直）的判定与性质，还可结合一些简单的计算进行考查，是每年高考的必考内容，也是重点考查的内容.该部分试题难度适中，一般都可用几何综合法解决，少部分不易证明的才通过建立空间直角坐标系用坐标法求解.（1）掌握线面平行、垂直的判定与性质定理，能用判定定理证明线面平行与垂直，会用性质定理解决线面平行与垂直的问题.（2）通过线面平行、垂直的证明，培养同学们的空间观念及观察、操作、实验、探索、合情推理的能力.该知识点的重点、难点是：线线垂直、线面垂直及面面垂直之间的灵活转化；同时要注意推理表达的规范与完整.（1）证明平行或垂直问题，一般利用平行或垂直的判定定理及其推论，将面面平行转化为线面平行或线线平行来证明；而无论是线面垂直还是面面垂直，都源自于线线垂直.可见，转化是证明平行、垂直问题的关键.（2）在处理实际问题的过程中，可以先从题设条件入手，再从结论中分析所要证明的关系，从而架起已知与未知之间的桥梁.增添辅助线是解决问题的关键，常见的添辅助线的方法有：中点、垂足等特殊点，用中位线、高线转化；有面面垂直的条件，则作交线的垂线，等等.例1 如图12，矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，在等腰梯形ABEF中，AB∥EF，AB=2，AD=AF=1，∠BAF=60°，O，P分别为AB，CB的中点，M为底面△OBF的重心.图12

（1）求证：平面ADF⊥平面CBF；？摇

（2）求证：PM∥平面AFC.破解思路 对于第（1）问，将证明面面垂直转化为证明线面垂直；

（2）根据面面平行的性质定理，将线面平行的问题转化为面面平行来证明.答案详解（1）因为矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，且CB⊥AB，所以CB⊥平面ABEF.？摇 又AF？奂平面ABEF，所以CB⊥AF.又AB=2，AF=1，∠BAF=60°，由余弦定理知BF=，所以AF2+BF2=AB2，所以AF⊥BF.又BF∩CB=B，所以AF⊥平面CFB.因为AF？奂平面ADF，所以平面ADF⊥平面CBF.？摇

（2）连结OM并延长交BF于H，则H为BF的中点.又P为CB的中点，所以PH∥CF.又因为CF？奂平面AFC，所以PH∥平面AFC.连结PO，则PO∥AC.因为AC？奂平面AFC，所以PO∥平面AFC.又PO∩PH=P，所以平面POH∥平面AFC.因为PM？奂平面POH，所以PM∥平面AFC.？摇

例2 如图13，平面ABCD⊥平面ABE，其中四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，且AB=2，点F，G分别是BC，AE的中点.（1）求三棱锥F-ABE的体积；

（2）求证：BG∥平面EFD；

（3）若点P在线段DE上运动，求证：BG⊥AP.图13 图14

破解思路 对于第（1）问，求出三棱锥F-ABE的高后可直接求解.对于第（2）问，根据线面平行的判定定理，在平面EFD中，只要找出与BG平行的直线即可证明.对于第（3）问，可通过证明线面垂直来转化.答案详解（1）因为平面ABCD⊥平面ABE，且ABCD是正方形，所以BC⊥平面ABE.因为G是等边三角形ABE的边AE的中点，所以BG⊥AE，所以VF-ABE= S△ABE?BF= ? ?AE?BG?BF= ×2× ×1=.（2）如图14，取DE的中点M，连结MG，FM.因为MG AD，BF AD，所以MG BF，所以四边形FBGM是平行四边形，所以BG∥FM.又因为FM？奂平面EFD，BG？埭平面EFD，所以BG∥平面EFD.（3）因为DA⊥平面ABE，BG？奂平面ABE，所以DA⊥BG.又BG⊥AE，AD∩AE=A，所以BG⊥平面DAE.又AP？奂平面DAE，所以BG⊥AP.1.如图15，直角梯形ACDE与等腰直角三角形ABC所在平面互相垂直，F为BC的中点，∠BAC=∠ACD=90°，AE∥CD，DC=AC=2AE=2.图15

（1）求证：平面BCD⊥平面ABC；

（2）求证：AF∥平面BDE；

（3）求四面体B-CDE的体积.2.如图16，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，DB=BC，DB⊥AC，点M是棱BB1上一点.图16

（1）求证：MD⊥AC；