初二下数学知识点

初二下数学知识点（共14篇）

篇1：初二下数学知识点

第五章 分式与分式方程

1、认识分式

① 一般地，用AB表示两个整式。A÷B可以表示成的形式，如果B中含有字母，那么称为分式，其中A称为分式的分子，B称为分式的分母。对于任意一个分式，分母都不能为零

② 分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变

③ 把一个分式的分子，分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分

④ 在一个分式中，分子分母已经没有公因式，这样的分式称为最简分式，化简分式时，通常要使结果称为最简分式或者整式。

2、分式的乘除法

① 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母;两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除数相乘

3、分式的加减法

① 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减

② 根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式。这一过程称为分式的通分。

③ 为了计算方便，异分母分式通分时，通常采取最简单的公分母，简称最简公分母，作为它们的共同分母

④ 异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算

4、分式方程

① 分母中含有未知数的方程叫做分式方程

② 增跟：一个数使原分式方程的分母为零，原因是，我们在方程的两边同乘以一个使分母为零的整式

篇2：初二下数学知识点

知识要点 1．分式的有关概念

设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子A就叫做分式．注意B

分母B的值不能为零，否则分式没有意义

分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简

2、分式的基本性质

AAMAAM, （M为不等于零的整式） BBMBBM

3．分式的运算 (分式的运 算法则与分数的运算法则类似)． ;acadbcbdbd (异分母相加，先通分)；bdbdacad

bdbcacac ad;bc

anan

n. bb

4．零指数a1(a0) 5．负整数指数 a

amanamn,0p1(a0,p为正整数). ap

注意正整数幂的运算性质 amanamn(a0),

(am)namn,

(ab)nanbn

可以推广到整数指数幂，也就是上述等式中的m、 n可以是O或负整数．

6、解分式方程的一般步骤：在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化为整式方程．解这个整式方程．.验根，即把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，若结果不是0，说明此根是原方程的根；若结果是0，说明此根是原方程的增根，必须舍去．

7、列分式方程解应用题的一般步骤：

（1）审清题意；（2）设未知数（要有单位）；（3）根据题目中的数量关系列出式子，找出相等关系，列出方程；（4）解方程，并验根，还要看方程的解是否符合题意；（5）写出答案（要有单位）。

10-21. (-5) =_____； 2. 3 =________；3. 当x_________时，分式 有x+1

意义；

4. 写出等式中未知的式子：

2（ ）1 = ； 2c+7cc+710ab5. 约分：2 =______________； 4ab116. 分式： 的最简公分母为：______； x-1x-2

xa7. 若方程 =2 + 有增根，则增根为x=______； x-4x-4

8. 当x=______时，分式3x-a11 ；9. 若x=2是方程 = 的解，2x-1x+13则a=______；

10. 某种感冒病毒的直径是0.00000034米，用科学记数法表示为_______________米；

11111. 已知公式： = ，若R1 =10，R2=15，则R=___________； RR1R2

2653711012. + =22-46-45-43-47-41-410-4

-2，依照以上各式形成的规律，在括号内填入正确的数，使等式-2-4

20（ ） =2成立 20-4（ ）-4

13. 下列关于x的方程中，是分式方程的是（ ）

11x+23+xA. 3x=2x54

14. 下列各式中，成立的是（ ）

1a+ 2a+1y maxa 3 A. = B. 2 = mC. xymbxb1a-1a- 262215. 要把分式方程：31 = 化为整数方程，方程两边需同时乘以2（x-2）x

（ ）

A. 2（x-2） B.x C. 2x-4 D. 2x（x-2）

016. -(-2)的运算结果为（ ）

A. -1 B.1C. 0D. 2

a - b17. 2 的结果为（ ） a + ab22

a-ba-ba+ba-b B. C. D. a+abaaa+b

18. 若有m人a天可完成某项工程，且每个人的工作效率是相同的，则这样

的（m+n）人完成这项工程所需的天数为（ ）<

amam+nA. a + m B. D. m+nm+nam

x+1x+1x+9xx-9x19.计算： ; 20.计算： x-2x+1x-1x+3xx+6x+9

806071-3x21．解方程： 解方程： +2 = x+3x-3x+2x+2

xx4x23.先化简，再求值：（ + ，其中x=. x-2x+2x-2

x-2x+1x-x124.已知y = 2 ÷ - ，试说明在等号右边代数式有意义的x-1x+1x

条件下不论x为何值，y的值不变。

25.为了缓解城市用水紧张及提倡节约用水，某市自1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨25% 。该市林老师家12月份的水费是18元，而07年1月份的水费是36元，且已知林老师家07年1月份的用

3水量比06年12月份的用水量多6m。求该市去年的居民用水价格。 ．．

26.已知某项工程由甲、乙两队合作12天可以完成，共需工程费用13800元，乙队单独完成这项工程所需时间是甲队单独完成这项工程所需时间的

1.5倍，且甲队每天的工程费比乙队多150元。

⑴甲、乙两队单独完成这项工程分别需要多少天；

⑵若工程管理部分决定从两个队中选一个队单独完成此项工程，以节约资金的角度考虑，应选择哪个工程队？请说明理由。

正比例、反比例、一次函数

第一象限(＋，＋)，第二象限(－，＋)第三象限(－、－)第四象限(＋，－)；

x轴上的点的纵坐标等于0，反过来，纵坐标等于0的点都在x轴上，y轴上的点的横坐标等于0，反过来，横坐标等于0的点都在y轴上，

篇3：初二下数学知识点

一、加强知识的发生过程的几点做法

1. 加强概念教学中概念形成过程的教学

(1)创设一个激发学生兴趣的情境,引起矛盾诱发学生强烈的求知欲,使学生的思维处于积极地状态下接受新知识.知识的发生既自然又符合学生的认知规律,同时又能激发学生的求知欲,消除学生对知识的陌生感,尽量使学生自己得到要学的知识.使学生感到该课的知识是学过的知识但又不全是,有一种似能非能,欲罢不能的感觉.

(2)为使学生在抽象的基础上掌握概念,教师应该特别注意学生掌握知识的系统性,加深知识间内在联系及新旧知识之间的联系,使学生系统地领会自然规律和社会规律,从而为逐步形成辩证唯物主义的世界观准备条件.

2. 加强定理、公式、法则形成过程教学,在菱形性质定理发生过程中我采用了以下几点作法

(1)通过实例引入,由学生自己发现定理.

菱形的概念发生之后,要学生得出菱形的性质定理1不困难.在得出性质定理2之前,先用透明的塑料片制成的菱形给同学们演示.将菱形沿对角线AC对折,观察对折后的四个三角形有何特点?(是全等三角形)再观察直角三角形的两条边有何特点?从而引出菱形的性质定理2.

(2)让学生自己表述定理并分析推导证明定理,揭示证明的思维过程,学生发现定理2后,自己表述:定理2:菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角.学生自己写已知,求证并证明.过程如下:

已知:菱形ABCD,对角线AC、BD相交于点O.求证:(1)AC⊥BD;(2)AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ABC和∠ADC.

证明:因为四边形ABCD是菱形

所以AB=AD

BO=OD(菱形是平行四边形)

所以在等腰三角形ABD中AC⊥BD,AC平分∠BCD;BD平分∠ABC和∠ADC(还可用三角形全等来证).

同时让学生讲清思路,为什么这样做?怎么想到的?这一步很重要,有的同学常会这样说,上课听老师讲题,能看得懂,听的明白,觉得解法很妙,但轮到自己解题时却不知从何处下手.笔者认为:这是由于教学中对思维过程交待不清或揭示不深所致.所以教师教学不仅要教会学生怎样解题,更重要是要设身处地研究学生可能的思维状况,加以引导、取舍,并且向学生交待解题的思维过程,这样才能取得比较好的效果.

由此可见,加强定理、法则、公式的发生过程教学必须在引入、表述、推导证明、揭示思维过程以及运用和记忆上下功夫.

二、加强知识发展过程教学的几点做法

1. 深挖教材,精心设问,精选习题

通过发生过程得出结论后,必须有一个发展过程,还必须把得出的结论纳入实际中去,从而进一步产生新知识.知识的发展包括巩固现有知识,使原有认知结构复杂化和为进行新的发生过程创造条件.练习和复习是知识发展的重要途径,这就要求教师在备课中要深挖教材,精心设问精选习题以达到知识发展的目的.

2. 抓住青少年思维语言与想象之间的内在联系,讲练结合

篇4：初二下数学知识点

[关键词]数学教学 缄默知识 核心知识 教学策略 体验 理解 转化 巩固

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2016）14-035

数学核心知识，是指在数学课程和教材中具有内在逻辑的连贯性和一致性，处于不可或缺的、重要的和主干地位的基础知识。缄默知识由英国思想家波兰尼提出，指无法系统表述的知识。缄默知识难于表达、陈述，但它为人的认识活动提供最终的解释性框架和知识信念。所有显性知识的增长、应用和理解都依赖于缄默知识，因此，显性知识植根于缄默知识。

作为教师，需要认识到学生是拥有大量缄默知识的。学生学习数学的过程，也就是其显性知识与缄默知识进行丰富、转换、提升的过程。小学阶段的数学核心知识包含缄默知识，也就是说，在小学数学学习的某一阶段，核心知识是以缄默的状态被学生拥有的。下面，笔者从缄默知识的视角，对数学核心知识的教学进行初步的尝试和探索。

一、以退促进，使核心知识在退中生长

1.“退”到学生的生活经验

《数学课程标准》指出：“数学教学应紧密联系学生的生活实际，从学生已有的基础知识和生活经验出发。”因此，教师应准确把握学生已有的经验和知识，以此为助力开展教学，使学生获得核心的知识。学生进入课堂前不是一张白纸，而是已经储备了许多前数学经验，这对于他们掌握和理解数学核心概念具有积极的促进意义。如“认识平均数”一课的教学，平均数这一核心概念所涵盖的内容包括平均数的计算及其意义。平均数的计算方法、公式是显性知识，平均数所蕴含的公平合理、互相平摊、不多不少、不偏不倚的数学思想则是缄默知识，因此教师在教学中应唤醒学生已有的生活经验。课始，教师可说：“比赛中，男生组5人的总成绩是455分，女生组4人的总成绩为372分，男生组获胜。”这时有学生立刻提出反对意见，教师可在学生的讨论中引出公平的比较方法——比较平均数。这些带有数学元素的生活经验，是教师进行核心知识教学时有待激活的思维生长点。

2.“退”到学生的已有认知

奥苏伯尔认为：“学习者认知结构中具有同化新知识的原有知识基础，才能开始有意义的学习。”这说明，已有的缄默知识将支撑学生对核心知识的理解。例如，教学“三位数乘两位数”一课时，教师可先通过复习两位数乘两位数的计算，激活学生的已有认知，再让学生尝试计算三位数乘两位数。又如，教学“小数乘法的简便计算”时，先让学生进行整数乘法的简便运算，再将运算律扩充到小数领域。这样教学，使学生在原有认知的基础上，实现了核心知识的自然生长。

3.“退”到学生的思维起点

研究表明：在构建某一显性知识时，是由学生自主选择、组织所需要的缄默知识的。这就意味着教师应从学生的思维起点入手，协助学生找寻可利用的缄默知识。如教学“平行四边形”一课时，教师可先让学生说说从平行四边形的名称中想到了什么，使学生从图形名称的思考上初步了解平行四边形的特征。此外，教师还应在学生的思维起点处，辨别学生已有的缄默知识对理解核心知识会造成怎样的影响，或去芜存菁，或因势利导。

二、以体验促理解，使核心知识在体验中厘清

1.在情境中体验

核心知识的教学，既是传递、掌握显性知识的过程，又是检验、修正、应用缄默知识的过程。缄默知识不是孤立存在的，总是依附于情境，与一定的情境相联系。因此，教师应通过具体的教学情境，促进学生的显性知识与缄默知识不断丰富和转化。例如，教学“间隔排列的规律”一课时，教师可通过创设情境，让学生理解“兔比蘑菇多1个”“夹子比手帕多1个”等内容，并思考“1是怎么多出来的”等问题，促进学生对规律的理解。又如，在“认识11～20各数”的教学中，教师先创设情境“评比表中的一栏只能放下9朵小红花”，激活学生已有的“10朵小红花换作1朵大红花”的缄默知识，接着迁移至“原始人类用1块大石头替换10块小石头”的计数，使学生产生10根小棒换大棒的想法，所谓的大棒就是10根小棒捆成1捆。这样教学，使学生在情境中凭借缄默知识，自然地理解了位值的改变与升级。

2.在实践中体验

《数学课程标准》倡导：“数学教学应为学生提供充分从事数学活动的机会。”核心知识与内隐的思想方法的一致性、缄默知识的实践特性，决定了学生只有在实践中构建知识，学习方能得到完善。例如，教学“认识千克”一课时，教师通过称、掂、比等实践活动，帮助学生建立1千克的实际观念。又如，教学“认识升与毫升”一课时，教师先让学生猜测1升水倒入雪碧瓶中能否装得下，再让学生将1升水与果汁瓶的容量比大小，判断容器的容量是与1升同样多，还是比1升多或少。最后让学生动手实验并进行验证，交流结果。通过实践活动，学生逐步形成对1升的感悟。

三、以对话促转化，使缄默知识在对话中外显

1.师生对话

缄默知识外显化，可促进学生对核心知识的理解。课堂教学中，可以通过师生对话、交流讨论等方式，实现缄默知识的外显化。在对话过程中，伴随着每个学生个性化见解的表述，他所拥有的缄默认识的立场、观点也随之“流淌”出来，能够被自己同时也被他人所认识和理解，并在此基础上开展批判、检讨、修正和利用。例如，教学“认识平面图形”一课时，在教师总结“像这样有四条边的图形是四边形”后，再让学生自己尝试总结“有五条边的图形是五边形”“有六条边的图形是六边形”。这时，有学生问道：“有七条边的图形是七边形，有八条边的图形是八边形？”“那有一百条边的图形就是一百边形？可一百边形就很像一个圆了。”……在师生宽松、自由的对话中，学生的缄默知识得以显现，既加深了他们对核心知识的理解，又丰富了学生的认知。

2.生生交流

在核心知识的建构过程中，不同学生相关的缄默知识的质量、构成、属性等不完全相同，所以不同学生的学习效果在程度、方向和性质上都不尽相同。但借助交流合作，每个人把自己有关的缄默知识显性化地传达出来，将各种缄默知识经过比较、分析、选择、整理、组合或融合后，就可能使问题得到解决。例如，教学“圆的周长”一课时，教师让学生通过小组合作学习，利用提供的材料测量不同大小的圆的周长，这合作的过程是学生缄默知识显现、交流的过程。

3.自我反省

在核心知识的学习活动中，教师还可以让学生通过自我反省的内部对话形式，回顾学习历程，分析缄默知识显性化的过程，提高自我分析学习行为的能力，进而助推元认知能力的发展。在课堂教学中，教师可以让学生适时回顾：“我们学习了什么，是怎样学习的？探索了什么，是怎样探索的？得到了什么规律，是怎样获得的？”通过对缄默知识的反省，并对它的内部结构进行调整、修改、提升，使学生形成更高水平的数学直觉，加深对核心知识的理解。

四、以变式促巩固，优化缄默知识的影响

缄默知识对核心知识的影响具有双重性，既可能对知识的形成起促进作用，又可能对知识的形成起阻碍和干扰的作用。这就需要教师在教学过程中植入变式练习，以突显知识的本质属性，避免缄默知识在知识形成中所起的负面影响。教师在核心知识的教学中，可设计一定数量的变式练习，利用变式练习展现核心知识的本质属性与非本质属性，帮助学生领会知识的要义，修正对核心知识有干扰作用的缄默知识，优化学生已有的缄默知识的结构，使学生清晰、牢固地掌握核心知识。

总之，教师在进行教学设计、实施教学的过程中，应从缄默知识的视角出发，正视、巧用学生已有的缄默知识，使学生真正理解所学知识。

篇5：初二数学知识点

am·an=am+n(m、n都是正整数)

同底数幂相乘，底数不变，指数相加.

[幂的乘方]

(am)n=amn(m，n都是正整数)

幂的乘方，底数不变，指数相乘.

[积的乘方]

(ab)n=anbn(n是正整数)?

积的乘方等于把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.?

[单项式乘以单项式]

单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同的字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.

[单项式乘以多项式]

单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.

[多项式乘以多项式]

篇6：初二数学知识点

1.平行四边形的对边平行且相等 2.平行四边形的对角相等

3.平行四边形的两条对角线互相平分 4.平行四边形的对角相等，两邻角互补 5.平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点

7.过平行四边形对角线交点的直线将平行四边形分成全等的两部分图形

8.由定义：平行四边行的两组对边分别平行 ★平行四边形判定：

1两组对边分别相等的四边形是平行四边形 2.对角线互相平分的四边形是平行四边形 3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形

★矩形性质：

1.矩形的四个角都是直角 2.矩形的对角线相等且互相平分 3.对边相等且平行

4.矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等

5.矩形是轴对称图形，对称轴是任何一组对边中点的连线 ★矩形判定：

1.有一个角是直角的平行四边形是矩形 2.对角线相等的平行四边形是矩形 3.有三个角是直角的四边形是矩形 4.四个内角都相等的四边形为矩形 5.关于任何一组对边中点的连线成轴对称图形的平行四边形是矩形

6.【注】依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形。矩形的中点四边形是菱形。★菱形性质

1.对角线互相垂直且平分；2.四条边都相等； 3.对角相等,邻角互补； 4.每条对角线平分一组对角．

5.菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线 ★菱形判定

1.一组邻边相等的平行四边形是菱形 2.对角线互相垂直平分的四边形是菱形 3.四边相等的四边形是菱形

4.关于两条对角线都成轴对称的四边形是菱形

5.【注】依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。不管原四边形的形状怎样改变，中点四形的形状始终是平行四边形。菱形的中点四边形是矩形。★正方形性质：

边：两组对边分别平行；四条边都相等；相邻边互相垂直

内角：四个角都是90°；

对角线：对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角。★正方形判定：

1：对角线相等的菱形是正方形

2：对角线互相垂直的矩形是正方形，正方形是一种特殊的矩形

3：四边相等，有三个角是直角的四边形是正方形

4：一组邻边相等的矩形是正方形 5：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形

6：四边均相等，对角线互相垂直平分且相等的平面四边形

依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形。正方形的中点四边形是正方形。★等腰三角形性质等腰三角形的两底角相等

等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边

等边三角形的各角都相等，并且每一个角等于60°

★等腰梯形性质定理

1：等腰梯形在同一底上的两个角相等 2：等腰梯形的两条对角线相等

篇7：初二数学知识点上册

算术平方根的双重非负性

1.√a中a≧0

2.√a≧0

算术平方根产生 根号(即算术平方根)的产生源于正方形的对角线长度“根号二”，这个 “根号二”的发现 一度引起了毕达哥拉斯学派的恐慌。因为按当时的权威解释(也就是毕达哥拉斯学派的学说)，世界的一切事物都可以用有理数代表。

对于这个无理数“根号二”，最终人们选取了用根号来表示

算术平方根举例

9的平方根为±3 ;9的算术平方根为3，正数的平方根都是前面加±，算术平方根全部都是正数。

算术平方根辨析

算术平方根和平方根是大家学习实数接触最多的概念，两者密不可分。可对于初学者来说是对“孪生杀手”，很容易在解题过程中产生错误。算术平方根和平方根到底有哪些区别与联系呢?

一、 两者区别

1、定义不同：⑴一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根(arithmetic square root)。⑵一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根(square root)。这就是说，如果x2=a，那么x叫做a的平方根。

2、表示方法不同：⑴a的算术平方根记为√a ，读作“根号a”，a叫做被开方数(radicand)。⑵a的平方根记为±√a，读作“正负根号a”，其中a叫做被开方数。

3、个数不同：从形式上看，二者的符号主体相似，但是一个数的平方根要在其算术平方根的前面写上“±”。这也正好说明了一个正数和零的算术平方根有且只有一个，而一个正数却有两个互为相反数的平方根。零只有一个平方根

数学学习方法

一该记的记，该背的背，不要以为理解了就行

有的同学认为，数学不像英语、史地，要背单词、背年代、背地名，数学靠的是智慧、技巧和推理。我说你只讲对了一半。数学同样也离不开记忆。

因此，数学的定义、法则、公式、定理等一定要记熟，有些能背诵，朗朗上口。比如大家熟悉的“整式乘法三个公式”，我看在座的有的背得出，有的就背不出。在这里，我向背不出的同学敲一敲警钟，如果背不出这三个公式，将会对今后的学习造成很大的麻烦，因为今后的学习将会大量地用到这三个公式，特别是初二即将学的因式分解，其中相当重要的三个因式分解公式就是由这三个乘法公式推出来的，二者是相反方向的变形。

对数学的定义、法则、公式、定理等，理解了的要记住，暂时不理解的也要记住，在记忆的基础上、在应用它们解决问题时再加深理解。打一个比方，数学的定义、法则、公式、定理就像木匠手中的斧头、锯子、墨斗、刨子等，没有这些工具，木匠是打不出家具的;有了这些工具，再加上娴熟的手艺和智慧，就可以打出各式各样精美的家具。同样，记不住数学的定义、法则、公式、定理就很难解数学题。而记住了这些再配以一定的方法、技巧和敏捷的思维，就能在解数学题，甚至是解数学难题中得心应手。

1、“方程”的思想

数学是研究事物的空间形式和数量关系的，初中最重要的数量关系是等量关系，其次是不等量关系。最常见的等量关系就是“方程”。比如等速运动中，路程、速度和时间三者之间就有一种等量关系，可以建立一个相关等式：速度.时间=路程，在这样的等式中，一般会有已知量，也有未知量，像这样含有未知量的等式就是“方程”，而通过方程里的已知量求出未知量的过程就是解方程。

物理中的能量守恒，化学中的化学平衡式，现实中的大量实际应用，都需要建立方程，通过解方程来求出结果。因此，同学们一定要将解一元一次方程和解一元二次方程学好，进而学好其它形式的方程。

所谓的“方程”思想就是对于数学问题，特别是现实当中碰到的未知量和已知量的错综复杂的关系，善于用“方程”的观点去构建有关的方程，进而用解方程的方法去解决它。

数学学习技巧

学好初中数学课前要预习

初中生想要学好数学，那么就要利用课前的时间将课上老师要讲的内容预习一下。初中数学课前的预习是要明白老师在课上大致所讲的内容，这样有利于和方便初中生整理知识结构。

初中生课前预习数学还能够知道自己有哪些不明白的知识点，这样在课上就会集中注意力去听，不会出现溜号和走神的情况。同时课前预习还可以将知识点形成体系，可以帮助初中生建立完整的知识结构。

学习初中数学课上是关键

初中生想要学好学生，在课上就是一个字：跟。上初中数学课时跟住老师，老师讲到哪里一定要跟上，仔细看老师的板书，随时知道老师讲的是哪里，涉及到的知识点是什么。有的同学喜欢记笔记，在这里提醒大家，初中数学课上的时候尽量不要记笔记。

你的主要目的是跟着老师，而不是一味的记笔记，即使有不会的地方也要快速简短的记下来，可以在课后完善。跟上老师的思维是最重要的，这就意味着你明白了老师的分析和解题过程。

课后可以适当做一些初中数学基础题

在每学完一课后，初中生可以在课后做一些初中数学的基础题型，在做这样的题时，建议大家是，不要出现错误的情况，做完题后要学会思考和整理。当你的初中数学基础题没问题的时候，就可以做一些有点难度的提升题了，如果做不出来可以根据解析看题。

但是记住千万不要大量的做这类题，初中生偶尔做一次有难度的题还是对数学的学习有帮助的，但是如果将重点放在这上面，没有什么好处。同时要学会整理，将自己错题归纳并总结，

篇8：初二下数学知识点

在美国“教师专业发展”就是一个重要的研究范畴, 并且专门颁布了其相关的发展标准。在教师的专业发展中, 无疑处于最核心地位的是知识。很多人认为只要具备充足的数学知识就可以成为一位好的数学老师, 实际上, 充分的数学知识仅是必备的条件之一, 还需要掌握更多的关于学生、教学、课程等教育教学知识。在实际的教学过程之中, 还存在一个如何将教学知识转化为教学能力的一个过程。就初中数学这门学科而言, 我们可以把它所具有的学科教学知识定义为“数学教学知识”, 它是数学教师所特有的区别于别的学科教师的主要特征, 这个理念的提出, 就是告诉大家作为一名数学教师光有数学知识和一般的教学教法是不够的, 还需要掌握关于初中数学的特殊的教学教法, 比如对某一数学内容如何以数学的形式和思维呈现给学生, 如何培养学生的数学化思维, 不仅要懂数学, 还要会教数学。

从数学教学知识的视角来看, 它对教师专业的发展有着重大的现实意义。一方面, 数学教学行为是教学知识的直接表现, 直接影响着数学教师的发展。一定程度上可以说, 教师的知识和教学能力成正比关系;另一方面, 数学教学知识具有定型作用, 直接关系到数学课堂教学质量如何。初中数学教师一旦建构起自己的数学教学知识, 就会内化为教师解释、认识、评价教学事件的框架和模型, 并以这种框架或模型去分析、说明、论证、评价教学中的问题, 形成固定的教学风格, 和处理问题的原则及方法, 因此对数学教学质量有着直接的影响, 加强特定教师群体比如初中数学教师的学科教学知识研究, 成为了新课程下的重要内容。

数学教师的特色在于他具有数学知识, 一名数学教师是否具有较扎实的数学知识对于有效的数学教学而言至关重要:它在教师的知识结构中或者说在教师的教学实践中起着“载体”的作用, 只有具体了丰富的数学知识, 才能把他所具备的其他教育学、心理学等知识融为一个有机的整体, 缺少它整个教学过程会成为一个空壳, 它就像是一个载体, 实现教师知识的整合。整个转化过程具有以下鲜明的特征: (1) 教师的个体性。数学知识向数学教学知识的转化以教师的知识为基础, 通过长期的教学实践, 师生互动中建构出来的一个教学过程。 (2) 过程的情境性。转化离不开真实教学情境, 它需要个体与外在的教学情境交互作用而完成知识的建构与转化, 脱离了教学环境和教学实践的任何转化都是不切实际的, 不能实现真正的转化。方法的多样性。针对同一主题的数学知识, 因为不同的教师的教育背景不同, 经历不同, 每个教师的性格等各异, 因而具有不同的知识与经验, 在数学知识的理解也就不同, 在此基础上进行数学教学知识的建构方式也就不同, 所以具有不同的建构方式, 表现为转化方法的多样性。认知的内隐性。转化过程是一个认知结构调整和重组的过程, 有着多种的显性和隐形因素相互作用相互结合的过程, 需要长期的浸染, 不能一触而就。

首先, 转化不是简单的在原有基础上增加教学知识, 为了实现它的有效转化, 应该在丰富的数学知识基础上, 结合自身的理解, 从学生的角度去考虑教与学的关系, 比如现有的教学内容和学生已有的知识有什么联系, 在整个教学体系中有着什么地位, 学生会有怎么样的理解和认知, 针对学生的不同特点有着不同的教学方法和策略。其次, 数学新课程实施的背景下需要实现转化。尽管初中新课程实施已经好几年, 但是在给予老师更多的教学自主权的同时也面临着诸多的挑战和压力。

教师不再是知识的简单传授者和课堂的支配着, 而应该是学生数学学习的促进者、组织者、引导者和合作者。在新课程的背景下, 教学方式方法已经完全不是传统的教学中, 教师围绕教科书进行教学的简单传授。只有摆脱教科书的束缚, 打破教条主义, 给教学教法以最大的灵活性和自由度, 这就对当今条件下教师提出了更高的要求: (1) 教师要充分认知和了解学生。要根据学生的年龄特征和认识特点来组织教学。教学需要师生的互动和共同发展, 学生是教学活动的主题, 整个教学过程应该围绕学生的特点、愿望、知识和经验等出发来进行教学。 (2) 要积极培养学生实际运用能力。数学教学应努力体现“从问题情境出发、建立模型、寻求结论、应用与推广”的基本过程, 使学生认识到数学与现实世界的联系, 通过观察、操作、思考、交流等一系列活动逐步发展应用意识, 形成初步的实践能力; (3) 要培养学生的探索和创新精神。学生是学习的主体, 教师应给学生提供自主探索的机会, 让学生在观察、实验、猜测、归纳、分析和整理的过程中去理解一个问题是怎样提出来的、一个概念是如何形成的、一个结论是怎样探索和猜测到的, 以及这个结论是如何被应用的, 通过这些形式, 使学生的创新精神的培养得到落实。

参考文献

[1]鲍建生, 王洁, 顾怜沉.聚焦课堂[M].上海:上海教育出版社, 2005.

[2]范良火.教师教学知识发展研究[M].上海:华东师范大学出版社, 2003.

篇9：新理念指导下数学知识转化的途径

一、运用类比，实现转化

认知心理学认为：学生学习的过程，是一个把教材知识结构转化为自己认知结构的过程。从学生的认知发展角度来说，任何新知识都是在原有的旧知识的基础上生长起来的，旧知是新知的停靠点。

认知基础是决定学生进行有意义学习的一个最重要的内部因素。因此，在实际教学中我们可以把学生感到生疏的问题转化成比较熟悉的问题，并利用已有的知识加以解决，促使其快速高效地学习新知。

如学生学习了三角形面积以后，发现推导三角形面积公式的基本思路是：将三角形通过合并、割补转化成已经学过的图形平行四边形、长方形，再根据平行四边形的面积公式推导出三角形的面积公式。

因此，在教学梯形的面积时，教师可先复习三角形面积的推导方法，然后引导学生类比、联想，能否用推导三角形面积公式的方法，求出梯形的面积呢？学生通过测量、剪拼，将梯形转化为平行四边形、三角形、长方形，很快就能得出梯形的面积公式。

另外，在教学圆的面积公式时，也是通过转化为计算长方形的面积而得到的。

二、根据联系，实现转化

有些数学题，初看起来比较隐晦、生疏，难以下手。如果改变表达形式，就比较容易找到解答方法。例如，一辆汽车从甲城开到乙城，每小时行60公里，到达乙城停留半小时后返回甲城，每小时行50公里。从甲城出发到返回甲城共用7.1小时，求甲乙两城的距离。

这道题初看似乎较难解答，但由于题目中的路程一定，速度和时间成反比例，如果将速度转化为所需时间之比，就可以用按比例分配方法解答。从甲城到乙城与从乙城返回甲城速度的比为60∶50=6∶5，则所需时间的比为5∶6。从甲城出发到返回甲城实际所需时间为7.1-0.5=6.6小时。从甲城到乙城所用时间为：6.6×5/11=3（小时），甲乙两城的距离为60×3=180（公里）。

三、假设猜想，实现转化

数学家弗赖登塔尔指出：“学习数学的唯一正确方法是实行再创造，也就是由学生本人把要学的东西自己去发现或创造出来，教师的任务是引导和帮助学生进行这种再创造的工作，而不是把现成的知识灌输给学生。”如果学习者不进行再创造，他对学习的内容就难以真正的理解，更谈不上灵活运用了！所以，在数学教学中，我们要引导学生大胆假设和猜想，实现转化，从而培养学生的创新意识和创新能力。

因此，在解答含有两个或两个以上未知数量的应用题时，教师可以引导学生利用“鸡兔同笼”法，即先假设某个未知数量为已知数量，然后进行适当调整，再根据题目中的条件列出算式并进行解答。

例如：“学校里共有15间宿舍，可以住104人，大宿舍住8人，中宿舍住7人，小宿舍住5人，已知中小宿舍同样多。问三种宿舍各有多少间？”

假如15间全都是大宿舍，那么一共可以住8×15（人），比实际住的104人多8×15-104（人），这是因为把中小宿舍也算成大宿舍的缘故，每间多算了（8-7）+（8-5）人，根据一共多住的人数和每间中小宿舍多算的人数，就可以算出中小宿舍的间数：（8×15-104）÷[（8-7）+（8-5）]=4（间），大宿舍的间数：15-4×2=7（间）。

四、等量代换，实现转化

在解答数学题目时，我们要引导学生树立等量代换的思想，实现转化，从而提高解答能力。如有些数学题给出了两个或两个以上未知数量之间的等量关系，要求这几个未知数量。可以选择其中一个最基本的未知数量为标准，通过等量代换，使题目的数量关系单一化。这样进行等量代换，有利于解答。例如：“甲、乙、丙三数的和是100，甲数除以乙数、丙数除以甲数结果都是商5余1。乙数是多少？”

由题意得：

甲+乙+丙=100①

甲=5乙+1②

丙=5甲+1③

以②代入③得：丙=（5乙+1）×5+1=25乙+6④

由②、④代入①得：（1+5+25）乙+1+6=100→（1+5+25）乙=100-1-6，所以乙数为：（100-1-6）÷（1+5+25）=3。

五、图形显示，实现转化

对于形象思维为主的学生来说，在小学应用题教学中，教师应尽量发挥图形的具体、形象作用，引导学生通过作图分析，掌握解题思路，学生往往就会茅塞顿开，豁然开朗。例如：“在一块边长4米的正方形草地的两只对角上，各拴着一只羊，羊绳长都是4米。问两只羊都能吃到的草地面积有多少平方米？

解答这道题时，教师可引导学生尝试先画出示意图，再认真观察分析，就可以发现：两只羊都能吃到的草地面积，就是两个圆心角为90度，半径为 4米的扇形的公共部分。于是，原题就转化为求左图阴影部分的面积，即阴影部分的面积等于90度角扇形的面积减直角三角形的面积的差乘2。

S阴=（S扇-S三角形）×2=（1/4×3.14×42—1/2×4×4）×2=9.12（m2）

篇10：初二数学知识点总结

1.平均数

平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数。

2.中位数

中位数是指将统计总体当中的各个变量值按大小顺序排列起来，形成一个数列，处于变量数列中间位置的变量值就称为中位数。

3.众数

篇11：初二下册数学几何知识点

②包围着体的是面(surface)。面有平的面和曲的面两种。平静的水面给我们以平面的形象，而一些建筑物的屋顶则给我们以曲面的形象。

③夜晚流星划过天空时留下一道明亮的光线，节日的焰火画出的曲线组成优美的图案，这些都给我们以线(line)的形象。面和面相交的地方形成线。长方体6个面相交成的12条棱(线)是直的，圆柱的侧面与底面相交得到的圆是曲的。

④天上的星星、世界地图上的城市等都给我们以点(point)的形象。线和线相交的地方是点。

⑤笔尖可以看作一个点，这个点在纸上运动时，就形成线，节日的焰火也可以看成由点运动形成的，这可以说点动成面。长方形硬纸片绕它的一边旋转，形成一个圆柱体，这可以说面动成体。

⑥几何图形都是由点、线、面、体组成的，点是构成图形的基本元素。电视屏幕上的画面、大型团体操的背景图案也可以看作由点组成。

⑦点、线、面、体经过运动变化，就能组合成各种各样的几何图形，形成多姿多彩的图形世界。

⑧几何学的起源：

篇12：初二数学知识点人教版

定义：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。像这样含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。解二元一次方程组的基本思路是“消元”——把“二元”变为“一元”。以一个未知数代另一个未知数的解法称为代入消元法，简称代入法。通过两式加减消去其中一个未知数的解法称做加减消元法，简称加减法。

【第八章数据的代表】

定义：一般地，对于n个数X1,X2,?Xn，我们把1/n(X1+X2+?+Xn)叫做这个数的算术平均数，简称平均数，记为X。

为A的三项测试成绩的加权平均数。

篇13：初二下数学知识点

数学结构知识是教师数学知识的一个重要组成部分.教师具有数学结构的知识,有利于实施高质量的数学教学.有研究表明,“教师的数学知识越清楚、越综合、连接得越好,就越将趋于有生气地进行教学,以越有变化的方式对数学知识进行表达,从而就能充分地鼓励学生,并对学生的讨论和问题做出反应”[1].数学家F.克莱因认为,一个数学教师的职责是,“应使学生了解数学并不是孤立的各门学问,而是一个有机的整体”.高中数学新课程以“模块”和“专题”的形式呈现,对教师来说,具有数学结构知识,尤具现实意义.综合文献研究,本文认为,应从以下3个方面理解数学结构知识.

1 把握数学内容的整体性

数学内容的整体结构,即各分支数学思想的内在组织.教师要知道,数学包括对具体数学对象(如数、几何体、函数等)、性质,和它们应用的研究(验证、计数、度量、比较、定位、描述、建构、转化和建模).这些对象之间的关系、模式、重组和运算导致了数学结构的建构(如数系、群或者向量空间),以及对这些结构之间的相似和不同的研究.数学概念和结构的性质,又被用作创造解决各种类型问题的有效算法或程序.因此,“数学研究的任何水平,都包括对重要的概念和过程的研究,而其中验证、解释、讨论概念和过程的能力,需要形成对它们之间联系的理解能力”[2].此外,正确评价数学和其它领域关系的能力,也需要对数学内容的整体结构有所了解和认识.

关于数学科学内容的整体结构,在20世纪30年代,法国的布尔巴基学派(Bourbaki)做了系统、深入地研究.“布尔巴基学派以三个母结构(代数结构、序结构和拓扑结构)为中心,按照结构之间的‘亲缘’关系,将整个数学系统由一个分支转到另一个分支,有层次地一直延伸到未开垦的处女地.”[3]

虽然不能要求教师达到布尔巴基学派对数学结构化的理解水平,但高中数学新课程以模块和专题的形式呈现,所以,实施新课程教学也要求“注意沟通各部分内容之间的联系,通过类比、联想、知识的迁移和应用等方式,使学生体会知识之间的有机联系,感受数学的整体性,进一步理解数学的本质,提高解决问题的能力”[4].例如,要把握好函数与其他内容之间的联系,通过内容之间的种种联系,理解函数的概念及其应用,体会为什么函数是高中数学的核心概念.为此,在学习函数时,要结合函数的图像,了解函数的零点与方程根的联系,根据具体函数的图像,借助计算器或计算机求相应方程的近似解;在导数的学习中通过与前面函数性质学习的比较,体会导数在研究函数性质时的一般性和有效性,等等.“教师把各分支数学看成是一个整体框架,是一种跨越各内容分支形成连接的连贯结构,而不是孤立的规则、事实和内容的集合.”[5]

总之,教师认识到数学知识的“大的景象”,对理解学校数学中各个分支知识(如,算术、代数、函数和几何)之间的相互关系和共同特点是很关键的,同时,也是建构数学新意义和教学时形成连接的基础.

2 建立所教数学与整体数学背景的关系

掌握数学的结构,对教师还意味着能够形成一种对数学课程整体概况的认识,即具有所教数学与整体数学背景关系的知识.

教师需要掌握完整的数学课程,以便能够帮助学生建构起对数学的理解,并能为后续的数学学习建构一个基础.所有各年级水平的教师,要能看到他们所教的数学怎样嵌入“大的”数学背景中,并且要理解,重要的数学思想是怎样在学生学习数学课程的进程中形成的.对于一些核心的概念和基本思想,如函数、向量、算法、统计、空间观念、运算、数形结合、随机观念等,要在整个高中数学的学习中多次接触、螺旋上升、不断加深认识和理解.如函数概念的认识和理解,要经历一个多次接触的过程.在必修课程“数学1”模块的学习中,要在义务教育阶段学习的基础上,通过提出恰当的问题,创设恰当的情境,使学生产生进一步学习函数概念的积极情感,帮助学生从:现实世界中的大量变化现象需要用函数来刻画,需要认识函数的要素;需要用近现代数学的基本语言——集合的语言来刻画函数概念;需要提升对函数概念的符号化、形式化的表示等3个主要方面,来进一步认识和理解函数概念.对于函数表示法的学习,应该在义务教育阶段学习函数3种基本表示法的基础上,通过具体的问题背景,让学生恰当选择相应的表示方法去解决问题,在解决问题中,帮助学生加深对函数概念和函数表示法的认识和理解.随后,通过对基本初等函数——指数函数、对数函数、幂函数、三角函数的学习,进一步感悟函数概念的本质以及为什么函数是高中数学的一个核心概念,然后,在“导数及其应用”的学习中,通过对函数性质的研究,再次提升对函数概念的认识和理解,等等.

教师具有所教数学与整体数学背景关系的知识,具体表现的一个典型特征是,在教学活动中能够系统地把握知识.北京市特级教师孙维刚[6],在谈“全班55%怎样考上北大、清华”时,把经验总结为“总是站在系统的高度教数学知识”.他把自己能够站在系统的高度把握知识,归结为3个方面:第一,每个数学概念、定理、公式等知识的教学,都是在“见树木更见森林,见森林才见树木”的状况下进行的;第二,在教学过程中,对任何细节,都鼓励学生追根溯源,凡事都去问为什么,寻找它与其他事物之间的联系;第三,使学生养成联想的思维习惯.

所以,从最根本上来说,教师掌握所教数学与整体数学背景关系的知识,即是要寻找数学知识局部与整体的关联.

3 从多种角度审视数学整体框架

教师理解数学的结构还包括能够从多种角度审视数学的整体框架.下面的例子[7]可以揭示其含义.

第一,可以从数系扩展的过程和结果上来理解数学知识的发展,进而理解数学的结构.在数学中,数集的扩展经常发生,因为总存在现实的问题,在现有的集合内不能解决.例如,如果我们想描述气温“下降10°、在2°以下”,就必需扩展已有的数系——正整数集,使之包含负整数.这样,就获得了解决问题的办法:把“0”添加到原有的数集里,并保留原有数集的运算.但是,这同时也失去了原有数集的一些惯常性质,如在正整数集中,加法和乘法运算可以使结果变得更大.类似地,如果我们希望描述电流的变化,在实数系统做不到.因此,必需扩展实数系统,使其包括负数的平方根(即复数系统).这次,问题同样得到了解决,并保留了实数集中相应的运算,然而,又失去了数的重要性质“序”.

第二,可以通过检验把数学中的主要思想(运算和/或性质)运用到各种各样系统产生的效果,来认识数学的整体结构.在一些情况下,能证明不同系统有同样的基本性质(数学上称为是同构的),例如,多项式的运算和整数的运算恰好有同样的性质;在另外一些情况下,系统在某些方面有类似的性质,但在另外一些方面却不同,例如,正整数乘法是累加的,但矩阵乘法不是.

第三,教师可以通过从不同的角度审视同一个数学对象,即通过把一些同样的东西看成是不同的,来理解数学的整体结构.例如,如果观察者目光捕捉的是曲线的光滑连续的运动,圆可以被表示成几何物体;圆也可以用代数表示成x2+y2=9,此时,观察者最先看到的是,成对的平方数变量互相作用对称地创造圆;在极坐标表示中,圆可以表示为r=3,这次,关注的焦点在半径的长度3上、产生的角度不重要;用矢量表示为r=3cos t+3sin t,强调圆的产生是通过旋转半径矢量;然而,用参数表示为x=3cos t,y=3sin t,观察者把注意力集中在点围绕圆的运动上.这说明,各种数学模型的建立,从表面上看,可能毫不相干,然而利用数学结构的思想却可以把它们联系起来.

第四种结构的视角,涉及到在一个系统中的逻辑推理.公理系统的存在,使得我们能够对系统内的猜想进行论证.例如,在欧几里得几何公理体系内,我们能够证明三角形的内角和是180°.改变这个假设,将得到不同的结构.我们知道,一个对欧几里得公理体系证明很关键的假设是:过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行(是欧氏几何中“第五公设”的内容,对它的证明导致了非欧几何的诞生);如果假设能画无数条直线,将使三角形内角和小于180°(罗巴切夫斯基几何中成立);如果假设不能画出一条直线(球面几何,在其中所有的线(大圆)都相交),将使三角形内角和大于180°(黎曼几何中成立).

总之,数学教师理解数学结构怎样为各内容分支提供基础,同时,理解各内容分支又是通过一种什么样的结构方式建立起了相互之间的联系,进而,才能引导学生从不同视角审视数学知识,帮助学生建构起一个坚实的数学概念框架,形成数学知识的整体观念.

参考文献

[1][美]D.A.格劳斯.数学教与学研究手册[M].陈昌平,等译.上海:上海教育出版社,1999:235.

[2]NCTM(1991).Standards for the ProfessionalDevelopment of Teachers of Mathematics.Online access:http://www usi.Edu/Science/math/sallyk/Standards/Previous/ProfStds/index.Htm.[2007-01-16].

[3]徐利治.数学方法论选讲[M].武昌:华中工学院出版社,1983:66.

[4]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(实验)[M].北京:人民教育出版社,2003:109.

[5]Council of Chief State School Officers(CCS-SO)(1995).Model Standards for BeginningTeacher Licensing,Assessment and Develop-ment:A Resource for State Dialogue.On lineaccess:http://www.ccsso.org/Projects/in-terstate new teacher assessment and supportconsortium/780.cfm[2007-07-06].

篇14：初二下数学知识点

一、走进课堂，依据现状找问题

以三年级上册“分数的初步认识”为例，有教师是这样展开教学的。

1.课件呈现4块月饼。

师：要把这四块月饼平均分给2个小朋友，每人几块？

生：把四块月饼平均分给2个小朋友，每人2块。

师：你能列个算式吗？

生：4÷2=2（块）

2. 课件呈现2块月饼。

师：要把两块月饼平均分给2个小朋友，每人几块？

生：把两块月饼平均分给2个小朋友，每人1块。

师：怎样列式？

生：2÷2=1（块）

3. 课件呈现1块月饼。

师：要把这一块月饼平均分给2个小朋友，每人几块？

生1：要把这一块月饼平均分给2个小朋友，每人半块。

生2：每人一半。

生3：每人0.5。

生4：每人二分之一。

师：能列个算式吗？

生：1÷2=（    ）（块）

师：0.5是小数，以后我们会学习。“一半”写到算式后面不合适，刚才有人说二分之一。谁说说二分之一是什么意思？

生：把一个月饼平均分成2份，每人二分之一。

师：谁听明白他说什么了？再说说二分之一是什么意思？

生：把一个月饼分成2份，每人二分之一。

师：怎么分的？

生：平均分。

师：一定要说是平均分成2份。谁再说说二分之一是什么意思？

生：把一个月饼平均分成2份，每人得到的是二分之一。

教师再找几个学生重复如上的语言，进行强化。然后学生们都能说出如上的准确话语了。

这样的教学状况在我们日常的课堂上可谓是屡见不鲜，但学生是否真的学明白了呢？从对分数意义的理解来看，其中涵盖两个要素。其一是对“平均分”的认识;其二是知道平均分成的份数和要表示的份数。对于“平均分”教师很重视，因此执教教师在一开始的设问中就强调“平均分”，于是学生回答时能顺着教师的设问在表达中重复“平均分”。可是后面又出现学生不说平均分的情况了，教师采取的是让学生多次重复的方式，强化学生的语言表述。在二分之一的理解上，先是教师在学生生成的资源中挑出二分之一，然后采用了借一个学生的准确表达告知其余学生，其他学生多次重复的方式。由此可以看到，较为抽象的分数意义的学习，在理解分数意义的两个要点上，教师采用的方法是简单的告知和强行的灌输，多数学生的学习方式就是简单记忆与机械模仿。这显然违背了“变教为学”的理念，而学生看似会说的背后，也并不是真正的理解。

二、科学分析，找寻策略再尝试

我们不妨首先来分析一下这节课的内容。“分数的初步认识”显然是属于规定性知识的教学内容，从整数到分数，对学生来说是认知上的突破。所谓规定性知识，体现的是人的主观意志，一旦为多数人所认可，就会成为约定俗成的知识。这类知识具有主观的特征，它有产生的背景，在规定的背后存在其合理性。因此，笔者认为带领学生经历知识产生的过程，感受知识产生的需求，参与知识的创造过程，在交流理解中与他人、与前人碰撞思想，完善认知，可以有效形成学习规定性知识的路径。基于以上分析，笔者带着“分数的初步认识”再次走进课堂进行实践。

（一）在分物品的过程中感知平均分的存在

师：今天老师也给你们带来一个数，你知道是多少吗？

1.课件呈现

生：4块月饼，“4”。

2.课件呈现2个小朋友。

师：要把这四块月饼分给2个小朋友，怎么分，每人多少？

生1：每人2块。

生2：男生3块，女生1块。因为男生吃得多。

生3：男生1块，女生3块。男生照顾女生。

师：这些分法都行，在生活中都会出现。如果你是其中一个小朋友，你喜欢哪种分法，为什么？

生：我喜欢每人2块，因为这样分公平。

师：同学们都希望社会是公平的，为了相对的公平，我们在生活中常常会采用平均分的方法来进行物品的分配。

3.课件呈现2块月饼和2个小朋友。

师：要把这两块月饼分给2个小朋友，怎么分，每人多少？

生：平均分，每人1块。

4.课件呈现一块月饼和2个小朋友。

师：要把这一块月饼分给2个小朋友，怎么分，每人多少？

生：平均分，每人半块。

（二）在创造与对比中认识分数、理解分数

师：这半块还能用我们之前认识的像1，2，3，4……这样的数来表示吗？我们可不可以创造一个数来表示这半个，把你的想法在练习本上写一写。

在这样的问题引领下，学生自己尝试表示半个。呈现出如下一些表示方法：

图1          图 2           图3

图4              图5                 图6            图7

在作品的交流、解读中，充分诠释和理解了平均分成两份，其中的1份就是半个这个意思，即理解二分之一的意义。

师：同学们表示得都棒，而且都很有意思。那怎么办呢？用哪一个呢？谁想用哪个用哪个吧，怎么样？

生：不行，得每次都解释，要不然别人可能看不懂。

师：看来得统一，那为了表达和交流的方便，我们不但要统一，还要跟前人统一。那前人是用哪种来表示这半个的呢？

教师呈现分数，介绍分数，学习分数的写法、读法，各部分名称，深化意义的理解。

三、分析对比，看思维的创新

改进之后的教学，学生借助生活经验理解了生活中广泛存在的平均分现象;借助对数的认识的回顾，引发认知上的冲突，走进了自己创造数的实践活动当中;借助同伴的交流与对比深刻理解了的意义，从而对于统一的表示自主地接受。整个学习历程是主动而快乐的，知识的习得是在自主思考、交流碰撞、分析辨别的过程中达成的，是有需求的主动学习。而其中最出彩的地方是让学生自己用数表达“一半”这个环节，从学生琳琅满目的作品中，可以解读出学生的思维大致分为三类。

第一类，理解意思，能用图表示，但不能自我规定（如：图2、图3、图4）。这样的学生属于认真努力听话型。理解能力强，能够在可控范围内清楚表达自己的想法，但创新的意识不强。

第二类，学习主动，提前习得知识，再现出来的不是自己的想法，是之前学到的他人的想法（如：图5、图6、图7）。这类学生学习积极主动，把课余的许多时间也用到了学习上。但习得知识的同时丢失了自我，在他们的表达中多见他人的想法，不见自己的思考。如图5这样的学生，他写出了这么多的形式，却没有一个是这个学生头脑中自己的东西。学生在获取知识的同时却失去了发现问题、解决问题的自我体验的空间，缺失了创造的乐趣。

第三类，学生会思考，会应用，敢想敢做（如：图1）。这位学生的表达与众不同，在这非同一般的形式下显现的是怎样的想法呢？他的解释是：半个比0个多，比1个少。不能用0表示，也不能用1表示，那它在0-1之间，所以，我就0用一半，1用一半，这样就表示半个。创造了一个在现实背景下，已学知识的基础上有理有据的数，贴切又形象地表达了半个的意思。当然这个创造还不够严谨，但显现出学生闪亮的思维能力，既有对原有知识的灵活应用，又有缜密的分析与辨别，还有清晰的逻辑推理。这基于理性分析的创造，非同于瞎猜和乱想，这不正是数学上要培养和激发的良好品质吗？

无论是哪一种表达方式，都是值得教师给予肯定的，特别是富有创造性的学生思维更应该给予鼓励，这也正是“变教为学”的精髓所在。

规定性知识通常被认为只需要告知，不需要探究。但是没有经历自助探索的知识，又如何能在学生的思维中扎根呢？笔者所进行的教学实践显然很好地解开了这一问题。在规定性知识学习的过程中有意识地给学生提供一些需要创新的事件，让学生在解决问题的过程中感受到已有的储备无法解决问题了，产生创新的需求。然后给学生提供创新的时间和空间，欣赏他们创新得到的作品，在交流对比中完善学生的认知，理解前人创造的合理性。这样的学习历程实际上就是与他人、与前人交流思想的过程，既有助于学生对知识的深刻领悟，感受知识产生的价值，又能够培养学生的创新意识，发展学生的思维能力，在创新中互相学习借鉴，拓宽学生的视野，最终实现对抽象、枯燥的规定性知识的掌握与理解。

在小学数学中有许多规定性知识的学习，如：在数认识这个领域中自然数的认识、分数的认识、小数的认识、负数的认识、百分数的认识等，每一种数的产生都存在其合理的因素，都有产生的需求和价值。再如，加、减、乘、除四种运算意义的符号表征形式等等。在“变教为学”的课堂中，教师应该给学生留出自我尝试表达的时空，在学生的自我规定基础上进行交流对比，从而使学生能够创造，理解创造，培养学生的思维能力和创新意识。