动点问题与全等三角形

动点问题与全等三角形（精选10篇）

篇1：动点问题与全等三角形

全等三角形动点问题专练

班级：

姓名：

1.已知:AB⊥BD, ED⊥BD, AC=CE, BC=DE。

（1）试猜想线段AC与CE的位置关系，并证明你的结论.（2）若将CD沿CB方向平移至图2情形，其余条件不变, 结论AC1⊥C2E还成立吗?请说明理由。

（3）若将CD沿CB方向平移至图3情形，其余条件不变, 结论AC1⊥C2E还成立吗?请说明理由。

AEBCD 图1

AAEEFFBC2C1DC2BC1D

图2 图3 1 / 4

2.如图所示，有一直角三角形△ABC，∠C=900，AC=10cm，BC=5cm，一条线段PQ=AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AM上运动，问P点运动到AC上什么位置时，△ABC才能和△APQ全等？

MQBDCA

3.在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内任意一点，将AP绕点A顺时针旋转至AQ，使∠QAP=∠BAC，连接BQ，CP；

（1）如图1，试说明BQ=CP；（2）若将点P在△ABC外，如图2，其它条件不变，结论依然成立吗？试说明理由。

AQAPPQPBC

BC

/ 4

4.如图1，在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若点B、P在直线a的异侧，BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，连接PM、PN.（1）延长MP交CN于点E（如图2），①求证：△BPM≌△CPE；②求证：PMPN；（2）若直线a绕点A旋转到图3的位置时，点B、P在直线a的同侧，其它条件不变.此时PMPN还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

（3）若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时，其它条件不变，请直接判断PMPN还成立吗？不必说明理由.图1

图2

/ 4

图3

5.在等边△ABC的顶点A、C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以每分钟1米的速度由A向B和由C向A爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t分钟后，它们分别爬行到D、E处，请问：

（1）如图1，在爬行过程中，CD和BE始终相等吗？（2）如果将原题中的“由A向B和由C向A爬行”，改为“沿着AB和CA的延长线爬行”，EB与CD交于点Q，其他条件不变，蜗牛爬行过程中∠CQE的大小保持不变，请利用图2说明：∠CQE=60°；

（3）如果将原题中“由C向A爬行”改为“沿着BC的延长线爬行，连接DE交AC于F”，其他条件不变，如图3，则爬行过程中，DF始终等于EF是否正确？

EAAADEDBCFBCEBCDQ

图1

图2

图3

/ 4

篇2：动点问题与全等三角形

辅导班级或学生：辅导时间：周学科：

证明

（一）证明：根据已知的定义、基本事实、定理（包过推论），一步一步推得结论成立，这样的推理过程叫做证明。外角：由△ABC的一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角

外角定理：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。

证明几何命题时，表达格式是：首先按题意画出图形，分清命题的条件和结论，结合图形，在‘已知’中写出条件，在‘求证’中写出结论，然后在‘证明’中写出推理过程（添加辅助线要写入证明中）

例题1：证明命题：三角形不共顶点的三个外角的和等于360°

A

2：已知，如图，∠B+∠C+∠D=360°，求证：AB//DE

C

E

3:已知：如图,BC垂直AC于点C，CD垂直AB于点D，∠EBC=∠A，求证：BE//CD

4.命题‘若n是自然数，则代数式(3n+1)(3n+2)+1的值是3的倍数’是真命题还是假命题？如果你认为是假命题，请说明理由；然后认为是真命题，给出证明。

5.如图，在Rt△ABC中, ∠C＝90°，∠A＝30°（1）以直角边AC所在的直线为对称轴，将Rt△ABC作轴对称变换，请在原图上作出变换所得的像。（2）Rt△ABC和它的像组成了什么图形？最准确的判断是（）

（3）利用上面的图形，你能找出直角边BC与斜边AB的数量关系吗？并请说明理由。

全等三角形及判定

（一）能完全的重合的图形称为全等图形

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。两个全等三角形重合时（1）能互相重合的顶点叫做全等三角形的对应顶点；互相重合的边叫做全等三角形的对应边，互相重合的角叫做全等三角形的对应角；‘全等’可用符号‘≌’来表示，如△ABC和△DEF全等，记做‘△ABC≌△DEF’，读做三角形ABC全等于三角形DEF

1．能够完全重合的两个图形叫做

全等图形的特征：全等图形的和都相同． 2．全等三角形.两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

（二）、全等三角形的对应元素及表示

1．平移翻折旋转

A

D

A

BC

B

C

甲

EF

乙

D

D

B

丙

E

C

启示：一个图形经过平移、翻折、旋转后，变化了，•但、都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形，这也是我们通过运动的方法寻全等的一种策略． 2．全等三角形的对应元素（说一说）

（1）对应顶点（三个）——重合的（2）对应边（三条）——重合的（3）对应角（三个）——重合的3．寻找对应元素的规律

（1）有公共边的，公共边是；（2）有公共角的，公共角是；（3）有对顶角的，对顶角是；

（4）在两个全等三角形中，最长边对应最长边，最短边对应最短边；最大角对应最大角，最小角对应最小角．

简单记为：（1）大边对应大边，大角对应;

(2)公共边是对应边，公共角是4．“全等”用“”表示，读作“

如图甲记作：△ABC≌△DEF读作：△ABC全等于△DEF 如图乙记作：读作：如图丙记作：读作：

注意：两个三角形全等时，把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．

（三）、全等三角形的性质

课堂探究

活动一：观察下列各组的两个全等三角形，并回答问题：

A

BDB

E E

BCE第（1）题图第（4）题图

B

DB

D

EC

4．如图：△ABC≌△DBF，找出图中的对应边，对应角．

B答：∠B的对应角是，∠C的对应角是，∠BAC的对应角是；DAB的对应边是，AC的对应边是，BC的对应边是 A

5．如下图，ABC≌CDA，并且BCAD，则下列结论错误的是（）

A．12B．ABCDC．BDD．ACDC

6．如下图，ABC≌BAD，若AB6，AC4，BC5，则AD的长为（）

C

A．4B．5C．6D．以上都不对

7．如下图，直角△ABC沿直角边BC所在直线向右平移得到DEF，下列结论错误的是（）A．ABC≌DEFB．DEF90C．ACDFD．ECCF 8．在ABC中，BC，与ABC全等的三角形有一个角为100，则ABC中与这个100角对应相等的角是（A．AB．BC．CD．B或C

篇3：动点问题与全等三角形

例1、 (2012年苏州市改装) 如图1, 已知抛物线 (b是实数且b>2)

与x轴的正半轴分别交于点A、B (点A位于点B是左侧) , 与y轴的正半轴交于点C.

请你探索在第一象限内是否存在点Q, 使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似 (全等可看作相似的特殊情况) ?如果存在, 求出点Q的坐标;如果不存在, 请说明理由.

解法探究:

(1) 如图2, 以OA、OC为邻边构造矩形OAQC, 那么△OQC≌△QOA.

(2) 如图3, 以OC为直径的圆与直线x=1交于点Q, 那么∠OQC=90°.

因此△OCQ∽△QOA.

二、因动点探究等腰三角形

(2012年扬州市改装) 如图1, 抛物线y=-x2+2x+3.与坐标轴交于A、B、C三点, 直线l是抛物线的对称轴.在直线l上是否存在点M, 使△MAC为等腰三角形, 若存在, 求出点M的坐标;若不存在, 请说明理由.

解法探究:

设点M的坐标为 (1, m) .在△MAC中, AC2=10, MC2=1+ (m-3) 2, MA2=4+m2.

(1) 如图2, 当MA=MC时, MA2=MC2.解方程4+m2=1+ (m-3) 2, 得m=1.

此时点M的坐标为 (1, 1) .

(2) 如图3, 当AM=AC时, AM2=AC2.解方程4+m2=10, 得 .

此时点M的坐标为 .

(3) 如图4, 当CM=CA时, CM2=CA2.解方程1+ (m-3) 2=10, 得m=0或6.

当M (1, 6) 时, M、A、C三点共线, 所以此时符合条件的点M的坐标为 (1, 0) .

综上, 满足条件点M的坐标为

三、因动点探究直角三角形

例3、 (12年广州市中考改装) 如图, 抛物线 与x轴交于A、B两点 (点A在点B的左侧) , 与y轴交于点C.若直线l过点E (4, 0) , M为直线l上的动点, 当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有.且.只.有.三个时, 求直线l的解析式.

解法探究:

过点A、B分别作x轴的垂线, 这两条垂线与直线l总是有交点的, 即2个点M.以AB为直径的⊙G如果与直线l相交, 那么就有2个点M;如果圆与直线l相切, 就只1个点M.

联结GM, 那么GM⊥l.

在Rt△EGM中, GM=3, GE=5, 所以EM=4.

所以点M1的坐标为 (-4, 6) , 过M1、E的直线l为

根据对称性, 直线l还可以是

四、因动点探究三角形周长及面积的最值

例4、 (2011惠安改装) 如图, 已知抛物线y=-x2-2x+3;与坐标轴交于A, B, C三点, 其顶点为D, 对称轴是直线l, l与x轴交于点H.

(1) 若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点, 求△PBC周长的最小值;

(2) 若E是线段AD上的一个动点 (E与A、D不重合) , 过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F, 交x轴于点G, 设点E的横坐标为m, △ADF的面积为S.

(1) 求S与m的函数关系式;

(2) S是否存在最大值?若存在, 求出最大值及此时点E的坐标;若不存在, 请说明理由.

解法探究:

(1) ∵△PBC的周长为:PB+PC+BC

∵BC是定值, ∴当PB+PC最小时, △PBC的周长最小,

∵点A、点B关于对称轴I对称,

∴连接AC交l于点P, 即点P为所求的点∵AP=BP

∴△PBC的周长最小是:PB+PC+BC=AC+BC

∵A (-3, 0) , B (1, 0) , C (0, 3) ,

∴ ;故△PBC周长的最小值为 .

(2) (1) ∵抛物线y=-x2-2x+3顶点D的坐标为 (-1, 4) ∵A (-3, 0)

∴直线AD的解析式为y=2x+6∵点E的横坐标为m,

(2) S=-m2-4m-3=- (m+2) 2+1;∴当m=-2时, S最大, 最大值为1

此时点E的坐标为 (-2, 3) .

以上都是以抛物线为载体的代数几何综合题, 综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、配方法等数学方法;考查了代数计算能力、几何空间想象能力、函数与方程思想、数形结合思想、转化化归思想、分类讨论思想等综合运用.因此在学习过程中不能仅仅停留对知识的理解及掌握, 要形成解题技能及提高能力, 更要进行归纳总结形成数学方法、思想.

摘要：与二次函数为背景的中考综合题是热点题型, 且灵活多变, 与三角形相结合既熟悉又重要。经常从三角形的形状、关系及最值加于考查.

关键词：二次函数,动点,探究,相似三角形,等腰三角形,直角三角形.

参考文献

《数学新课程标准》商务印书馆

《2012年挑战中考数学》马学斌等华东师范大学出版社

《2010全国中考数学考试评价报告》华东师范大学出版社

篇4：动点问题与全等三角形

全等三角形中的探索题，是指命题中缺少一定的题设或未给出明确的结论，需要经过推断、补充并加以证明的问题.由于这类问题的知识覆盖面大，综合性强，方法灵活，再加上题意新颖，要求同学们必须具有扎实的基础知识和较强的数学能力，才能顺利解题.

一、条件探索型

条件探索型题，是指给出问题的结论，但没有给出或部分给出题目的条件，要求给出或补充使问题结论成立的条件.解这类题采取的策略是执果索因，首先要从结论出发，考虑结论成立时所要满足的条件，从而得到答案.

例1 如图1所示，已知CE⊥AB，DF⊥AB，点E、F分别为垂足，且AC∥BD.请补充一个条件，使这两个三角形全等，并给出证明.

图1

分析： 根据三角形全等的定义及判定，可知题中没有对应边相等，因此可补充一组对应边相等.

解：补充一个条件：AC=BD（或AE=BF或CE=DF或AF=BE），可使△CEA≌△BDF.下面以AC=BD为例证明如下：

因为CE⊥AB， DF⊥AB，

所以∠CEA=∠DFB=90°.

因为AC∥BD，所以∠A=∠B.

又因为AC=BD，

所以△ACE≌△BDF（AAS）.

评注：解条件探索型的问题，采用的是“逆向思维”的方法，解此类问题需要同学们有扎实的基本功及灵活处理问题的能力.

二、结论探索型

结论探索型题，这类问题的基本特征是给出条件而无结论或结论的正确与否需要确定.解这类问题通常先假定其结论存在，再进行计算、推理，若能推导出符合条件的结论，则表示结论存在；若推出矛盾的结果，则结论就不存在.

例2 用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD，把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB、AC重合，将三角尺绕点A逆时针方向旋转.

（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC、CD相交于点E、F时，如图2-1所示，通过观察或测量BE、CF的长度，你能得到什么结论？并证明你的结论；

（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC、CD的延长线相交于点E、F时，如图2-2所示，你在（1）中得到的结论还成立吗？简要说明理由.

分析： （1）根据题意可得△ABE≌△ACF，因此BE=CF；（2）可用理由（1）的方法证明.

解：（1）BE=CF.

证明：在△ABE和△ACF中，

因为∠BAE+∠EAC=∠CAF+∠EAC=60°，

所以∠BAE=∠CAF.

因为AB=AC，∠B=∠ACF=60°，

所以△ABE≌△ACF（ASA）.所以BE=CF.

（2）BE=CF仍然成立.

根据三角形全等的判定定理，同样可以证明△ABE≌△ACF.BE和CF是它们的对应边，所以BE=CF.

评注： 本题要求在三角尺的位置变化中，悟出其内在的变化规律，作出猜想并加以证明，对思维能力要求较高，突出了对探索、归纳、推理能力的考查.

三、规律探索型

规律探索型题是指在一定条件下，需探索发现有关对象所具有的规律性或不变性的问题，其解决问题的方法是通过观察、归纳、类比、分析等思维方法，概括出具有一般性的规律或结论，然后给出证明.

例3 如图3-1，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN.

探究：（1）线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明.

（2）若点M、N分别是射线AB、CA上的点，其他条件不变，再探索线段BM、MN、NC之间的关系.在图3-2中画出图形，并说明理由.

图3-2

分析：（1）根据题意，分析、观察，寻找三者的等量关系，可得BM+NC=MN.

（2）根据题意，可以把点M、N特殊化，探讨BM、MN、NC之间的关系.

解：（1）BM+CN=MN.

证明：如图3-1所示，延长AC至M1，使CM1=BM，连接DM1.

因为∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=∠DCB=30°，

所以∠ABD=∠ACD=∠DCM1=90°.

因为BD=CD，

所以Rt△BDM≌Rt△CDM1.

所以∠MDB=∠CDM1，DM=DM1.

所以∠MDM1=（120°-∠MDB）+∠CDM1=120°.

又因为∠MDN=60°，所以∠M1DN=∠MDN=60°.又DN=ND，所以△MDN≌△M1DN.所以MN=NM1=NC+CM1=BM+NC.

（2）NC-BM=MN.

证明：如图3-2所示，在CN上截取CM1=BM，连接DM1.

因为∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=∠DCB=30°.

所以∠DBM=∠DCM1=90°.

因为BD=CD，

所以Rt△BDM≌Rt△CDM1.

所以∠BDM=∠CDM1，DM=DM1.

因为∠BDM+∠BDN=60°，

所以∠CDM1+∠BDN=60°.

所以∠M1DN=∠BDC-（∠CDM1+∠BDN）=120°-60°=60°.

所以∠M1DN=∠MDN.

因为ND=ND，所以△MDN≌△M1DN.

所以MN=NM1=NC-CM1=NC-BM.

评注：解规律探索型题，可以根据题意把问题特殊化，得到结论后，再证明结果的正确性.当然，这样得到的结果也有可能是错误的.另外，本题中的问题（1）是为问题（2）作铺垫，提供解题的方向，而探索、猜想、得出结论才是题目的重点和难点.因此，要正确地审题、分析、归纳，然后探索出结果.

四、存在探索型

存在探索型题，一般是在确定的条件下判断某个数学对象是否存在.解决这类问题的策略是先假设需要探索的对象存在，从条件和假设出发进行运算、推理，若出现矛盾，则否定存在；如果不出现矛盾，则肯定存在.

例4 如图4所示，DE是△ABC的中位线，AF∥BC，在射线AF上是否存在点G使△EGA与△ADE全等？若存在，请先确定点G，再证明这两个三角形全等；若不存在，请说明理由.

分析：由于DE是△ABC的中位线，可得∠EAG=∠AED.过点E作AB的平行线，交AF于点G，可得∠AEG=∠EAD.从而可得△EGA≌△ADE.

解：存在.

过点E作AB的平行线，交AF于点G.

因为DE是△ABC的中位线，

所以DE∥BC.

又因为AF∥BC，所以DE∥AF.

所以∠EAG=∠AED.

因为EG∥AB，所以∠AEG=∠EAD.

又因为AE=AE，所以△EGA≌△ADE.

篇5：动点问题与全等三角形

问题1有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等吗?

解法甲认为,两边一夹角,既“边角边”可证两三角形全等.

乙认为,两边一对角,既“边边角”不可证两三角形全等.

综上,似乎甲乙说法各有道理,争论的关键是“两边一角”中的“一角”是两边的夹角还是一边的对角,题中未加说明,因此是错误的.我们知道,两边分别对应相等的两个三角形不一定全等,那么在什么情况下,它们会全等呢?

采用分类讨论法:

①若这两个三角形均为直角三角形,显然它们全等.(HL)

②若这两个三角形均为锐角三角形,可证它们全等.

③若这两个三角形均为钝角三角形,它们也全等.

先证明②,证法如下:

已知:如图,△ABC,△A1B1C1均为锐角三角形,AB=A1B1,BC=B1C1,∠C=∠C1.求证:△ABC≌△A1B1C1.

证明分别过点B,B1作BD⊥CA于点D,B1D1⊥C1A1于点D1.

则∠BDC=∠B1D1C1=90°,

∴△BCD≌△B1C1D1,

∴BD=B1D1.

∵AB=A1B1,

∴Rt△BDA≌Rt△B1D1A1(HL).

∴∠A=∠A1.

又∵∠C=∠C1,BC=B1C1,

∴△ABC≌△A1B1C1(AAS)

同理可证③(过程略).

其实我们可以借助尺规作图加以直观解释.

例如图1中,

已知AB=AB,AC=AD,∠B=∠B.而△ABC不全等于△ABD.理由很明显,前者为钝角三角形,后者为锐角三角形.特别指出,当AC,AD均与BD上的高AH重合时,Rt△ABC≌Rt△ABD(HL).综上边边角(SSA)不能证明两三角形全等,其中渗透了分类的数学思想.

二、问题应用

问题2为了绿化校园,学校准备在一三角形空地上种植草皮,已知该三角形空地两边长为15米、13米,第三边上的高为12米,您能计算出这块空地的面积吗?

分析该题缺少图形,因此三角形的形状具有不确定性,对学生的数学建模提出了更高的要求.

甲同学:如图2,

乙同学:如图3,

探究甲的解法具有普遍性,大多数学生由于思维定式,认为高一般都在三角形(锐角三角形)的内部,于是得面积为84平方米;乙的解法通常不易想到,高在三角形(钝角三角形)的外部,往往被忽视,于是得面积为24平方米.

提炼参见图1,问题1中∠B相等,所以AH不变;反之问题2中,AH不变,则也可以推出∠B相等.因此问题2是“两边一对角”的应用,故渗透了分类的思想.

三、结束语

在三角形全等中“两边一角”先要分类,“边边角”通常不能证明三角形全等,“对应”两字不可少.在对学生解题过程的反思与分析中,蕴藏着巨大的命题效益和解题效益.通过对学生的解题错误和解题方法的分析,不仅可以得到更成熟的解法,而且可能会找到问题的来源并发散该问题,使学生更深更牢地掌握及运用.

摘要：苏科版初中数学八年级上册第一章全等三角形中第三节——三角形的全等的条件.在三角形的全等证明中一般有“边边边”“边角边”“角边角”“角角边”四种证法,特别在直角三角形中还有“HL”证法.本文从学生在两边一角中易错题入手,并加以辩证统一,再讲了其应用,最后加以变式和发散,文中一直贯穿分类讨论法.

篇6：利用全等三角形解决实际问题

例1 如图1所示，线段AB是一个池塘的长度，现在想测量这个池塘的长度，在水上测量不方便，你有什么好的方法较方便地把池塘的长度测量出来吗？想想看.

思路：将实际问题转化为数学问题. 因为要测量线段AB的长，而线段AB不好直接测量，就要找一条与AB相等的好测量的线段，由此想到建立三角形全等的模型.

解：在平地上取一个可以直接到达A、B两点的点C，连接AC并延长到点D，使DC=AC，连接BC并延长BC到点E，使CE=CB，这

分析：若想配一块和原来三角形全等的三角形玻璃，根据三角形全等的条件，图中的第2部分符合与原来三角形全等的条件“ASA”，所以应带第二部分去配玻璃.

解：他带其中的第2块去配就可以配一块与原来一样的玻璃.

以上例题，都是将实际问题转化为数学问题，通过创建三角形全等数学模型来解决的.

在现实生活中，有很多问题都可以用全等三角形的知识来解决. 其一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形全等的问题，其中画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角条件最为关键.

篇7：“全等三角形”测试卷

1. 如图,△ABC≌△DEF,AC∥DF,则∠C的对应角为( ).

A. ∠F B. ∠AGE C. ∠AEF D. ∠D

2. 如图所示,AB∥CD,AD⊥DC,AE⊥BC交BC于E,∠DAC=35°,AD=AE,则∠B等于( ).

A. 50° B. 60° C. 70° D. 80°

3. 用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图,则说明∠A′O′B′=∠AOB的依据是 ( ).

A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS

4. 下列各组条件中,能判定△ABC≌△DEF的是( ).

A. AB=DE,BC=EF,∠A=∠D

B. ∠A=∠D,∠C=∠F,AC=EF

C. AB=DE,BC=EF,△ABC的周长=△DEF的周长

D. ∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F

5. 下列结论错误的是( ).

A. 全等三角形对应边上的高相等

B. 全等三角形对应边上的中线相等

C. 两个直角三角形中,斜边和一个锐角对应相等,则这两个三角形全等

D. 两个直角三角形中,两个锐角相等,则这两个三角形全等

6. 要测量河两岸相对的两点A、B的距离,先在AB的垂线BF上取两点C、D,使CD=BC,再定出BF的垂线DE,使A、C、E在同一条直线上,如图,可以得到△EDC≌△ABC,所以ED=AB, 因此测得ED的长就是AB的长,判定的理由是( ).

A. SAS B. ASA

C. SSS D. HL

二、填空题(每小题4分,共20分)

7. 撑上支撑后的自行车能稳稳地停在地上,是因为三角形具有 ________ 性.

8. 如图,DE⊥AB,DF⊥AC,AE=AF,请找出一对全等的三角形:________.

9. 如图,AD、A′D′分别是锐角三角形ABC和锐角三角形A′B′C′中BC、B′C′边上的高,且AB=A′B′、AD=A′D′.若使△ABC≌△A′B′C′,请你补充条件 _______.(填写一个你认为适当的条件即可)

10. 如图,幼儿园的滑梯中有两个长度相等的梯子(BC=EF),左边滑梯的高度AC等于右边滑梯水平方向的长度DF,则∠ABC+ ∠DFE=_______°.

11. 如图所示,点P是△ABC内一点,PD⊥BC于点D,PE⊥AC于点E,PF⊥AB于点F,PD=PE=PF.若∠A=70°,∠BPC=_______.

三、解答或证明(本大题共56分)

12.(6分)如图,已知AB=AD,BC=DC,AC、BD相交于点E,由这些条件写出4个你认为正确的结论(不再添辅助线,不再标注其他字母).

13.(7分)如图,AB=DC,AC=DB,求证:AB∥CD.

14.(7分)如图,已知在△ABC中,AB=AC,∠1=∠2.

求证:AD⊥BC,BD=DC.

15.(7分)如图,已知BE⊥AD,CF⊥AD,且BE=CF.请你判断AD是△ABC的中线还是角平分线?请说明你判断的理由.

16.(8分)如图,太阳光线AC与A′C′是平行的,同一时刻两根高度相同的木杆在太阳光照射下的影子一样长吗?说说你的理由.

17.(9分)(1)如图1,A,B,C,D在同一直线上,AB=CD,DE∥AF,且DE=AF,求证: △AFC≌△DEB.

(2)如果将BD沿着AD边的方向平行移动,如图2,如图3时,其余条件不变,结论是否成立?如果成立,请予以证明;如果不成立,请说明理由.

18.(10分)已知△ABC中,AB=AC,D、E是BC边上的点,将△ABD绕点A旋转,得到△ACD′,连结D′E.

(1)如图1,当∠BAC=120°,∠DAE=60°时,求证:DE=D′E.

(2)如图2,当DE=D′E时,∠DAE与∠BAC有怎样的数量关系?请写出,并说明理由.

参考答案

1. A 2. C 3. A 4. C 5. D 6. B 7. 稳定.

8. Rt△ADE≌Rt△ADF;解析:由题意,可得AE=AF,∠AED=∠AFD=90°,结合AD= AD可以得到Rt△ADE≌Rt△ADF.

9. BC=B′C′(答案不唯一);解析:这是一道开放性问题.

10. 90° 11. 125°

12. 答案不唯一,如,△AED≌△AEB,△CDE≌△CBE,△ADC≌△ABC,DE=BE, ∠DAE=∠BAE等等.

13. 分析:要证AB ∥CD,只需 ∠ABC= ∠DCB,要证 ∠ABC= ∠DCB,只需 △ABC ≌ △DCB.

15. AD是△ABC的中线.

理由如下:在Rt△BDE和Rt△CDF中,∵BE=CF,∠BDE=∠CDF,

∴Rt△BDE≌Rt△CDF. ∴BD=CD.

故AD是△ABC的中线.

18.(1)证明:如图1,

理由:如图2

篇8：动点问题与全等三角形

[关键词]中学数学；全等三角形；问题情境

中图分类号：G623.5

问题情境教学的理论依据

数学新课程标准实施的总体要求是：“促进学生的自主学习，让学生积极参与，乐于探究，勇于实验，勤于思考。通过多样化的教学方式，帮助学生学习数学知识与技能，培养其科学探究能力，使其逐步形成科学态度与科学精神。”

问题情境是以培养学生自主意识和主动性行为为特征的，这是完全符合马克思主义观点的，且注重引导学生主动参与、亲身实践、独立思考、合作探究，培养学生会提出问题、分析问题、解决问题的能力，以及交流与合作的能力。培养学生主动提出问题的能力是实施素质教育的一个重要方面。

问题情境课堂教学模式的程序

教学的基本程序是：①创设问题情境，使学生发现并提出问题。②引导学生对提出的问题进行自主探究（个体和集体合作学习），分析解决问题，探索问题。③对探索问题及时反馈，在验证中得以解决，并进一步拓展问题，发展问题。

“全等三角形”的教学设计

1.确定教学目标

教学目标承袭义务教育人教版中的教学要求：了解全等形及全等三角形的概念，理解全等三角形的性质，在图形变换以及实际操作的过程中发展学生的空间观念，培养学生的几何直觉，学生通过观察、发现生活中的全等形和实际操作中获得全等三角形的体验，在探索和运用全等三角形性质的过程中感受到数学的乐趣。增添多维目标：经历自主提出问题，亲自动手解决问题，并初步学会信息的收集与处理；培养学生遇事先动脑思考（提出问题），提出解决问题的方法（设计实验方案），用实验加以验证想法（实验探究）的动脑、动手学习数学的学习方法；培养学生观察能力、分析概括能力和联系简单现象探索数学规律的能力。

2.教學实施

创设情境，导入新课

师：观察下列图案，有形状、大小相同的图形吗？如果有请指出来。

问题情境：你还能举出生活中一些实际例子吗？

生1：同一版面的纪念邮票

生2：同一版面的人民币

生3：同一底片洗出来的尺寸相同的相片

生4：用两张纸叠在一起剪出的两张窗花

师：通过观察图形和生活中的例子你能得出什么结论？

生：这些形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合。能够完全重合的两个图形叫做全等形。

新课问题情境

问题情境1：请同学们做一做。在一张纸板上任意画一个三角形，把两张纸板小心地重叠在一起，并固定，然后小心地用剪刀把三角形剪下来，这样可以得到两个三角形。请同学们思考，得到的图形有何特点？

生互动交流：剪出的图形形状、大小相同，能够完全重合。

得出概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形

问题情境2：观察三角形ABC与三角形A、B、C、的重合过程，根据边角重合情况，你能得出对应顶点、对应角、对应边的定义吗？

生1：互相重合的顶点叫做对应点，

生2：互相重合的边叫做对应边

生3：互相重合的角叫做对应角

师：“全等”用符号“≌ ”表示，记作：△ABC≌△A、B、C、

读作△ABC全等于△A、B、C、

问题情境3：拿一张纸对折后，剪成两个全等的三角形， △ABC和△ECD ，把这两个三角形一起放在下列图中△ABC的位置上，试一试，如果其中一个三角形不动，怎样移动另一个三角形，能够得到下列图中的各图形，从中你能得到什么启发 ？

翻折 平移 旋转

将学生分成甲、乙、丙三大组，每大组又分成若干小组。

甲组探究翻折；乙组探究平移；丙组探究旋转。

甲组：将△ABC翻折，你还能画出几种不同的任置关系，画出图形并说出对应元素

乙组：将△ABC平移，你能画出几种不同的任置关系，画出图形并说出对应元素

丙组：把两块全等的三角板重合放在桌面上，让其中一块绕一个顶点旋转，你能画出几种不同的位置关系，画出图形并说出对应元素.

交流讨论： 1、何时两个三角形能够完全重叠在一起？

2、此时它们的顶点、边、角有何特点？

学生自己拼出各种图形，画在练习本上，并找出它们的对应边、对应角。三组中各找一人在白板上画出变换的各种图形，注明哪两个三角形全等及它们的对应边、对应角。比较哪一组拼出的图形多，让学生在亲身的经历中形成表象，熟悉一系列的基本图形。

通过实验操作与同桌的交流讨论，得到以下结论：

1.任意放置这样的两个三角形，并不一定完全重合，只有把相等的角放在一起时，这两个三角形才能完全重合。

2.当两个三角形完全重合时，说明它们的三个顶点、三条边、三个内角分别重合，也就是对应相等。

问题情境4：全等三角形有什么性质呢？

生1：全等三角形的对应边相等。

生2：全等三角形的对应角相等。

设计反思

新课程标准把“知识与技能、过程和方法、情感态度和价值观”作为课堂目标，因此更显示出：

1.过程比结果重要。学会学习比知识本身更重要，在这节课中，我鼓励学生有不同的见解，让他们在小组内讨论，让学生动手、动脑、动口，实现人人参与，人人交流，学生学会了如何去交流合作，激发了他们的探究兴趣，体验到课堂竞争的乐趣，让他们体会到学习过程在某种程度上比结果更重要。

2.学会合作学习。新课标的大背景下，合作学习成为学习科学的重要方式，老师应为学生提供充分的科学活动和交流的机会。在这堂课中，我让两人小组合作讨论翻折、平移、旋转等各种图形的变换，学生在组内无拘无束地交流着、讨论着，大家相互学习、相互尊重，学会了表达又学会了倾听、特别是为不同层次的学生提供了参与学习的机会，让人人体验到成功。

五、结束语

为了新课程标准落实到实处，为了在课堂教学中推进素质教育，从发展性的要求来看，不仅要让学生“学会”数学，而更重要的是“会学”数学，学会学习，具备在未来的学习、工作中，科学地提出问题、探索问题、创造性地解决问题的能力。因此在课堂中教师有意识地创设问题情境进行课堂教学活动，不但可以有效调动学生的主动性，发挥学生的主体作用，提高学生注意力，活跃课堂气氛，激发学生的学习兴趣，而且可以诱发学生主动思考，开启学生心灵，开发学生智能，从而达到事半功倍的课堂教学效果。

[参考文献]

[1] 人民教育出版社 义务教育课程标准实验教科书 数学 八年级上册

[2] 光明日报出版社 初中数学 《上好一堂课的22个关键要素》

篇9：教你证明三角形全等

一般地, 应根据题设并结合图形, 先确定两个三角形已知相等的边或角, 然后按照判定公理或定理, 寻找还缺少的条件。其基本思路是:

1.有两边对应相等, 找夹角对应相等或第三边对应相等, 前者利用SAS判定, 后者利用SSS判定。

2.有两角对应相等, 找夹边对应相等或任一等角的对边对应相等, 前者利用ASA判定, 后者利用AAS判定。

3.有一边和该边的对角对应相等, 找另一角对应相等, 利用AAS判定。

4.有一边和该边的邻角对应相等, 找夹等角的另一边对应相等或另一角对应相等, 前者利用SAS判定, 后者利用AAS或ASA判定。

例1如图1所示, 已知AB=AC, AD=AE, ∠1=∠2.求证:∠B=∠C.

分析:要证明∠B=∠C, 只要证明∠B、∠C分别所在的■ABD和■ACE全等。在这两个三角形中, 有两边对应相等 (AB=AC, AD=AE) , 只要再证明∠BAD=∠CAE或BD=CE即可显然由题设容易证明

证明:由∠1=∠2, 得:∠1+∠BAC=∠2+∠CAB.

在△ABD和△ACE中,

例2如图2所示, 已知∠A=∠B, AE=BF, ∠C=∠D.求证:AC=BD.

分析:要证明AC=BD, 只要证明AC、BD所在的△ACF和△BDE全等。在这两个三角形中, 有两角对应相等 (∠A=∠B, ∠C=∠D) , 只需再证明CF=DE或AF=BE就可。显然, 由题设证明AF=BE更方便。

证明:由AE=BF, 得AE+EF=BF+FE, 即AF=BE.

在■ACF和■BDE中,

例3如图3所示, 已知△ABC中, D、E分别是AB、AC的中点, CF∥AB交DE的延长线于点F.求证:AB=2CF.

分析:要证明AB=2CF, 注意到D是AB的中点 (AB=2AD) , 那么只需证明CF=AD, 即需证明△CFE和△ADE全等。在这两个三角形中, 有一边和该边的邻角对应相等 (CE=AE, ∠CEF=∠AED) , 只需再证明EF=ED或∠1=∠A或∠F=∠2即可显然由题设证明或更方便。

证明:由CF∥AB, 得∠1=∠A.

在△CFE和△ADE中,

∵D是AB的中点, 即AB=2AD,

例4如图4所示, 已知△ABC中, ∠ACB=90°, ∠CBA=45°, E为AC上的一点, 延长BC到点D, 使CD=CE, 求证:BE⊥AD.

分析:要证明BE⊥AD, 需延长BE交AD于F, 证明∠AFE=90°, 即证明∠1+∠2=90°.又∵∠3+∠4=90°, ∠2=∠3, 那么需证明∠1=∠4, 即应考虑∠1、∠4所在的△ACD和△BCE全等。在这两个三角形中, 有一边和该边的邻角对应相等 (CD=CE, ∠ACD=∠BCE=90°) , 只要再证明∠CA=CB或∠D=∠3即可。显然, 证明CA=CB更方便。

证明:延长BE交AD于点F, 由∠ACB=90°, ∠CBA=45°, 得∠CAB=∠CBA=45°, 从而有:CA=CB.

在△ACD和△BCE中,

∴∠1+∠2=90°, 从而有:∠AFE=90°.

篇10：2011中考之图形的认识与全等

一、图形的认识

1. 线段、射线和直线

（1）线段的性质：两点之间，线段最短.

（2）两点确定一条直线；两条直线相交，有且只有一个交点.

（3）线段的垂直平分线是到线段两个端点距离相等的点的集合. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；到一条线段的两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.

2. 角

（1）角的分类：锐角（0°<α<90°）、直角（90°）、钝角（90°<α<180°）、平角（180°）、周角（360°）.

（2）互为余角（两角和为90°）、互为补角（两角和为180°）.

（3）角平分线是指到角两边距离相等的点的集合. 角平分线上的点，到这个角两边的距离相等. 到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.

3. 平面上直线的位置关系

（1）对顶角相等.

（2）垂线的基本性质：①经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线. ②垂线段最短.

（3）在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.

（4）①两条直线被第三条直线所截，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行. ②在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行. ③平行于同一条直线的两条直线平行.

（5）①经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行. ②两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；内错角相等；同旁内角互补. ③在同一平面内，如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，则也垂直另一条. ④两条平行线间的距离处处相等. ⑤平行线间的平行线段相等.

二、图形的全等

1. 概念

（1）能够完全重合的两个图形叫做全等形.

（2）能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角. 夹边就是三角形中相邻两角的公共边，夹角就是三角形中有公共端点的两边所成的角.

（3）记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.

2. 三角形全等的判定

（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）.

（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）.

（3）边边边定理：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）.

（4）对于直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）．

中考试题剖析

（2011山东泰安）如图1，l∥m，等腰直角三角形ABC的直角顶点C在直线m上，若∠β=20°，则∠α的度数为（ ）

A. 25° B. 30° C. 20° D. 35°

A.

本题考查了平行线的性质，以及等腰直角三角形的性质. 可过点B作已知平行线的平行线，利用平行线性质可以求得∠α+∠β=∠ABC=45°，进而求得∠α的度数为25°，故选A.

（2011浙江绍兴）如图2，已知AB∥CD，BC平分∠ABE，∠C=34°，则∠BED的度数是（ ）

A. 17° B. 34° C. 56° D. 68°

D.

本题考查了角平分线的性质和平行线的性质，可以求得∠ABC=∠CBE=∠BCE=34°，进一步可由三角形外角的性质求得∠BED=68°，也可以利用三角形内角和定理求得∠CEB的度数，再由邻补角的知识求得∠BED=68°，或者，利用平行线的性质（两直线平行，内错角相等）求得∠BED=∠ABE=68°，所以选D.

（2011广东广州）已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，有下列四个命题：

①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；

②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；

③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；

④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c.

其中真命题是________.（填写所有真命题的序号）

①②④.

本题考查了平行线的性质. 由“在同一平面内，如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，则也垂直另一条”得出①是正确的，由“平行于同一条直线的两条直线平行”得出②是正确的，由“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行”可得③是错误的，④是正确的.

（2011浙江衢州）如图3，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

B.

本题考查了点到直线的距离以及角平分线的性质. 由点到直线的距离定义可知垂线段最短，由角平分线性质可以得到PQ的最小值=PA=2.

（2011安徽蕪湖）如图4，在△ABC中，∠ABC=45°，点F是高AD和高BE的交点，CD=4，则线段DF的长度为（ ）

A. 2 B. 4

C. 3 D. 4

B.

本题考查了等腰直角三角形的性质，余角的性质以及三角形全等的判定和性质. 由条件可以判定△ABD为等腰直角三角形，因此，BD=AD. 在Rt△ACD与Rt△BCE中，由同角或等角的余角相等可以得到∠CAD=∠FBD，又有∠CDA=∠FDB=90°，所以△ADC≌△BDF. 由全等三角形的性质得DF=CD=4，所以选B.

（2011重庆）如图5，点A，F，C，D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC. 求证：BC∥EF.

因为AF＝DC，所以AC＝DF. 又∠A＝∠D，AB＝DE，所以△ABC≌△DEF. 所以∠ACB＝∠DFE. 所以BC∥EF.

本题考查了等量公理，全等三角形的判定和性质，以及平行线的判定. 由等量公理（等量加等量和相等）可以得到AC=DF，合并已知条件，由“SAS”可以判定△ABC≌△DEF. 由全等三角形的性质可得∠ACB＝∠DFE. 由平行线的判定（内错角相等，两直线平行）可以判定BC∥EF.

（2011四川内江）如图6，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A，D重合，连结BE，EC. 试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想.

BE=EC，BE⊥EC. 理由如下：因为AC=2AB，点D是AC的中点，所以AB=AD=CD. 因为∠EAD=∠EDA=45°，所以∠EAB=∠EDC=135°. 因为EA=ED，所以△EAB≌△EDC. 所以∠AEB=∠DEC，EB=EC. 所以∠BEC=∠AED=90°. 所以BE=EC，BE⊥EC.