三角形全等

三角形全等（精选十篇）

三角形全等 篇1

1. 如图,△ABC≌△DEF,AC∥DF,则∠C的对应角为( ).

A. ∠F B. ∠AGE C. ∠AEF D. ∠D

2. 如图所示,AB∥CD,AD⊥DC,AE⊥BC交BC于E,∠DAC=35°,AD=AE,则∠B等于( ).

A. 50° B. 60° C. 70° D. 80°

3. 用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图,则说明∠A′O′B′=∠AOB的依据是 ( ).

A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS

4. 下列各组条件中,能判定△ABC≌△DEF的是( ).

A. AB=DE,BC=EF,∠A=∠D

B. ∠A=∠D,∠C=∠F,AC=EF

C. AB=DE,BC=EF,△ABC的周长=△DEF的周长

D. ∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F

5. 下列结论错误的是( ).

A. 全等三角形对应边上的高相等

B. 全等三角形对应边上的中线相等

C. 两个直角三角形中,斜边和一个锐角对应相等,则这两个三角形全等

D. 两个直角三角形中,两个锐角相等,则这两个三角形全等

6. 要测量河两岸相对的两点A、B的距离,先在AB的垂线BF上取两点C、D,使CD=BC,再定出BF的垂线DE,使A、C、E在同一条直线上,如图,可以得到△EDC≌△ABC,所以ED=AB, 因此测得ED的长就是AB的长,判定的理由是( ).

A. SAS B. ASA

C. SSS D. HL

二、填空题(每小题4分,共20分)

7. 撑上支撑后的自行车能稳稳地停在地上,是因为三角形具有 ________ 性.

8. 如图,DE⊥AB,DF⊥AC,AE=AF,请找出一对全等的三角形:________.

9. 如图,AD、A′D′分别是锐角三角形ABC和锐角三角形A′B′C′中BC、B′C′边上的高,且AB=A′B′、AD=A′D′.若使△ABC≌△A′B′C′,请你补充条件 _______.(填写一个你认为适当的条件即可)

10. 如图,幼儿园的滑梯中有两个长度相等的梯子(BC=EF),左边滑梯的高度AC等于右边滑梯水平方向的长度DF,则∠ABC+ ∠DFE=_______°.

11. 如图所示,点P是△ABC内一点,PD⊥BC于点D,PE⊥AC于点E,PF⊥AB于点F,PD=PE=PF.若∠A=70°,∠BPC=_______.

三、解答或证明(本大题共56分)

12.(6分)如图,已知AB=AD,BC=DC,AC、BD相交于点E,由这些条件写出4个你认为正确的结论(不再添辅助线,不再标注其他字母).

13.(7分)如图,AB=DC,AC=DB,求证:AB∥CD.

14.(7分)如图,已知在△ABC中,AB=AC,∠1=∠2.

求证:AD⊥BC,BD=DC.

15.(7分)如图,已知BE⊥AD,CF⊥AD,且BE=CF.请你判断AD是△ABC的中线还是角平分线?请说明你判断的理由.

16.(8分)如图,太阳光线AC与A′C′是平行的,同一时刻两根高度相同的木杆在太阳光照射下的影子一样长吗?说说你的理由.

17.(9分)(1)如图1,A,B,C,D在同一直线上,AB=CD,DE∥AF,且DE=AF,求证: △AFC≌△DEB.

(2)如果将BD沿着AD边的方向平行移动,如图2,如图3时,其余条件不变,结论是否成立?如果成立,请予以证明;如果不成立,请说明理由.

18.(10分)已知△ABC中,AB=AC,D、E是BC边上的点,将△ABD绕点A旋转,得到△ACD′,连结D′E.

(1)如图1,当∠BAC=120°,∠DAE=60°时,求证:DE=D′E.

(2)如图2,当DE=D′E时,∠DAE与∠BAC有怎样的数量关系?请写出,并说明理由.

参考答案

1. A 2. C 3. A 4. C 5. D 6. B 7. 稳定.

8. Rt△ADE≌Rt△ADF;解析:由题意,可得AE=AF,∠AED=∠AFD=90°,结合AD= AD可以得到Rt△ADE≌Rt△ADF.

9. BC=B′C′(答案不唯一);解析:这是一道开放性问题.

10. 90° 11. 125°

12. 答案不唯一,如,△AED≌△AEB,△CDE≌△CBE,△ADC≌△ABC,DE=BE, ∠DAE=∠BAE等等.

13. 分析:要证AB ∥CD,只需 ∠ABC= ∠DCB,要证 ∠ABC= ∠DCB,只需 △ABC ≌ △DCB.

15. AD是△ABC的中线.

理由如下:在Rt△BDE和Rt△CDF中,∵BE=CF,∠BDE=∠CDF,

∴Rt△BDE≌Rt△CDF. ∴BD=CD.

故AD是△ABC的中线.

18.(1)证明:如图1,

理由:如图2

全等三角形 篇2

教学目标：

1、知识目标：

(1)知道什么是全等形、及的对应元素;

(2)知道的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等;

(3)能熟练找出两个的对应角、对应边。

2、能力目标：

(1)通过角有关概念的学习，提高学生数学概念的辨析能力;

(2)通过找出的对应元素，培养学生的识图能力。

3、情感目标：

(1)通过感受的对应美激发学生热爱科学勇于探索的精神;

(2)通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受，培养学生勇于创新，多方位审视问题的创造技巧。

教学重点：的性质。

教学难点：找的对应边、对应角

教学用具：直尺、微机

教学方法：自学辅导式

教学过程：

1、全等形及概念的引入

(1)动画(几何画板)显示：

问题：你能发现这两个三角形有什么美妙的关系吗?

一般学生都能发现这两个三角形是完全重合的。

(2)学生自己动手

画一个三角形：边长为4cm，5cm，7cm.然后剪下来，同桌的两位同学配合，把两个三角形放在一起重合。

(3)获取概念

让学生用自己的语言叙述：

、对应顶点、对应角以及有关数学符号。

2、性质的发现：

(1)电脑动画显示：

问题：对应边、对应角有何关系?

由学生观察动画发现，两个三角形的三组对应边相等、三组对应角相等。

3、找对应边、对应角以及性质的应用

(1) 投影显示题目：

D、AD∥BC，且AD=BC

分析：由于两个三角形完全重合，故面积、周长相等。至于D，因为AD和BC是对应边，因此AD=BC。C符合题意。

说明：本题的解题关键是要知道中两个中，对应顶点定在对应的位置上，易错点是容易找错对应角。

分析：对应边和对应角只能从两个三角形中找，所以需将从复杂的图形中分离出来

说明：根据位置元素来找：有相等元素，其即为对应元素：

然后依据已知的对应元素找：(1)对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边(2)对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角。

说明：利用“运动法”来找

翻折法：找到中心线经此翻折后能互相重合的两个三角形，易发现其对应元素

旋转法：两个三角形绕某一定点旋转一定角度能够重合时，易于找到对应元素

平移法：将两个三角形沿某一直线推移能重合时也可找到对应元素

全等三角形考点聚焦 篇3

能够完全重合的两个图形叫做全等形．能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角．夹边就是三角形中相邻两角的公共边．夹角就是三角形中有公共端点的两边所成的角．

例1如图1，BD，AC交于O，OA＝OD，用“SAS”证△AOB≌△DOC，还需（）.

A. AB = DCB.OB = OC

C.∠A = ∠D D.∠AOB = ∠DOC

解析：此题的考查要点是“SAS”定理.用“SAS”证全等要有三个独立条件，已知OA = OD，显然还差两个，而AC与BD的相交可得∠ AOB与∠ DOC是一对对顶角，第三个条件应该围绕夹∠AOB、∠DOC的两边来找，显然OB与OC应是另一组夹边.选B.

点评：解答本题的关键是找出对顶角，然后利用“边角边”定理找到另一组对应边.

考点2全等三角形的性质

全等三角形的对应边相等，对应角相等.

例2如图2，△ABD≌△CDB，且AB、CD是对应边. 下面四个结论中不正确的是（）.

A.△ABD和△CDB的面积相等

B.△ABD和△CDB的周长相等

C.∠A + ∠ABD = ∠C+∠CBD

D. AD∥BC，且AD = BC

解析：由于两个三角形完全重合，故面积、周长相等.因为AB和CD是对应边，则AD与BC是对应边，∠ADB = ∠CBD，因此AD∥BC且AD = BC.故C符合题意.

点评：解答本题的关键是要知道两个全等三角形中，对应顶点在对应的位置上，这样就不会找错对应角.

考点3全等三角形的判定

选择哪种判定方法必须根据已知条件而定，详细内容见下表：

例3在△ABC中，AD为BC边上的中线，求证：AD＜ （AB + AC）.

解析：通过构造辅助线，利用全等三角形将线段AD，AB，AC转化到同一个三角形中，由三角形“两边之和大于第三边”即可证，证明过程如下：

延长AD至G，使DG = AD，连结BG.

在△ADC和△GDB中，

点评：将中线加倍是常用的作辅助线方法.

考点4 变换

只改变图形的位置，而不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换．全等变换包括以下三种：

①平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换. 如图4，把△ABC沿直线BC移动到△A1B1C1和△A2B2C2位置，就是平移变换.

②对称变换：将图形沿某直线翻折180O，这种变换叫做对称变换.如图5，将△ABC翻折180O到△ABD的位置，就是对称变换．

③旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换. 如图6，将△ABC绕过A点旋转180O到△AED的位置，就是旋转变换.

我们知道，无论是平移变换、对称变换还是旋转变换，变换前后的两个图形全等，具有全等的所有性质．

例4如图7，已知△ABC是等腰直角三角形，∠C = 90O.

（1）操作并观察，如图7，将三角板的45O角的顶点与点C重合，使这个角落在∠ACB的内部，两边分别与斜边AB交于E、F两点，然后将这个角绕着点C在∠ACB的内部旋转，观察在点E、F的位置发生变化时，AE、EF、FB中最长的线段是否始终是EF？

写出观察结果.

（2）探索：AE、EF、FB这三条线段能否组成以EF为斜边的直角三角形（即能否有EF2= AE2 + BF2）？如果能，试加以证明.

解析：（1）只须旋转∠ECF再用刻度尺量一量或观察，即可得到.

（2）要判断EF2= AE2 + BF2，思路是把AE、EF、FB搬到同一个三角形中，通常有平移、翻折、旋转等方法，解答此题用翻折的方法，得到与AE、BF相等的线段，并且它们和EF在同一个三角形中.

解答过程如下：

（1）观察结果是：当45O角的顶点与点C重合，并将这个角绕着点C在∠ACB内部旋转时，AE、EF、FB中最长的线段始终是EF.

（2）AE、EF、FB三条线段能构成以EF为斜边的直角三角形，证明如下：

如图在∠ECF的内部作∠ECG = ∠ACE，

使CG = AC，连结EG，FG，

∴△ACE≌△GCE，

∴∠A = ∠CGE，同理∠B = ∠CGF，

∵∠A + ∠B = 90O，

∴∠CGE + ∠CGF = 90O，

∴∠EGF = 90O，EF为斜边.

点评：探索、猜测是整个题目的重点、难点，从操作中获取信息是探索问题过程中最重要的.

反思

1.考纲要求

理解全等形的有关概念和性质，并会运用性质定理进行计算；掌握全等三角形的判定方法，会运用定理进行简单的推理或计算；能够运用全等三角形的性质和判定定理解决实际问题，培养几何计算和逻辑推理能力，养成用数学知识解决问题的意识.

2.构造全等三角形的方法

寻求全等条件，在证明两条线段（或两个角）相等的时候，若它们所在的两个三角形不全等，就必须添加辅助线，构造全等三角形.常见辅助线有：①连结某两个已知点；②过某已知点，作某已知直线的平行线；③延长某已知线段到某个点，或与某已知直线相交；④作一个角等于已知角.

教你证明三角形全等 篇4

一般地, 应根据题设并结合图形, 先确定两个三角形已知相等的边或角, 然后按照判定公理或定理, 寻找还缺少的条件。其基本思路是:

1.有两边对应相等, 找夹角对应相等或第三边对应相等, 前者利用SAS判定, 后者利用SSS判定。

2.有两角对应相等, 找夹边对应相等或任一等角的对边对应相等, 前者利用ASA判定, 后者利用AAS判定。

3.有一边和该边的对角对应相等, 找另一角对应相等, 利用AAS判定。

4.有一边和该边的邻角对应相等, 找夹等角的另一边对应相等或另一角对应相等, 前者利用SAS判定, 后者利用AAS或ASA判定。

例1如图1所示, 已知AB=AC, AD=AE, ∠1=∠2.求证:∠B=∠C.

分析:要证明∠B=∠C, 只要证明∠B、∠C分别所在的■ABD和■ACE全等。在这两个三角形中, 有两边对应相等 (AB=AC, AD=AE) , 只要再证明∠BAD=∠CAE或BD=CE即可显然由题设容易证明

证明:由∠1=∠2, 得:∠1+∠BAC=∠2+∠CAB.

在△ABD和△ACE中,

例2如图2所示, 已知∠A=∠B, AE=BF, ∠C=∠D.求证:AC=BD.

分析:要证明AC=BD, 只要证明AC、BD所在的△ACF和△BDE全等。在这两个三角形中, 有两角对应相等 (∠A=∠B, ∠C=∠D) , 只需再证明CF=DE或AF=BE就可。显然, 由题设证明AF=BE更方便。

证明:由AE=BF, 得AE+EF=BF+FE, 即AF=BE.

在■ACF和■BDE中,

例3如图3所示, 已知△ABC中, D、E分别是AB、AC的中点, CF∥AB交DE的延长线于点F.求证:AB=2CF.

分析:要证明AB=2CF, 注意到D是AB的中点 (AB=2AD) , 那么只需证明CF=AD, 即需证明△CFE和△ADE全等。在这两个三角形中, 有一边和该边的邻角对应相等 (CE=AE, ∠CEF=∠AED) , 只需再证明EF=ED或∠1=∠A或∠F=∠2即可显然由题设证明或更方便。

证明:由CF∥AB, 得∠1=∠A.

在△CFE和△ADE中,

∵D是AB的中点, 即AB=2AD,

例4如图4所示, 已知△ABC中, ∠ACB=90°, ∠CBA=45°, E为AC上的一点, 延长BC到点D, 使CD=CE, 求证:BE⊥AD.

分析:要证明BE⊥AD, 需延长BE交AD于F, 证明∠AFE=90°, 即证明∠1+∠2=90°.又∵∠3+∠4=90°, ∠2=∠3, 那么需证明∠1=∠4, 即应考虑∠1、∠4所在的△ACD和△BCE全等。在这两个三角形中, 有一边和该边的邻角对应相等 (CD=CE, ∠ACD=∠BCE=90°) , 只要再证明∠CA=CB或∠D=∠3即可。显然, 证明CA=CB更方便。

证明:延长BE交AD于点F, 由∠ACB=90°, ∠CBA=45°, 得∠CAB=∠CBA=45°, 从而有:CA=CB.

在△ACD和△BCE中,

∴∠1+∠2=90°, 从而有:∠AFE=90°.

全等三角形 教案 篇5

教学目标

一、知识与技能

1、了解全等形和全等三角形的概念，掌握全等三角形的性质。

2、能正确表示两个全等三角形，能找出全等三角形的对应元素。

二、过程与方法

通过观察、拼图以及三角形的平移、旋转和翻折等活动，来感知两个三角形全等，以及全等三角形的性质。

三、情感态度与价值观

通过全等形和全等三角形的学习，认识和熟悉生活中的全等图形，认识生活和数学的关系，激发学生学习数学的兴趣。教学重点

1、全等三角形的性质。

2、在通过观察、实际操作来感知全等形和全等三角形的基础上，形成理性认识，理解并掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等。

教学难点 正确寻找全等三角形的对应元素

教学关键 通过拼图、对三角形进行平移、旋转、翻折等活动，让学生在动手操作的过程中，感知全等三角形图形变换中的对应元素的变化规律，以寻找全等三角形的对应点、对应边、对应角。

课前准备: 教师------课件、三角板、一对全等三角形硬纸版

学生------白纸一张 硬纸三角形一个

教学过程设计

一、全等形和全等三角形的概念

全等三角形的概念透析 篇6

一、 全等形与全等三角形

形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合. 能够完全重合的两个图形叫做全等形. 能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.

注意：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等. 两个全等形的周长相等，面积相等.

例1 下列每组中的两个图形，是全等图形的为（ ）.

【答案】 A

【解析】 B、C、D选项中形状相同，但大小不等.

【评注】 是不是全等形，既要看形状是否相同，还要看大小是否相等.

【变式】 如图，在5个条形方格图中，图中由实线围成的图形与①全等的有_____.

【答案】 ②、④

提示：找出与①形状、大小相同的图形.

二、 对应顶点、对应边、对应角

1. 对应顶点、对应边、对应角的定义

两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.

在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边和对应角. 如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D、点B和点E、点C和点F是对应顶点；AB和DE、BC和EF、AC和DF是对应边；∠A和∠D、∠B和∠E、∠C和∠F是对应角.

2. 找对应边、对应角的方法

（1） 全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；

（2） 全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；

（3） 有公共边的，公共边是对应边；

（4） 有公共角的，公共角是对应角；

（5） 有对顶角的，对顶角一定是对应角；

（6） 两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等.

例2 如图，△ABN≌△ACM，∠B和∠C是对应角，AB与AC是对应边，写出其他对应边和对应角.

【答案与解析】 对应边：AN与AM、BN与CM.

对应角：∠BAN与∠CAM、∠ANB与∠AMC.

【评注】 全等三角形对应角所对的边是对应边；全等三角形对应边所对的角是对应角.

【变式】 如图，△ABD≌△ACE，AB=AC，写出图中的对应边和对应角.

【答案】 AB和AC是对应边，AD和AE、BD和CE是对应边，∠BAD和∠CAE是对应角，∠B和∠C，∠ADB和∠AEC是对应角. 在找对应边和对应角时可以根据图形进行，即最长边与最长边是对应边，最短边与最短边是对应边，最大角与最大角是对应角，最小角与最小角是对应角. 最关键是找出对应字母，按照字母来找对应线段和对应角. 这就要求我们平时在书写时一定要注意规范，按照字母的对应方式书写全等. 如△ABC≌△DEF与△ABC和△DEF全等是有区别的. 前者规定了A、D，B、E，C、F的对应，而后者就有好多种对应情况了.

三、 全等三角形的性质

全等三角形的对应边相等；

全等三角形的对应角相等.

注意：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等. 全等三角形的性质是今后研究其他全等图形的重要工具.

例3 如图△ABC≌△DEF，AB=8，BC=6，求DF的取值范围.

【答案】 2

【解析】 由△ABC≌△DEF，得到对应边相等. 即DE=AB=8，EF=BC=6.

根据△DEF三边关系，2

【变式】 在此题目中，如果△ABC的面积为20，其他条件不变，那么△DEF的面积是多少？周长的范围是什么？

【答案】 根据全等三角形面积、周长分别相等，△DEF的面积也为20. 又2

故16<△ABC的周长<28.

即16<△DEF的周长<28.

四、 全等三角形的条件

基本事实：

两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（SAS）.

两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（ASA）.

三边分别相等的两个三角形全等（SSS）.

推论：

两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）.

定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（HL）.

这5种判定方法中两个三角形都具备3对元素（边或角）分别相等的条件.

注意：（1）至少有一组边；（2）没有SSA的判定.

解析三角关系,关注全等“三角” 篇7

1. 如图1,A、D、F、B在同一直线上, AD=BF,AE=BC,且AE∥BC. 求证:△AEF≌△BCD.

【解析】该题作为判定三角形全等的基础题型, 只需要根据已知条件AD= BF, 便可轻松得出AD +DF=BF+DF,从而得出AF=BD,再根据已知条件AE=BC,自然便可以想到需要利用AE∥BC这一已知条件得出∠A=∠B, 从而符合全等三角形判定法则中的“边角边”,判定出两个三角形是全等的.

2. 如图2,AB =DB, ∠ABD=∠CBE,请你添加一个 适当的条 件 _____,使△ABC≌△DBE. (只需添加一个即可)

【解析】这是中考题中经常出现的一类试题,可以划分至“开放性”试题之列,符合新课标中对于教学评价机制的相关要求,那么对于这样一个可以有多种答案和选择的题目来说,同学们在做题时只需要遵照全等三角形的基本判定规律进行判定即可. 由题意可知:

∵∠ABD=∠CBE→∠ABC=∠DBE,然后根据准备使用的证明方法“ASA”“SAS”“AAS”, 分别写出第三个条件即可. ∵AB= DB,∴①若用“ASA”,需添加∠BDE=∠BAC; ②若用“SAS”, 需添加BE=BC;③若用“AAS”,需添加∠ACB=∠DEB.

【点评】对于这类题目,在解析的时候需要采用倒退式的解法,利用两个三角形全等需要满足的条件来进行题目答案的推理,这也是求解数学几何证明题的常用方法.

3. 如图3,矩形ABCD中,点E是BC上一点,AE=AD,DF⊥AE于F,连接DE,求证: DF=DC.

【解析】该题是对于全等三角形定律的扩展与延伸,题目的要求看似是为了证明两条没有太大关联的线段 的相等 , 实则是为 了证明△DEF≌△DEC,而后再得出最后的答案.

仔细分析一下题目,该题中不仅含有矩形的知识,还包含了直角三角形的相关知识及平行线的内容,同学们在解决这一图形问题时,首先需要掐准解题的方向而后再想办法进行论证. 许多几何题目的“已知量”都是蕴藏于图形之中的,在题目中不会轻易表露出来. 通过观察,我们发现,在矩形ABCD中,AD∥BC,那么可得出∠ADE=∠DEC, 再根据题目中所给的AE= AD这个条件可得出∠ADE=∠AED, 得出∠AED=∠DEC,再根据两个都是直角三角形可轻松得出结论:∠DFE=∠DCE, 再得出∠FDE=∠EDC, 而线段DE又是两个三角形的公有线段,这样便不难得出两个三角形全等,从而做出最后的论证.

【点评】同学们在解决类似这样的图形问题时,需要找出暗藏于矩形中的 线段间的关系,而后再进行剖析.

4 . 如图4 ,梯形ABCD中,AD∥BC,点M是AD的中点,且MB = MC ,若AD = 4 ,AB=6,BC=8,则梯形ABCD的周长为( ).

A. 22B. 24C. 26D. 28

【解析】这是数学题目中常见的“数形结合”类题目,需要通过对图形的分析得出其中蕴藏的数量关系,从题目所给条件和已知图形来看,需要先从梯形的相关知识点进入,而后再过渡到对于全等三角形的分析.

(1) 先判断△AMB≌△DMC; 从已知条件入手可知,AM=DM(M是AD的中点), 由BM=CM得∠MBC=∠MCB,又AD∥BC, 则∠AMB=∠MBC=∠MCB=∠CMD,根据“SAS”可判定△AMB≌△DMC.

(2) 求出梯形周长. ∵△AMB≌△DMC, ∴AB=CD=6;∵AD=4,BC=8,∴梯形周长为: AD+BC+AB+CD=4+8+6+6=24.

“全等三角形”中考试题掠影 篇8

一、考查与全等三角形概念有关的知识

例1 (2014·广州)已知命题:“如果两个三角形全等,那么这两个三角形的面积相等. ”写出它的逆命题:______,该逆命题是______命题(填“真”或“假”).

解析:本题主要涉及命题的有关概念和全等三角形的判定. 答案为:如果两个三角形的面积相等,那么这两个三角形全等,假命题.

点评:本题主要考查了全等三角形与面积之间的关系,属于容易题.

二、考查添加条件后,判定三角形全等与否

例2 (2013·安顺)如图1,已知AE =CF,∠AFD =∠CEB,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ADF≌△CBE的是( ).

A. ∠A=∠C B. AD=CB

C. BE=DF D. AD//BC

解析:由已知AE=CF可得AE+EF=CF+EF,即AF=CE,又∠AFD=∠CEB,要判定△ADF≌△CBE,只要具备任意一个角对应相等或夹相等角的边对应相等即可. 条件D虽然给出的是平行条件,不难将其转化为条件A;本题中答案B不符合全等条件,所以应选择B.

点评:本题重点考查了全等三角形的判定和平行线的性质,尤其要注意的是,边边角不可以判定三角形全等.

例3 (2013·郴州)如图2,点D、E分别在线段AB、AC上 ,AE=AD,不添加新的线 段和字母 ,要使△ABE≌△ACD,需添加的一个条件是______(只写一个条件即可).

解析:本题除已知条件AE=AD外,图形中还隐含条件∠A=∠A(公共角),因此只要具备∠B=∠C、∠AEB=∠ADC、AB=AC或BD =EC其中之一 就可以判 定△ABE≌△ACD. 本题属于开放性试题,答案不唯一.

点评:本题重点考查了全等三角形的判定,虽然答案较多,但做题时务必看仔细,谨防添加条件后,误写成“边边角”.

三、直接考查全等三角形的判定与应用

例4 (2014·云南)如图3,在△ABC和△ABD中,AC与BD相交于点E,AD=BC,∠DAB=∠CBA.求证:AC=BD.

解析:要证AC=BD,只需证△ADB≌△BCA;本题除已知条件外,图形中还隐含条件AB=AB(公共边),利用SAS不难证明△ADB≌△BCA.

点评:本题主要考查了全等三角形的判定和性质. 证明线段和角相等常常需要先证明有关的三角形全等,有时需要证明两次或者多次三角形全等. 在判定三角形全等时,关键是选择恰当的判定方法,特别要注意挖掘图形中隐藏的条件.

例5 (2013·陕西)如图4,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,若连接AC、BD相交于点O,则图中全等三角形共有( ).

A. 1对 B. 2对

C. 3对 D. 4对

解析:由已知条件AB=AD,CB=CD,考虑到AC为公共边,因此△ABC≌△ADC(SSS),于是有∠BAO=∠DAO,AO=AO,AB=AD,所以△BAO≌△DAO(SAS),同理可得△BCO≌△DCO(SAS),故答案选C.

点评:本题考查了全等三角形的判定.图形牵涉到3组三角形全等,后面的2组必须在第一组△ABC≌△ADC基础上进行,本题画图时,不要将AB画成与BC相等,否则容易根据图形形成误判.

四、深入探究全等三角形的条件

例6(2014·南京)【问题提出】学习了三角形全等的判定方法(即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后,我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究.

【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为:在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,然后,对∠B进行分类,可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究.

【深入探究】第一种情况:当∠B是直角时,△ABC≌△DEF.

(1)如图5①,在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E=90°,根据____,可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF.

第二种情况:当∠B是钝角时,△ABC≌△DEF.

(2)如图5②,在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B、∠E都是钝角. 求证:△ABC≌△DEF.

第三种情况:当∠B是锐角时,△ABC和△DEF不一定全等.

(3)在△ABC和△DEF中 ,AC =DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B、∠E都是锐角,请你用尺规在图5③中作出△DEF,使△DEF和△ABC不全等. (不写作法,保留作图痕迹)

(4)∠B还要满足什么条件,就可以使△ABC≌△DEF?请直接写出结论:在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B、∠E都是锐角,若___________,则△ABC≌△DEF.

解析:(1)根据“HL”可以证明直角三角形全等;

(2)过点C作CG⊥AB交AB的延长线于点G,过点F作FH⊥DE交DE的延长线于点H,根据等角的补角相等求出∠CBG=∠FEH,再利用“角角边”证明△CBG和△FEH全等,根据全等三角形对应边相等可得CG=FH,再利用“HL”证明Rt△ACG和Rt△DFH全等,根据全等三角形对应角相等可得∠A=∠D,然后利用“角角边”证明△ABC和△DEF全等;

(3)如图7所示,以点C为圆心,以AC长为半径画弧,与AB相交于点D,E与B重合,F与C重合,得到△DEF与△ABC不全等;

(4)根据三种情况得到结论,∠B不小于∠A即可.

点评:本题考查了全等三角形的判定与性质、应用与设计作图,熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键,阅读量较大,审题要认真仔细.

五、全等三角形的综合应用

例7 (2013·东营)(1)如图8所示,已知 ,在△ABC中 ,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为D、E. 证明:DE=BD+CE.

(2)如图9所示,将(1)中的条件改为:在△ABC中,AB =AC,D、A、E 三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.

(3)拓展与应用:如图10所示,D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点(D、A、E三点互不重合),点F为∠BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形,连接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC,试判断△DEF的形状.

解析:(1)因为DE=DA+AE,故通过证△BDA≌△AEC,得出DA=EC,AE=BD,从而证得DE=BD+CE.

(2)成立,仍然通过证明△BDA≌△AEC,得出BD=AE,AD=CE,所以DE=DA+AE=EC+BD.

(3)由于(3)涉及等边三角形的一些知识,学习过相关知识后读者可以自行探讨. 从略.

“全等三角形的实际应用”活动方案 篇9

1. 经历运用全等三角形解决实际问题的过程,感受全等三角形知识在现实生活中的应用,体验数学与现实生活的联系,培养实践与创新、质疑与反思的能力.

2. 进一步增强数学应用和团队协作的意识,逐步养成自觉运用数学知识解决现实问题以及小组合作学习的态度与习惯.

二、活动准备

20米皮尺、三角板或量角器、标杆、足够长的细绳.

三、活动时间

90分钟

四、活动过程

1.提出问题

问题1:如图1,学校毕业林有一座假山,现在我们无法直接测量这座假山的最大宽度,请你运用刚刚学习的全等三角形知识,借助给定工具,制定测量方案并测量出假山的宽度.

问题2:如图2,学校教学区与生活区之间有一条小河相隔,无法直接测量其宽度,你能在河的一侧测量出河的宽度吗? 请你运用刚刚学习的全等三角形知识,借助给定工具,制定测量方案并测量出假山的宽度.

问题3:如图3,学校操场上有一个旗杆, 无法直接测量其高度, 你能在地面上测量出旗杆的高度吗?请你运用刚刚学习的全等三角形知识,借助给定工具,制定测量方案并测量出旗杆的高度.

【活动说明】问题的背景来源于学校的假山、河流和旗杆,一方面便于数学活动的开展,学生在校内开展实践活动,既经济又安全;另一方面,问题的背景就在学生身边,学生感到亲切而自然,同时也让学生感受到身边处处有数学.

2. 研讨方案

全班分成4人一组,在个人独立思考、 充分酝酿的基础上,以小组为单位,研讨、 制定活动方案,教师深入到学生中,提供咨询服务,必要时给予适当的引导.

【活动说明】本阶段主要是在学生个人思考的基础上开展小组讨论活动,小组内个人谈活动设想,各成员相互补充、集思广益,以使方案更加完善而切实可行,体现集体的智慧,培养团队协作的意识.

3. 方案实施

各小组根据本组制定的方案,走出教室到活动场地进行实地测量.

根据各小组活动情况,教师给予及时的帮助.

【活动说明】在实施方案的过程中,培养学生操作实践能力,检验方案的科学性、可行性和可操作性.在实际操作中,很多问题是预想不到的,碰到困难,要求学生学会共同协商解决,并及时调整和改进原定方案,这是培养学生实践与创新能力、团结协作精神的良好契机.

4. 反思交流

4.1各小组汇报本组采用的测量方法,其他小组进行评论和质疑.

4.2分小组总结测量活动经验,并在全班进行交流、研讨:

(1)各小组测量的结果都一样吗?有误差吗?想一想造成误差的原因可能有哪些.

(2)按照方案进行实地测量时,你们是如何根据实际情况完善和改进方案的?

(3)通过本次活动的开展,你对数学与生活的联系、数学在解决实际问题中的作用有哪些体会和新的认识?

4.3结合在本次活动中的经历和在活动中获得的自主活动经验,写一篇数学应用小论文.

4.4利用学校校报、橱窗和班级黑板报等阵地,展示学生的优秀小论文;利用数学兴趣小组对学生的小论文进行评析, 提出修改完善的意见;将优秀小论文向报刊社推荐,力争能发表,在更大的层面上展示学生的活动成果.

【活动说明】数学小论文的写作能够让学生把对知识的理解内化为个人能力,使学生学会主动学习、学会反思、学会研究. 同时,数学写作培养了学生理解数学、表达数学及应用数学的能力,这对促进学生学习的主动性和创造性,培养学生的独立研究能力和创新能力是大有裨益的.

5. 活动评价

采取多种方式对学生在数学活动中的表现进行全方位评价,并完成以下活动评价表:

三角形全等的判定方法探究 篇10

学习这部分内容时,导入显得尤其重要。笔者是这样导入的:如图1,有一块三角形玻璃恰好碎成两块。如果要割一块与完好玻璃全等的玻璃,是否两块破碎玻璃都要带走?如果只需要带一块,那么带哪一块最适合?道理是什么呢?

学生对这样的导入很感兴趣,他们议论纷纷,当他们粗略概括出 “SAS”后,笔者让一位学生朗读课本上的有关内学生对这样的导入很感兴趣,他们议论纷纷,当他们粗略概括出 “SAS”后,笔者让一位学生朗读课本上的有关内C学生对这样的导入很感兴趣,他们议论纷纷,当他们粗略概括出 “SAS”后,笔者让一位学生朗读课本上的有关内容,组织学生按照“画法”完成画图。接着,笔者要求完成画图的学生把△A’B’C’剪下,放在△ABC上,再要求任意两位学生把 △A’B’C’叠合,观察它们是否全等。这样设计的意图是引导学生进行合理猜想,培养他们操作能力与合情推理能力,从而突破本部分内容教学的难点。

为了明确公理,首先,笔者请一位学生朗读课本上的例子,笔者解释“S”“A”及“SAS ”。其次,笔者采用竞答式组织学生完成课本上的相关练习题。最后,投影开放题。 已知:如图2,点B、D、E在一条直线上,∠2=∠1。(1) 如果△ABD≌△CBD,根据“SAS”,还必须加的一个条件是=。(2)如果 △ABD≌△CBD,那么,△ADE≌△CDE吗?

题目出示后,让学生思考、讨论、竞答。这样设计的意图是让学生明确“SAS ”,巩固“SAS”,从而突出教学重点。设计开放题也是为了培养学生的发散思维能力。 为了让学生熟悉和应用公理,笔者投影例题:如图3,己知AC=AD, ∠CAB= ∠DAB, 求证 :△ACB ≌ △ADB。然后让学生观察图形并思考根据“SAS ”能否推导出△ACB≌△ADB,若能,指出必备条件。 同时,让学生自学课本上例题的证明过程。笔者说明,证明两个三角形全等的步骤:明确对象→摆齐条件→得出结论;关键:一是紧扣“SAS”找出相应条件,二要从图形出发弄清对应关系。笔者提问:同学们在图中还能发现其他相等的边(角) 吗?为什么?学生思考、竞答。笔者又把图中△ADB绕AB中点旋转180O,得到如下变式图形(见图4)进一步巩固“SAS ”。

在组织学生独立观察、思考并完成相关练习题的过程中,教师要给予学生适当的个别指导,通过例题教学培养学生观察、分析、归纳和综合问题的能力。同时,让学生会用边角边公理来证明,通过自学和老师指导使他们掌握证明的格式。在教学完这部分内容后,还要通过学生练习,考查他们应用“SAS”的情况。当然,还可以让学生对照教学目标,让他们谈谈自己的收获和疑难之处,鼓励他们大胆提问。在教学过程中,在让全体学生尽可能地完成本节课学习任务的同时,教师要适当地进行培优补差。

教学这部分内容,教学方法很关键。根据本节课的内容、学生的认知水平和笔者的教学经验,采用的教法主要有:自主探究法、指导自学法等。它们都属于启发式教学。

在教学这部分内容时,要选择带有情景性、发散性的内容, 突出重点,化解难点。同时,采用“发现→明确→应用”的模式来完成教与学的任务。在完成本节课教与学的任务的同时,还需要注意前后知识的衔接,加强知识、能力、情感的综合培养。另外要注意这部分内容人文材料的挖掘,培养学生自主参与、自主探究的创新意识和创新精神,使学生享受数学的美感,领悟成功的体验。

摘要：在初中数学中,需要研究判定三角形全等的第一种方法——“SAS”。它能为判定三角形全等提供重要依据,并给进一步研究判定三角形全等的其他方法留下孕伏。因此,它在判定三角形全等中处于十分重要的位置。