三等角问题典型例题

三等角问题典型例题（通用8篇）

篇1：三等角问题典型例题

关于“三农”问题的典型例题

1、阅读下列材料：

材料一 1933年5月12日，（罗斯福）发布农业调整法，强制农民减少耕地面积和牲畜繁殖，以提高农产品价格，解决农副产品过剩问题。国家对缩减耕地和降低牲畜繁殖的人进行补贴。后来政府还对各州、各区甚至很多大农场规定农产品的生产定额，对超过国家规定生产定额的产品课以重税。

——引自《从分散到整体的世界史•现代分册》

材料二（新政）所谓“新”，指的是（美国）抛弃了自1776年以来所确定的自由放任、自由竞争和通过资本主义经济本身自我调节的基本原则，实现国家对经济生活的全面干预和调节。

——引自《从分散到整体的世界史•现代分册》

材料三 我们原来打算直接用无产阶级国家的法令，在一个小农国家里按共产主义原则来调整国家的生产和产品分配。现实生活说明我们犯了错误。

——引自《列宁选集》卷四

材料四 粮食税自然是意味着农民在纳税后有支配余粮的自由„„余粮的自由也就自然意味着资本主义的自由发展„„在一个遭受极度破坏和落后的小农国家里，受无产阶级国家监督与调节的资本主义的发展不仅有益，而且必要，因为它能立刻促进农业的高涨。

——引自《列宁选集》卷四

材料五 邓小平在同英国首相撒切尔夫人的谈话中讲：中国的主体，十亿人口的地区坚定不移地实行社会主义„„在这个前提下，可以容许在自己的身边、在小地区和小范围内实行资本主义。

——引自《邓小平文选》

请回答：

（1）依据材料一归纳罗斯福新政在农业方面的主要措施，并说明其目的。

（2）结合材料二理解罗斯福新政的实质。

（3）材料三中列宁的初衷与现实为什么会发生矛盾？

（4）材料一和材料四相比，在农业政策上有何异同之处？

（5）通过分析材料五，你是如何理解不同制度的国家的经济政策的?

答案：

(1)强制农民减少耕地、牲畜,提高农产品价格,国家补贴遵守减缩任务的农户,限定一定范围的农产品生产,重税惩罚超额产品。目的在于使生产消费趋于平衡,维护垄断资产阶级利益。

(2)新政的实质在于以国有化形式尽量避免资产阶级自由企业制度的竞争,以政府的力量全面干预调节经济生活,维护资本主义自由企业制度。

(3)列宁的初衷是以上层建筑的力量来改造经济基础和生产关系中的分配和生产问题,忽视了当时落后的生产力状况和本身存在的一些实际问题。经济困难、农民不满、富农叛乱等现实表明必须实行新的政策以解决

矛盾。

(4)都主张国家对农业生产和产品分配进行干预或调节,以调动积极性,促进农业的恢复和发展。但是前者与后者相比,它们在历史条件、目的、具体措施和结果方面迥然不同。

(5)无产阶级专政的国家通过在一定限度内恢复资本主义、发展国民经济是积极的,符合实际的;资本主义国家以干预方式甚至采取一些貌似过激的措施遏制危机,避免走上法西斯道路,也是值得称道的。这说明任何一种社会制度都没有固定不变的经济模式。发展经济,加快发展需要改革。

2、（15分）小岗村、华西村、浙江慈溪是中国农村改革不同时期的典型代表。阅读下列材料：

材料

一、（小岗村）全村适龄儿童还没有全部入学，上中学的很少。„„一位30多岁的妇女说：“念上个一两年，也和没念差不多，庄稼人靠劳动吃饭，读不读书没有多大关系。”„„但是（小岗村）同时也出现了与它们经济发展和不适应、很不相称的事情：一是他们在村头盖了个牌楼，花了不少钱。„„二是盖了气派的村公所办公楼。„„农村改革已经快20年了，小岗村至今也不过是停留在兢兢业业地把他们的那几亩地种好的水平上。因此生产结构不合理，多种经营部发展。粮食生产是大幅度增产了，但比较利益低、卖粮难、农民收入低、经济不发达。

--摘自《万里与小岗村--为纪念中国改革开放20周年而作》

材料

二、1984年3月，中共中央、国务院转发了农、牧、渔业部《关于开创社队企业新局面的报告》，把全国的乡镇企业发展推向高潮。华西村办起了年产30万吨线材厂、30万吨轧钢厂、毛纺厂等20多个大中型企业。年产值一年翻一番，1992年为5.16亿元，1993年超过11亿元。

--摘自周大鸣《农民企业家的文化社会

学分析》

材料

三、浙江省慈溪市蔬菜开发有限公司创造性地探索并完善了“公司+科技+农户”的经营管理模式，运用订单、合约、参股合作等多种形式，联合当地10多个镇和周边10余个县的2万多农户，建立了总面积20余万亩次的紧密型、半紧密型和松散型蔬菜基地，„„较好的解决了分散的农户小生产与大市场的对接问题，使每亩土地的产值和利润比传统单一结构增长2-4倍，基本实现了“投资少、见效快、覆盖广、两头富”的初始目标，成功地将千百万农户与千百万消费者进行了高效有序的链接。

--据人民网2006年12月25日

回答：

⑴依据材料，概括小岗村、华西村、浙江慈溪经济发展的不同特点。（6分）小岗村：单一经营，发展速度缓慢。（2分）

华西村：重视发展乡镇企业。（2分）

浙江慈溪：发展现代农业。（2分）

⑵依据材料，分析小岗村、华西村、浙江慈溪经济发展对我们今天建设社会主义新农村的启示。（9分）

启示：要重视教育，提高农民的文化素质；要讲求实际，不搞形式主义；要面向市场，合理调整产业结构；加强农业科技创新；重视经营管理模式创新；„„（每点2分，最高不超过8分。言之有理，可酌情给分）

3、我国现在已取消农业税，进入工业反哺农业的社会主义现代化建设的新时期。而在工业化初期，农业支持工业，为工业提供积累带有普遍性的趋向。中国和前苏联的工业化的资金支持不可能像西方国家那样靠对外掠夺，农业的高积累支持工业发展更是不可避免。结合史实说明前苏联在建国初期，中国在过渡时期，农村经济是如何服从工业化发展需要的。在这期间前苏联出现了哪些问题？对我们有什么启示？

答案：（1）苏联在建国初期实行“农业集体化运动”，中国在过渡时期对农业进行社会主义改造，强调重工业的发展，忽视农业的发展。

（2）问题：高度集中的政治经济体制对经济的破坏性特别大，严重束缚了生产力的发展；过分重视重工业发展，忽视了农业的发展；在农业集体化运动中，操之过急。

（3）启示：农业政策的制定必须符合本国国情；农业的发展要走可持续发展的道路；农业的发展必须符合经济发展的规律等。

4、农村经济的发展：

在人类跨入新世纪之初，中国“十一五”规划的开局之时，一项重大而深远的战略举措--社会主义新农村建设正在神州大地稳步推进。建设新农村，对中国农民而言是一种福音，对中国农村来说是重大变革，对中国农业则是千载难逢的发展机遇。

阅读下列材料：

材料一树上的鸟儿成双对，绿水青山带笑颜。从今不再受那奴役苦，夫妻双双把家还。你耕田来我织布，我挑水来你浇园。寒窑虽破能避风雨，夫妻恩爱苦也甜。

（1）材料一反映了我国古代农民在政治、经济上的理想是什么？（2分）政治上摆脱压迫奴役，经济上男耕女织、自给自足。（2分）

材料二1958年10月28日，山东范县县委书记作报告：“人人进入新乐园，吃喝穿用不要钱；鸡鸭鱼肉味道鲜，顿顿可吃四个盘；天天可以吃水果，各样衣服穿不完；人人都说天堂好，天堂不如新乐园。”

（2）材料二中农民向往的“新乐园”在当时是指什么？简要分析它出现的原因。（5分）

新乐园：人民公社。（1分）

原因：社会主义总路线指出，全国掀起“大跃进”高潮和以“一大二公”为特点的人民公社化运动，以高指标、瞎指挥、浮夸风和“共产风”为主要标志的“左”倾错误迅速发展。（4分）

材料三大包干，大包干，直来直去不拐弯，交够国家的，留足集体的，剩下全是自己的。

（3）材料三反映了我国怎样的一种经济体制？对我国农村经济建设产生了什么影响？

经济体制：家庭联产承包责任制。（1分）

影响：调动了农民的积极性，解雇了农村生产力，（2分）使农民逐步富裕起来。（1分）

5、阅读下列材料：

材料一到1958年10月底，全国74万多个农业生产合作社改组成2.6万多个人民公社。参加公社的农户有1.2亿户，占全国总农户的99%以上，全国农村基本上实现了人民公社化。由于在合作化运动的后期已出现了过急过猛的问题，所以人民公社化运动也出现了急于向共产主义过渡的情况，刮起了“一平二调三收款”的“共产风”。右图反映1958年河北怀来人民公社社员吃“大锅饭”的情景。材料二1970年，韩国发起了“新村运动”。“新村运动”的初期，政府把工作重点放在了改善农民生活环境上，地方政府把近20种乡村公共事业的建设项目交给农民自主开发，如修建桥梁、村级公路等。1971年，韩国全国80%以上的农舍都是茅草屋。为改善农村居住环境，政府采取了“政府出大头、地方出中头、农民出小头”的建房政策，即中央政府出建房资金的55%，地方政府出30%，每家农户出15%的方式，国家向农户贷款帮助建房。“新村运动”开始后，政府为提高农民收入，在全国推广水稻高产品种，使韩国稻米产量大幅提高，农民收入也随之攀升。韩国在大力推进“新村运动”的过程中，始终重视农村精神文明建设，提高农民的伦理道德水平，培养勤勉、自助协作精神。

材料三在圈地运动开始的最初时期，失地进城农民被简单地看成流浪汉和“懒汉”，英国统治阶级通过“血腥立法”，加以严惩。

--李世安《英国农村剩余劳动力转移问题的历史考察》

材料四二战以后，为安置转移出来的农村劳动力，日本政府主要采取了以下措施：„„调整农业产业结构，发展农村合作事业，拉长产业链，就地转移农村劳动力。„„日本政府采取措施促进非农产业向农村地区扩散；鼓励劳动力由农业向农村非农产业就地转移。

--《日本经验与我国农村劳动力的转移途

径》

请回答：

（1）依据材料一分析人民公社化运动的特点。人民公社化运动的后果如何？（5分）

（2）依据材料二分析韩国“新村运动”建设的重点工作有哪些？（4分）

（3）依据材料三、四，比较英、日两国农业劳动力转移的不同特点。（4分）

（4）上述材料对进一步解决“三农”问题有何启示？（2分）

答案要点：

（1）特点：由许多农业合作社联合组成；全国农户普遍参加；急于向共产主义过渡（刮起共产风）；集体生活（吃食堂）（4分）

后果：挫伤人民群众的生产积极性，是造成严重经济困难的因素之一。（1分）

（2）改善农民生活环境；改善农村居住环境；提高农民收入；重视农村精神文明建设。（4分）

（3）英国主要通过暴力和强制方式，日本采取温和的政策引导；（2分）英国农村劳动力主要流向城市，日本则注重农村劳动力的就地转移。（2分）

（4）从实际出发，农村生产关系调整要适应生产力的发展；维护农民的切身利益；科学调整农村产业结构、安置劳动力。（2分，答到两点即可）

6、假如你是一个导游员，陪同一个外国旅游团到安徽凤阳农村考察，外国友人请你介绍1953-1956年、1958-1964年、1966-1976年、1978年以来凤阳农村发生的巨大变化，并简要分析1978年以来发生变化的原因，你准备怎样介绍呢？

参考答案：①1953-1956年，广大农民积极参加农业合作社，农村土地所有制发生根本性的变化，农民走上社会主义道路。

②1958-1964年，掀起人民公社化运动高潮，各地纷纷组建人民公社，浮夸风泛滥，出现了严重的经济困难。

③1966-1976年，是十年“文革”时期，农村经济遭严重破坏，农民四处逃荒要饭。④1978年至今，实行家庭联产承包责任制，粮食产量大幅度提高，人民生活大为改善，农村经济走向繁荣。

原因：十一届三中全会后，中国历史进入社会主义现代化建设的新时期，党和政府总结了建国以来的经验教训，作出了改革开放的伟大决策，解放了农村生产力，提高了农民的生产积极性。

7、根据中共八大和十一届三中全会召开的历史背景，分析这两次会议的正确决策在贯彻过程中的不同结果及其主要原因。

(1)“八大”背景：①借鉴苏联教训，总结了“十大关系”，开始探索适合中国国情的社会主义道路。②三大改造完成，国家经济结构和国内主要矛盾已发生根本变化。③社会主义性质的宪法已颁布，社会主义制度已建立，全国人民面临建设社会主义国家的总任务。

（2）十一届三中全会背景：①长期的“左”的错误和十年浩劫，全国经济陷入困境，必须尽快改革。②文革虽已结束，但“左”的思想政策仍在继续推行，必须拨乱反正。③真理标准问题的大讨论，长期以来“左”倾思想禁锢开始被冲破。

（3）不同结果：“八大”的正确决策很快被从理论上修改，“左”倾错误随之迅猛发展。十一届三中全会的正确决策得以全面落实，并形成新时期党的基本路线。

(4)主要原因：①五六十年代，中共党内个人崇拜和教条主义十分严重，毛泽东的“阶级斗争”理论能够推行；八九十年代，中共吸取教训，纠正错误，重新确立正确思想路线。②新中国几十年的建设经验和教训，提高了全国人民辨别是非的能力。③改革开放的基本国策，开阔了党和人民的眼界，坚定了以济建设为中心的信念。

篇2：三等角问题典型例题

【例1】求不等式｜x－1｜+｜y－1｜≤2表示的平面区域的面积.【例2】某矿山车队有4辆载重量为10 t的甲型卡车和7辆载重量为6 t的乙型卡车，有9名驾驶员此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次甲型卡车每辆每天的成本费为252元，乙型卡车每辆每天的成本费为160元.问每天派出甲型车与乙型车各多少辆，车队所花成本费最低?

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参考答案

例1：

【分析】依据条件画出所表达的区域，再根据区域的特点求其面积.【解】｜x－1｜+｜y－1｜≤2可化为

或其平面区域如图： 或或

∴面积S=×4×4=8

【点拨】画平面区域时作图要尽量准确，要注意边界.例2：

【分析】弄清题意，明确与运输成本有关的变量的各型车的辆数，找出它们的约束条件，列出目标函数，用图解法求其整数最优解.【解】设每天派出甲型车x辆、乙型车y辆，车队所花成本费为z元，那么

z=252x+160y，作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图

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篇3：三等分角问题

三等分角问题、化圆为方问题、立方倍积问题是世界著名的“几何三大问题”.几千年来有许多数学家耗费了不少精力,力图解决这三个问题,至今没能如愿.也有人经详细证明得出结论:这三个问题不能用尺规作图.

如何判断哪些作图可能呢?本文利用逆向思维方法解决了这个问题,得出一个关于尺规作图可能性的判断方法.作图可能性的充分必要条件是,一个作图问题中必需求出的未知量能够由可以用尺规作图做出的几何图形的元素经有限次有理运算和开平方运算算出,这个作图可能.经证明,所谓“几何三大问题”具备尺规作图可能.

下面对“三等分角”的作图可能性进行分析、论证.

二、数学分析

定理1过半圆上任意一点的割线在垂直于半圆直径的半径上和半圆直径的延长线上两交点距离等于半圆直径长,则该割线与半圆直径所夹两圆弧之比为1∶3(图2-1).

证在半圆上,O为圆心,MN为直径,OR为半径,设OR=R,A为半圆上一点;

B、C、D为割线AD分别在OR、半圆弧、半圆直径的延长上的交点.

△BOD为直角三角形.

作直线CE交半圆于E使

设题在以O为圆心,MN为直径,半径OR=R的半圆上,OR⊥MN,弦AA'∥MN交OR于H,线段AC交OR于B,交直线MN于C,以A为圆心,AH为半径作圆弧交AC于D,DF∥MN交OR于F(图2-2).

延长D'D、E'E分别交CG于D″、E″.

定理Ⅱ在以O为圆心的半圆上,MN为直径,OR为垂直于直径的半径,弦AA'∥MN交OR于H,AC交OR于B,交直线MN于C,D为AC上一点,AD=AH,DF⊥OR交OR于F,过A作直线交OR于E',交直线MN于C',如果AC'=AC+DF则E'C'=AC-AH.

证由引理2、1得证.

推论在定理Ⅱ中,如果AC=AH+2R,则E'C'=2R.

证在定理Ⅱ中.

三、作图

(一)三等分已知锐角的作图(图3-1)

1.以已知∠MOA(<90°)的角顶O为圆心,半径等于R作半圆,半径OR⊥MN,MN为直径,弦AA'∥MN交OR于H.)

作线段AC交OR于B,交MN的延长线于C,且使

过K作OR的平行线交AH于H',以A'为圆心,以AC+HH'为半径作圆弧交OM的延长线于C',作线段A'C'交OR于P,交半圆于D,由定理Ⅰ定理Ⅱ及其推论.

3.过O点作的平分线交于E,

(二)三等分已知钝角的作图(图3-1)

(1)作∠AON的补角∠MOA,使

(2)三等分∠MOA(作图步骤略)

(3)作∠AOF,使

作∠FON的角平分线OG交圆于G,

(1)三等分∠MOA(作图步骤略)

篇4：三等角问题典型例题

已知∠YO1L1为已给角用α1表示（0°＜α1≤90°）

①首先过O1点作射线O1Q，使∠YO1Q=120°然后在O1Q上任取一点A，最后以O1为圆心，以O1A为半径画圆，即⊙O1，同时与O1Y相交于一点E，如图。

②过A点做垂线与EO1延长线相交于一点，垂足用O表示，然后取O1O的中点O3为圆心，以O3A为半径画圆即⊙O3，同时于O1L1相交于一点P1，最后过P1点最平行于O1Y的直线，于⊙O1相交于一点B1，连接O1B1为所求的∠α1的三等分线，所以在△B1O1P1中，∠B1O1P1（用∠1表示）=1/2∠O1B1P1（用∠2表示）=1/3∠α1问题解。

证明：假设⊙O1的半径为1，⊙O3恰好经过1/3α1和3/2α1所对边的交点。

①以O为坐标原点，⊙O3的方程为：O3P12=Sin2∠2+（P1N+

1/4）2。

②以O1为极点，以β1为极角（β1+α1=90°）以O1P为极径的极坐标方程为：

Sin∠2=O1N=Cosβ1·O1P1 P1N=Sinβ1·O1P1。

③当P1点沿⊙O3的轨迹滑动使极角β1=45°时，则α1=45度。由∠2=2/3α1得∠2=30°，进而Sin∠2=1/2，所以O1N=1/2，由β1=45°，在△P1O1N中则P1N=O1N，进而P1N=1/2成立，代入⊙O3方程，O3P12=（1/2）2+（1/2+1/4）2得O3P12=13/16。

④当P1点沿⊙O3的轨迹滑动使极角β1=0°时P1点与P重合，则α1=90°，由∠2=2/3α1得∠2=60°，所以Sin∠2=√3/2，进而O1N=√3/2，由β1=0°，所以Sinβ1=0，进而P1N=Sinβ1·O1P1=0成立。代入⊙O3方程，O3P12（O3P2）=（√3/2）2+（0+1/4）2得O3P12=O3P2

=13/16。

⑤由做法在△O3OA中，O3O=1/4，OA=√3/2，所以O3A2=O3O2+

篇5：三等角问题典型例题

1、一小球被以30m/s的初速度竖直上抛，以后每隔1s抛出一球，空气阻力可以忽略不计，空中各球不会相碰。问：

（1）最多能有几个小球同时在空中？

（2）设在t=0时第一个小球被抛出，那么它应在哪些时刻和以后抛出的小球在空中相遇而过？（）解：，小球在空中运动的时间为

时，将第一个小球抛出，它在第末回到原处，同时第七个小球即将被抛出。在第六个小球抛出后第一个小球尚未返回原处时，空中只有6个小球，第七个小球抛出时，第一个小球已经落地，所以空中最多只有6个球。

第一个球时抛出，而第个球在后抛出，则在某一时刻

这两个球的位移分别为

（1）

（2）

两小球在空中相遇的条件是其位移相等，即

整理得后抛出的小球在空中相遇而过的那个时刻。其中表示第一个小球和

当时，这是与第二个小球相遇而过的时刻； 当当当当时，时，时，时，这是与第三个小球相遇而过的时刻；，这是与第四个小球相遇而过的时刻；，这是与第五个小球相遇而过的时刻；，这是与第六个小球相遇而过的时刻。图像，如图所除上述分析计算法之外，还可用图像法解决本题。根据题意，定性画出

示，根据各球图像的交点及相应的坐标，可以看出：每一个小球在空中能与5个小球相遇，时间依次是以迎刀而解。，。当然第一问同样可

8-2.一矿井深125m，在井口每隔一段时间落下一个小球，当第11个小球刚从井口开始下落时，第1个小球恰好到达井底，则：

（1）相邻两个小球下落的时间间隔是s；

（2）这时第3个小球与第5个小球相距（g取10 m／s2）（答案 0.5；35 m）8-3.A球自距地面高h处开始自由下落，同时B球以初速度v0正对A球竖直上抛，空气阻力不计。问：

（1）要使两球在B球上升过程中相遇，则v0应满足什么条件？

（2）要使两球在B球下降过程中相遇，则v0应满足什么条件？

解析：两球相遇时位移之和等于h。即：gt2+（v0t－gt2）=h所以：t= 而B球上升的时间：t1=，B球在空中运动的总时间：

t2=

（1）欲使两球在B球上升过程中相遇，则有t＜t1，即（2）欲使两球在B球下降过程中相遇，则有：t1＜t＜t2 ＜，所以v0＞

即＜＜所以：＜v0＜

8-4.如图所示，长L=75cm的静止直筒中有一不计大小的小球，筒与球的总

质量为4kg现对筒施加一竖直向下，大小为21N的恒力，使筒竖直向下运动，经t=0.5s时间，小球恰好跃出筒口。求：小球的质量。（g=10m/s2）

解：筒受到竖直向下的力作用后做竖直向下的匀加速运动，且加速度大于重

力加速度；而小球则是在筒内做自由落体运动，小球跃出筒口时，筒的位移

比小球的位移多一个筒的长度。

设筒与小球的总质量为M，小球的质量为m，筒在重力及恒力的共同作用下竖直向下做初速为零的匀加速运动，设加速度为a；小球做自由落体运动设在时间t内，筒与小球的位移分别为h1、h2（球可视为质点），如图所示。

由运动学公式得

又有：，代入数据解得

又因为筒受到重力（M－m）g和向下作用力F，据牛顿第二定律

得

8-5.如图所示，升降机以匀加速度a上升，当上升速度为v时，有一螺帽自升降机天花板上松落，已知天花板距升降机底面为hm，求落至底面的时间。

解：选升降机为参考系，螺帽受重力作用，相对加速度大小为g+a，竖直向下，相对运动可视为以g+a为加速度的自由落体，有 所以为所求。

6、杂技演员把三只球依次竖直向上抛出，形成连续的循环，在循环中，他每抛出一球后，再过一段与刚抛出的球在手中停留时间相等的时间，又接到下一个球，这样，在总的循环过程中，便形成有时空中有3个球，有时空中有两个球，而演员手中则有一半时间内有球，有一半时间内没有球。设每个球上升的高度为1.25m，取

停留的时间是多少？

解：设一个球每次在手中停留的时间为，则手中连续抛出两球之间的时间间隔为，求每个球每次在手中而对于同一个球，它连续两次自手中抛出的时间间隔则为

球有的时间停留在手中，则有

。在这段时间内，此的时间停留在空中，根据竖直上抛运动的规律得：

代入数值得：，则它每次在手中停留时间为0.2S。∴ 球一次竖直上抛运动的时间

8-7.某升降机以1.6m/s的速度匀速上升，机内一人自离升降机地板6.5m高处将一小球释放，球与底板间的碰撞无任何损失，则第一次反弹的最高点比释放点高（或低）了多少？

解：设从放球到球与底板相碰需要时间t，放球时，球与底板的距离为h，升降机速度为，在此期间球下降距离，升降机上升距离为，如图所示，因此有

代入数据得

解之得（负根舍去）这时球相对于地面的速度为而球相对于底板的速度

由题意知，球与底板碰撞前后速度大小不变，即球被弹回时，球相对于底板的速度应为11.4m/s。由于升降机质量较小球大得多，所以碰撞对升降机速度不影响，仍为向上，所以碰撞后小球相对于地面向上的速度

由此可知球第一次上升的高度为

因而第一次回跳的最高点比释放点高出的距离为

8-8.将两小石块A、B同时竖直上抛，A上升的最大高度比B的高出35m，返回地面的时间比B迟2s。问：

（1）A、B的初速度分别为多少？

（2）A、B

分别达到的高度最大值各为多少？（解析：设A、B

初速度分别为、）、，A、B上升到，二者上升的最大高度分别为最高点所经历的时间依次为、。在最高点，有 将两式代入得，由题意知

篇6：三等角问题典型例题

2001年, 全国高师院校“面向21世纪课程改革研究报告”中提出, 应在高师本科院校开设《数学史与数学教育》课程.教育部2003年颁布的《普通高中数学课程标准 (实验) 》 (以下简称《标准》) 中指出:高中数学课程提倡体现数学的文化价值, 并在适当的内容中提出对“数学文化”的学习要求, 设立“数学史选讲”等专题.“数学史”是“数学文化”的良好载体, 通过数学史的学习, 能够“反映数学的历史、应用和发展趋势, 数学对推动社会发展的作用, 数学的社会需求, 社会发展对数学发展的推动作用, 数学科学的思想体系, 数学的美学价值, 数学家的创新精神”.

由此可见, 在当前中学课程改革的大背景下, 高师开设《数学史》课程具有特殊的意义, 笔者自2005年开始承担我院《数学史》课程的教学任务, 结合中学数学新课程, 进行探索和实践.以下以“三等分角”专题为例, 从研究的问题、案例选材、实践探索、反思与建议等几个方面展开阐述:

1 研究的问题

魏尔说过:“如果不知道远溯古希腊各代所建立和发展的概念、方法和结果, 我们就不可能理解近五十年来数学的目标, 也不可能理解它的成就.”古代希腊数学中的三等分角、倍立方体、化圆为方被称为古希腊的三大几何作图问题.解决这类问题的思想方法不仅在数学上, 而且在人类的思想史上都具有重大意义.其中:

1.1 三等分角问题具有一定的代表性

三等分角问题也许比另外两个几何问题出现更早, 早到历史上找不出有关的记载来.但无疑它的出现是很自然的.公元前五、六世纪, 希腊的数学家们就已经想到了二等分角的方法, 正像我们在中学几何课本中所学的:以已知角的顶点为圆心, 用适当的半径作弧交角的两边得两个交点, 再分别以这两点为圆心, 用一个适当的长作半径画弧, 把两弧的交点与已知角的顶点相连就二等分已知角.二等分一个已知角既然这么容易, 很自然地会把问题变化一下:三等分怎么样呢?这样, 三等分角问题出现.

1.2 三等分角问题的尺规作图尝试

问题的难处在于作图使用工具的限制.古希腊人要求几何作图只许有限次使用直尺 (没有刻度, 只能作直线的尺) 和圆规.这问题曾吸引着许多人去研究, 但都无一成功.

1.3 三等分角问题的代数化解决思想

1837年, 法国数学家运用代数方法证明了这是一个尺规作图的不可能问题.“三等分角”问题被不同时代的数学家们乐此不疲地探索了两千余年, 最终于关于尺规作图的否定答案告终, 进而又运用代数工具证明了它的不可解性, 这种几何问题代数化的解决问题的数学思想, 与古代希腊盛行的代数问题几何化的数学思想相参照, 遥相呼应, 在数学历史长河中具有特殊的意义.

此外, 该问题被《标准》纳入选修系列3-6, 作为古希腊三大几何作图问题的代表.

然而, 在高校《数学史》中, 尽管“三等分角”问题具有一定的代表性, 但是在漫漫历史长河中不过是沧海一粟.这些专题历史往往为纯数学史家所忽略, 很少完整地见于一般数学通史著作, 多数的数学史教材中只是整体上提到古希腊三大几何作图问题, 简要说明在古代希腊时期数学家们所做出的尝试, 浅尝辄止, 不能够满足未来高中数学选修课程的要求.如三等分角问题的历史成因、数学家们试图解决问题的艰难历程、问题的非尺规作图方法以及最终解决该问题不可解的数学思想方法等, 很难在一般的数学史教材中找到.同时, 虽然作为代表性问题, 但是在高师院校所开设的其它数学课程中, 只有《中学几何研究》、《近世代数》等课程当中有部分涉及, 但是由于课程的专业性, 不管是从难度上还是从广度上, 都使高师生难以胜任今后高中数学该选修专题的教学工作.

综合上述, 笔者选定“三等分角”问题作为研究案例, 并制订目标如下:

(1) 通过对古希腊三大几何作图问题之“三等分角”问题的学习, 从数学历史的角度深层次地理解这个数学难题;进而了解三等分角问题非尺规作图的方法、思考尺规作图可以作出的数的范围, 最终得到三等分角问题不可解的证明原理, 体会其中蕴涵的数学思想方法———几何问题代数化.

(2) 能够从历史发展的角度整体上把握解决“三等分角”问题的线索, 进而理解和把握《标准》选修系列3-6的内容与要求.

2 案例选材

考虑到如何在案例教学过程中既能充分体现其代表性, 不是匆匆而过;又能有助于高师生更好地胜任今后该专题教学工作, 使高师生知其然也知其所以然.笔者设计案例如下 (如图1所示) :

说明: (1) 为了让高师生完整地理解问题, 在课前以学习小组的形式, 发出阅读材料, 内容包括:古代希腊三大几何作图问题、尺规作图的历史背景;三等分角问题的提出、三等分角问题的非尺规作图方法举例等.在所给资料中, 留出一些问题让学生思考.比如:阿基米德的做法、借助辅助曲线的做法、折纸法这三种方法的证明过程;在初等几何中, 尺规作图的范围, 采取让学生自己动手绘制的方式进行;又如, 非尺规作图方法中, 还有一些其它的方法 (反比例函数图像法) , 让学生自行寻找资料学习.用以弥补讲述历史线索过程中知识结构的空缺, 并发出“课前讨论记录表”, 真实记录学习小组课前自学情况.

(2) 在教学过程中, 为了更好地激发高师生的自主学习能力, 选择适当环节, 以学习小组为单位, 鼓励其通过课前自学材料的学习, 自己发现问题并解决问题.同时发出“课堂讨论记录表”, 真实记录学习小组课堂学习讨论情况.

(3) 每个学习小组分出组长、记录员、发言代表, 每次小组活动的成绩均纳入期终考核成绩, 有利于同学们的团队合作精神的培养.作为小组的一员, 都有可能会影响到学习小组的总体成绩, 适度地施加一定的压力可以有效地转化为学习的动力.

(4) 借助历史资料 (如古希腊三大几何作图问题、古希腊尺规作图的背景、解决三等分角问题的历史线索等等) 的探究能够与高中数学课程选修专题建立联系, 为高师生今后的教学工作提供参考素材, 同时, 也力求通过案例的教学体现数学史的数学教育取向.作为高师生, 应该联系高等数学和数学史的学习, 把握解决问题的总体思路, 努力做到给出层次分明、条理清楚的证明过程并用于今后的高中数学教学.

3 实践探索

3.1 案例实施过程

课前准备将全班学生分为若干个学习小组 (每个小组不多于10人) , 组内确定组长、记录员、发言代表各一名.组长负责领取课前自学材料、组织学习讨论、组织推选代表发言;记录员负责填写相应表格;发言代表负责讲本组讨论结果向全班概要汇报.

上课前一周, 将事先准备好的“三等分角”问题相关文字资料分组发给班级同学, 由组长组织阅读自学.

3.1.1 古希腊三大几何作图问题概述

首先, 通过动态图形展示古希腊三大几何作图问题.

其次, 强调古希腊当时的作图工具只限于无刻度的直尺和圆规, 简要追溯历史原因.

3.1.2“三等分角”问题提出

3.1.3 解决“三等分角”问题的方案

让学生根据课前阅读的自学材料, 以小组为单位选择教师预先设置的问题进行课堂解决与展示.教师预先设置的问题如下:

三等分角非尺规作图方法:

(1) 阿基米德的做法;

(2) 借助辅助曲线的做法;

(3) 折纸法;

(4) 其它方法.

3.1.4 讨论解决“三等分角”问题方案

以小组为单位, 由组长组织讨论, 教师参与其中.

3.1.5 汇报解决“三等分角”问题方案

每小组发言代表分别汇报本小组讨论的结果, 并交回“课堂讨论记录表”;教师对学生小组回答的问题做简要地点评.

3.1.6 小结

回顾解决“三等分角问题”的历史线索, 突出其重要意义:“三等分角”问题的最终解决方法, 不是用几何图形, 而是用代数工具, 几何问题代数化是解决古代希腊三大几何作图问题的基本数学思想方法.

3.1.7 注意运用

教师布置课后思考问题:

(1) 阅读《高中数学课程标准》选修系列3-6部分的内容与要求, 在此基础上:在三等分角问题的非尺规作图方法中 (阿基米德的做法、借助辅助曲线的做法、折纸法) 任意选择一种写一份中学教案.注:除了自学材料中提到的三种方法以外, 还可以自己找寻其它的方法, 比如用反比例函数三等分角的方法等等. (2) 对于化圆为方、倍立方体、正七边形等古希腊其它尺规作图问题的不可解性, 择一进行证明.

3.2 案例特色

3.2.1 内容选取方面

数学史课程往往注重数学学科发展的整体历史线索, 然而, 不管是高师院校数学课程, 还是中学数学课程, 数学知识往往是以知识点或某一知识面的形式呈现.因此, 数学专题发展简史在高等数学课程尤其是中学数学课程中作用更加突出.本案例从数学发展历史长河中抽出解决“三等分角”问题的历史线索:“三等分角”问题提出→“三等分角”问题非尺规做法→“三等分角”问题不可解性的证明→几何问题代数化思想.使得通过“三等分角”简史的学习, 能够整体把握该问题.从而更好地理解和把握《标准》中选修系列3-6的内容与要求.

3.2.2 指导学生学法方面

本案例采取小组合作学习的方式, 尝试采用“口试”这一新课程理念下新的数学学习评价方式.希望能够在讲授历史的同时, 突出“面向中学数学”这一特色.《标准》强调“动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式”.因此, 小组合作学习正是基于这一理念的一种新型的学习方式.在中学课堂开始尝试实施, 但是, 在高师院校鲜有尝试.

在案例的实施过程中, 笔者发现:

(1) 小组合作学习为所有的学生提供了学习的动力.研究表明:个人的价值是通过两种不同的途径来体现的, 一种是与他人的比较中体现的, 这种往往表现在不是自己获得了哪些成就, 而是比较超过了多少人;还有一种是对群体做出独特的贡献.后一种强调一种合作的人际关系, 强调个人的努力.因为每一个小组成员都影响到该学习小组的整体成绩, 所以平时学习主动性不强的同学在小组中能够积极的进行讨论和交流, 害怕由于自己而拖累整个学习小组;同时, 学习小组中成绩较好的同学在自学过程中充当了“小老师”的角色, 主动的组织和参与到小组讨论中去.

(2) 小组合作学习有助于师生、生生互动.在小组合作的情况下, 由于座位的排列方式, 使得学生的个体“私有化空间”变成了学生小群体的“公有空间”.不仅学生之间有互动, 而且教师与学生的互动不是针对个体, 而是群体.

与此同时, “口试”这一新型学习评价方式也极大程度上引起了学生的兴趣.对于高师生而言, 他们更需要的是“多一些走上讲台的机会”.本案例实施过程中, “口试”采取每个小组推选发言代表汇报本小组的学习讨论结果, 教师打分.在“口试”的过程中, 教师可以从中观察到学习小组思维的过程和方法、分析问题解决问题的能力表现、动手操作能力的表现、使用数学语言有条理地表达自己思考过程的能力表现等等方面, 使得课堂教学氛围大大活跃起来.

3.3 实施效果

3.3.1 存在的问题与不足

实施中发现问题如下:

(1) 课前自学资料的选材对于高师生而言有一定的难度, 应当考虑发出自学资料的同时, 还要推荐一定的参考文献加以辅助理解.

(2) 在课前将自学资料发给各组组长时, 没有进一步强调在组织组员进行自学讨论中尽量提出跟“三等分角”问题相关的数学问题, 同时尝试着去解决它.所以, 在正式上课讨论的过程中, 学习小组几乎都选择教师预先设置的数学问题来进行解决.通过数学史知识来激发学生发现问题-解决问题的能力有待进一步挖掘.

(3) 设置“三等分角”问题情境是叙述略显冗长, 没有很大程度上激起学生的学习兴趣;在展示由几何画板绘制的图形时, 因为图像不大, 使得阶梯教室后排的部分同学看不清楚.

(4) 当由学习小组组长上台抽取探究题目后, 由于班级人数过多 (几乎都在100人以上) , 分成的12个学习小组开展深入讨论彼此影响较大, 秩序难以维持.

(5) 在每个学习小组发言代表上台发言时, 由于组数较多 (12组) , 但是代表积极性很高, 个别发言时间超过10分钟.总体时间分配上因为这一教学环节超时, 所以整体略显不足.

3.3.2 成效

在本次实验研究中, 为了能够更好地了解每个学习小组课前的准备情况, 制作了“课前讨论记录表”, 请记录员如实填写.从课后回收的12个学习小组“课前讨论记录表”中, 有8个学习小组都有附页说明.对于第一个问题, 三等分角问题的非尺规作法之阿基米德做法, 12个学习小组全部给出证明过程;第二个问题, 三等分角问题的非尺规作法之借助辅助曲线的做法, 小组成员表示有一定的难度, 仅有6个学习小组比较完整地给出证明过程;第三个问题, 三等分角问题的非尺规作法之折纸法, 仅有6个学习小组比较完整地给出证明过程.整体上, 每个小组独立地完成了学习任务, 大部分小组准备充分, 除了记录证明过程、绘制过程, 还将小组成员们讨论时的思想困难都如实填写下来, 甚至还将折纸法所折纸片粘贴在记录表中.对于经过小组讨论后依然无法解决的问题, 完整的记录下来, 等待课堂上予以解决.

正式上课过程中, 学生们总体上表现出较大的积极性, 分组讨论时也能够尽量地参与到其中.在发言代表发言过程中, 能够认真听取发言, 并及时指出其中的不足.

从小组活动中可以看到, 高师生是存在潜力可挖的, 尽管在自学过程中有部分组长反映自学材料难度较大, 但是通过整组同学的共同努力, 大部分同学表示能够了解所学内容.

4 反思与建议

针对在实施过程中发现的问题, 笔者有以下思考:

(1) 在今后有课前学习小组自学活动的时候, 一定强调在学习讨论的同时尽量发现数学问题.众所周知, “提出问题”有时要比“解决问题”更加难能可贵.而我们的学生在高考的指挥棒下, 更多地习惯于“解决问题”;在进入大学学习之后, 常常捧着习题集埋头演算, “提出问题”的能力越来越弱.希望能够通过具体要求, 督促他们深入思考问题并解决它.

(2) 今后在人数超过80人的班级, 尽量将问题课前发放给组长, 学习小组课前就做好充分的准备工作.课堂上可以留出更多的时间让同学们上台交流.

(3) 当学习小组的组数过多时, 可以采取将大问题细化的方法, 由三个至四个学习小组“接力”完成该问题的解决.比如, 阿基米德做法, 就可以进一步细化为:采用直尺和圆规重现阿基米德做法;证明过程;在绘制过程中哪点违反了尺规作图的规定等等三个环节.比如, 借助辅助曲线做法, 就可以进一步细化为:准确口述出辅助曲线的绘制过程;证明过程;在绘制过程中哪点违反了尺规作图的规定等等三个环节.这样处理, 既可以有效控制课堂讨论时间, 又可以让学生的思维层层深入, 有助于问题的理解.为了能够更好地从整体上加以把握, 在学习小组自学时, 教师可以加入其中, 对讨论问题的重点和难点及时指出并加以引导.

摘要：在中学数学课程改革的大背景下, 高师《数学史》课程被赋予了新的教育意义, 如何充分体现课程的师范特色?文章从案例研究的角度, 以“三等分角问题”为例, 从研究的问题、案例选材、实践探索、反思等几个方面展开研究.

关键词：高师,《数学史》,案例研究,三等分角

参考文献

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[7]吕世虎, 郑庆全.高师数学教育如何应对基础教育新数学课程的挑战[J].数学教育学报, 2004, 13 (1) .

篇7：三等分任意角

我们学了矩形后，知道了矩形的对角线相等且互相平分。如图1，在矩形ABCD中，对角形AC、BD相交于点O，根据矩形的性质有：AO=CO=BO=DO= AC= BD。这时可以得到直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。有了这个性质加上以前学过的平行线性质和等腰三角形的性质，就可以三等分任意角了。

例题 （2012年天津市中考题改编） “三等分任意角”是数学史上一个著名问题，如图2（1），将∠MAN放置在每个小正方形的边长为1 cm的网格中，角的一边AM与水平方向的网格线平行，另一边AN经过格点B，且AB=2.5 cm，现要求只能使用带刻度的直尺，请你在图中作出∠X，并简要说明作法和证明。

作图：如图2（2），用直尺有刻度的一边过点A，设该边与过点B竖直方向的网格线交于点C，与过点B水平方向的网格线交于点D，（保证有刻度的一边过点A）调整点C、D的位置，使CD=5 cm，画射线AD，这时∠DAM即为所求的∠X。

证明：取CD的中点E，连接BE，

在Rt△BCD中，BE= CD=DE=AB，

所以∠1=∠2，∠3=∠4，

而∠3=∠1+∠2=2∠2。

又因为BD∥AM，

所以∠2=∠DAM。

篇8：三等角问题典型例题

一、弄清基本模型定义和解题原理

二、应用举例

1.在“动点问题”中的应用

例1：如图2，正方形ABCD的边长为1cm，M、N分别是BC、CD上两个动点，且始终保持AM⊥MN，设BM的长为x cm，CN的长为y cm.求点M在BC上的运动过程中y的最大值。

分析：由图可知∠B=∠C= ∠AMN=90°，Rt△ABM与Rt△MCN成“一线三等角”模型，所以Rt△ABM∽Rt△MCN，从而，所以，.所以y的最大值为。

【变式】如“例1”的条件，将问题改为“当BM= cm时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为 cm2.”

分析：四边形ABCN的面积为，BC，AB的长都为1，是定值，只有CN在变化，要使四边形ABCN的面积最大，则CN最大，即转化为“例1”的问题.

2.与反比例函数联手

例2：（2015·孝感）如图3，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°，OB=2OA，点A在反比例函数y=的图象上.若点B在反比例函数y=的图象上，则k的值为（ ）

A.-4 B.4

C.-2 D.2

分析：看到反比例函数图像上的点A，并且要求的点B也在反比例函数图像上，从而联想反比例函数解析式中“k”的几何意义解决问题.过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D.根据“一线三等角”模型，很容易得到△ACO∽△ODB，从而==4，然后用反比例函数解析式中“k”的几何意义即可.

3.在“直角三角形存在性问题”中的应用

点的存在性问题始终是中考考查的热点和难点，对学生的思维能力和模型思想等基本数学素养有着较高的要求，所以一直困扰着学生.数学解题研究中一直很关注一题多解的研究，多一种解决问题的方法，能让学生步入考场有更多的选择，直角三角形的存在性问题多数教师在讲解的时候是引导学生利用解析式法“”和勾股定理解决.笔者在教学中发现，利用“一线三等角”模型解决直角三角形的存在性问题也是一种通用方法，即便这个点在抛物线上也能使用（当点在抛物线上时，利用勾股定理会出现四次情形，初中学生无法解决），能为学生解决这类问题提供了一种新的选择。

分析：如图5，以AB为直径作圆，与x轴的交点就是所要找的点P.

连接AP，BP，过点B作BF⊥x轴.因为AB是直径，所以∠APB=90°，故∠APB=∠AOP=∠BFP=90°.根据“一线三等角”模型，很容易得到△AOP∽△PFB，从而，设OP长为x，则，从而能求出x，解决问题。

通过解决上述问题，学生对点的存在性问题——直角三角形的存在性问题获得了基本的解题经验，下面将“一线三等角”模型在存在性问题中的研究拓展到以抛物线为背景的题目中，通过构造该模型，利用相似的判定和性质解决问题困扰学生的二次函数压轴题。

例4：如图6，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点P，使得△BCP是以BC为斜边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由。

分析：如图 6，以BC为直径作圆，与抛物线的对称轴的交点就是所要找的点P.过点P作直线l∥x轴，交y轴于点M，过点B作BN⊥l，交l于点N. 根据“一线三等角”模型，很容易得到△CMP∽△PNB，从而，设点P的坐标为（2，t），易求得点C的坐标为（0，3），点B的坐标为（6，0），则CM=3-t，，NP=4，BN=-t，从而，求出t的值就能求出点P的坐标了。

从例3和例4可以看出，探寻或构造基本图形能帮助我们解决一类题。其实对于二次函数背景下直角三角形的存在性问题，当需要探究的那个点在抛物线上时，能较好的体现“一线三等角”这一模型在计算中的优越性，下面举一例加以说明。

例5：如图，抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣，0），C（0，2）三点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）设点M是抛物线的顶点，试判断抛物线上是否存在点H满足∠AMH=90°？若存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由。

分析：容易求得该抛物线的解析式为：，从而求得点M的坐标为。通过前面的学习，学生知道运用勾股定理解直角三角形的存在性问题，因此第一次做这个题的时候很多同学都是尝试利用两点间的距离公式变式出三边的长度，再由勾股定理列方程，通过尝试发现运算量很大。从而引导学生“一线三等角”模型解决此问题，发现计算简便，省了不少的功夫。

过点M作直线MH⊥AM，交抛物线于点M.过点M作直线l∥x轴，过点A作AE⊥l，交l于点E，过点H作HF⊥l，交l于点F。根据“一线三等角”模型，很容易得到△AEM∽△MFH，从而，设点H的坐标为（），则AE=，EM=，MF=，HF=，从而，求出t的值就能求出点H的坐标了。

三、一点思考