平面向量三角形四心

第一篇：平面向量三角形四心

讲义---平面向量与三角形四心的交汇

一、四心的概念介绍

(1)重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1; (2)垂心——高线的交点：高线与对应边垂直; (3)内心——角平分线的交点(内切圆的圆心)：角平分线上的任意点到角两边的距离相等; (4)外心——中垂线的交点(外接圆的圆心)：外心到三角形各顶点的距离相等。

二、四心与向量的结合

(1)OAOBOC0O是ABC的重心. 证法1：设O(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)

x1x2x3x(x1x)(x2x)(x3x)03 OOAOBOC0yyy23(y1y)(y2y)(y3y)0y13是ABC的重心. 证法2：如图

AOAOBOC OA2OD0

AO2OD

A、O、D三点共线，且O分AD

为2：1

OEO是ABC的重心

(2)OAOBOBOC证明：如图所示O是三角形

BDCOCOAO为ABC的垂心.

ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC， D、E是垂足.OAOBOBOCOB(OAOC)OBCA0

AOBAC

E同理OABC，OCAB

BOO为ABC的垂心

(3)设a,b,c是三角形的三条边长，O是ABC的内心

aOAbOBcOC0O为ABC的内心. ABAC、分别为AB、AC方向上的单位向量， cbABAC平分BAC, cbABACbc)，令 AO(abccb证明：DCAOABACbc() abccb化简得(abc)OAbABcAC0

aOAbOBcOC0

(4)OAOBOCO为ABC的外心。

三、典型例题：

例1：O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OPOA(ABAC)，0, ，则点P的轨迹一定通过ABC的( )

A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心

例2：(03全国理4)O是平面上一定点，

A、B、C是平面上不共线的三个点，动点

P满足OPOA(ABABACAC)，0, ，则点P的轨迹一定通过ABC的( )

A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心

例3：1)O是平面上一定点，

A、B、C是平面上不共线的三个点，动点

P满足OPOA(ABABcoBsACACcoCs)，0, ，则点P的轨迹一定通过ABC的( )

A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心

2)已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足ABACOPOA(),[0,), 则动点P的轨迹一定通过△ABC的( ) |AB|sinB|AC|sinCA. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心

3)已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OBOCABACOP(), [0,), 则动点P的轨迹一定通过△ABC的( ) 2|AB|cosB|AC|cosCA. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心

例

4、已知向量OP12P31,OP2,OP3满足条件OP1OP2OP30，|OP1||OP2||OP3|1，求证：△PP是正三角形.

ABC例

5、的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，则实数m = OHm(OAOBOC)，

.

例

6、点 ). O是三角形ABC

所在平面内的一点，满足OAOBOBOCOCOA，则点

O是ABC的(

A.三个内角的角平分线的交点 C.三条中线的交点

B.三条边的垂直平分线的交点 D.三条高的交点

例7

在△ABC内求一点P，使

AP2BP2CP2最小.

222222例8已知O为△ABC所在平面内一点，满足|OA||BC||OB||CA||OC||AB|，则O为△ABC的 心.

例9..已知O是△ABC所在平面上的一点，若OAOBOBOCOCOA，则O点是△ABC的( ) A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心

222222例10 已知O为△ABC所在平面内一点，满足|OA||BC||OB||CA|=|OC||AB|，则O点是△ABC的( ) A. 垂心 B. 重心 C. 内心 D. 外心

例11已知O是△ABC所在平面上的一点，若(OAOB)AB=(OBOC)BC=(OCOA)CA= 0，则O点是△ABC的( ) A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心

例12：已知O是△ABC所在平面上的一点，若aOAbOBcOC= 0，则O点是△ABC的( ) A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心

aPAbPBcPC例13：已知O是△ABC所在平面上的一点，若PO(其中P是△ABC所在平面内任意一点)，

abc则O点是△ABC的( ) A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心

四、配套练习：

1.已知ABC三个顶点A、B、C及平面内一点

P，满足

PAPBPC0，若实数满足：ABACAP，则的值为( )

A.2 B.32 C.3 D.6 3

2.若ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，OAOBOCA.

0，则OAOB( ) 12 B.0 C.1 D.1 23.点O在ABC内部且满足OA2OB2OC0，则ABC面积与凹四边形A.0 B.

ABOC面积之比是( )

32 C.

54 D.

43

是ABC的( ) 4.ABC的外接圆的圆心为O，若OHOAOBOC，则HA.外心 B.内心 C.重心 D.垂心

5.O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，若OABCOB222

CAOCAB222，则O是ABC的( )

A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 6.ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，OH则实数m =

17.(06陕西)已知非零向量与满足(+)〃=0且〃= , 则△ABC为( )

2A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形 8.已知ABC三个顶点

m(OAOBOC)，

A、B、C，若ABABACABCBBCCA，则ABC为( )

2A.等腰三角形 B.等腰直角三角形

C.直角三角形 D.既非等腰又非直角三角形

9.已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OPOA(ABAC), [0,). 则P点的轨迹一定通过△ABC的( ) A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心

10.已知O是△ABC所在平面上的一点，若OAOBOC= 0, 则O点是△ABC的( ) A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心

111.已知O是△ABC所在平面上的一点，若PO(PAPBPC)(其中P为平面上任意一点), 则O点是△ABC

3的( ) A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心

第二篇：三角形的四心的向量表示

222(1)O为ABC的外心OAOBOC.外心(三条边垂直平分线交点) (2)O为ABC的重心OAOBOC0.重心(三条边中线交点) (3)O为ABC的垂心OAOBOBOCOCOA.垂心(高线交点)(4)O为ABC的内心aOAbOBcOC0.内心(角平分线交点)

方向上的单位分别为证明：前三个心的性质都好证明，下面给出问题(4)的证明：cb

向量，平分BAC, cb

)， (cbBCBA同理：BOu() acuABACBCBA11ABAOOB()u()[()u]AB()AC cbaccacab

11()u1a11bccacu()u1得代入解得， bcacabcu0ab三角形的四心的向量表示 设O为ABC所在平面上一点，角A,B,C所对边长分别为a,b,c，则

bc() abccb

化简得(abc)bc， abc

第三篇：平面向量、三角公式知识回顾

2013.03.18：知识回顾——平面向量、三角公式

一.平面向量：

1. 与的数量积(或内积)：

ab|a||b|coscos

2.平面向量的坐标运算：

(1)设A(x),则ABOBOA

1,y1)，B(x2,y2(x2x1,y2y1).

(2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则ab=x1x2y1y2. (3)设a=(x,y)，则a

x2y2

3.两向量的夹角公式：

设a=(xabx1x2y1y21,y1),b=(x2,y2)，且b0，则cosab



x

21y1x2y2

4.向量的平行与垂直：

// x1y2x2y10.

() ab0x1x2y1y20.

二.三角函数、三角变换、解三角形：

1.同角三角函数的基本关系：

(1)平方关系：sin2+ cos2=1。 (2)商数关系：

sincos=tan(

k,kz) (3)asinbcos

a2b2sin()(其中辅助角与点(a,b)在同一象限，且tan

b

a

)2.诱导公式：(三角函数符合分配——“一全、二正、三切、四余”) (第一组)——函数名不变，符号看象限

1sin2ksin，cos2kcos，tan2ktank.

(第一象限) 2sinsin，coscos，tantan.(第三象限) 3sinsin，coscos，tantan.(第四象限) 4sinsin，coscos，tantan.(第二象限)

(第二组)——函数名改变，符号看象限

5sin



2cos，cos2



sin.(第一象限) 6sin



2cos，cos2



sin.(第二象限) (7)sin(

32)cos,3

2)sin.(第四象限) (8)sin(32)cos,3

)sin(第三象限)

3.三角函数和差角公式：

sin()sincoscossincos()coscossinsin

tan()

tantan

1tantan

变式：tantantan()(1tantan)

4.二倍角公式：

sin22sincos变式：1sin(sin



cos

)22

cos2cos2sin2

变式：升幂公式：1+cos=2cos



2cos212

1-cos=2sin



12sin2

降幂公式：cos21cos22sin2

1cos22

tan 22tan1tan2

注：sin(cos



sin)2cos

222sin2

5.正弦定理：

asinAbsinBc

sinC

2R.

变形：a2RsinA,b2RsinB,c2RsinCa:b:csinA:sinB:sinC 6. 余弦定理：

b21)求边： a2

b2

c2

2bccosA;(2)求角:cosAc2a2

(2bc

a2bc2a2

2cacosB;cosBc2b222ac

c2a2b2

2abcosC;cosCa2b2c22ab

7. 三角形面积定理：

S111

2absinC2bcsinA2

casinB=pr

(其中p1

(abc), r为三角形内切圆半径)

第四篇：复数+平面向量+三角函数(解析版)

【高中文科数学专题复习之___】

复数+平面向量+三角函数

一、 要点梳理

1、复数的有关概念

(1)复数的概念

形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中a,b分别是它的实部和虚部。若b=0,则a+bi为实数，若b≠0,则a+bi为虚数，若a=0且b≠0，则a+bi为纯虚数。

(2)复数相等：a+bi=c+dia=c且b=d(a,b,c,d∈R).(3)共轭复数：a+bi与c+di共轭a=c，b=-d(a,b,c,d∈R).。

(4)复平面

建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面。x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。实轴上的点表示实数;除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数;各象限内的点都表示非纯虚数。

(5)复数的模

向量OZ的模r叫做复数z=a+bi的模，记为|z|或|a+bi|，即

2、复数的几何意义 复平面内的点Z(a,b)(a,b∈R); (1)复数z=a+bi

平面向量OZ(a,b∈R)(2)复数z=a+bi。

3、复数的运算

(1)复数的加、减、乘、除运算法则

设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则

①加法：z1+ z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;

②减法：z1- z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;

③乘法：z1· z2=( a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i; ④除法：一一对应一一对应z1abi(abi)(cdi)(acbd)(bcad)i(cdi0) z2cdi(cdi)(cdi)c2d

2(2)复数加法的运算定律

复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z

1、z

2、z3∈C，有z1+z2=z2+z1，(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)。

注：任意两个复数不一定能比较大小，只有这两个复数全是实数时才能比较大小。

4.向量的坐标运算

(1)A(x1,y1)，B(x2,y2),则AB(x2x1,y2y1)

(2)设i,j为x,y轴正向单位向量，若ABxiyj，则记AB(x,y)

xxyyxxyy(3)若a(x1,y1)，b(x2,y2)则ab(1ab(1 2,12)2,12)

a(x1,y1)abx1x2y1y

2aa//b

二、习题精练

x1y

1x1y2x2y1abx1x2y1y20 x2y

21 .(2013年新课标Ⅱ卷)设复数z满足(1i)z2i,则z

A.1i

B.1i

C.1i

D.1i

( A )

2 .(2013年山东)若复数z满足(z3)(2i)5(i为虚数单位),则z的共轭复数为 ( D )

A.2i

B.2i

C.5i

D.5i

( C )

3 .(2013年广东)若复数z满足iz24i,则在复平面内,z对应的点的坐标是

A.2,4 B.2,4 C.4,2 D.4,2

( B )

4 .(2013年辽宁)复数的Z

模为 i1

CD.2

A.

1 2

B

5.(2013年高考四川)如图,在复平面内,点A表示复数z,则图中表示z的共轭复数的

点是 ( B)

A.A B.B C.C D.D 6 .(2013年新课标1)若复数z满足(34i)z|43i|,则z的虚部为

A.

4B.

(D)

C.4 D.

4

5( B )

7.(2013年浙江)已知i是虚数单位,则(1i)(2i)

A.3i

B.13i

C.33i

D.1i

8. 把函数y=sin2x的图象按向量→a=(-，-3)平移后，得到函数y=Asin(ωx+)(A>0，ω>0，||=62的图象，则和B的值依次为



A.

312



C.3

( B) D.-3

12

B.，3

9. 已知A、B、C为三个锐角，且A+B+C=π.若向量→p=(2-2sinA，cosA+sinA)与向量→q=(cosA-sinA，1+sinA)是共线向量. (Ⅰ)求角A;

C-3B(Ⅱ)求函数y=2sin2B+cos的最大值.3→【解】 (Ⅰ)∵p、→q共线，∴(2-2sinA)(1+sinA)=(cosA+sinA)(cosA-sinA)，则sin2A=， 4又A为锐角，所以sinA=

3A=2

3

(π-B)-3B

3C-3B

(Ⅱ)y=2sin2B+cos=2sin2B+cos

2

213

=2sin2B+cos(2B)=1-cos2B+sin2B

322

31

=+1=sin(2B-)+1. 226

5

∵B∈(0，)，∴2B-∈(-)，∴2B-=B=ymax=2.2666623

3→10. 已知向量→a=(3sinα,cosα)，→b=(2sinα，5sinα-4cosα)，α∈(，2π)，且→a⊥b. 2(Ⅰ)求tanα的值;

α(Ⅱ)求cos(+的值.

23→→→→解：(Ⅰ)∵a⊥b，∴a·b=0.而→a=(3sinα，cosα)，→b=(2sinα, 5sinα-4cosα)， →故→a·b=6sin2α+5sinαcosα-4cos2α=0.

41由于cosα≠0，∴6tan2α+5tanα-4=0.解之，得tanα=-，或tanα

32

314

∵α∈，2π)，tanα<0，故tanα=(舍去).∴tanα=-.

223

3α3

(Ⅱ)∵α∈(2π)∈(π).

2244α1αα5α2

5由tanα，求得tan，tan=2(舍去).∴sincos，

32222525

ααα25153

∴cos(=cossinsin=-

232323525210

→11. 设函数f(x)=→a·b.其中向量→a=(m，cosx)，→b=(1+sinx，1)，x∈R，且f()=2. 2(Ⅰ)求实数m的值;(Ⅱ)求函数f(x)的最小值. →解：(Ⅰ)f(x)=→a·b=m(1+sinx)+cosx， 由f(=2，得m(1+sin+cos=2，解得m=1.

222(Ⅱ)由(Ⅰ)得f(x)=sinx+cosx+12sin(x+)+1，

4

当sin(x+)=-1时，f(x)的最小值为12.

AA→A

12. 已知角A、B、C为△ABC的三个内角，其对边分别为a、b、c，若→m=(-，sin)，n=，

222A1→sin，a=23，且→m·n=.

22

(Ⅰ)若△ABC的面积S=3，求b+c的值. (Ⅱ)求b+c的取值范围.

AAAA1→→【解】 (Ⅰ)∵m=(-，sin)，→n=(cos，sin，且→m·n= 22222

AA11

∴-cos2+sin2，即-cosA=

2222

2

又A∈(0，π)，∴A=3

又由S△ABC=bcsinA=3，所以bc=4，

2

由余弦定理得：a2=b2+c2-2bc·cosb2+c2+bc，∴16=(b+c)2，故b+c=4.

bca2

(Ⅱ)由正弦定理得：=4，又B+C=-A=

sinBsinCsinA32

sin3



∴b+c=4sinB+4sinC=4sinB+4sin(B)=4sin(B)，

3332

∵0

333323

第五篇：高考二轮复习数学考点突破之数列+三角函数与平面向量

高考二轮数学复习：三角函数与平面向量

1.三角函数作为一种重要的基本初等函数，是中学数学的重要内容，也是高考命题的热点之一.近几年对三角函数的要求基本未作调整，主要考查三角函数的定义、图象与性质以及同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和角与倍角公式等.高考对三角函数与三角恒等变换内容的考查，一是设置一道或两道客观题，考查三角函数求值、三角函数图象与性质或三角恒等变换等内容;二是设置一道解答题，考查三角函数的性质、三角函数的恒等变换或三角函数的实际应用，一般出现在前两个解答题的位置.无论是客观题还是解答题，从难度来说均属于中低档题目，所占分值在20分左右，约占总分值的13.3%.

2.平面向量是连接代数与几何的桥梁，是高考的重要内容之一.高考常设置1个客观题或1个解答题，对平面向量知识进行全面的考查，其分值约为10分，约占总分的7%.近年高考中平面向量与解三角形的试题是难易适中的基础题或中档题，一是直接考查向量的概念、性质及其几何意义;二是考查向量、正弦定理与余弦定理在代数、三角函数、几何等问题中的应用.

1.2011年高考试题预测

(1)分析近几年高考对三角函数与三角恒等变换部分的命题特点及发展趋势，以下仍是今后高考的主要内容：

①三角函数的图象与性质是高考考查的中心内容，通过图象求解析式、通过解析式研究函数性质是常见题型.

②解三角函数题目的过程一般是通过三角恒等变换化简三角函数式，再研究其图象与性质，所以熟练掌握三角恒等变换的方法和技巧尤为重要，比如升幂(降幂)公式、asin

x+bcos

x的常考内容.

③通过实际背景考查同学们的数学建模能力和数学应用意识.

高考二轮复习数学考点突破之数列

1.本专题是高中数学的重要内容之一，在高考试题中一般有2～3个题

(1～2个选择、填空题，1个解答题)，共计20分左右，约占总分的13%.选择题、填空题的难度一般是中等，解答题时常会出现与函数、三角、不等式等知识交汇的问题，故多为中等偏上乃至较难的问题.

2.数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础.高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏，有关数列的试题一般是综合题，经常把数列与不等式的知识综合起来考查，也常把数列与数学归纳法综合在一起考查.探索性问题是高考的热点，常有数列解答题中出现.

3.近两年来，高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面：(1)数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式.

(2)数列与其他知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合.(3)数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主.试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，有一些地方用数列与几何的综合，或与函数、不等式的综合作为最后一题，难度较大.热点，常有数列解答题中出现.