全等三角形的知识点总结

全等三角形的知识点总结（精选12篇）

篇1：全等三角形的知识点总结

全等三角形知识点总结及复习 一、知识网络 二、基础知识梳理（一）、基本概念 1、“全等”的理解 全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；

（2）大小相等的图形；

即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

全等三角形定义 ：能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。（注：全等三角形是相似三角形中的特殊情况）当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。

由此，可以得出：全等三角形的对应边相等，对应角相等。

(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；

(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；

(3)有公共边的，公共边一定是对应边；

(4)有公共角的，角一定是对应角；

(5)有对顶角的，对顶角一定是对应角；

2、全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等；

（2）全等三角形对应角相等；

3、全等三角形的判定方法（1）三边对应相等的两个三角形全等。

（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

4、角平分线的性质及判定 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上（二）灵活运用定理 1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。

2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。

3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。

（1）已知条件中有两角对应相等，可找：

①夹边相等（ASA）②任一组等角的对边相等(AAS)（2）已知条件中有两边对应相等，可找 ①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS)（3）已知条件中有一边一角对应相等，可找 ①任一组角相等(AAS 或 ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS)（三）经典例题 例1.已知：如图所示，AB=AC，求证：.例2.如图所示，已知：AF=AE，AC=AD，CF与DE交于点B。求证：。

例3.如图所示，AC=BD，AB=DC，求证：。

例4.如图所示，垂足分别为D、E，BE与CD相交于点O，且 求证：BD=CE。

例5：已知：如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD、CE⊥AB于E，且∠B+∠D=180°。

求证：AE=AD+BE 分析：从上面例题，可以看出，有时为了证明某两条线段和等于另一条线段，可以考虑“截长补短”的添加辅助线，本题是否仍可考虑这样“截长补短”的方法呢？由于AC是角平分线，所以在AE上截AF=AD，连结FC，可证出DADC≌DAFC，问题就可以得到解决。

证明（一）：

在AE上截取AF=AD，连结FC。

在DAFC和DADC中 ∴DAFC≌DADC（边角边）∴∠AFC=∠D（全等三角形对应角相等）∵∠B+∠D=180°（已知）∴∠B=∠EFC（等角的补角相等）在DCEB和DCEF中 ∴DCEB≌DCEF（角角边）∴BE=EF ∵AE=AF+EF ∴AE=AD+BE（等量代换）证明（二）：

在线段EA上截EF=BE，连结FC（如右图）。

小结：在几何证明过程中，如果现成的三角形不可以证明，则需要我们选出所需要的三角形，这就需要我们恰到好处的添加辅助线。

（四）全等三角形复习练习题 一、选择题 1．如图，给出下列四组条件：

①；

②；

③；

④． 其中，能使的条件共有（）A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 2.如图，分别为的，边的中点，将此三角形沿折叠，使点落在边上的点处．若，则等于（）3.如图（四），点是上任意一点，还应补充一个条件，才能推出．从下列条件中补充一个条件，不一定能推出的是（）A． B． C． D． C A D P B 图（四）A． B． C ． D． 1题图 2题图 4.如图，在△ABC与△DEF中，已有条件AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEF，不能添加的一组条件是()(A)∠B=∠E,BC=EF（B）BC=EF，AC=DF(C)∠A=∠D，∠B=∠E（D）∠A=∠D，BC=EF 5．如图，△ABC中，∠C = 90°，AC = BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，若AC = 10cm，则△DBE的周长等于()A．10cm B．8cm C．6cm D．9cm 6． 如图所示，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）Ａ．1处 Ｂ．2处 Ｃ．3处 Ｄ．4处 ④ ① ② ③ 6题图 4题图 5题图 7．某同学把一块三角形的玻璃打碎了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那 么最省事的方法是（）A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①②③去 8．如图，在中，是的垂直平分线，交于点，交 于点．已知，则的度数为（）A． B． C． D． 9．如图，=30°，则的度数为（）A．20° B．30° C．35° D．40° 10．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（）A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB C A B 1题图C．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB A D C E B 8题图 7题图 8题图 10题图 11．尺规作图作的平分线方法如下：以为圆心，任意长为半径画弧交、于、，再分别以点、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线由作法得的根据是（）A．SAS B．ASA C．AASD．SSS 12.如图, ∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,若BC=5cm,BD=3cm,则点D到AB的距离为()A.5cm B.3cm C.2cm D.不能确定 13．如图，OP平分，，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（）A． B．平分 C． D．垂直平分 14.如图，已知那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（）A．　 B． C． D． O D P C A B A B C D 14题图 O 13题图 B A P 11题图 12题图 二、填空题 1.如图，已知，要使 ≌，可补充的条件是（写出一个即可）_______________． 2.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠BAC交BC于D,DE⊥AB于E,且AB=5cm,则△DEB的周长为 ________ 3.如图，请你添加一个条件：

，使（只添一个即可）． 4.如图，在ΔABC中，∠C=90°∠ABC的平分线BD交AC于点D,若BD=10厘米，BC=8厘米，DC=6厘米，则点D到直线AB的距离是__________厘米。

D O C B AB A C E B D 1题图 2题图 3题图 4题图 5.观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色三角形 有 个 ． 6.已知：如图，△OAD≌△OBC，且∠O＝70°，∠C＝25°，则∠AEB＝________度.7如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE、AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ.以下五个结论：①AD=BE；

②PQ∥AE；

③AP=BQ；

④DE=DP；

⑤∠AOB=60°.恒成立的结论有_______________________（把你认为正确的序号都填上）。

8.如图所示，AB = AD，∠1 = ∠2，添加一个适当的条件，使△ABC ≌ △ADE，则需要添加的条件是________.O A B C D E 6题图 7 题图 8 题图 A B D E C 三、解答题 1.如图，已知AB=AC，AD=AE，求证：BD=CE.2.如图，在中，分别以为边作两个等腰直角三角形和，使．（1）求的度数；

（2）求证：． 3.如图，在△ABE中，AB＝AE,AD＝AC,∠BAD＝∠EAC, BC、DE交于点O.求证：(1)△ABC≌△AED；

(2)OB＝OE.E D C B A 4.如图，D是等边△ABC的边AB上的一动点，以CD为一边向上作等边△EDC，连接AE，找出图中的一组全等三角形，并说明理由． 5.如图，在△ABC和△DCB中，AB = DC，AC = DB，AC与DB交于点M． B C A D M N（1）求证：△ABC≌△DCB ；

（2）过点C作CN∥BD，过点B作BN∥AC，CN与BN交于点N，试判断线段 BN与CN的数量关系，并证明你的结论． 6.如图，四边形的对角线与相交于点，． 求证：（1）；

D C B A O 1 2 3 4（2）． 7．如图，在和中，现给出如下三个论断：①；

②；

③．请选择其中两个论断为条件，另一个论断为结论，构造一个命题． 2 1 Ａ Ｃ Ｄ Ｂ（1）写出所有的真命题（写成“”形式，用序号表示）：

．（2）请选择一个真命题加以证明． 　 你选择的真命题是：． 证明：

8.已知：如图，B、E、F、C四点在同一条直线上，AB＝DC，BE＝CF，∠B＝∠C．求证：OA＝OD． 9．如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F． 求证：BD=2CE． B D C F A　郜 E 10.如图，请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明． 11．已知：如图，DC∥AB，且DC=AE，E为AB的中点，（1）求证：△AED≌△EBC．（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC外，请再写出两个与△AED的面积相等的三角 形．（直接写出结果，不要求证明）：

12．如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M．（1）求证：MB=MD，ME=MF（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；

若不成立请说明理由． 13已知：如图A、D、C、B在同一直线上，AC=BD，AE=BF，CE=DF 求证：（1）DF∥CE（2）DE=CF A D F E C E B 14.如图，已知在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两条边上的高，在BE上截取BD = AC，在CF的延长线上截取CG = AB，连结AD、AG，则AG与AD有何关系？试证明你的结论 15.如图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若AB=AC．求证：AD平分∠BAC． 16.如图，∠B=∠C=90°，M是BC中点，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB． 17.如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB =∠DBC = 90º，E是BC的中点，EF⊥AB，垂足为F，且AB = DE． １8.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，连接EF，EF与AD交于G，AD与EG垂直吗？证明你的结论。

19．如图，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD，CE相交于点O．试说明AE+CD=AC．．如图，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD，CE相交于点O．试说明AE+CD=AC． 20.如图，已知E是正方形ABCD的边CD 的中点，点F在BC上，且∠DAE=∠FAE.求证：AF=AD+CF。

A B F C E D １４．已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,AE是过点A的一条直线，且BD⊥AE于D，CE⊥AE于E,(1)当直线AE处于如图①的位置时，有BD=DE+CE,请说明理由；

（2）当直线AE处于如图②的位置时，则BD,DE,CE的关系如何？请说明理由；

（3）归纳（1）（2），请用简洁的语言表达BD,DE,CE之间的关系。

B A D E C B C E A D

篇2：全等三角形的知识点总结

一、知识点梳理

注意：判定两个三角形全等必须具备的三个条件中“边”是不可缺少的，边边角（SSA）和角角角（AAA）不能作为判定两个三角形全等的方法。

技巧平台：

证明两个三角形全等时要认真分析已知条件，仔细观察图形，明确已具备了哪些条件，从中找出已知条件和所要说明的结论的内在联系，从而选择最适当的方法。根据三角形全等的条件来选择判定三角形全等的方法，常用的证题思路如下表：

ABAD

解：相等。理由：连接AC，在△ABC和△ADC中，CBCD

ACAC，∠B=∠D（全等三角形的对应角相等）△ABC≌△ADC（SSS）

点评：证明两个角相等或两条线段相等，往往利用全等三角形的性质求解。有时根据问题的需要添加适当的辅助线构造全等三角形。

龙文教育东晓南分校电话：020-62769991

例2.（SSS）如图，△ABC是一个风筝架，AB=AC,AD是连接A与BC中点D的支架，证明：AD⊥BC.分析：要证AD⊥BC，根据垂直定义，需证∠ADB=∠ABD≌△ACD求得。

证明：D是BC的中点，BD=CD

ABAC



在△ABD与△ACD中，BDCD

ADAD

BDC

△ABD≌△ACD(SSS)，∠ADB=∠ADC（全等三角形的对应角相等）∠ADB+∠ADC=180（平角的定义）

∠ADB=∠ADC=90，AD⊥BC（垂直的定义）

例3.（SAS）如图，AB=AC,AD=AE,求证：∠B=∠C.分析：利用SAS证明两个三角形全等，∠A是公共角。

ABAC

AA

证明：在△ABE与△ACD中,

AEAD

△ABE≌△ACD(SAS),∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）

例4.（SAS）如图，已知E,F是线段AB上的两点，且AE=BF,AD=BC,∠A=∠B,求证：DF=CE.分析：先证明AF=BE，再用SAS证明两个三角形全等。证明：AE=BF(已知)

AE+EF=BF+FE,即

AF=BE

ADBC



在△DAF与△CBE中,AB

AFBE

△DAF≌△CBE(SAS),DF=CE（全等三角形的对应角相等）

点评：本题直接给出了一边一角对应相等，因此根据SAS再证出另一边（即AF=BE）相等即可，进而推出对应边相等。

练习、如图，AB,CD互相平分于点O，请尽可能地说出你从图中获得的信息（不需添加辅助线）。

例5.（ASA）如图，已知点E,C在线段BF上，BE=CF,AB∥DE,∠ACB=∠F,求证：AB=DE.龙文教育东晓南分校电话：020-62769991

分析：要证AB=DE，结合BE=CF，即BC=EF，∠ACB=∠F逆推，即要找到证△ABC≌△DEF的条件。

证明:AB∥DE,∠B=∠DEF.又BE=CF，BE+EC=CF+EC,即BC=EF.BDEF

在△ABC与△DEF中,BCEF

ACBF

△ABC≌△DEF(ASA),AB=DE.例6.（AAS）如图，已知B,C,E三点在同一条直线上，AC∥△ABC≌△CDE.分析：在△ABC与△CDE中，条件只有AC=CE,由AC∥DE，可知∠B=∠D,于是△ABC≌△CDE的条件就有了。证明：AC∥DE，∠ACB=∠E,且∠ACD=∠D.又∠ACD=∠B,∠B=∠D.BD

在△ABC与△CDE中,ACBE,ACCE

△ABC≌△CDE(AAS).解题规律：通过两直线平行，得角相等时一种常见的证角相等的方法，也是本题的解题关键。

例7.（HL）如图，在Rt△ABC中，∠A=90,点D为斜边BC上一点，且BD=BA,过点D作BC得垂线，交AC于点E，求证：AE=ED.分析：要证AE=ED，可考虑通过证相应的三角形全等来解决，但图中没有现成的三角形，因此要考虑添加辅助线构造出两线段所在的三角形，结合已知条件，运用“三点定形法”知，连接BE即可。证明：连接BE.ED⊥BC

于D,∠EDB=90.BABDBEBE

在Rt△ABE与Rt△DBE中，

Rt△ABE≌Rt△DBE(HL),AE=ED.解题规律：连接BE构造两个直角三角形是本题的解题关键。特别提醒：连公共边是常作得辅助线之一。

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三、课堂同步练习

1.如图，AB=AD,CB=CD,△ABC与△ADC

2.如图，C是AB的中点，AD=CE,CD=BE,3.如图，△ABC中，AB=AC,AD是高，求证：(1)BD=CD;(2)∠BAD=∠CAD.4.如图，AC⊥CB,DB⊥CB,AB=DC,求证∠ABD=∠

5.如图，点B,E,C,F在一条直线上，AB=DE,AC=DF,BE=CF,求证∠A=∠D.龙文教育东晓南分校电话：020-62769991

6.如图，AC和BD相交于点O，OA=OC,OB=OD.求证DC∥AB.7.如图，点B,E,C,F在一条直线上，FB=CE,AB∥

8.如图，∠1=∠2，∠ABC=∠DCB。求证：AB=DC。

EED，129.已知B,求证： ABECDE

BC

A

D

篇3：全等三角形的教学策略

策略一: 全等三角形要突出“对应”

在全等三角形中,快速准确地找出对应顶点、对应角、对应边是解决全等三角形相关问题的关键,可从三方面入手.

1. 从全等三角形几何语言书写规则入手. 全等三角形用几何语言表示时,通常要求把表示对应顶点的字母书写在对应的位置上. 依据书写规则,对应位置的字母就是对应顶点的字母,对应位置两个字母所表示的线段就是对应线段. 我们不仅要求学生能这样规范地书写几何语言,而且要让学生能从几何语言中快速准确地判断出全等三角形对应顶点、对应角、对应边.

例1已知△ABD≌△CDB,若AB = 4,AD = 5,BD = 6,∠ABD = 30°,则CB =_____,CD =_____,∠CDB=_____.

分析依据全等三角形几何语言书写规则,△ABD中A,B,D的对应顶点分别为C,D,B,边AB的对应边是CD,边AD对应边是CB,边BD的对应边是DB,∠ABD的对应角是∠CDB,解答自然就解决了.

2. 直观观察法. 依据全等三角形的性质“全等三角形的对应边相等,对应角相等”,可以得出以下直观判断方法,判断对应顶点、对应角的方法: ( 1) 一对最小的角是对应角,一对最大的角是对应角; ( 2) 有公共角的,公共角是对应角;( 3) 有对顶角的,对顶角是对应角; ( 4) 对应边所对的角是对应角. 对应角的顶点即为对应顶点. 判定对应边的方法为: ( 1) 一对最短的边是对应边,一对最长的边是对应边;( 2) 有公共边的,公共边是对应边; ( 3) 对应角所对的边是对应边.

3. 图形变换法. 全等图形都是通过平移、翻折或旋转变换而得到的,全等三角形也不例外,如果我们能依据图形,找出两全等三角形是通过什么变换而得到的,自然就可以快速准确找出对应顶点、对应角、对应边了. 现以下面三幅图为例说说变换法找对应.

图( 1) 是将△ABC沿AF向下平移而得到△DEF,所以顶点A的对应点是D,顶点B的对应点E,顶点C的对应点是F. 图 ( 2) 是△ABC绕点A顺时针旋转∠BAD而得到△ADE,所以顶点A的对应点是A,顶点B的对应点是D,顶点C的对应点是E. 图( 3) 是将△ABC先左右翻折,再向左平移一定的距离而得到△DFE,所以顶点A的对应点是D,顶点B的对应点是F,顶点C的对应点是E. 有了对应点,对应线段和对应角自然就知道了. 理解了全等三角形是怎样变换而来的,我们就能快速准确地找到对应顶点、对应角、对应边了.

策略二: “学”会三角形全等的直接条件、间接条件以及如何将间接条件转化为直接条件

所谓三角形全等的直接条件就是: 给出的已知条件正好是两三角形对应边或对应角相等,直接用来证明三角形全等就可以了. 而间接条件是指: 给出的已知条件不是两三角形对应边或对应角相等,而是要通过一步、两步或多步推理,转而得到两三角形对应边相等或对应角相等的条件. 间接条件可通过推理转化为证明两三角形全等的直接条件.通过下面例题来区分直接条件与间接条件.

例2如图,∠A = ∠B,∠1 =∠2,EA = EB.

证明: △EAC≌△EBD.

其中∠A = ∠B,EA = EB就是要证两三角形的对应角和对应边,所以是直接条 件; 而∠1,∠2并不是△EAC和△EBD的内角,所以∠1 = ∠2不是直接条件,而是间接条件,但可以通过一步简单推理: 因为∠1 = ∠2,所以∠1 + ∠BEC = ∠2 + ∠BEC,所以∠AEC = ∠BED. 将∠1 =∠2这个间接条件转化为直接条件∠AEC = ∠BED.

在间接条件中,可将间接条件分为简单间接条件和复杂间接条件. 所谓简单间接条件就是跟直接条件联系紧密,往往可通过一步或两步简单推理就能转化为直接条件. 在证三角形全等中,常见的简单间接条件主要有以下几种:

1. 角平分线,角平分线这一间接条件可推导出一对对应角相等

例3已知: 如图,OA平分∠BOC,OB = OC. 求证: AB = AC.

分析因为OA平分∠BOC,所以∠BOA = ∠COA,将角平分线这一间接条件转化为证明三角形全等的直接条件.

2. 中点( 中线)

例4如图,O是AB的中点,∠A = ∠B,△AOC与△BOD全等吗?为什么?

分析因为O是AB的中点,所以OA = OB,将O是AB的中点这一间接条件转化为证明三角形全等的直接条件.

3. 垂直

例5如图,AC⊥AB,BD⊥AB,CE⊥DE,CE = DE. 求证: AC + BD= AB.

分析AC⊥AB,BD⊥AB,可以轻松推导出∠A = ∠B. 将垂直这一间接条件转化为证明三角形全等的直接条件.

4. 同角或等角的余角( 补角) 相等

例6如图,∠ABC = 90°,AB = BC,D为AC上一点,分别过A,C作BD的垂线,垂足分别为E,F. 求证: EF + AE = CF.

分析本题的关键是利用同角的余角相等,因为∠ABC = 90°,CF⊥BD,所以∠ABE + ∠CBE = 90°,∠BCF + ∠CBE = 90°,所以∠ABE =∠BCF. 同角或等角的余角( 补角) 相等这一间接条件需要我们去发现,并能熟练的将其转化为证明三角形全等的直接条件.

5. 共一部分角

例7如图,已知∠BAD = ∠EAC,AB =AE,AC = AD,求证: △ABC≌△ADE.

分析∠BAD和∠EAC并不是△ABC和△ADE的内角,所以不能直接用来证明三角形全等,但仔细观察一下,∠DAC是两三角形内角∠BAC和∠DAE的公共部分,分别将∠BAD和∠EAC加上∠DAC正好转化为两三角形的内角. 因为∠BAD = ∠EAC,所以∠BAD + ∠DAC = ∠EAC + ∠DAC,即: ∠BAC = ∠DAE. 共一部分角这一间接条件转化为直接条件是每名同学必须学会的,解题时常常会遇到.

6. 共一部分边

例8如图,点C,F在AD上,且AF =DC,∠B = ∠E,∠A = ∠D,你能证明AB =DE吗?

分析已知条件中AF与DC显然不是△ABC与△DEF的边,所以AF = DC是间接条件,不能直接运用,观察不难发现FC是线段AF与DC的公共部分,分别将AF和DC减去FC就能得到直接条件AC = DF. 共一部分边这一间接条件转化为直接条件也是每名同学必须学会的,解题时常常会遇到.

7. 两线平行

例9已知: 如图,点E,F在CD上,且CE = DF,AE = BF,AE∥BF.

1求证: △AEC≌△BFD;

2你还能证得其他新的结论吗?

分析AE∥BF跟三角形全等并没有直接关系,所以是间接条件,因为AE∥BF,所以∠AEC = ∠BFD,很快将平行转化为了对应角相等. 两直线平行的三个性质中“两直线平行,内错角相等”和“两直线平行,同位角相等”用得比较多,而“两直线平行,同旁内角互补”在三角形全等中用得比较少.

复杂间接条件指的是与要证的全等三角形没有直接联系,而与其他全等三角形有关,通过证明其他三角形全等,再依据全等三角形的性质来转化为要证的全等三角形对应边或对应角相等.

策略三: “做”好三角形全等的基本图形的研究与隐含条件挖掘

由于全等三角形都是通过平移、翻折或旋转变换而得到的,知道全等三角形的变换过程和基本图形,对我们解题是大有裨益的. 尤其要让学生理解基本图形( 图形很多,有代表性的为基本图形) 中隐含的条件. 这些隐含条件往往是解题的关键所在.

1. 共边型全等三角形

共边型全等三角形有两个基本图形,如图 ( 1) 、图( 2) ,图( 1) 是将△ABC左右翻折而得到,两三角形在公共边BC的同一侧,图( 2) 是将

△ABC旋转后再平移而得到,两三角形在公共边AC的两侧,无论是图( 1) 还是图( 2) ,共边型全等三角形隐含的条件是公共边相等. 即图( 1) 中BC = BC,图( 2) 中AC = AC.

2. 共一部分边型全等三角形

共一部分 边型全等三角形主要也是两个基本图形,图( 3) 是分离型,给出的已知条件往往是CE = FB,我们一定要快速推导出EF = BC; 图( 4) 是重叠型,给出的已知条件往往是AE = CF,我们也要快速推导出AF = CE. 这些隐含条件往往是解题的关键所在.

3. 共角型全等三角形

如图( 5) 就是共角型全等三角形的基本图形,△AEC可由△AFB翻折得到,共角型全等三角形隐含的条件是∠A = ∠A.

4. 共一部分角型全等三角形

共一部分角型全等三角形主要也有两个基本图形,部分重叠型 ( 如图( 6) ) 和分离型( 如图( 7) ) ,在图( 6)中,有两种给已知条件的方式,一是已知∠BAD = ∠EAC,我们要快 速推出∠BAC = ∠EAD; 二是反过来已知∠BAC = ∠EAD,我们也能快速推出∠BAD = ∠EAC. 对于图( 7) 我们也有类似的结论.

5. 对顶角型全等三角形

对顶角型全等三角形是比较简单的,隐含的条 件就是对 顶角相等,即∠AOB = ∠COD.

篇4：全等三角形的概念透析

一、 全等形与全等三角形

形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合. 能够完全重合的两个图形叫做全等形. 能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.

注意：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等. 两个全等形的周长相等，面积相等.

例1 下列每组中的两个图形，是全等图形的为（ ）.

【答案】 A

【解析】 B、C、D选项中形状相同，但大小不等.

【评注】 是不是全等形，既要看形状是否相同，还要看大小是否相等.

【变式】 如图，在5个条形方格图中，图中由实线围成的图形与①全等的有_____.

【答案】 ②、④

提示：找出与①形状、大小相同的图形.

二、 对应顶点、对应边、对应角

1. 对应顶点、对应边、对应角的定义

两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.

在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边和对应角. 如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D、点B和点E、点C和点F是对应顶点；AB和DE、BC和EF、AC和DF是对应边；∠A和∠D、∠B和∠E、∠C和∠F是对应角.

2. 找对应边、对应角的方法

（1） 全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；

（2） 全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；

（3） 有公共边的，公共边是对应边；

（4） 有公共角的，公共角是对应角；

（5） 有对顶角的，对顶角一定是对应角；

（6） 两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等.

例2 如图，△ABN≌△ACM，∠B和∠C是对应角，AB与AC是对应边，写出其他对应边和对应角.

【答案与解析】 对应边：AN与AM、BN与CM.

对应角：∠BAN与∠CAM、∠ANB与∠AMC.

【评注】 全等三角形对应角所对的边是对应边；全等三角形对应边所对的角是对应角.

【变式】 如图，△ABD≌△ACE，AB=AC，写出图中的对应边和对应角.

【答案】 AB和AC是对应边，AD和AE、BD和CE是对应边，∠BAD和∠CAE是对应角，∠B和∠C，∠ADB和∠AEC是对应角. 在找对应边和对应角时可以根据图形进行，即最长边与最长边是对应边，最短边与最短边是对应边，最大角与最大角是对应角，最小角与最小角是对应角. 最关键是找出对应字母，按照字母来找对应线段和对应角. 这就要求我们平时在书写时一定要注意规范，按照字母的对应方式书写全等. 如△ABC≌△DEF与△ABC和△DEF全等是有区别的. 前者规定了A、D，B、E，C、F的对应，而后者就有好多种对应情况了.

三、 全等三角形的性质

全等三角形的对应边相等；

全等三角形的对应角相等.

注意：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等. 全等三角形的性质是今后研究其他全等图形的重要工具.

例3 如图△ABC≌△DEF，AB=8，BC=6，求DF的取值范围.

【答案】 2

【解析】 由△ABC≌△DEF，得到对应边相等. 即DE=AB=8，EF=BC=6.

根据△DEF三边关系，2

【变式】 在此题目中，如果△ABC的面积为20，其他条件不变，那么△DEF的面积是多少？周长的范围是什么？

【答案】 根据全等三角形面积、周长分别相等，△DEF的面积也为20. 又2

故16<△ABC的周长<28.

即16<△DEF的周长<28.

四、 全等三角形的条件

基本事实：

两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（SAS）.

两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（ASA）.

三边分别相等的两个三角形全等（SSS）.

推论：

两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）.

定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（HL）.

这5种判定方法中两个三角形都具备3对元素（边或角）分别相等的条件.

注意：（1）至少有一组边；（2）没有SSA的判定.

篇5：全等三角形的知识点总结

1、如图△ABC中，F是BC上的一点，且CF2那么△ABF与△ACF的面积比是＿＿＿＿＿

O2、如图17所示，在∠AOB的两边上截取AO＝BO，OC＝OD，连接

D CAD、BC交于点P，连接OP，则下列结论正确的是

()

AB

①△APC≌△BPD②△ADO≌△BCO③△AOP≌△BOP④

△OCP≌△ODP

A．①②③④B．①②③C．②③④D．①③④

3、如图，CE平分∠ACB，且CE⊥DB，∠DAB＝∠DBA，AC＝18cm，A

B

C

△CBD的周长为28 cm，则DB＝。

4、如图在△ABC中,AB=AC,点D为AB的中点,DE⊥AB,交AC于E,已知△BCE的周长为10cm,且AC-BC=2cm ,求△ABC的周长。

5、已知：如图，四边形ABCD中，AC平分BAD，CEAB 于E，且B+D=180，求证：AE=AD+BE

A

D

E B

C6、在△ABC中, AB = AC, AD和CE是高,它们所在的直线相交于H.⑴若∠BAC = 45°（如图①）,求证：AH = 2BD;⑵若∠BAC = 135°（如图②）,⑴中的结论是否依然成立？请在图②中画出图形并证明你的结论.B

H D

图①

图②

7、在△ABC中，AC＝BC,∠C＝90°，将一块三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕P点旋转，三角板的两直角边分别交AC、CB于D、E两点，如图（1）、（2）所示。

ADC

B

A

D

C

(2)

B

C

(3)

E(1)

问PD与PE有何大小关系？在旋转过程中，还会存在与图⑴、⑵不同的情形吗？若存在，请在图⑶中画出，并选择图⑵或图⑶为例加以证明，若不存在请选择图⑵加以证明．

8、如图已知： △ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于D，DE∥BC交AB于E，交AC于F。求证：BE=EF+CF9、在△ABC中∠BAC是锐角，AB=AC，AD和BE是高，它们交于点H，且AE=BE；（1）求证：AH=2BD；

（2）若将∠BAC改为钝角，其余条件不变，上述的结论还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

10、已知：在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，BD平分∠ABC，CE垂直于BD交BD的1延长线于E，求证：CE= BD.总结：如何做几何证明题

知识归纳：

1.几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。2.掌握分析、证明几何问题的常用方法：（1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决；

（2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；

（3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。

3.掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。

一、证明线段相等或角相等

两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。

二、证明直线平行或垂直

在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。证两直线平行，可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直线垂直，可转化为证一个角等于90°，或利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线合一”来证。

三、证明一线段和的问题

1、在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线段。（截长法）

2、延长一较短线段，使延长部分等于另一较短线段，则两较短线段成为一条线段，证明该线段等于较长线段。（补短法）

初中几何证明技巧（分类）

证明两线段相等

1.两全等三角形中对应边相等。2.同一三角形中等角对等边。

3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。

6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。

8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。

*9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。*10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等 11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。*12.两圆的内（外）公切线的长相等。13.等于同一线段的两条线段相等。

证明两个角相等

1.两全等三角形的对应角相等。2.同一三角形中等边对等角。

3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。

4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。

*6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。

*7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。8.相似三角形的对应角相等。

*9.圆的内接四边形的外角等于内对角。10.等于同一角的两个角相等。

证明两条直线互相垂直

1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。

2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。4.邻补角的平分线互相垂直。

5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。6.两条直线相交成直角则两直线垂直。

7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。8.利用勾股定理的逆定理。9.利用菱形的对角线互相垂直。

*10.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦。*11.利用半圆上的圆周角是直角。

证明两直线平行

1.垂直于同一直线的各直线平行。

2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。3.平行四边形的对边平行。

4.三角形的中位线平行于第三边。5.梯形的中位线平行于两底。6.平行于同一直线的两直线平行。7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。证明线段的和差倍分

1.作两条线段的和，证明与第三条线段相等。

2.在第三条线段上截取一段等于第一条线段，证明余下部分等于第二条线段。3.延长短线段为其二倍，再证明它与较长的线段相等。4.取长线段的中点，再证其一半等于短线段。

5.利用一些定理（三角形的中位线、含30度的直角三角形、直角三角形斜边上的中线、三角形的重心、相似三角形的性质等）。

证明角的和差倍分

1.与证明线段的和、差、倍、分思路相同。2.利用角平分线的定义。3.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

证明线段不等

1.同一三角形中，大角对大边。2.垂线段最短。

3.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

4.在两个三角形中有两边分别相等而夹角不等，则夹角大的第三边大。*5.同圆或等圆中，弧大弦大，弦心距小。6.全量大于它的任何一部分。

证明两角的不等

1.同一三角形中，大边对大角。

2.三角形的外角大于和它不相邻的任一内角。

3.在两个三角形中有两边分别相等，第三边不等，第三边大的，两边的夹角也大。4.同圆或等圆中，弧大则圆周角、圆心角大。5.全量大于它的任何一部分。

证明比例式或等积式

1.利用相似三角形对应线段成比例。2.利用内外角平分线定理。3.平行线截线段成比例。

4.直角三角形中的比例中项定理即射影定理。

篇6：全等三角形的判定

定义：能够完全重合的三角形叫做全等三角形，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角 性质：全等三角形对应边和对应角相等

活动二：进入本节课的学习引入两个探究：

探究

1，三角形全等的性质让我们知道AB=AB’BC=BC’AC=AC’∠A=∠A’∠B=∠B’∠C=∠C’，满足六个条件中的一部分，能确定△ABC≌△A’B’C’吗？先让学生画出△ABC，再让学生在画△A’B’C’过程中明白，确定一个条件或两个条件下不能确定两个三角形全等。通过一定时间的探究，利用尺规作图法画△A’B’C’引导得出，当AB=A’B’BC=B’C’

AC=A’C’时，只能画出一个△A’B’C’满足条件，于是得出定理：三个对应边相等的两个三角形全等，简写成SSS。

活动三：得出定理后，通过讲解简单的例题，让学生懂得定理SSS定理的运用。

例题1：如图1,△ABC是一个钢架，AB=AC,AD是连接点A与BC中点D的支架。求证△AB≌△ACD证明：∵D是BC的中点，∴BD=CD.∵AB=AC BD=CD AD=AD

∴△ABC≌△ACD(SSS)

探究

2，先让学生画出△ABC，再让学生在画△A’B’C’，使AB=AB’AC=AC’∠A=∠A’（即使两边和它们的夹角对应相等）。把画好的△A’B’C’剪下，放到△ABC上，看它们是否全等，于

是得出：定理两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成SAS。

篇7：全等三角形的判定教案

教学任务分析

一、教学目标

1、知识技能：

1）掌握全等三角形的4种判定方法；

2）利用三角形全等的判定方法证明三角形全等；

3）通过证明三角形的全等，利用全等三角形的性质来证明其他的结果。

2、教学思考

1）在经历寻找证明全等三角形的条件来感受全等三角形的判断意义；

2）通过观察、比较、证明，学会运用全等三角形的判断条件去证明全等三角形；

3、解决问题

1）在经历解决实际问题的过程中，发展逻辑思维，发展观察、抽象的能力，加强逻辑推理能力；

2）通过说、写，提高解决问题的能力；

4、情感态度

通过交流，培养主动与他人合作的意识；

二、重点：全等三角形全等的判定

三、难点：对全等三角形全等的判定的应用

教学流程安排

活动

1、复习全等三角形判断的方法

活动

2、利用全等三角形判断的方法证明全等三角形，根据全等三角形的性质得到线段相等或角相等；

活动

3、小结与作业

活动内容和目的

一、复习已经学习过的全等三角形判断方法： SSS、SAS、ASA、AAS

二、练习

篇8：全等三角形的知识点总结

1. 经历运用全等三角形解决实际问题的过程,感受全等三角形知识在现实生活中的应用,体验数学与现实生活的联系,培养实践与创新、质疑与反思的能力.

2. 进一步增强数学应用和团队协作的意识,逐步养成自觉运用数学知识解决现实问题以及小组合作学习的态度与习惯.

二、活动准备

20米皮尺、三角板或量角器、标杆、足够长的细绳.

三、活动时间

90分钟

四、活动过程

1.提出问题

问题1:如图1,学校毕业林有一座假山,现在我们无法直接测量这座假山的最大宽度,请你运用刚刚学习的全等三角形知识,借助给定工具,制定测量方案并测量出假山的宽度.

问题2:如图2,学校教学区与生活区之间有一条小河相隔,无法直接测量其宽度,你能在河的一侧测量出河的宽度吗? 请你运用刚刚学习的全等三角形知识,借助给定工具,制定测量方案并测量出假山的宽度.

问题3:如图3,学校操场上有一个旗杆, 无法直接测量其高度, 你能在地面上测量出旗杆的高度吗?请你运用刚刚学习的全等三角形知识,借助给定工具,制定测量方案并测量出旗杆的高度.

【活动说明】问题的背景来源于学校的假山、河流和旗杆,一方面便于数学活动的开展,学生在校内开展实践活动,既经济又安全;另一方面,问题的背景就在学生身边,学生感到亲切而自然,同时也让学生感受到身边处处有数学.

2. 研讨方案

全班分成4人一组,在个人独立思考、 充分酝酿的基础上,以小组为单位,研讨、 制定活动方案,教师深入到学生中,提供咨询服务,必要时给予适当的引导.

【活动说明】本阶段主要是在学生个人思考的基础上开展小组讨论活动,小组内个人谈活动设想,各成员相互补充、集思广益,以使方案更加完善而切实可行,体现集体的智慧,培养团队协作的意识.

3. 方案实施

各小组根据本组制定的方案,走出教室到活动场地进行实地测量.

根据各小组活动情况,教师给予及时的帮助.

【活动说明】在实施方案的过程中,培养学生操作实践能力,检验方案的科学性、可行性和可操作性.在实际操作中,很多问题是预想不到的,碰到困难,要求学生学会共同协商解决,并及时调整和改进原定方案,这是培养学生实践与创新能力、团结协作精神的良好契机.

4. 反思交流

4.1各小组汇报本组采用的测量方法,其他小组进行评论和质疑.

4.2分小组总结测量活动经验,并在全班进行交流、研讨:

(1)各小组测量的结果都一样吗?有误差吗?想一想造成误差的原因可能有哪些.

(2)按照方案进行实地测量时,你们是如何根据实际情况完善和改进方案的?

(3)通过本次活动的开展,你对数学与生活的联系、数学在解决实际问题中的作用有哪些体会和新的认识?

4.3结合在本次活动中的经历和在活动中获得的自主活动经验,写一篇数学应用小论文.

4.4利用学校校报、橱窗和班级黑板报等阵地,展示学生的优秀小论文;利用数学兴趣小组对学生的小论文进行评析, 提出修改完善的意见;将优秀小论文向报刊社推荐,力争能发表,在更大的层面上展示学生的活动成果.

【活动说明】数学小论文的写作能够让学生把对知识的理解内化为个人能力,使学生学会主动学习、学会反思、学会研究. 同时,数学写作培养了学生理解数学、表达数学及应用数学的能力,这对促进学生学习的主动性和创造性,培养学生的独立研究能力和创新能力是大有裨益的.

5. 活动评价

采取多种方式对学生在数学活动中的表现进行全方位评价,并完成以下活动评价表:

篇9：全等三角形的好助手

一、 平移

平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移. “一定的方向”称为平移方向，“一定的距离”称为平移距离.

平移特征：图形平移时，图形中的每一点的平移方向都相同，平移距离都相等.

解题时要抓住平移前后两个图形是全等的，弄清平移后不变的要素.

例1 （2008·呼和浩特）将图1中的矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到图2中的△A′B′C′，其中E是A′B′与AC的交点，F是A′C′与CD的交点. 在图2中除△ADC与△C′B′A′全等外，还有几对全等三角形（不添加辅助线和字母）？请一一指出，并选择其中一对证明.

故选C.

【点评】 本题主要考查了翻折变换，关键是掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.

平移、旋转、翻折实际上是一种全等变换，由于具有可操作性，因而是考查同学们动手能力、观察能力的好素材，试题中频繁出现了相关的的内容. 题型多以填空题、计算题呈现. 在解答此类问题时，我们通常将其转换成全等求解. 根据变换的特征，找到对应的全等形，通过线段、角的转换达到求解的目的.

篇10：全等三角形的教学反思

甜水中学中学部

王萍

2014-10-10

一、教学方法：

让学生通过观察体会身边的民族图案和作图，观察体会全等图形的定义，自学全等图形的特征，通过练习总结和强化对应边、对应角的寻找方法。从而体会什么样的两个图形是全等三角形。

二、教学过程设计

1、本节课我本着学生为主，突出重点的意图。在全等图形的定义推导中，我让学生自己动手，通过平移、翻折和旋转的作图，为体会重合的图形全等这一定义提供了分析、思考、发现的依据，把抽象问题转化为具体问题。而全等图形的特征及对应边对应角的寻找这一难点，我通过具体练习让学生总结，并带领学生寻找快速寻找对应元素的方法，练习的设计采用由易到难的手法，符合学生的思维发展，一气呵成，突破了本节课的重点和难点。而在练习中，我创设情境，展示教材上的图案和学生身边所熟悉的民族图案，引导学生读图，激发学生的兴趣，从图中去发现存在形状与大小完全相同的图形。然后我安排学生自己动手随意去做两个形状与大小相同的图形，通过动手实践，直观感知全等形和全等三角形的概念。并且通过让学生找出生活中的全等图形让学生体会数学来源于生活，生活离不开数学，激起学生热爱数学。

2、我在结尾总结全等图形时让学生在生活中寻找实例，体现了数学与生活的联系；渗透美学价值。让学生自己动手随意去做两个形

状与大小相同的图形，通过动手实践，合作交流，直观感知全等形和全等三角形的概念。然后，通过阅读的方法让学生找出全等形和全等三角形的概念。

3、从教学流程来说：情境创设——自学概念与特征——练习与小结——变式练习——应用数学，我创造性调整了教学顺序：在学生掌握了全等图形定义和特征后，增添了书上没有的民族地区常见图形练习，为全等图形的变换奠定了基础。再通过探究实践，将想与做有机地结合起来，使学生在想与做中感受和体验，主动获取数学知识。像采用这种由易到难的手法，符合学生的思维发展，突破了本节课的重点和难点，培养学生做民族文化的传承人。

三、不足之处。

1、没有充分利用好我们身边的民族文化资源调动学生，因为我们这里的民族文化资源丰富，而学生又很熟悉，随处可见，而书上的好多图案学生感知不到的。

篇11：全等三角形的性质课件

执教老师：xx

教学内容：湘教版数学八年级上册第三单元“全等三角形的性质”

教学目标：

1、在现实情境中，了解全等形的概念及全等三角形的概念及其性质

2、在具体情境中，会使用全等符号“≌”标注两个全等三角形

3、会找出两个全等三角形的对应边和对应角

教学重点：全等三角形的概念及性质

教学难点：找全等三角形对应边和对应角

教学用具：幻灯、全等三角形、剪刀、学具袋

教学过程：

（一）、教学导入

1、问题：在平面内，我们学过哪几种图形的变换？共同的性质是什么？今天我们在它的基础上学习新的内容。

（二）、新授

1、全等形及全等三角形的概念。

A、（幻灯）引出完全重合。

问题：同学们，你能举出生活中完全重合的两个图形的例子吗？

让学生讨论，交流结果，充分肯定学生的思考与发现，教师可列举一些例子。

B、教师归纳

（1）、全等形：能够完全重合的图形。

（2）、全等三角形：能够完全重合的两个三角形。

2、会使用全等符号“≌”标注两个全等三角形和找两全等三角形的对应边和对应角。

A、学生活动：每位同学用剪刀把准备好的全等三角形剪下来，意见和建议

进一步加深概念的理解。

B、教师活动：将剪好的两个全等三角形贴在黑板上，标上顶点字母。

引出：（1）、△ABC全等于△A′B ′C ′,全等于用“≌”表示，读作“全等于”，记作：△ABC△≌△A′B ′C ′。

（2）、对应顶点：互相重合的顶点。

对应边：互相重合的边。

对应角：互相重合的角。

学生试结合图，在ABC△≌△A′B ′C ′中找出对应顶点、对应边和对应角。

C、师生活动：将叠合的两个三角形其中一块沿任意直线作轴反射，摆出这两个全等三角形不同位置的组合图形，并指出对应元素。

D、(幻灯2)出示习题，学生在练习本上完成，做完后与同学交流，教师查巡学生练习的情况，最后师生归纳找对应角，找对应边的方法。

E、(幻灯3)归纳找对应角、找对应边的方法。

3、全等三角形的性质

A、在各种不同的变换下得到图形中，引导学生发现两个全等三角形的位置发生了变化，但他们的对应边、对应角不变，得出下面两条性质：

性质1：全等三角形对应边相等

性质2：全等三角形对应角相等

B、（幻灯4）找出全等三角形中相等的边与相等的角。

三、巩固练习

教材第71页“练习”

四、总结归纳

1、全等形及全等三角形的基本概念

2、会找全等三角形的对应边与对应角

3、全等三角形的性质

篇二：全等三角形的性质课件

一、教学分析学习方式分析：

对于全等三角形的研究，实际是平面几何中对封闭的两个图形关系研究的第一步。它是两个三角形间最简单，最常见的关系。它不仅是学习后面知识的基础，并且是证明线段相等、角相等以及两线互相垂直、平行的重要依据。因此必须熟练地掌握全等三角形的判定方法，并且灵活的应用。为了使学生更好地掌握这一部分内容，遵循启发式教学原则，用设问形式创设问题情景，设计一系列实践活动，引导学生操作、观察、探索、交流、发现、思维，使学生经历从现实世界抽象出几何模型和运用所学内容，解决实际问题的过程，真正把学生放到主体位置。学习任务分析：

充分利用教科书提供的素材和活动，鼓励学生经历观察、操作、推理、想象等活动，发展学生的空间观念，体会分析问题、解决问题的方法，积累数学活动经验。培养学生有条理的思考，表达和交流的能力，并且在以直观操作的基础上，将直观与简单推理相结合，注意学生推理意识的建立和对推理过程的理解，能运用自己的方式有条理的表达推理过程，为以后的证明打下基础。学生的认知起点分析：

学生通过前面的学习已了解了图形的全等的概念及特征，掌握了全等图形的对应边、对应角的关系，这为探究三角形全等的条件做好了知识上的准备。另外，学生也具备了利用已知条件作三角形的基本作图能力，这使学生能主动参与本节课的操作、探究成为可能。

二、教学目标

1、知识与能力:

(1)知道什么是全等三角形及全等三角形的对应元素;

(2)知道全等三角形的性质,能用符号正确地表示两个三角形全等;

(3)能熟练找出两个全等三角形的对应顶点、对应角、对应边、2、过程与方法:

(1)通过全等三角形有关概念的学习,提高学生数学概念的辨析能力;

(2)通过找出全等三角形的对应元素,培养学生的识图能力、（3）通过小组讨论、交流的活动，发展学生合作交流的意识和能力

3、情感态度价值观:

(1)通过感受全等三角形的对应美，培养学生热爱科学、勇于创新的精神，和多方位审视问题的能力与技巧。

(2)通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受,培养学生勇于创新,多方位审视问题的创造技巧。

三、教学重、难点：

1、重点：

(1)能准确地在图形中识别出对应边,对应角;

(2)全等三角形的性质和利用其基本性质进行一些简单的推理和计算、2、难点：

能在全等变换中准确找到对应边,对应角、四、教学的方法、学法：

教法：问题教学法。

学法：在教师的组织引导下，采用自主、合作、探究的学习方式。

五、课前准备：

1、教师：

准备彩色图片，三角形教具，学习卡。

2、学生：

直尺、三角板、香糊。

六、教学过程：

1、概念教学

（1）提出问题

（组织学生进行小组交流）

（2）动手操作演示

（3）引导学生得出全等形的概念与全等三角形的概念

2、指导预习

（1）组织学生动手操作。

（2）个别指导

3、问题教学

（1）提问交流收获。（2）组织小组交流。

教师提问，启发学生想一想它们如何重合。

↓

演示全等变换。

↓

指导学生用手中的模型做一做。

教师要求各小组分别进行讨论。然后到各小组分别加以指导。

4、设问练习

5、简结转新

6、布置作业

篇12：三角形全等的判定教案

1。 通过实际操作理解“学习三角形全等的四种判定方法”的必要性。

2。 比较熟练地掌握应用边角边公理时寻找非已知条件的方法和证明的分析法，初步培养学生的逻辑推理能力。

3。 初步掌握“利用三角形全等来证明线段相等或角相等或直线的平行、垂直关系等”的方法。

4。 掌握证明三角形全等问题的规范书写格式。

教学重点和难点

应用三角形的边角边公理证明问题的分析方法和书写格式。

教学过程设计

一、 实例演示，发现公理

1． 教师出示几对三角形模板，让学生观察有几对全等三角形，并根据所学过的全等三角形的知识动手操作，加以验证，同时写出全等三角形的数学表达式。

2． 在此过程当中应启发学生注意以下几点：

（1） 可用移动三角形使其重合的方法验证图3-49中的三对三角形分别全等，并根据图中已知的三对对应元素分别相等的条件，可以证明结论成立。如图3-49(c)中，由AB=AC=3cm，可将△ABC绕A点转到B与C重合；由于∠BAD=∠CAE=120°，保证AD能与AE重合；由AD=AE=5cm，可得到D与E重合。因此△BAD可与△CAE重合，说明△BAD≌△CAE。

（2） 每次判断全等，若都根据定义检查是否重合是不便操作的，需要寻找更实用的判断方法——用全等三角形的性质来判定。

（3） 由以上过程可以说明，判定两个三角形全等，不必判断三条边、三个角共六对对应元素均相等，而是可以简化到特定的三个条件，引导学生归纳出：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

3。画图加以巩固。

教师照课本上所叙述的过程带领学生分析画图步骤并画出图形，理解“已知两边及夹角画三角形”的方法，并加深对结论的印象。

二、 提出公理

1。板书边角边公理，指出它可简记为“边角边”或“SAS”，说明记号“SAS’的含义．

2．强调以下两点：

（1）使用条件：三角形的两边及夹角分别对应相等．

（2）使用时记号“SAS”和条件都按边、夹角、边的顺序排列，并将对应顶点的字母顺序写在对应位置上．

3．板书定理证明应使用标准图形、文字及数学表达式，正确书写证明过程．

如图3-50，在△ABC与△A’B’C’中，（指明范围）

三、应用举例、变式练习

1．充分发挥一道例题的作用，将条件、结论加以变化，进行变式练习，

例1已知：如图 3-51， AB＝CB，∠ABD＝∠CBD．求证：△ABD≌△CBD．

分析：将已知条件与边角边公理对比可以发现，只需再有一组对应边相等即可，这可由公共边相等 BD＝BD得到．

说明：（1）证明全等缺条件时，从图形本身挖掘隐含条件，如公共边相等、公共角相等、对顶角相等，等等．

（2）学习从结论出发分析证明思路的方法（分析法）．

分析：△ABD≌△CBD

因此只能在两个等角分别所在的三角形中寻找与AB，CB夹两已知角的公共边BD．

（3）可将此题做条种变式练习：

练习1（改变结论）如图 3-51，已知 AB＝CB，∠ABD＝∠CBD。求证：AD=CD，BD平分∠ADC。

分析：在证毕全等的基础上，可继续利用全等三角形的性质得出对应边相等，即AD=CD；对应角相等∠ADB=∠CDB，即BD平分∠ADC。因此，通过证明两三角形全等可证明两个三角形中的线段相等或和角相关的结论，如两直线平行、垂直、角平分线等等。

练习2(改变条件）如图 3－51，已知 BD平分∠ABC， AB＝ CB．求证: ∠A＝∠C．

分析：能直接使用的证明三角形全等的条件只有AB＝CB，所缺的其余条件分别由公共边相等、角平分线的定义得出．这样，在证明三角形全等之前需做一些准备工作．教师板书完整证明过程如下：

以上四步是证明两三角形全等的基本证明格式．

（4）将题目中的图形加以有规律地图形变换，可得到相关的一组变式练习，使刚才的解题思路得以充分地实施，并加强例题、习题之间的有机联系，熟悉常见图形，同时让学生总结常用的寻找所缺边、缺角条件的方法．

练习3如图 3-52（c），已知 AB＝AE， AD＝AF，∠ 1=∠2．求证： DB=FE．

分析：关键由∠1＝∠2，利用等量公理证出∠BAD＝∠EAF。

练习4如图 3-52(d)，已知 A为 BC中点， AE//BD， AE＝BD．求证： AD//CE．

分析：由中点定义得出 AB＝AC；由 AE//BD及平行线性质得出∠ABD=∠CAE．

练习5已知：如图 3-52(e）， AE//BD， AE＝DB．求证： AB//DE．

分析：由 AE//BD及平行线性质得出∠ADB=∠DAE；由公共边 AD＝DA及已知证明全等．

练习6已知：如图3－52（f），AE//BD，AE＝DB．求证：AB//DE，AB＝DE．

分析：通过添加辅助线——连结AD，构造两个三角形去证明全等．

练习7已知：如图 3-52（g）， BA＝EF， DF=CA，∠EFD=∠CAB．求证：∠B=∠E．

分析：由DF＝CA及等量公理得出DA＝CF；由∠EFD＝∠CAB及“等角的补角相等”得出∠BAD＝∠EFC．

练习8已知：如图3－52（h），BE和CD交于A，且A为BE中点，EC⊥CD于C，BD⊥CD于 D， CE＝⊥BD．求证： AC＝AD．

分析：由于目前只有边角边公理，因此，必须将角的隐含条件——对顶角相等转化为已知两边的夹角∠B=∠E，这点利用“等角的余角相等”可以实现．

练习9已知如图 3－52（i），点 C， F， A， D在同一直线上， AC＝FD， CE=DB， EC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为 C和D．求证：EF//AB．

在下一课时中，可在图中连结EA及BF，进一步统习证明两次全等．

小结：在以上例1及它的.九种变式练习中，可让学生归纳概括出目前常用的证明三角形全等时寻找非已知条件的途径．

缺边时：①图中隐含公共边；②中点概念；③等量公理④其它．

缺角时：①图中隐含公共角；②图中隐含对顶角；③三角形内角和及推论④角平分线定义；

⑤平行线的性质；⑥同（等）角的补（余）角相等；⑦等量公理；⑧其它．

例2已知：如图3－53，△ABE和△ACD均为等边三角形。求证：BD=EC．

分析：先选择BD和EC所在的两个三角形△ABD与△AEC，已知没有提供任一证两个三角形全等所需的直接条件，均需由等边三角形的定义提供．

四、师生共同归纳小结

1．证明两三角形全等的条件可由定义的六条件减弱到至少几个？边角边公理是哪三个

条件？

2．在遇到证明两三角形全等或用全等证明线段、角的大小关系时，最典型的分析问题的思路是怎样的？你体会这样做有些什么优点？

3。遇到证明两个三角形全等而边、角的直接条件不够时，可从哪些角度入手寻找非已知条件？

五、练习与作业

练习：课本第28页中第1题，第30页中1，3题。

作业：课本第32页中第6，7，8，9，10题。

课堂教学设计说明

本教学设计需2课时完成。

1．课本第3。5节内容安排3课时，前两课时学习三角形全等的边角边公理，重点练习直接应用公理及证明格式，初步学习寻找证明全等所需的非已知条件的方法，以及利用性质证明边角的数量关系及直线的位置关系，第3课时加以巩固并学习解决应用题和两次全等的问题。

2．本节将“理解全等三角形的判定方法的必要性“列为教学目标之一，目的是引起教师和学生的重视，只有学生真正认识到了研究判定方法的必要性，才能从思想上接受判定方法，并发挥出他们的学习主动性。

3．本节课将“分析法和寻找证明全等三角形时非已知条件的方法”作为教学目标之一，意在给学生归纳一些常用的解题思路，以便将它作为证明全等三角形的一种技能加以强化。

4．教材中将“利用证明两个三角形全等来证明线段或角相等”的方法做为例5出现，为时过晚，达不到训练的目的，因此教师应提前到第一、二课时，就教给学生分析的方法，并从各种角度加以训练。

5．教师可将例题1和几种变式练习制成投作影片（图3-52）提高课堂教学效率．教学使用时，重点放在题目的分析上，并体现出题目之间图形的变化和内在联系。

6．本节教学内容的两课时既教会学生分析全等问题的思路——分析法和寻找非已知条件的方法，又要求他们落实证明的规范步骤——准备条件，指明范围，列齐条件和得出结论，使学生遇到证明三角形全等的题目既会快速分析，又会正确表达．学生学生遇到证明三角形全等的题目既会快速分析，又会正确表达。节教学