谈备课过程中例题选取之矩形折叠问题

矩形性质独特, 折叠趣味无穷, 会产生丰富的问题, 形式新颖, 融入丰富的数学知识和思想。

折叠问题考查学生的数形结合思想和空间想象能力, 对学生来说是一个难点。同时, 它又是中考的热点。近年来, 中考中出现很多的折叠问题。解决这类问题的关键是根据轴对称图形的性质, 弄清折叠前与后的不变, 即准确地找到对应的顶点和对应线段以及对应角, 就为解决这一问题打下基础。

由于图形的折叠只改变图形的位置, 不改变图形的形状及大小, 因而在图形的折叠变换中, 保持了许多图形定量的不变性。达到总结折叠问题的规律, 提炼解决折叠问题的方法, 并利用折叠的规律和方法进行计算和证明。

一、落点在顶点上

例1:如图1, 是一矩形纸片ABCD中, AD=4cm, AB=10cm, 现作折纸游戏, 使点B与点D重合, 折痕为EF, 求DE的长。

【分析】折叠后, 使点B与点D重合, 折痕为EF, 根据轴对称性质, 得到对应线段相等, 即EB=ED, 然后在Rt△AED中, 根据勾股定理很容易求出DE的长。变化的是图形, 不变的是对应线段, 对应角, 解决这类问题紧紧地抓住图形变化过程中的变与不变, 问题就会迎刃而解。

二、落点在对角线上

例2:如图2, 在矩形ABCD中, AB=6, BC=8, 将矩形ABCD沿CE折叠, 使点D恰好落在对角线AC上的点F处, 求EF的长。

【分析】有了例题1作为铺垫, 这个问题便简单了许多。折叠后, 使点D与F点重合, 折痕为EC, 根据轴对称性质, 得到对应线段相等, 即EF=ED, 然后在Rt△AEF中, 根据勾股定理很容易求出EF的长。

例3:如图3, 准备一张矩形纸片, 按如图所示操作:将△ABE沿BE翻折, 使点A落在对角线BD上的M点;将△CDF沿DF翻折, 使点C落在对角线BD上的N点。

(1) 求证:四边形BFDE是平行四边形;

(2) 若四边形BFDE是菱形, AB=2, 求菱形BFDE的面积.

【分析】 (1) 由翻折得:BM=AB, DN=DC, ∠A=∠EMB, ∠C=∠DNF, 由矩形的性质得到∠A=∠C=90°, AB=CD, 因此BM=DN, ∠EMB=∠DNF=90°, 从而BN=DM, ∠EMD=∠FNB=90°, 可证得△EDM≌△FBN, 从而证出四边形BFDE是平行四边形;

三、落点在边上

例4:如图4, 矩形ABCD中, AD=2AB, E是AD边上一点, (n为大于2的整数) , 连接BE, 作BE的垂直平分线分别交AD、BC于点F, G, FG与BE的交点为O, 连接BF和EG。

(1) 试判断四边形BFEG的形状, 并说明理由;

(2) 当AB=a (a为常数) , n=3时, 求FG的长;

【分析】 (1) 根据FG为BE的垂直平分线, 可得FE=FB, GB=GE, ∠FEB=∠FBO。又FE∥BG, 可得∠FEB=∠GBO, 从而∠FBO=∠GBO。又因为BO=BO, ∠BOF=∠BOG=90°, 所以△BOF≌△BOG, 可得BF=BG。

进而得到BG=GE=EF=FB, 四边形BFEG为菱形即可得证。

由以上几个例题, 归结出图形折叠问题的解法思路:对于两个点重合而进行的折叠或在折叠完成后某个点的对应点恰好出现在特殊位置, 可以将对应点连结起来, 根据对称轴和对应点连线得到的垂直和线段相等关系解决矩形中的折叠问题。

摘要：图形的折叠只改变图形的位置, 不改变图形的形状及大小, 因而在图形的折叠变换中, 保持了许多图形定量的不变性, 如图形中线段的长短不变, 图形中角的大小不变等。这些图形定量的不变性, 具有很重要的运用价值。

关键词：习题,选取,折叠问题