直线与平面的平行关系

第一篇：直线与平面的平行关系

两条直线的位置关系--平行

《两条直线的位置关系----平行》课例分析

教学目标：

1、知识与技能：使学生掌握两条直线平行的条件，能够根据直线斜率判断两条直线位置关系。

2、过程与方法：通过对两直线平行的探究，使学生体会由特殊到一般以及类比研究的研究方法，掌握“数形结合思想”和“分类讨论思想”在条件推导过程中的应用。

3、情感态度与价值观：引导学生关注学习过程，培养学生周密分析，严格论证的能力、创新能力和勇于探索的科学精神。

教学重点：掌握两条直线平行的条件

教学难点：对“两条直线平行的条件”的分析与证明

教学方法：启发探究式教学

教学用具：CAI课件、多媒体计算机、实物展台 、几何画板

教学过程：

一、复习提问：

教师：前面我们学习了直线的倾斜角和斜率，请同学们回答：直线的倾斜角和斜率的定义;斜率的公式。

学生1：一条直线向上的方向与x轴向上的方向所成的角叫这条直线的倾斜角;倾斜角不等于90时的正切值叫直线的斜率ktan090。 0

斜率公式：ky2y1x2x1 x2x

1教师：请同学们思考：在平面直角坐标系中，倾斜角、斜率描述了直线的什么特征? 学生2：描述了直线的倾斜程度。

教师：好。倾斜角40的直线是否确定?表示多少条直线? 0

学生3：不确定。无数条平行直线。

教师：平面上两条直线的位置关系有哪几种?

学生4：三种：平行、相交、重合。

(设计意图：通过总结描述直线倾斜度的量，指明学生在分析两条直线的位置关系时的研究内容。培养学生的分析问题的能力，教会学生研究方法。)

教师：已知：两直线l1,l2的倾斜角12400，两直线确定吗?能确定什么?

学生5：不确定，确定位置关系，由12l1∥l2。

教师：回答的很好。反之是否成立?

学生6：成立。l1∥l212.。即12l1∥l2。

教师：回答的很好。通过以上分析，我们是否可以发现不重合两条直线是否平行，还与什么量密切相关?是什么关系?

学生7：还与直线的斜率密切相关，关系为： k1k2l1∥l2。

(设计意图：通过观察直线的方向和直线的位置关系，发现规律，引导学生大胆做出猜想。培养学生观察、分析能力。)

教师：这个结论对于平面内任意不重合两条直线都成立吗?请同学们讨论分析，并证明。(学生小组讨论、分析，教师巡视、指导)

教师：好，哪个小组派一名代表来给大家介绍一下你们的分析过程和分析结果?学生8：(1)若两直线都存在斜率，k1k212l1∥l2。

(2)若两条直线都不存在斜率，两直线都垂直于x轴，即12900l1∥l

2二、通过以上分析，我们得到：

(1)两直线若都存在斜率，k1k2l1∥l2。

(2)若两条直线都不存在斜率,12900l1∥l2。

教师：分析的非常好(用几何画板给出演示)。过程清晰明了，思维严谨，讨论了斜率存在和不存在两种情况下，两条直线平行的条件。

(设计意图：培养学生探究质疑能力。通过分组讨论，培养学生的研究热情和合作探究的意识。通过对斜率的存在与否的分析，培养学生的严谨的思考问题的习惯。通过动画探究过程，增加学生学习兴趣。)

下面我们来回顾一下探究两条直线平行充要条件的过程，首先由两条具体直线的倾斜角相等，观察、总结出直线平行与直线斜率的关系。进而，提出问题：“k1k2l1∥l2是否对于平面上任意两条直线都成立?”将特殊推广到了一般。从斜率存在和不存在两种情况分析问题，并证明。最终得出平面上两条直线平行的条件。在研究的过程中，用到了哪些数学思想方法?

学生9：数形结合、分类讨论的数学思想。

三、应用举例：

(一)例题

例

1、

例

2、

(二)练习

四、归纳小结，巩固提高

教师：这节课我们研究了两条直线的位置关系之一----平行，同学们有什么样的收获?学生10：探究出了不重合的两条直线平行的条件。

教师：在应用条件时我们应该注意什么?

学生11：应该注意讨论直线斜率是否存在

教师：在探究过程中，我们用到了哪些数学思想和研究方法?

学生12：运用了由特殊到一般和类比的研究方法，数形结合、分类讨论的数学思想。

(设计意图：小结归纳，培养学生反思的习惯，总结学习方法。)

教师：回答的很好，下节课我们再来探究两条直线垂直的条件及应用。

五、作业：

(1)P54:

2、

5、

3、7

(2)思考题：若两直线方程为：

教师：好，下课。

(设计意图：通过练习巩固所学知识。思考题为第二节课研究两直线的位置关系——垂直关系作铺垫。)

教学设计:

高一学生刚学完立体几何，又开始学习解析几何，在本节课之前，只学习了直线的倾斜角、斜率，学生要有一个转化的过程。本节课是进一步研究两条直线的位置关系。对两条直线的位置关系----平行、垂直这一节，我安排了两课时，本节课是第一课时。考虑到学生刚刚接触解析几何，再结合本班学生的水平，他们对于如何来研究解析几何问题还不是很清楚。如果直接提出问提----研究两条直线的位置关系，就放手让他们去研究，学生会感觉无从下手，所以这节课的重点除了让学生掌握平行与的条件，更要让学生更多的关注学习过程，学习研究问题的方法。在引导学生一起研究平行的条件之后，下节课学生类比研究平行的过程和方法，自己探究垂直的充要条件。本节课准备的几道例题及练习，在教学中应灵活处理，若学生探究充要条件过程比较顺利，有剩余时间，就可以练习应用;若时间比较紧张，则可以留到第二节课再处理。

本节课整体分为问题情境、探索研究、知识应用、归纳小结、作业五部分，以问题导学。探究过程中采取猜想证明、由特殊到一般、类比的方法来研究问题，并渗透数形结合、分类讨论的数学思想。具体设计如下：

一、复习提问

提出问题让学生回答，为新课做好铺垫

二、探索研究

1、平行条件的探究

引导学生对平行的充要条件进行探究，最终让学生体会并掌握研究问题的方法：是利用倾斜角的关系，分析出平行直线斜率的关系。此外要让学生意识到探究中要分为直线的斜率存在和不存在两种情况去分析。培养学生的分类讨论思想。

2、垂直充要条件的探究

让学生类比探究平行的充要条件的方法，以小组为单位进行探究，并进行交流。目的是培养学生分析问题能力，让学生学会类比的研究方法。

三、归纳小结

培养学生的反思习惯，引导学生关注研究问题的方法和过程，及时进行总结归纳。

四、作业

1. 题主要是对知识的巩固，

2.思考题是为下节课讨论两直线垂直的条件作准备。

课件设计：

本节课的课件主要是用PowerPoint和几何画板两个软件制作的：

教学反思：

本节课我主要是以问题引导教学活动的开展，引导学生主动的去发现并探究。通过实践证明问题的设置比较合理，符合学生的思维发展顺序，能够引导学生层层深入的探究问题。在探究过程中采取以小组为单位讨论研究，开展合作学习，并选派代表陈述探究过程及及结果，以及方法的补充，使每一个同学都参入到了课堂中来，拓宽了思路，开阔了视野，效果很好。但探究两条直线平行的条件的过程节奏稍慢，致使探究垂直充要条练习和归纳小结稍显仓促。所以考虑应将前面的问题稍作调整，并稍微加快些节奏，时间的分配可能就会合适了。

点评：

“两条直线的位置关系----平行”是一节启发探究式的课，创造了一个有利于学生学习的情景，使学生始终在参与学习活动。

一、创设情境，引入问题

首先，联系学生已有知识，对两直线的位置关系学生曾经从图形的角度研究过。教师提出问题能否用代数的方法研究，激起学生的学习兴趣。

二、以学生的探究思维活动为主线设计教学过程

教师首先给出了学生熟悉的两条直线，通过图形猜想位置关系，然后证明，这样学生很容易猜想“斜率相等的两直线平行”。教师设计了一直线的倾斜角已知，两直线倾斜角已知且相等，从而学生发现与平行的关系。而这一结论是对特殊的两直线而言的，对一般的是否有同样的结论呢?学生分小组进行研究。教师的活动是启发学生的思维，用多种方法论证，概括方法和规律，进行学法指导。第二阶段体现了数学中的类比，学生完全自己探究了两直线的垂直的充要条件。体现了学生学习过程的发现、探索、研究的思维过程，使学生在学会知识的过程中学会学习。

三、体现了数学学科特色。

本节课在数学思维活动的体现、数学思想方法、学法指导是突出体现了数学学科特色。在能力培养上有很好的效果。

在教学过程中，渗透解析几何的思想，注重数形结合、分类讨论、类比的思想方法。并渗透了观察、猜想、验证、证明的推理方法。学生能够初步使用这一推理方法探究两直线垂直的充要条件。

四、信息技术手段的使用是恰当有效的。

教师利用几何画板演示出来，并归纳结论。给学生以直观的印象，提高了效率。

总之，这节课体现了新课程理念，设学生在获得知识的同时，锻炼了思维，提高了学习能力。

第二篇：3、2、1用向量法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行（共）

高二数学B

3、

2、1用向量法证明直线与直线平行、直线与平面平行、

平面与平面平行

编号：9编制：戴金娜审核：刘红英时间：2012-2-1

5一、学习重点：掌握用向量的方法证明直线与直线平行、直线与平面平行点在平面内。学习难点：灵活用向量方法证明空间中平行关系

二、知识梳理 

1、设直线l1和l2的方向向量分别是为v1和v2，由向量共线条件得l1∥l2或l1与l2重合v1∥v2。

2、直线与平面平行的条件 已知两个不共线向量v

1、v2与平面a共面(图(2))， 一条直线l的一个方向向量为v1，则由共面向量定理，

可得l∥a或l在平面a内存在两个实数x、y，使 v1=xv1+yv2。

3、平面与平面平行的条件 已知两个不共线的向量v

1、v2与平面a共面，则由两个平面平行的判定定理与性质得 a∥或a与重合v1∥且v2∥

4、点M在平面ABC内的充要条件

由共面向量定理，我们还可得到：如果A、B、C三点不共线，则点M在平面ABC内的充分必要条件是，存在一对实数x、y，使向量表达式AMxAByAC成立。 对于空间任意一点O，由上式可得OM(1xy)OAxOByOC，这也是点M位于平面ABC面内的充要条件。

知识点睛用向量法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行时要注意：

(1)若l

1、l2的方向向量平行，则包括l1与l2平行和l1与l2重合两种情况。

(2)证明直线与平面平行、平面与平面平行时要说明它们没有公共点。

例1：如图3-28，已知正方体ABCD-A′B′C′D′，点M，N

分别是面对角线A′B与面对角线A′C′的中点。

求证：MN∥侧面AD′;MN∥AD′，并且MN=

1 1AD′。

2高二数学B

变式训练

已知正方体ABCD-A′B′C′D′中，点M，N分别是棱BB′与对角线CA′的中点。求证：MN∥BD，MN=1BD。 2

例2：求证四点A(

5、

2、7)B(

4、

5、2)C(

2、

7、2)D、(

3、

4、7)共面

三、课堂检测

1、已知正三棱柱ABC-A1B1C1，D是AC的中点，

求证：AB1∥平面DBC1.2、已知矩形ABCD和矩形ADEF，AD为公共边，但它们不在同一平面上，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM=11BD，AN=AE。证明。直线MN∥平面CDE。 3

33、求证：四点A(

3、0、5)， B(

2、

3、0)， C(0、

5、0)，D(

1、

2、5)共面。

4、已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外任一点O，满足下面条件的点M是否一定在平面ABC内?

111(1)OMOAOBOC;(2)OM2OAOBOC. 333

第三篇：直线与平面平行

高考要求

2掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理，灵活运用线面平行的判定定理和性质定理实现“线线”“线面”平行的转化

例1如下图，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，

例3已知正四棱锥P—ABCD的底面边长及侧棱长均为13，M、N分别是PA、BD上的点，且PM∶MA=BN∶ND=5∶8 (1)求证：直线MN∥平面PBC;

(2)求直线MN与平面ABCD所成的角

N∈FB且AM=FN，求证：MN∥平面BCE

E

例2如下图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，侧面对角线AB

1、BC1上分别有两点E、F，且B1E=C1F求证：EF∥平面ABCD

学生练习

1设有平面α、β和直线m、n，则m∥α的一个充分条件是() Aα⊥β且m⊥βBα∩β=n且m∥n ∥n且n∥αDα∥β且mβ

2那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是()

A异面BCD

3两条直线a、b满足a∥b，bα，则a与平面α的关系是() Aa∥αBa与α相交C与α不相交Daα

小结:

112)证明两直线都与第三条直线平行3)同一法，即先过一直线上的一点作另一条直线的平行线，然后证明所作直线与第一条直线重合

(4)应用两平面平行的性质定理，设法使两直线成为两平行平面与第三个平面的交线2(1)根据定义，用反证法证明2)证明直线在平面3)证明直线在与已知平面平行的平面内4)向量法，证明直线的一个方向向量，能用已知平面内的一个基底表示, 或与平面的法向量垂直小结:

1证明两直线平行的常用的方法有(12)证明两直线都与第三条直线平行3)同一法，即先过一直线上的一点作另一条直线的平行线，然后证明所

作直线与第一条直线重合

(4)应用两平面平行的性质定理，设法使两直线成为两平行平面与第三个平面的交线

(12)证明直线在平面外且与平面内的某一条直线平行3)证明直线在与已知平面平行的平面内4)向量法，证明直线的一个方向向量，能用已知平面内的一个基底表示, 或与平面的法向量垂直(1)根据定义用反证法证明(2)证明一平面内的两相交直线与另一平面平行(或与另一平面内的两条相交直线平行)(3)证明两平面都垂直于同一条直线例1证法一：过M作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q为垂足，连结PQ ∵MP∥AB，NQ∥AB，∴MP∥又NQ=

2 BN=

2CM=MP， ∴MPQN是平行四边形

∴MN∥PQ，PQØ平面BCE而MN平面BCE， ∴MN∥平面BCE

证法二：过M作MG∥BC，交AB于点G(如下图)，连结NG∵MG∥BC，BCØ平面BCE， MG平面BCE，

∴MG∥平面BCEBG又

GA=CMMA=BNNF

，∴GN∥AF∥BE， 同样可证明GN∥平面BCEMG∩NG=G，

∴平面MNG∥平面BCEMNØ平面MNGE∴MN∥平面BCE点评：证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法：①利用直线和平面平行的判定定理，通过“线线”平行，证得“线面”平行;②利用两平面平行的性质定理，通过“面面”平行，证得“线面”平行

例2证法一：分别过E、F作EM⊥AB于点M，FN⊥BC于点N，连结MN∵BB1⊥平面ABCD， C1∴BB1⊥AB，BB1⊥BCA∴EM∥BB1，FN∥BBEM∥FN又B=CFN

1E1F，∴EM=故四边形MNFE是平行四边形∴EF∥MN又MN在平面ABCD中， ∴EF∥平面ABCD

证法二：过E作EG∥AB交BBB1于点G，连结GF，则1EB1A1∵BC1E=C1F，B1A=C1B，∴

1FCBFG∥B1C1∥BCEG∩FG=G，AB∩BC=B， 11∴平面EFG∥平面ABCDEF在平面EFG中，∴EF∥平面

点评：证明线面平行的常用方法是：证明直线平行于平面内的一条直线;证明直线所在的平面与已知平面平行(1)证明：∵P—ABCD是正四棱锥，∴ABCD是正方形连结AN并延长交BC于点E，连结PE

∵AD∥BC，∴EN∶AN=BN∶BN∶ND=PM∶MA，

∴EN∶AN=PM∶MAMN∥又∵PE在平面PBC内，∴MN∥平面PBC

(2)解：由(1)知MN∥PE，∴MN与平面ABCD所成的角就是PE与平面ABCD所成的角设点P在底面ABCD上的射影为O，连结OE，则∠PEO为PE与平面ABCD所成的角

由正棱锥的性质知PO=PB2

OB2由(1)知，BE∶AD=BN∶ND=5∶8，∴BEPEB中，∠PBE=60°，

PB=13，BE=6

58，

根据余弦定理，得PE=91

2918在Rt△POE中，PO=2

，PE=8，

PO

∴sin∠PEO=PE故MN与平面ABCD所成的角为

点评：证线面平行，一般是转化为证线线平行线与面所成的角MN与平面ABCD所成的角，计算困难，而平移转化为PE与平面ABCD用向量法求角，后面有专门的介绍1.答案：D

2.解析：设α∩β=l，a∥α，a∥β，过直线a作与α、β都相交的平面γ，记α∩γ=b，β∩γ=c，则a∥b且a∥c，

∴b∥c又bα，α∩β=l，∴b∥la∥l答案：C 3.答案：C

第四篇：直线平行 有据可依

学习方法报社全新课标理念，优质课程资源

直线平行有据可依

杨安峰

如何判定两直线平行呢?下面介绍两种最常用的方法，帮助同学们闯过平行线的“判定关”.

一、根据“直线平行的判定方法”

例1如图1，已知AB、CD相交于点O，若∠AOC=80°，∠D=100°，则DE与

AB平行吗?请说明理由.

分析：从图中可以看出，直线DE与AB被直线CD所截，图中有同位角、内错

角、同旁内角，只需将所给的两个角转化为这三类角，看是否符合平行的条件.

解：AB∥DE. 理由如下：

方法1：因为∠BOC=180°-∠AOC=180°-80°=100°，所以∠BOC=∠D.

所以AB∥DE .

方法2：因为∠AOD=180°-∠AOC=180°-80°=100°，所以∠AOD=∠D.

所以AB∥DE .

方法3：由对顶角相等，可得∠AOC=∠BOD=80°，所以∠BOD+∠D=180°.

所以AB∥DE .

点评：当题目中的已知条件不能直接说明两直线平行，要充分利用图中的对顶角、邻补角等转化这些条件，使之成为识别两直线平行的直接条件.

二、根据“平行于同一直线的两条直线平行”

例2如图2，已知∠BEC=95°，∠ABE=120°，∠DCE=35°，则AB与CD平行吗?

请说明理由.

分析：现有的图形，条件无法直接应用，可考虑作一条辅助线，架起AB与CD

之间桥梁.

解：如图2，过点E作∠CEF=∠DCE=35°，所以EF∥CD.

又∠BEC=95°，所以∠BEF=∠BCE -∠CEF =60°.

因为∠ABE+∠BEF=120°+60°=180°，所以AB∥EF.

所以AB∥CD.

点评：当直接解题比较困难时，可以通过添加辅助线的方法解决.图2 图1

第五篇：直线与平面平行的教案

5.1 平行关系的判定

---直线与平面平行的判定

高一朱丽珍

【教学目标】

1. 理解并掌握直线与平面平行的判定定理

2. 把线面平行关系(空间问题)转化为线线平行关系(平面问题)

3. 了解空间与平面互相转换的思想，激发学生的学习兴趣

【教学重点】

直线与平面平行的判定定理;线面平行关系与线线平行关系的转换

【教学难点】

线面平行关系与线线平行关系的转换

【教学方法】

启发诱导与自主探究

【教学过程】

(一)复习引入

一条直线与一个平面有哪些位置关系?

①直线a在平面内②直线a与平面相交③直线a与平面平行 提问：如何判定一条直线与一个平面平行?

(二)新课讲解

实例探究：①门扇绕着门框转动观察另一边与门框所在平面位置关系②转书过程观察书沿与桌面的位置关系

归纳出线面平行的判定定理:若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行

符号表示：若a,b,a∥b，则a∥

简述为：线线平行线面平行

(三)例题选讲

例

1、空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，证明:直线EF与平面BCD平行

例

2、在长方体ABCD- A1B1C1D1各面中，

(1)与直线AB平行的平面有：

(2)与直线AA1平行的平面有：

(四)反馈训练

正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点，证明BD1∥平面AEC

(五)归纳总结

1、直线与平面平行的判定定理：线线平行线面平行

2、应用判定定理时,应当注意三个不可或缺的条件

(六)布置作业：课本P 31 练习第3题