用几何画板验证全等三角形”

2024-04-30

用几何画板验证全等三角形”（共4篇）

篇1：用几何画板验证全等三角形”

初二几何全等三角形检测

姓名：

一、填空题：

1、在△ABC中，若AC＞BC＞AB，且△DEF≌△ABC，则△DEF三边的关系为＿＿＿＜＿＿＿＜＿＿＿。

2、如图1，AD⊥BC，D为BC的中点，则△ABD≌＿＿＿，△ABC是＿＿＿三角形。

13、如图2，若AB＝DE，BE＝CF，要证△ABF≌△DEC，需补充条件＿＿＿＿或＿＿＿＿。

4、如图3，已知AB∥CD，AD∥BC，E、F是BD上两点，且BF＝DE，则图中共有＿＿＿对全等三角形，它们分别是＿＿＿＿＿。

图图图

55、如图4，四边形ABCD的对角线相交于O点，且有AB∥DC，AD∥BC，则图中有＿＿＿对全等三角形。

6、如图5，已知AB＝DC，AD＝BC，E、F在DB上两点且BF＝DE，若∠AEB＝120°，∠ADB＝30°，则∠BCF＝＿＿＿＿。

7、如图6，AE＝AF，AB＝AC，∠A＝60°，∠B＝24°，则∠BOC＝＿＿＿＿。

图图68、在等腰△ABC中，AB＝AC＝14cm，E为AB中点，DE⊥AB于E，交AC于D，若△BDC的周长为24cm，则底边BC＝＿＿＿＿。

9、若△ABC≌△A′B′C′，AD和A′D′分别是对应边BC和B′C′的高，则△ABD≌△A′B′D′，理由是＿＿＿＿＿＿，从而AD＝A′D′，这说明全等三角形＿＿＿＿相等。

10、在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B的平分线相交于O，则∠AOB＝＿＿＿＿。

二、选择题：

11、如图7，△ABC≌△BAD，A和B、C和D分别是对应顶点，若AB＝6cm，AC＝4cm，BC＝5cm，则AD的长为（）

A、4cmB、5cmC、6cmD、以上都不对

12、下列说法正确的是（）

A、周长相等的两个三角形全等

B、有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等

C、面积相等的两个三角形全等

D、有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等

13、在△ABC中，∠B＝∠C，与△ABC全等的三角形有一个角是100°，那么在△ABC中与这100°角对应相等的角是（）

A、∠AB、∠BC、∠CD、∠B或∠C14、下列条件中，能判定△ABC≌△DEF的是（）

A、AB＝DE，BC＝ED，∠A＝∠D

B、∠A＝∠D，∠C＝∠F，AC＝EF

C、∠B＝∠E，∠A＝∠D，AC＝EF

D、∠B＝∠E，∠A＝∠D，AB＝DE15、AD是△ABC中BC边上的中线，若AB＝4，AC＝6，则AD的取值范围是（）

A、AD＞1B、AD＜5C、1＜AD＜5D、2＜AD＜1016、下列命题错误的是（）

A、两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；

B、一条边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等

C、有两边和其中一边的对角（此角为钝角）对应相等的两个三角形全等

D、有两条边对应相等的两个直角三角形全等

17、如图

8、△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，CD⊥AB于E，BD和CE交于点O，AO的延长线交BC于F，则图中全等直角三角形的对数为（）

A、3对B、4对C、5对D、6对

图

8三、解答题与证明题：

18、如图，已知AB∥DC，且AB＝CD，BF＝DE，求证：AE∥CF，AF∥CE19、如图，已知AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝BE，AE＝BD，试猜想线段CE与DE的大小与位置关系，并证明你的结论。

20、如图，已知AB＝DC，AC＝DB，BE＝CE

求证：AE＝DE

A21、已知如图，E、F在BD上，且AB＝CD，BF＝DE，AE＝CF

求证：AC与BD互相平分

22、如图，∠ABC＝90°，AB＝BC，D为AC上一点，分别过A、C作BD的垂线，垂足分别为E、F

求证：EF＝CF－AE

参考答案：

1、DF，EF，DE；

2、△ACD，等腰；

3、∠B＝∠DEC，AB∥DE；

4、三，△ABE≌△CDF，△ADE≌△CBF，△ABD≌△CDB；

5、4；

6、90°；

7、108°；

8、10cm；

9、AAS，对应边上的高；

10、135°。

11、B；

12、D；

13、A；

14、D；

15、C；

16、D；

17、D；

18、∵AB∥DC ∴∠ABE＝∠CDF，又DE＝BF，∴DE＋EF＝BF＋EF，即BE＝DF；又AB＝CD，∴△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，∴AE∥CF，再通过证△AEF≌△CFE

得∠AFE＝∠CEF，∴AF∥CE19、猜想：CE＝ED，CE⊥ED，先证△ACE≌△BED

得CE＝ED，∠C＝∠DEB，而∠C＋∠AEC＝90°

∴∠AEC＋∠DEB＝90°

即CE⊥ED20、先证△ABC≌△DCB

得∠ABC＝∠DCB

再证△ABE≌△DCE，得AE＝DE21、由BF＝DF，得BE＝DF

∴△ABE≌△CDF，∴∠B＝∠D

再证△AOB≌△COD，得OA＝OC，OB＝OD

即AC、BD互相平分

22、证△ABE≌△BCF，得BE＝CF，AE＝BF，∴EF＝BE－BF＝CF－AE

篇2：用几何画板验证全等三角形”

关键词：几何画板应用,折叠法,三角形内角和定理,验证过程

随着科技的进步，课堂教学也与现代科技紧密结合，利用多媒体教学，可以使教学变得更加方便。首先，可以突破以往教学的难点，易于展示抽象的内容，例如立体图形等都可以用多媒体展示给学生，使学生易于理解;也可以为教师节约时间，将要在课堂中或课下花费时间重复制作的教具用多媒体制作展示，例如，在验证三角形内角和定理时，制作教具三角形，让学生折叠三个角使之成为平角。这样的教具虽然简单，但是每次都重复制作也浪费时间和资源。在此，我将展示如何应用几何画板展示用折叠法验证三角形内角和定理的过程，分两种情况进行展示，即直角三角形的展示和锐角三角形、钝角三角形的展示。

一、直角三角形的展示

第一步：作点A，选取线段工具，移动鼠标到A点，单击左键，并按住Shift键作线段AC，再将鼠标移动到C点，单击左键并按住Shift键作线段CB，连接线段AB，则完成三角形ABC的制作。选取线段工具，在线段AB上取一点E，按住Shift键作BC的平行线EF交AC于F点，同理过E点作AC的平行线EG交BC于G点。

第二步：选中线段AC、BC、AB，按Ctrl+H键，隐藏线段AC、BC、AB，选择线段工具，连接线段AE、BE、AF、FC、BG、GC。

第三步：选中点E、A、C，点击菜单栏上构造菜单，构造过三点弧EAC。

第四步：选中弧EAC，点击构造菜单，构造弧上点A，连接线段AE、AD。

第五步：选中构造点A点再选中C点，点击编辑菜单，选择操作类按钮，选择移动按钮，将按钮标签改为折叠A，再选中构造点A点，选中原A点，点击编辑菜单，选择操作类按钮，选择移动按钮，将按钮标签改为恢复A。隐藏三角形上的点A，线段AE、AF及弧EAC。则可完成折叠角A的过程。

第六步：过点E、B、C作过三点弧EBC，点击构造菜单，构造弧上点B，连接线段BE、BG。选中构造点B点再选中C点，点击编辑菜单，选择操作类按钮，选择移动按钮，将按钮标签改为折叠B，再选中构造点B点，选中原B点，点击编辑菜单，择操作类按钮，选择移动按钮，将按钮标签改为恢复B。隐藏三角形上的点B，线段BE、BG及弧EBC。则可完成折叠角B的过程。

最终直角三角形的折叠如下：

观察图像可得结论：将角A和角B折叠后所得的角ECF为九十度，即角A加角B为九十度，而角C为直角,因此角A加上角B加上角C为一百八十度。可得此三角形内角和为一百八十度。

二、锐角三角形或钝角三角形的展示

第一步：选择作点工具，作点A、B、C，选择线段工具，连接线段AB、AC、BC，过A点作BC的垂线交BC于D点，隐藏垂线，连接线段AD，选取线段工具在线段AB上取一点E选中线段BC作BC的平行线交AC于F点，隐藏平行线，连接线段EF，同理过E点作AD的平行线EG交BC于G点，过F点作AD的平行线FH交BC于H点。

第二步：隐藏线段AB、AC、BC，连接线段AE、AF、BE、BG、GH、CF、CH、DE、DF。

第三步：作线段AD上的点，记为A，连接AE、AF，选中构造点A，选中点D，点击编辑菜单，选择操作类按钮，选择移动按钮，将按钮标签改为折叠A，再选中构造点A点，选中原A点，点击编辑菜单，选择操作类按钮，选择移动按钮，将按钮标签改为复原A。隐藏三角形上的点A，线段AE、AF及垂线段AD。则可完成折叠角A的过程。

第四步：过点E、B、D作过三点弧EBD。

第五步：选中弧EBD，点击构造菜单，构造弧上点B，连接线段BE、BG。选中构造点B点再选中D点，点击编辑菜单，选择操作类按钮，选择移动按钮，将按钮标签改为折叠B，再选中构造点B点，选中原B点，点击编辑菜单，选择操作类按钮，选择移动按钮，将按钮标签改为复原B。隐藏三角形上的点B，线段BE、BG及弧EBD。则可完成折叠角B的过程。

第六步：选中点F、C、D，作过三点弧FCD，选中弧FCD，点击构造菜单，构造弧上点C，连接线段CF、CH。选中构造点C点再选中D点，点击编辑菜单，选择操作类按钮，选择移动按钮，将按钮标签改为折叠C，再选中构造点C点，选中原C点，点击编辑菜单，选择操作类按钮，选择移动按钮，将按钮标签改为复原C。隐藏三角形上的点C，线段CF、CH及弧FCD。则可完成折叠角C的过程。

最终锐角或钝角三角形折叠如下：

观察图像可得结论：角A、角B、角C折叠后形成一个平角，即角A的度数加上角B的度数加上角C的度数为一百八十度，即三角形内角和为一百八十度。

篇3：利用全等三角形巧解几何题

【例1】如图1，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA， PE⊥OB，垂足分别为D，E. F是OC上的另一点，连接DF，EF .求证：DF=EF.（人教版八年级上册第51页第5题）

【点拨】根据以往经验，要求证DF= EF ，可通过证这两条线段所在的两个三角形全等，但根据已知条件只能找到两个全等条件，还缺少第三个条件，故寻找第三个条件是解决问题的关键.

【解题方法】

方法1：先证△OPD≌△OPE，得OD=OE，这就是证明△ODF≌△OEF的第三个条件.

方法2：先证△OPD≌△OPE，得∠DPO=∠EPO，从而它们的邻补角∠DPF=∠EPF，这就是证明△DPF≌△EPF的第三个条件.

【总结】想要证明两个三角形全等而条件不够时，可先证其他三角形全等，得到对应边或对应角相等，再把这些作为证明所求的三角形全等的条件.

探究一：已知条件不变，结论改变

【变式1】如图2，已知AC平分∠BAN，CM⊥AB于点M，CN⊥AN于点N，且BM=DN，求∠ADC与∠ABC的关系.

【点拨】这道题求的是∠ADC与∠ABC的关系，与之前证线段相等或证角相等不同。仔细观察图形，可以发现有一对三角形△CDN和△CBM全等，从而把对应角∠ABC转移为∠CDN，而∠CDN与∠ADC是互补关系，因此得出∠ADC与∠ABC的关系.证明略.

【变式2】如图3，小强在∠AOB的平分线OM上任意取一点E，过点E分别作OA，OB的垂线EC，ED，垂足为C，D.当他把EC，ED反向延长，分别与OB，OA相交于点P，G后，他认为EP=EG，你认为他的看法正确吗？请说明理由.

【点拨】这道题要证明的是两条线段的关系，同样观察图形可知，可能会有三角形全等. 把这两条线段分别归入两个三角形中，再证明这两个三角形是否全等，从而可证小强的结论是否正确.本题证明过程相对简单，略.

【变式3】如图4，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点E，F，连接EF交AD于点G.请问AD与EF垂直吗？证明你的结论.

【点拨】这道题可用不同的方法来求解.

解题方法1：先证△AED≌△AFD，得AE=AF，再证△AEG≌△AFG，从而得到∠AGE=∠AGF=90°.

解题方法2：先证AD是∠EDF的平分线，根据角平分线的性质，得AE=AF，再证△AEG≌ △AFG，从而得到∠AGE=∠AGF=90°.

证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴∠EAD+∠EDA=90°， ∠FAD+∠FDA=90°

∵ AD是△ABC中∠BAC的角平分线

∴∠EAD=∠FAD

∴∠EDA=∠FDA

∴ AD是∠EDF的角平分线

∵ AE⊥DE，AF⊥DF

∴ AE=AF

在△AEG和 △AFG中，AE=AF，∠EAG=∠FAG，AG=AG

∴ △AEG≌ △AFG （SAS）

∴∠AGE=∠AGF=90°

∴ AD⊥EF

探究二：图形延伸的变式题

【变式1】如图5，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，P是AD上的一点，PE∥AB，交BC于点E，PF∥AC，交BC于点F.求证：点D到PE和PF的距离相等.

【点拨】欲证点D到PE和PF的距离相等，要先证点D在∠EPF的平分线上.

证明： ∵AD是∠BAC的平分线

∴∠BAD=∠CAD

∵PE//AB ，PF//AC，

∴∠BAD=∠EPD，∠CAD=∠FPD

∴∠EPD=∠FPD

∴PD是∠EPF的平分线

∴点D到PE和PF的距离相等.

【变式2】如图6，P是∠BAC内的一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE=AF.

求证：（1）PE=PF；

（2）点P在∠BAC的平分线上.

证明：连接AP

（1）∵PE⊥AB，PF⊥AC

∴△APE和△APF是直角三角形

在Rt△APE和Rt△APF中，

AP=AP

AE=AF

∴△APE≌△APF （HL）

∴PE=PF

（2）据（1）得PE=PF

∵PE⊥AB，PF⊥AC

∴点P在∠BAC的平分线上

探究三：更复杂的图形延伸探究

【变式1】（1）如图7，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，∠BAC与∠BCA的角平分线AD，CE相交于点F.请你判断FE与FD之间的数量关系，并说明理由.

【点拨】观察图形可知，图中没有现成的全等三角形，需要作辅助线构造一对全等三角形来解决问题.根据角平分线的性质，过点F作FG⊥AB，FH⊥BC，再证明△EGF≌ △DHF，从而得到FE=FD.

解：FE=FD

理由：如图8，过点F作FG⊥AB，FH⊥BC，FM⊥AC，分别交AB，BC，AC于点G，H，M.

∵F为∠BAC，∠BCA的平分线的交点

∴∠EAF=∠CAF=15°，∠ECA=∠ECB=45°，FG=FM=FH

∴∠GEF=∠EAC+∠ECA=30°+45°=75°

∠HDF=∠BAD+∠ABD=15°+60°=75°

∴∠HDF=∠GEF

∵∠FHD=∠FGE=90°

∴△DFH≌△EFG

∴ FD=FE

（2）如图9，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其他条件不变，那么在（1）中所得结论是否依然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.

解：结论FE=FD 仍然成立.

理由：如图10，过点F作FG⊥AB，FH⊥BC， FM⊥AC

∵∠B=60°，且AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线

∴∠CAD+∠ACE=60°，FG=FH=FM

∴∠GEF=∠BAD+∠CAD+∠ACE=60°+∠BAD

∵∠HDF=∠B+∠BAD=60°+∠BAD

∴∠GEF=∠HDF

∵∠FGE=∠FHD=90°

∴△EGF≌△DHF

∴ FE=FD

以上的几道变式题，反复利用了角平分线的性质和三角形全等的判定这几个定理.虽然图形在变，但解题的方法几乎都是一样的，都通过证三角形全等来求问题的答案.同学们以后在解答这类题目时，一定要细心观察图形，如果能找出可能全等的三角形或作辅助线构造一对全等三角形，很多几何题都能迎刃而解.

篇4：用几何画板验证全等三角形”

几何画板是一个优秀的数学实验演示平台,利用它可以把实验研究问题的设想和方法用可视化的图形展现出来,提供了一个探索问题要素之间内在联系的有力工具。

三角形的等截线是指同时平分三角形面积与周长的直线。显然,不等边三角形的等截线不经过三角形的顶点,即必然与两条边相交。为方便起见,不等边三角形三边根据长度大小不同,分别称为大边、中边和小边。据此,分别考察与大、中、小三边其中两条边相交的等截线存在性问题。

1 实验设计

1.1 构造动态三角形

固定三角形两条边的长度,改变第三边的长度,则可以构造一个三边长度排列次序变化的动态三角形。方法是:打开几何画板,选取一个点,以该点为圆心,画两个同心圆,再在两圆上各任取一个自由点,分别连接这三点,拖动其中一个自由点,则构造出了一个动态三角形。

1.2 构造周长平分线

三角形两边之和大于第三边,所以存在与任意两边相交的三角形周长的平分线。构造周长平分线的方法如下。

(1)如图1所示,度量的ΔABC周长,画一条长为周长之半的线段GG′。

(2)在GG′上选取一个自由点H,并构造线段GH和HG′。

(3)以顶点B为圆心,分别以GH和HG′为半径画圆,与AB和BC分别相交于D、E,连接D、E两点的直线,就是ΔABC周长的平分线。

拖动线段GG′上的自由点H,可以看到D、E两点分别在AB和BC上移动,呈现出与AB和BC两边相交的周长平分线DE的不同位置状态。

沿着同一个方向拖动C点,连续改变AC的长度,这样,ΔABC三边长度排列次序有序改变,就呈现出周长的平分线DE分别与ΔABC大边和中边相交、大边和小边相交、中边和小边相交三种情况。

1.3 绘制面积函数图像

拖动线段GG′上自由点H,D、E两点的位置就会发生改变,ΔBED的面积也跟着发生改变。一个BE长度对应着一个ΔBED的面积。以BE长度为自变量,绘制ΔBED面积函数图像,如图2所示。

(1)度量BE长度:

选定B、E两点,利用度量→距离命令,在几何画板中显示BE=4.53厘米。

(2)度量ΔBED的面积:

选定B、D、E,利用构造→三角形内部→度量→面积命令,在几何画板中显示ΔBED的面积=9.71厘米2。

(3)绘制函数的一个点:

依次选BE=4.53厘米和ΔBED的面积=9.71厘米2,利用绘图→绘制点(x,y)命令,在几何画板中显示出函数图像的一个点P。

(4)绘制图像:

依次选取绘制出的P点和H点,利用构造轨迹命令,便得到面积函数图像。

2 实验演示等截线的存在性

上述ΔBED面积函数值等于ΔABC面积一半时,此时的DE就是ΔABC的等截线。

首先,绘制ΔABC的面积之半的函数图像。方法是:度量ΔABC的面积,显示ΔABC的面积=18.79厘米2,使用绘图→绘制新函数命令,弹出“新建函数”对话框,在对话框中输入0.5x后,点击,ΔABC的面积=18.79厘米2,再点确定,于是,便得到函数f(x)=0.5·(ΔABC的面积)的图像。如图3所示。

拖动C点,改变AC的长度,周长的等分线DE的位置跟着改变,ΔBED面积和ΔABC面积之半函数也跟着改变。

沿着同一个方向逐渐改变C点的位置,改变AC的长度。随着ΔABC三边长度排列次序的变化,观察ΔBED面积和ΔABC面积之半函数图像的关系,可以观察等截线的存在性。

由于 $A \overset{— —}{B} = 8.02$ 厘米和 $B \overset{— —}{C} = 6.01$ 厘米长度是固定不变,随着AC长度的逐渐变化,三边长度大、中、小的排列次序发生改变,与周长平分线相交的两边长度,决定不等边三角形等截线的存在性,演示结果如表1所示。