追及问题的经典例题

追及问题的经典例题（精选3篇）

篇1：追及问题的探讨

例:汽车从静止开始以1m/s2的加速度前进, 相距汽车25m远处, 与汽车运动方向相同的某人同时开始以速度v0匀速追赶汽车, 且持续时间为3s喊停车, 才能让司机听见, 问v0至少要多大?如果以20m/s2的速度追车, 求人车距离最小值?

分析:V追赶者<V被追赶者, 则一定不能追上, 假设在追赶过程中经时间t后两者能处在同一位置, 找位移关系列方程, 求解t。若t有解, 说明能处在同一位置, 能追上, 比较此时的速度, 若v1>v2, 则会相撞, 若v1=v2, 则刚好相撞。若t无解, 说明两者不能同时处于同一位置, 追不上。若追不上, 当v1=v2时, 两者间距最小。 (开始时, 速度大的甲在后, 在前的乙速度较小, 间距越来越小, 只有乙速度大于甲速度, 间距才能越来越大, 故两者速度相等时, 间距最小。)

解法1:设经t秒人离车20米则t+1秒二者速度相等相距最近联立60+21at2-v0t=20和v0=a (t+1) 代入数据解的t=8s, v0=9m/s。解法2:联立60+21at2-v0t=20和t2-t12解得t=8s和v0=9m/s。

练习:甲、乙两车相距S, 同时同向运动, 乙在前面做加速度为a1、初速度为零的匀加速运动, 甲在后面做加速度为a2、初速度为v0的匀加速运动, 试讨论两车在运动过程中相遇次数与加速度的关系。

总结:这类问题的解题关键是要找到两物体距离最远和追上时满足的速度与位移关系, 只有找到这个关系, 问题才能顺利解决。

一、追及相遇问题

1. 追及问题

例如:A追赶B时 (如图) 若VA>VB, 则AB距离缩小;若VA=VB, 则AB距离不变;若VA<VB, 则AB距离增大。

2. 相遇问题

(1) 同向运动的两物体:相遇问题就是追及问题;

(2) 相向运动的两物体:当各自发生的位移的代数和等于开始时两物体间的距离时, 即相遇。

3.在两物体同直线上的追及、相遇的条件:

看两物体是否具相同的位移。

二、把握的关系

1. 两个关系:即速度关系和位移关系。

2. 一个条件:匀减速直线运动物体追赶同向匀速或者是匀加速直线运动的物体, 两者的速度相等是恰能追上或者距离最近的时刻。

三、常见的情况

V追赶者>V被追赶者, 则一定能追上;

追赶者<被追赶者, 则一定不能追上。

假设在追赶过程中经时间t后两者能处在同一位置, 找位移关系列方程, 求解t。

若t有解, 说明能处在同一位置, 能追上, 比较此时的速度, 若v1>v2, 则会相撞, 若v1=v2, 则刚好相撞。

若t无解, 说明两者不能同时处于同一位置, 追不上。

若追不上, 当v1=v2时, 两者间距最小。 (开始时, 速度大的甲在后, 在前的乙速度较小, 间距越来越小, 只有乙速度大于甲速度, 间距才能越来越大, 故两者速度相等时, 间距最小。)

注意:相遇 (或相撞) 的临界条件是:两物体处在同一位置时, 两物体的速度刚好相等。

四、小结

解追及相遇问题的思路及步骤——两物体的速度满足的条件, 确定时间和位移关系。

1. 抓住关键字眼:刚好、恰好、最多、最小等, 看两物体的速度应满足什么条件。

2. 画草图, 设经时间t后两者能相遇, 找到两物体的时间关系及位移之间的数量关系, 列方程。

3. 解方程, 若t有解, 说明能追上, 若t无解, 说明追不上。

篇2：“追及、相遇”问题的解题策略

“一个条件”是：两物体速度相等，追者和被迫者速度相等是能否追上、两者间的距离有极值、能否避免碰撞的临界条件.因此，利用速度相等求出时间，往往是解决追及、相遇问题的突破口.

“两个关系”是：时间关系和位移关系.时间关系是指两物体运动时间是否相等，两物体是同时运动还是一先一后等；而位移关系是指两物体同地运动还是一前一后运动等，其中通过画运动示意图找到两个物体间的位移关系是解题的关键.

例1 A、B两列火车在同一轨道上同向行驶，A车在前，其速度为v_A=10m/s，B车在后，其速度为v_A=30m/s.因大雾能见度低，B车在距A车700m时才发现前方有A车，这时B车立即刹车，但要经过1800m，B车才能停下.问A车若按原速度前进，两车是否会相撞？说明理由.

解析 首先，根据题意，B车刹车过程中的加速度大小为根据两车的运动情况，如果不发生碰撞，那么，两车之间最小的距离应该出现在“速度相等”这一时刻，而如果此时不碰撞，那么接下来两车之间的距离将要变大，也就不会再碰撞了.利用“速度相等”，可以求出B车减速至A车的速度所用时间为：

可见，通过“速度相等”这个临界条件求出时间再进行相关计算还是比较方便的，而教学中发现，有的学生受某些参考书的影响，喜欢先列出两者位移关系的方程，然后用数学方法进行处理，通过求解位移方程（关于t的一元二次方程）、计算根的判别式或配方等途径来判断是否发生碰撞、求距离的极值等.虽然这也是追及、相遇问题的一种解法，但这样做往往会陷入复杂运算的“泥潭”.而且，纯粹从数学角度分析，也少了一点物理的“味道”，相比之下，还是把追及、相遇问题看作是一个“物理模型”来求解更加清楚简便.

二、注意“停车”陷阱.

若被追赶的物体做匀减速运动，则一定要注意判断，追上前该物体是否已经停止运动.如果直接根据位移关系列出方程求解，则极有可能得到一个错误的结果，而且是一个“不易察觉”的错误结果.

例2甲车以10m/s的速度在平直的公路上匀速行驶，乙车以4 m/s的速度与甲车平行同向做匀速直线运动.甲车经过乙车旁边时开始以0.5m/s²的加速度刹车，从甲车刹车开始计时，求：（1）乙车在追上甲车前，两车相距的最大距离；（2）乙车追上甲车所用的时间.

解析 （1）利用“速度相等”，即当甲车速度减至等于乙车速度时两车的距离最大，经历的时间为

（2）作业中大量学生这样解答：追上时有

，看似毫无差错，实则已掉人“停车”陷阱.导致误解的原因是被追的甲车在做减速运动，必须先判断它的停车时间：

三、巧用“速度一时间”图象.

例3 A、B两列火车，在同一轨道上同向行驶，A车在前，其速度V_A=10m/s，B车在后，速度V_b= 30m/s，因大雾能见度很低，B车在距a车

时才发现前方有A车，这时B车立即刹车，但B车要经过180m才能够停止.问：（1）B车刹车时的加速度是多大？ （2）若B车刹车时A车仍按原速前进，两车是否相撞？若会相撞，将在B车刹车后何时？若不会相撞，则两车最近距离是多少？（3）若B车在刹车的同时发出信号，A车司机经过

收到信号后加速前进，则A车的加速度至少多大才能避免相撞？

解析 本题的第（1）问与第（2）问中判断是否相撞，与例1情况相似，不再赘述.B车刹车时加速度大小为aV_B=2.5m/s²，且两车会相撞.设经时间t两车相撞，则利用“位移关系”，有

第（3）问的常规解法是：设A车的加速度为

若采用“图象法”，则计算要容易很多.如图1所示，按照题目已知条件作出“速度一时间”图象.B车经过

4s，速度减小为20m/s，设从此时起到两车速度相等经历的时间为

速度图象，既能直观地反映两车的运动过程，又大大减少了计算量.

例4 高速公路上甲、乙两车在同一车道上同向行驶，甲车在前，乙车在后，速度均为v₀=30m/s，距离s₀=100 m，t=0时刻甲车遇紧急情况后，甲、乙两车的加速度随时间变化的图象如图2甲、乙所示，取运动方向为正方向.通过计算说明两车在0-9s内会不会相撞？

篇3：追及、相遇问题的解决策略

一、追及和相遇问题的求解方法

两个物体在同一直线上运动，往往涉及追及，相遇或避免碰撞等问题，解答此类问题的关键条件是:两物体能否同时达到空间某位置．

基本思路是:(1)分别对两物体进行研究;(2)画出运动过程示意图;(3)列出位移方程;(4)找出时间关系，速度关系(5)解出结果，必要时进行讨论．

1．追及问题:追和被追的两物体的速度相等(同向运动)是能否追上及两者距离有极值的临界条件．

第一类:速度大者减速(如匀减速直线运动)追速度小者(如匀减速直线运动)．(1)当两者速度相等时，追者位移追者位移仍小于被追者位移，则永远追不上，此时两者之间有最小距离．(2)若两者位移相等，且两者速度相等时，则恰能追上，也是两者避免碰撞的临界条件．(3)若两者位移相等时，追着速度仍大于被追者的速度，则被追者还有一次追上追者的机会，当速度相等时两者之间距离有一个最大值．在具体求解时，可以利用速度相等这一条件求解，也可以利用二次函数的知识求解，还可以利用图象等求解．

第二类:速度小者加速(如初速度为零的匀加速直线运动)追速度大者(匀速直线运动)．(1)当两者速度相等时有最大距离．(2)当两者位移相等时，则追上．具体的求解方法与第一类相似，即利用速度相等进行分析还可利用二次函数图象和图象图象．

2．相遇问题

(1)同向运动的两物体追及即相遇．(2)相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离时相遇两物体恰能“相碰”的临界条件是两物体处在同一位置时，两物体的速度恰好相同．

3．解“追及”问题解题的方法

(1)根据对两物体运动过程中的分析，最好画出物体的运动示意图．(2)根据两物体的运动性质特征，分别列出两个物体的位移方程．注意要将两物体运动时间关系反映在方程中．(3)由运动示意图找到两物体位移间的相关方程．(4)联立方程求解．

二、追及，相遇问题的注意点

1．分析问题是一个条件，两个关系

一个条件是:两物体速度相等时满足的临界条件，如两物体的距离是最大还是最小及是否恰好追上等．两个关系是:时间关系和位移关系．时间关系是指两物体运动时间是否相等，两物体是同时运动还是一先一后等;而位移关系是指两物体同地运动还是一前一后等，其中通过画运动示意图找到两物体间的位移关系是解题的突破口，因此在学习中一定要养成画草图分析问题的良好习惯．

2．若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意，追上前该物体是否已停止运动．

仔细审题，注意抓住题目中的关键字眼，充分挖出题目中的隐含条件，如“刚好”，“恰巧”，最多“，”至少“等．往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件．

三、追及问题的五种常见情形

(1)匀加速直线运动的物体追匀速直线运动的物体:这种情况定能追上，且只能相遇一次;两者之间在追上前有最大距离，其条件是v加=v匀．

(2)匀减速直线运动追匀速直线运动物体:当v减=v匀时两者仍没到达同一位置，则不能追上;当v减=v匀时两者正在同一位置，则恰能追上，也是两者避免相撞的临界条件;当两者到达同一位置且v减>v匀时，则有两次相遇的机会．

(3)匀速直线运动追匀加速直线运动物体:当两者到达同一位置前，就有v加=v匀，则不能追上;当两者到大同位置时v加=v匀，则只能相遇一次;当两者到大同一位置时v加<v匀则有两次相遇的机会．

(4)匀速直线运动物体追匀减速直线运动物体:此种情况一定能追上．

(5)匀减速直线运动物体追匀加速直线运动物体:当两者在到达同一位置前v减=v加，则不能追上;当v减=v加时两者恰到达同一位置，则只能相遇一次;当地一次相遇时v减>v加，则有两次相遇机会．

例1甲、乙两车相距s，同时同向运动，乙在前面做加速度为a1、初速度为零的匀加速运动，甲在后面做加速度为a2、初速度为v0的匀加速运动，试讨论两车在运动过程中相遇次数与加速度的关系．

(1)当a1<a2时，(1)式t只有一个正解，别相遇一次．(2)当a1=a2时，，所以t=x/v0,t只有一个解，则相遇一次．(3)当a1>a2时，若v02<2(a1-a2)x,(1)式无解，即不相遇，若v02=2(a1-a2)x,(1)式t只有一个解，即相遇一次．若v02>2(a1-a2)x,(1)式t有两个正解，即相遇两次．(如图1)

解法2:利用v-t图象求解，

(1)当a1<a2时，甲、乙两车的运动图线分别为如图2中:的Ⅰ和Ⅱ，其中划斜线部分的面积表示t时间内甲车比乙车多发生的位移，若此面积为S，则t时刻甲车追上乙车而相遇，以后在相等时间内甲车发生的位移都比乙车多，所以只能相遇一次．(2)当a1<a2时，甲、乙两车的运动图线分别为如图3中的Ⅰ和Ⅱ，讨论方法同(1)，所以两车也只能相遇一次．(3)当a1=a2时，甲、乙两车的运动图线分别为如图3中的Ⅰ和Ⅱ，其中划实斜线部分的面积表示甲车比乙车多发生的位移．若划实斜线部分面积小于S，则不能相遇;若划实斜线部分面积等于S，说明甲车刚追上乙车又被反超，则相遇一次;若划实斜线部分的面积大于S，两者相等，则t2时刻乙车反超甲车，故两车先后相遇两次．