三角形内角和定理证明

三角形内角和定理证明（精选8篇）

篇1：三角形内角和定理证明

《三角形内角和定理的证明》教学设计

八（11）班

郭朋朋

一、教材：沪科版义务教育课程标准实验教科书数学八年级上册第13章第2节

二、学习目标：

1、知识与技能目标：学生由对三角内角和定理感性认识上升到理性推理证明，掌握三角形内角和定理的证明及简单应用。

2、过程与方法目标：学生亲历探索撕纸过程对比，体会思维实验和符号化的理性运用，在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展合情推理能力，逐步养成逻辑推理能力，并形成一定的逻辑思维能力。

3、情感态度与价值观目标：经历三角形内角和定理不同种方法的推理证明过程，培养学生创造性，弘扬个性发展，体验解决问题的成就感，体会数学证明的严谨性和推理意义，培养学习数学的兴趣，感悟逻辑推理的数学价值。

三、教材分析

1、内容分析

三角形内角和定理是“空间与图形”中的一个很重要的定理。(1)它为以后学习多边形内角和定理奠定基础。(2)实际生活、生产中有广泛的应用。(3)是求角度的有力工具（有时非它不可）。

三角形内角和定理的证明过程为学生建立数学思想方法和逻辑推理能力提供一个发展提高平台，其论证过程总体体现为化归思想。学过之后，这种思想方法可以类比运用到其它问题的探索与解决过程之中，其说理过程将成为“普通语言向符号语言转化”的可能，这一可能将随时间的推移与知识的积攒成为现实。

在证明过程中，学生从中学到的不仅仅是知识、方法及数学逻辑，他们克服困难的勇气及对问题的好奇心和互相评价，学习方式的选择等等方面都将大有收获，说明了本节教材内容对学生非智力因素的影响还是非常大的。

2、学情分析：

（1）学生已经在小学的时候接触过三角形内角和定理，并且进行了猜想与验证及口头说理过程。这为证明三角形内角和定理提供了认知基础。

（2）从学生的学习动机与需要上看，他们有探究新事物的欲望和好奇心，这为探究三角形内角和定理的证明策略及方法提供了情感保障。

（3）学生在学习三角形内角和定理的证明过程中，其认知顺序可能是建构型的。平行线是其原有知识储备的主要图式，他们利用原有图式完全可以同化三角形内角和定理。

3、障碍预测：

辅助线的作法是学生在几何证明过程中第一次接触，并且辅助线的添法没有统一的规律，要根据需要而定，另外本节课开始将训练学生把几何命题翻译为几何符号语言，这对学生来说都有一定接受难度。

四、教学重点、难点

重点：以三角形内角和定理的证明为载体，学习几何证明思想，以及辅助线的有关知识，体会数形结合思想。

难点：辅助线添加的必要性和具体方法：（1）为什么要添加；（2）在哪里添加；（3）如何添加；（4）哪种添加方法最简单。

五、教学过程

（一）知识回顾，积累经验

1、平行线的判定：

2、平行线的性质：

3、证明一个文字命题的一般步骤：

（二）情景再现，导入新课

问题2：前面我们学习的三角形三个内角的和等于180，是如何说明的？ 【设计意图】通过回忆结论的得出，进行分析、对比，感受证明的必要性。

教师引导学生将命题进行图形语言、符号语言的转化，为定理的证明做准备。

问题3：我们已经学习的与“180”有关的知识有哪些？

【设计意图】从这里入手为探究实验的操作指明方向，同时从“数”的方面引导学生探索定理的证明思路，逐步渗透“化归”的数学思想。

探究活动

把准备好的三角形拿出来，并将它的内角剪下，试着拼拼看，三个内角的和是否为

180？有几种拼法？拼完后与小组成员交流，比一比看哪组的拼法最多。

【设计意图】探究实验一方面可以激发学生的兴趣，另一方面为证明180从“形”的方面提供思路。从拼合的图形中学生不但能直观的看出辅助线与边的关系，还能寻找出严密的逻辑证明方法，从而为证明的引出打下伏笔。同时，学生在合作交流的过程中开阔了思维，锻炼了动手能力、严密的推理能力以及语言表达能力，增强了合作意识。

师生活动：

让学生每人提前准备几个硬纸剪的三角形，并把角剪下来，拼在一起，让他们自己得出结论。

学生可以展示不同的拼法：

A1A1MB23CB2312（1）

ACD

A1N213MB23（2）

（三）活用化归，证明定理

CB23C

根据前面给出的基本和定理,你能用自己的语言说说这一结论的证明思路吗?你能用比较简洁的语言写出这一证明过程吗?与同伴交流.结论：

三角形三个内角的和等于180°。

师： 这是一个文字命题，证明时需要先干什么呢？

生：需要先画图形，根据命题的条件和结论写出已知、求证。

已知: ∠A、∠B、∠C 是△ABC的三内角.求证:∠A+∠B+∠C=180°

分析:延长BC到D,过点C作射线CE∥AB,这样,就相当于把∠A移到了∠ACE的位置,把∠B移到了∠ECD的位置.证明：延长BC到D，过点C作直线CE∥AB ∴∠B＝∠ECD（两直线平行，同位角相等）

∠ACE=∠A（两直线平行，内错角相等）∵∠ACE+∠ECD+∠ACB＝180°

∴∠A＋∠B＋∠ACB＝180°（等量代换）

【设计意图】培养学生运用基本事实和定理证明问题，有学会运用旧知解决新知，从以前的活动中思考获取解决的方法，有合作学习的能力，有探究新知的能力。

（四）开启智慧，分组探究

师：你还有其他方法来证明三角形内角和定理吗？

1、教师组织学生分组讨论：有了上面的知识作为铺垫，我们可以开展探究活动了，看哪组最先找到解决办法，找到的方法最多。

2、在学生开展探究的过程中，教师参与其中，对个别感到困难的小组可以进行适当的提示和引导。

3、教师指导学生添加辅助线，给出完整的“三角形内角和定理”的证明。

4、分组探究，成果展示

教师指导学生进行全班交流：（1）借助实物投影仪，将学生找到的添加辅助线的方法进行汇总展示。（2）在展示过程中，注意关注学生的表达以及寻找到的添加辅助线的方法，若有不全的，教师进行必要的提示。（3）引导学生将辅助线添加在三角形的顶部，边上及三角形内、外部均可。然后，进一步引导学生比较哪种最好。

【设计意图】1让学生在证明的过程中，进一步了解三角形内角和定理的证明思路，并且了解一题的多种证法，从而拓宽学生的思路．

（五）实践应用，培养能力

1，在直角三角形ABC中，已知∠A+∠B=90°,求证∠C=90°

推论：直角三角形两锐角互余

2、已知:如图在△ABC中，DE∥BC,∠A=60°, ∠C=70°.求证： ∠ADE=50°

（六）知识回顾，拓展延伸，3、如图，直线AB∥CD,在AB、CD外有一点P，连结

PB、PD，交CD于E点。则∠ B、∠ D、∠ P 之间是否存在一定的大小关系？

A B C

E

D

P

（七）畅谈收获，反思升华

．通过本节课的学习,你有哪些收获?

篇2：三角形内角和定理证明

新的数学课程标准指出：数学教学要以学生发展为本，让学生生动活泼、积极主动地参与数学学习活动，使学生在获得所必须的基本数学知识和基本技能的同时，在情感、态度、价值观和能力等方面都得到发展。那么数学教学如何让学生在自主探索中不断地、主动地发展呢？近日，我组织了数学《三角形的内角和定理的证明》一课的教学，就其中的证明方法的探索的课堂片段，谈谈个人的一些做法和想法。

案例：

首先，教师让学生画三角形，并提出问题：问题（1）、你知道三角形的内角和是多少？ 问题（2）、你是怎样得到这个结论的？ 问题（1）的回答较简单，对于问题（2），让学生思考、交流，在交流的基础回答。（测量、折纸）教师加以说明，这种方法得到是不一定正确的，我们应加以证明。问题（3）、你能证明吗？试试看。《数学课程标准》指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖与记忆，动手实践自主探索和合作交流是学生学习数学的重要方式”。要使学生逐步探究发现三角形三个内角的度数和等于180°，最有效方法是让学生真正投入到探究活动的全过程中，本节课我让学生寻求拼折以外的其它方法来求出三角形的内角和。通过小组讨论，学生从已有的知识出发，通过作平行线，利用同位角相等或内错角相等或同旁内角互补，很快推理出三角形的内角和是180度。温故而知新，让学生在自主探究，合作交流中经历，猜想、验证、结论这一个过程，体验探究学习的乐趣。学生分组，探讨证明方法，教师巡回指导。之后总结学生探讨出来的各种证明方法，由学生相互评价，教师在对学生的各证明方法给出鼓励性的评价。

反思

以上案例是教学“三角形的内角和定理的证明”所采用的方法。课堂中，教师营造了宽松的学习氛围，让学生参与到学习过程中去，自主探索，大胆发表自己的观点，让学生在自主探索中获得了不断地发展。主要表现在：

一、注重了学生的自主探索

自主探索是学生学习数学的重要方式之一。教师是学生学习的组织者、引导者、合作者，而非知识的灌输者，因而对一个问题的解决不是要教师将现成的方法传授给学生，而是教给学生解决问题的策略，给学生一把在知识的海洋中行舟的桨，让学生在积极思考，大胆尝试，主动探索中，获取成功并体验成功的喜悦。在课堂中，教师放手让学生自主探索证明三角形内角和定理的方法，让学生在动手试一试、动口说一说、相互评一评的过程中掌握了证明的各种方法。

二、注重了学生的合作交流

数学课程标准指出：教师要让学生在具体的操作活动中进行独立的思考，鼓励学生发表自己的意见，并与同伴交流。可见，合作交流在数学教学中也相当重要。在课堂中，教师注重了学生的合作交流。

三、注重了评价

在数学课堂教学中，评价的形式有很多，但较多的是由教师对学生的学习作出的评价，教师扮演着“裁判员”的角色。而在这节课中，除了教师对学生的评价外，更重视了学生之间的相互评价：“你觉得他证得怎么样？”让学生在相互评价中既培养了能力，又寻找到了问题解决的方法，最终达到自我矫正的目标。

篇3：浅析三角形内角和定理的证明思路

思路一:用平角等于180°求证三角形内角和等于180°.

说明:此思路证明结论需要作适当的辅助线, 目的是把三角形三个内角迁移一个平角的位置上得出结论.下面列举三种常见辅助线供大家参考.

证法1:如图1, 延长BC到D, 过C作CE//AB

因为CE//AB,

所以∠1=∠A, ∠2=∠B.

又∠ACB+∠1+∠2=180°,

所以∠ACB +∠A+∠B=180°.

即:△ABC内角和等于180°.

证法2:如图2, 过A作DE//BC,

因为DE//BC,

所以∠1=∠B, ∠2=∠C.

又∠1+∠BAC+∠2=180°.

所以∠B +∠BAC+∠C=180°.

即:△ABC内角和等于180°.

证法3:如图3, 在BC上任取一点D, 过D分别作DE//AC交AB于E, DF//AB交AC于F.

因为DE//AC,

所以∠1=∠C, ∠2=∠3,

又∠DF//AB,

所以∠4 =∠B, ∠3=∠A,

所以∠2=∠A.

又∠1+∠2+∠4=180°,

所以∠C+∠A+∠B=180°.

即:△ABC内角和等于180°.

思路二:用平行线同旁内角互补求证三角形内角和等于180°

说明:此思路证明结论也需要作适当辅助线, 目的是把三角形三个内角迁移到平行线同旁内角的位置上得出结论.下面举两种辅助线供大家参考.

证法1:如图4, 过A作AD//BC,

因为AD//BC,

所以∠1=∠C,

∠1+∠2+∠B=180°.

所以∠C +∠2+∠B=180°

即:△ABC内角和等于180°.

证法2:如图5, 过点A、B、C分别作AD//BE//CF.

因为AD//BE//CF

所以∠1=∠5, ∠2=∠6,

∠5+∠3+∠4+∠6=180°.

所以∠1 +∠3+∠4+∠2=180°.

即:△ABC内角和等于180°.

篇4：三角形内角和定理证明

这里以人教版一年级下册“找规律”为例，见下图：

这里的一个“应”字，就是不妥当的。它意味着找的规律只有一种（两个一组间隔出现），第一排的第10面旗只能是黄色，即“红、黄、红、黄、红、黄、红、黄、红，黄”。

小学数学界一向认为，此题的答案非“黄”不可，必须让学生无条件地接受“两两间隔”这一规律。这妥当吗？

事实上，我们可以找到许多其他的规律，使得第10面旗是“红”。

例1:（9个一组，周期重复）于是第9、第10；第18、第19，连续两面都是红旗，即:

红、黄、红、黄、红、黄、红、黄，红；红、黄、红、黄、红、黄、红、黄，红；红、黄、红、黄、红、黄、红、黄，红；红，……

例2:（10个一组，最后两面都是红旗）第9、10、11连续地出现三面红旗，即:

红、黄、红、黄、红、黄、红、黄，红，红；红、黄、红、黄、红、黄、红、黄、红、红；红、黄、红、黄、红、黄、红、黄，红，红；红……

你能说这不是规律吗？

实际上，找规律问题是一个开放性问题。任何一个有限序列，都可以生成无限的多种的规律。认为只有一个规律，推断出“必须是什么”和“应该是什么”，把开放题封闭成一个唯一答案的题目，在数学上是不对的。

有人说，小学生只能找最简单的一种，多种规律是以后的事情。这可以理解。但问题在于，小学数学的大量课件、教师用书都没有指出这是一个开放性问题。有些文章在讨论，重复几次才算“规律”，更是误导。

怎么办？只要改一个字：把“后面一个应是什么”改成“后面一个会是什么”就可以了。“应”和“会”一字之差，意义完全不同。苏步青先生在指导中小学教材编写时，提出“混而不错”的原则。用在找规律的时候是，如果问“会是什么”，其答案可以有许多种，其意义比“应是什么”宽泛许多。至于将来在几年级将它当做一个开放性问题来处理，可以讨论，但是必须有这样一步才好。

让我们回到“三角形内角和为180度”的问题上。马建平和戎松魁两位老师的争论点，在于矩形可否定义为“四个角都是直角的四边形”。马老师认为可以，于是就认为由此可以证明三角形内角和定理，而无需平行公理。戎老师认为不可以，必须用平行四边形定义矩形，由此说明三角形内角和定理不能绕开平行公理。

笔者认为，两位老师都有对的部分，也有不对的部分。马老师觉得矩形可以定义为“有四个直角的四边形”，这是对的。但是，以为由此定义出发，可以避开平行公理来证明三角形内角和为180度，则是错的。戎老师坚持三角形内角和定理，必须使用平行公理，这是对的。但是，说矩形不能定义为“有四个直角的四边形”，则是不对的。

实际上，将矩形定义为“四个角都是直角的四边形”，完全可以。属和种差式的逻辑定义方法，并没有规定所从属的“属”必须是其外延最相近的。打个比方，要定义“杭州人”，可以说成“居住在杭州的中国人”，没有错。也就是说，并非一定要把“杭州人”定义为“居住在杭州的浙江人”，因为二者是等价的。对于矩形的“四直角”定义，一旦服从平行公理，就和“有一个角是直角的平行四边形”定义等价（如果没有平行公理，那么两者是不等价的）。

然而，如同马建平老师和许多其他文章所说的那样，可以从“四个角都是直角的四边形”出发，绕开平行公理就能够直接推出“三角形内角和为180度”，则是不可能的。理由如下。

依照四个角都是直角的矩形定义，自然得出矩形的内角和是360度，这毫无问题。矩形的对角线把矩形分为两个一样的直角三角形，只要运用平移旋转的刚体运动也可以做到。小学生也知道一点平移、旋转、对称的知识，可以直观地接受，严密地逻辑证明需要引用合同公理得出两个三角形三边相等则全等的结论，逻辑上引用就是了。于是，得到了如下的结论：“矩形对角线分成的两个直角三角形，每一个的内角和都是180度。”逻辑的正确性到此为止。问题在于，“任意的直角三角形，是不是都能成为某一个矩形用对角线分成的直角三角形？”这需要证明，不能想当然。马老师及许许多多作者都振振有词地把两者混为一谈，犯了逻辑上的错误。

换句话说，马老师等作者的所谓证明，必须从任意的“直角三角形”出发，作出一个矩形，使其成为该矩形的一半。但是没有平行公理，这是作不出来的。那个貌似正确的三角形内角和证明，这一关过不去，整个证明的逻辑链条就断裂了。

马建平老师可能会说，从已知的直角三角形出发，作一个和自身一样的直角三角形，两者拼起来就是一个矩形。这是一厢情愿。这样拼起来的四边形只有两个直角；无法证明它有四个直角，除非引进平行公理。

这就是说，想从“矩形有四个直角”作为矩形的定义出发，避开平行公理来证明三角形内角和为180度的企图，是决然不可能实现的。

马建平和戎松魁两位老师，还就此事提到“我的课堂我做主”的高度来议论。但是，由上可见，这种所谓“拔高了的教学目标”和“到初中才能学习的”内容，其实是一个错误的论证。

篇5：三角形内角和定理证明

一、选择题 1.如图，工人师傅砌门时，常用木条 EF 固定矩形门框 ABCD，使其不变形，这种做法的根据是（）A．两点之间线段最短 B．矩形的对称性 C．矩形的四个角都是直角 D．三角形的稳定性 2.王 师 傅 用 4 根 木 条 钉 成 一 个 四 边 形 木 架，如 图 ． 要 使 这 个 木 架 不 变 形，他 至 少 还 要 再 钉 上 几 根 木 条 ？ A． 0 根 B． 1 根 C． 2 根 D． 3 根 3.如图，一扇窗户打开后，用窗钩 AB 可将其固定，这里所运用的几何原理是（）A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 4．下列图形中具有稳定性的是（）A．直角三角形 B．长方形 C．正方形 D．平行四边形 5.下列图中具有稳定性的是（）A． B． C． D．）6.如 图 小 明 做 了 一 个 方 形 框 架，发 现 很 容 易 变 形，请 你 帮 他 选 择 一 个 最 好 的 加 固 方 案（A． B． C． D． 7.．用八根木条钉成如图所示的八边形木架，要使它不变形，至少要钉上木条的根数是（A．3 根 B ． 4 根 C．5 根 D．6 根

A． B． C．）D． 6． 下 列 图 形 中，不 具 有 稳 定 性 的 是（）7．为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条，这样做的道理是（）A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．三角形具有稳定性 D．两直线平行，内错角相等 8.不是利用三角形稳定性的是 A．自行车的三角形车架 B．三角形房架 C．照相机的三角架 D．矩形门框的斜拉条 8． 用 五 根 木 棒 钉 成 如 下 四 个 图 形，具 有 稳 定 性 的 有（）A． 1个 B． 2个）C． 3个 D． 4个 9． 如 图 所 示，具 有 稳 定 性 的 有（A． 只 有（1），（2）B． 只 有（3），（4）C． 只 有（2），（3）D．（1），（2），（3）10．图中的五角星是用螺栓将两端打有孔的 5 根木条连接而构成的，它的形状不稳定．如果用在图中木条交叉点打孔加装 螺栓的办法来达到使其形状稳定的目的，且所加螺栓尽可能少，那么需要添加螺栓（）A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个

二、填空题 1 ．（2012•茂 名）如 图 所 示，建 高 楼 常 需 要 用 塔 吊 来 吊 建 筑 材 料，而 塔 吊 的 上 部 是 三 角 形 结 构，这 是 应 用 了 三角形的哪个性质？答： ．（填“稳定性”或“不稳定性”）2.在 生 活 中，我 们 常 常 会 看 到 如 图 所 示 的 情 况，在 电 线 杆 上 拉 两 根 钢 筋 来 加 固 电 线 杆，这 样 做 的 依 据 是.3.空 调 安 装 在 墙 上 时，一 般 都

会 象 如 图 所 示 的 方 法 固 定 在 墙 上，这 种 方 法 应 用 的 数 学 知 识 是.人 站 在 晃 动 的 公 共 汽 车 上 ．若 你 分 开 两 腿 站 立，则 需 伸 出 一 只 手 去 抓 栏 杆 才 能 站 稳，这 是 利 用 了.4 ． 如 图，是 边 长 为 25cm 的 活 动 四 边 形 衣 帽 架，它 应 用 了 四 边 形 的 ． 11.2.1 三角形的内角和 基础知识 选择题 1.下列说法正确的是(A.三角形的内角中最多有一个锐角;B.三角形的内角中最多有两个锐角 C.三角形的内角中最多有一个直角;D.三角形的内角都大于 60° 2.如图，在折纸活动中，小明制作了一张 △ ABC 纸片，点 D、E 分别是边 AB、AC 上，将 △ ABC 沿着 DE 折叠压平，A 与

重合，若∠，则∠1+ ∠2 =（）∶∶ 3 7，则这个三角形一）（A）等腰三角形（B）直角，AD 是 △ ABC 的角平）．（A）40 °（A）150（B）210（C）105（D）定是（3.一个三角形的三个内角的度数之比为 三角形（C）锐角三角形（D）钝角三角形，∠分线，则∠ CAD 的度数为（4.如图，在 △ ABC 中，∠（B）45 °（C）50 °（D）55 °

5.将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠的度数是（）1 2（A）45（B）60（C）75（D）90 6.如图，将等腰直角三角形沿虚线裁去顶角后，∠1 +∠2 =（）． A．

．

．

．与虚线的位置有关 7.如图，在△ABC 中，已知∠A＝80°，∠B＝60°，DE∥BC，那么∠CED 的大小是 A．40° B．60° C．120° D．140° 8.将一副三角板按如图所示摆放，图中 数是（）（A）75 ° o o o o（）（C）105°（D）120°（B）90 ° 9.如图，ABCDE 是封闭折线，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 为（）度． A．180 B．270 C．360 D．540 10．直角三角形两锐角的平分线所夹的钝角等于（）A．100° B．120° C．135° D．150° 11.如图，Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点 A 落在边 CB 上 A′处，折痕为 CD，则∠A′DB=（A．40°B．30°C．20°D．10° 12．具备下列条件的△ABC 中，不是直角三角形的是（）1 A．∠A-∠B=∠C B．∠A=3∠C，∠B=2∠C C．∠A=∠B=2∠C D．∠A=∠B= ∠ C 2 13.如图，在三角形 ABC 中，已知∠ABC=70º,∠ACB=60º,BE⊥AC 于 E,CF⊥AB 于 F,H 是 BE 和 CF 的交点，则∠EHF=(100º B.110º C.120º D.130º A）A F B 2 E D 1 D C B C 14．如图所示，把的度

一个三角形纸片 ABC 顶角向内折叠 3 次之后，3 个顶点不重合，那么图中∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6 的度 数和是（）A．180° B．270° C．360° D．无法确定

二、填空题 1.三角形中,若最大内角等于最小内角的 2 倍,最大内角又比另一个内角大 20°,则此三角形的最小内角的度数是________.2.在△ABC 中,若∠A+∠B=∠C,则此三角形为_______三角形;若∠A+∠B<∠C,则此三角形是_____三角形.3.在△ABC 中,∠B,∠C 的平分线交于点 O,若∠BOC=132°,则∠A=_______度.4.如图所示,已知∠1=20°,∠2=25°,∠A=35°,则∠BDC 的度数为________.5.当 三 角 形 中 一 个 内 角 α 是 另 一 个 内 角 β 的 两 倍 时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中 α 称为“特 征 角 ” ． 如 果 一 个 “ 特 征 三 角 形 ” 的 “ 特 征 角 ” 为 100°，那 么 这 个 “ 特 征 三 角 形 ” 的 最 小 内 角 的 度 数 为.6.如图，在 △ ABC 中，∠B，三角形的外角∠ DAC 和∠ ACF 的平分线交于点 E，则∠ AEC =____________．

将一副直角三角板如图放置．若 AE∥BC，则∠AFD= °． 8.如 图，AB ∥ CD，∠ A=32°，∠ AEB=100°，则 ∠ C 的 度 数 是 度． 9.△ ABC 中，∠ A= ∠ B+ ∠ C，则 ∠ A= 度． 1 1 10 ． 在 △ ABC 中，已 知 ∠ A= ∠ B= ∠ C，则 三 角 形 的 形 状 是 三角形． 2 3 11 ． 已 知 △ ABC 中，∠ A=2（∠ B+ ∠ C），则∠A 的度数为 度． 8 ． 如 图，在 △ ABC 中，∠ 1= ∠ 2，∠ 3= ∠ 4，∠ BOC=120°，则 ∠ A=.12 ． 如 图，AD、AE 分 别 是 △ ABC 的 高 和 角平分 线，∠ B=58°，∠ C=36°，∠ EAD=.A F E B D C 13.如图所示,在△ABC 中,∠B=∠C,FD⊥BC,DE⊥AB,∠AFD=150°, 则∠EDF=________度.14.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=.解答题 1.在△ABC 中,已知∠B-∠A=5°,∠C-∠B=20°,求三角形各内角的度数.2.已 知 ：如 图，AB ∥ CD，直 线 EF 分 别 交 AB、CD 于 点 E、F，∠ BEF 的平分 线 与 ∠ DFE 的平分 线 相 交 于 点 P ．求 证 ： ∠ P=90°． 3.如图，△ABC 中，CD 是∠ACB 的角平分线，CE 是 AB 边上的高，若∠A=40°，∠B=72°．（1）求∠DCE 的度数；（2）试写出∠DCE 与∠A、∠B 的之间的关系式．（不必证明）4.如 图，已 知 在 三 角 形 ABC 中，∠ C= ∠ ABC=2 ∠ A，BD 是 AC 边 上 的 高，求 ∠ DBC 的 度 数 ． 5.如 图，有 一 块 直 角 三 角 板 XYZ 放 置 在 △

ABC 上，恰 好 三 角 板 XYZ 的 两 条 直 角 边 XY、XZ 分 别 经 过 点 B、C． △ ABC 中，∠ A=40°，求 ∠ XBA+ ∠ XCA 的 度 数.A F E B D C 三角形内角和定理的证明

一、填空（1）如果三角形的三个内角都相等，那么每一个角的度数等于_______．（2）在△ABC 中，若∠A=65°,∠B=∠C，则∠B=_______．（3）在△ABC 中，若∠C=90°,∠A=30°，则∠B=_______．（4）在△ABC 中，若∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，则∠A=_______，∠B=_______，∠C=_______．（5）在下两图中，∠

1、∠2 与∠B、∠C 的关系是_______（6）已知，如图，在△ABC 中，∠C=∠ABC=2∠A，BD⊥AC，垂足为 D，则∠DBC 的度数为_______．

二、选择题认真选一选（1）在△ABC 中，∠A=50°，∠B、∠C 的平分线交于 O 点，则∠BOC 等于__________． A．65° B．115° C．80° D．50°（2）两条平行线被第三条直线所截，那么一组同旁内角的平分线__________． A．相互重合 B．互相平行 C．相互垂直 D．无法确定相互关系 B．45°C．55° D．75°（3）如图，AB∥CD，∠A=35°,∠C=80°,那么∠E 等于__________． A．35°

篇6：三角形内角和定理教案

学校：野鸡坨镇丁庄子初级中学

学科：数 学

姓名：田 明 时间：2018年5月

9.2 三角形内角和定理 教学案例

一、地位和作用

《三角形内角和》是冀教版义务教育课程标准实验教科书七年级下册第九章第二节第一课时的内容。在这之前，学生已经学习过平行线的性质，平角的定义，为这节课中三角形内角和的推理起了铺垫的作用，这节课也为后边学习多边形的内角和起了一定的奠基作用。三角形内角和在整个初中的教学过程中有重要的作用。

二、教学目标

知识与技能：掌握三角形内角和定理，并初步学会利用辅助线证题，同时培养学生观察、猜想和验证能力。

过程与方法：

1、在评价学生的“说理”过程和水平时不应要求形式化的推理格式，应鼓励学生运用自己的方式说明理由，只要清楚、正确即可。

2、经历实验活动过程，得出三角形内角和定理。

情感态度与价值观：通过对几何问题的演绎推理，体会证明的必要性，培养学生的逻辑推理能力。

教学重点：三角形内角和定理的证明及应用。教学难点：三角内角和的证明方法。

三、教学过程：

（一）引入新课

问题一：三角形一共有几个内角

问题二：老师手有两个三角形，一个是锐角三角形，一个钝角三角形，那么是不是钝角三角形的内角和大于锐角三角形的内角和呢？ 问题三：三角形的三个内角有什么关系？

设计意图：，从学生已经掌握的知识出发，明确本节课要研究的内容。

（二）自主探究，验证新知

1、探索

（1）小学我们是如何验证这个结论的？

（2）实物展示台展示，三角形发生变化，但是内角和总是180。

设计意图：让学生动手操作，一方面锻炼动手操作能力，另一方面为下一环节的推理作好准备。

2、引导

（1）前面我们已经学过命题的结构，知道命题由条件和结论组成，并且知道要说明一个命题的正确性需要说理，那么怎么说明三角形的内角和是180呢？（2）

已知：如图，ΔABC.A+∠B+∠C=180

求证：∠

（引导学生思考：那些地方存在着180的角？①平角或邻补角；②平行线间的同旁内角）

（说明理由的过程完全可以由学生自己书写。）

（3）合作交流

是否还有其他的说明理由的方法？

（平角）

（平行线间的同旁内角）

（过边上一点非顶点作）

（从三角形内部一点作）

（三条平行线也可）

设计意图：用多种方法说明三角形的内角和定理。用多种方法说明这一命题的正确性，一方面让学生初步认识说明一个命题正确性可能有多种方法，另一方面让学生确信该命题的正确性。

（4）经过说理，“三角形内角和为180”作为定理得到了充分的证明。几何语言：

（三）例题讲解

例一：如图：

在ΔABC中，∠A=30，∠B=65,求∠C的度数。（让学生尝试解决，教师再规范书写格式）

（四）课堂练习

B=62°24′，∠C=28°52′，求∠A的度数。

1、在ΔABC中，∠

C=36°，∠A与∠B的比是1:2，求∠A，∠B的度数。

2、在ΔABC中，∠ C=42°，∠A=∠B，求∠B的度数。

3、在ΔABC中，∠

（五）课堂小结

1.学习了三角形内角和及其证明方法 2.转化的思想 3.运动的观点

（六）布置作业

教材第105页A组1/2/3.四、板书设计：

9.2三角形的内角和外角

1、三角形内角和定理：三角形的内角和是180。

2、说明理由： 延长BC到点D，作CE∥BA CE∥BA ∴∠1=∠4(两直线平行，内错角相等）

∠2=∠（两直线平行，同位角5相等）∠ 3+∠4+∠5=180°(平角的定义）∴ ∠1+∠2+∠3=180°(等量代换）

3、几何语言： 在ΔABC中

∠A+∠B+∠C=180°

篇7：三角形的内角和定理教案

旧市学校 李姿慧

教学目标

1.知识与技能 ：

⑴掌握三角形内角和定理的证明。

⑵初步体会添加辅助线证题，培养学生观察、猜想和论证的能力 2.过程与方法 ：

经历探索三角形内角和定理的过程，初步体会思维的多样性，给学生渗透化归的数学思想。

3.情感态度与价值观：

通过师生的共同活动，培养学生的逻辑思维能力，进而激发学生的求知欲和学习的 积极主动性。使学生主动探索，敢于实验，勇于发现，合作交流。

教学重点

三角形内角和定理的证明及其简单的应用。

教学难点

在三角形内角和定理的证明过程中如何添加辅助线。

教学用具

多媒体、三角板、学生每人准备一个纸片三角板。

教学过程

一、引入新课

分享小故事：《内角三兄弟之争》

在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结.可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了„„”“为什么？” 老二很纳闷.同学们，你们知道其中的道理吗？从而引出本节课的课题《三角形的内角和定理》

二、合作探究

1、［师］现在，我们来看两个电脑的动画演示，验证这个结论是不是正确的。

动画演示一 ［师］先将△ABC中的∠A通过平移和旋转到如上图所示的位置，再将图中的∠B通过平移到上图所示的位置。

拖动点A，改变△ABC的形状，三角形的三个内角和总等于180°

2.动画演示二

［师］先将三角形纸片(图(1))一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行(图(2))，然后把另外两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相重合(图(3)(4)。)［师］由电脑的动画演示可知：∠A、∠B、∠C拼成的角总是一个平角，由此得到三角形的三个内角之和等于180°。[让学生直观感受,调动其研究兴趣]

我们通过观察与实验的方法猜想得到的结论不一定正确可靠，要判定一个数学结论正确与否，需要进行有根有据的推理、证明。这就是我们这节课所要研究的内容。

3、定理证明

［师］接下来我们来证明这个命题：三角形的三个内角之和等于180°。这是一个文字命题，证明时需要先做什么呢?

［生］需要先画出图形、根据命题的条件和结论，结合图形写出已知、求证。[有本章前面几节作为基础，学生有能力画图，写已知，求证。] ［师］很好!怎样证明呢?[ 联想前面撕角拼角的方法，学生能想到。让学生体会转化的数学思想方法，把新知识化为旧知识。] ［生］添加辅助线，延长BC到点D，过点C作CE∥AB，∠A=∠ACE，∠B=∠ECD，进而将三个内角拼成平角。[通过以上分析、研究，让学生讲解依据：根据平行线的性质，利用同位角,内错角把三角形三内角转化为一个平角。使学生亲身参与数学研究的过程，并在过程中体会数学研究的乐趣。] [实验法] 已知：△ABC 求证：∠A+∠B+∠C=180° 证明：延长BC到点D，过点C作CE∥AB

∵CE∥AB

∴∠A=∠ACE(两直线平行，内错角相等)

∠B=∠ECD(两直线平行，同位角相等)

∵∠ACE+∠ECD+∠BCA=180°

∴∠A+∠B+∠BCA=180°(等量代换)

[教师引导，要把三角形三个内角转化为上述两种角，就要在原图形上添加一些线，这些线叫做辅助线，在平面几何里，辅助线常画成虚线，添辅助线是解决问题的重要思想方法。]

4、探究讨论：

五个学生为一组，探索三角形内角和定理的其它证法分析、证明方法。

［师］现在，各组派一名代表说明证明的思路。[学生自己得出的猜想和证明会更让他们乐于接受，而方法也在此过程中渗透给了学生。]

证法1.［生1］过点A作直线PQ∥BC，使三个角凑到“A”处。[通过分析、研究，让不同做法的学生讲解依据。]根据平行线的性质，利用内错角，把三角形三内角转化为一个平角。

证明：过点A作直线PQ∥BC

∵PQ∥BC

∴∠B=∠PAB(两直线平行，内错角相等)

∠C=∠QAC(两直线平行，内错角相等)

∵∠PAB+∠QAC+∠BAC=180°

∴∠B+∠C+∠BAC=180°(等量代换)证法2：［生5］过点A作AD∥BC，有∠C=∠2，将三个内角拼成一对同旁内角。

证明：过点A作射线AQ∥BC

∴∠C=∠QAC(两直线平行，内错角相等)

∠QAC+∠BAC+∠B=180°(两直线平行，同旁内角互补)

∴∠BAC+∠B+∠C=180°(等量代换)3 ［师］同学们讨论得真棒。我们由180°联想到一平角等于180°，一对邻补角之和等于180°，两直线平行，同旁内角互补。由此，大家提供了这么多的的证明方法，说明你们能学以致用。接下来，我们做练习以巩固三角形内角和定理。[根据以上几种辅助线的作法，选择一种,师生合作，写出示范性证明过程。其余由学生自主完成证明过程。目的是培养学生的思维能力和推理能力。进一步搞清作辅助线的思路和合乎逻辑的分析方法，充分让学生表述自己的观点，这个过程对培养学生的能力极为重要，依据不充分时，学生可争论，师生共同小结。]

三、例题讲解

【例】在△ABC中，∠A=55°，∠B=25°，求∠C的度数。

变式一：∠A=40°，∠B比∠C大30°，求∠B、∠C的度数。

变式二：∠A的度数是∠B的度数的3倍，∠C比∠B大15°, 求∠A、∠B、∠C的度数。

[学生自主探索，教师巡视、诊断，让学生上台板演，学生辨析，教师小结。] [使学生灵活应用三角形内角和定理。用代数方法解决几何问题（方程思想）是重要的方法。]

四、随堂练习

1.（苏州·中考）△ABC的内角和为（）

A．180° B．360° C．540° D．720°

2.在直角三角形ABC中,一个锐角为40°,则另一个锐角是_______°.3.（济宁·中考）若一个三角形三个内角度数的比为2︰3︰4，那么这个三角形是（）

A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形

五、师生共同小结

本节课你们收获了什么？

六、课外作业

1.教材课后练习1、2、2.学法大视野第三课时 教学反思

三角形的有关知识是“空间与图形”中最为核心、最为重要的内容，它不仅是最基本的直线型平面图形，而且几乎是研究所有其它图形的工具和基础.而三角形内角和定理又是三角形中最为基础的知识，也是学生最为熟悉且能与小学、中学知识相关联的知识，看似简单，但如果处理不好，会导致学生有厌烦心理。

本节课的教学实现以下特点：

（1）通过折纸与剪纸等操作让学生获得直接经验，然后从学生的直接经验出发，逐步转到符号化处理，最后达到推理论证的要求。（2）充分展示学生的个性，体现“学生是学习的主人”这一主题。

篇8：三角形内角和定理证明

关键词：几何画板应用,折叠法,三角形内角和定理,验证过程

随着科技的进步，课堂教学也与现代科技紧密结合，利用多媒体教学，可以使教学变得更加方便。首先，可以突破以往教学的难点，易于展示抽象的内容，例如立体图形等都可以用多媒体展示给学生，使学生易于理解;也可以为教师节约时间，将要在课堂中或课下花费时间重复制作的教具用多媒体制作展示，例如，在验证三角形内角和定理时，制作教具三角形，让学生折叠三个角使之成为平角。这样的教具虽然简单，但是每次都重复制作也浪费时间和资源。在此，我将展示如何应用几何画板展示用折叠法验证三角形内角和定理的过程，分两种情况进行展示，即直角三角形的展示和锐角三角形、钝角三角形的展示。

一、直角三角形的展示

第一步：作点A，选取线段工具，移动鼠标到A点，单击左键，并按住Shift键作线段AC，再将鼠标移动到C点，单击左键并按住Shift键作线段CB，连接线段AB，则完成三角形ABC的制作。选取线段工具，在线段AB上取一点E，按住Shift键作BC的平行线EF交AC于F点，同理过E点作AC的平行线EG交BC于G点。

第二步：选中线段AC、BC、AB，按Ctrl+H键，隐藏线段AC、BC、AB，选择线段工具，连接线段AE、BE、AF、FC、BG、GC。

第三步：选中点E、A、C，点击菜单栏上构造菜单，构造过三点弧EAC。

第四步：选中弧EAC，点击构造菜单，构造弧上点A，连接线段AE、AD。

第五步：选中构造点A点再选中C点，点击编辑菜单，选择操作类按钮，选择移动按钮，将按钮标签改为折叠A，再选中构造点A点，选中原A点，点击编辑菜单，选择操作类按钮，选择移动按钮，将按钮标签改为恢复A。隐藏三角形上的点A，线段AE、AF及弧EAC。则可完成折叠角A的过程。

第六步：过点E、B、C作过三点弧EBC，点击构造菜单，构造弧上点B，连接线段BE、BG。选中构造点B点再选中C点，点击编辑菜单，选择操作类按钮，选择移动按钮，将按钮标签改为折叠B，再选中构造点B点，选中原B点，点击编辑菜单，择操作类按钮，选择移动按钮，将按钮标签改为恢复B。隐藏三角形上的点B，线段BE、BG及弧EBC。则可完成折叠角B的过程。

最终直角三角形的折叠如下：

观察图像可得结论：将角A和角B折叠后所得的角ECF为九十度，即角A加角B为九十度，而角C为直角,因此角A加上角B加上角C为一百八十度。可得此三角形内角和为一百八十度。

二、锐角三角形或钝角三角形的展示

第一步：选择作点工具，作点A、B、C，选择线段工具，连接线段AB、AC、BC，过A点作BC的垂线交BC于D点，隐藏垂线，连接线段AD，选取线段工具在线段AB上取一点E选中线段BC作BC的平行线交AC于F点，隐藏平行线，连接线段EF，同理过E点作AD的平行线EG交BC于G点，过F点作AD的平行线FH交BC于H点。

第二步：隐藏线段AB、AC、BC，连接线段AE、AF、BE、BG、GH、CF、CH、DE、DF。

第三步：作线段AD上的点，记为A，连接AE、AF，选中构造点A，选中点D，点击编辑菜单，选择操作类按钮，选择移动按钮，将按钮标签改为折叠A，再选中构造点A点，选中原A点，点击编辑菜单，选择操作类按钮，选择移动按钮，将按钮标签改为复原A。隐藏三角形上的点A，线段AE、AF及垂线段AD。则可完成折叠角A的过程。

第四步：过点E、B、D作过三点弧EBD。

第五步：选中弧EBD，点击构造菜单，构造弧上点B，连接线段BE、BG。选中构造点B点再选中D点，点击编辑菜单，选择操作类按钮，选择移动按钮，将按钮标签改为折叠B，再选中构造点B点，选中原B点，点击编辑菜单，选择操作类按钮，选择移动按钮，将按钮标签改为复原B。隐藏三角形上的点B，线段BE、BG及弧EBD。则可完成折叠角B的过程。

第六步：选中点F、C、D，作过三点弧FCD，选中弧FCD，点击构造菜单，构造弧上点C，连接线段CF、CH。选中构造点C点再选中D点，点击编辑菜单，选择操作类按钮，选择移动按钮，将按钮标签改为折叠C，再选中构造点C点，选中原C点，点击编辑菜单，选择操作类按钮，选择移动按钮，将按钮标签改为复原C。隐藏三角形上的点C，线段CF、CH及弧FCD。则可完成折叠角C的过程。

最终锐角或钝角三角形折叠如下：

观察图像可得结论：角A、角B、角C折叠后形成一个平角，即角A的度数加上角B的度数加上角C的度数为一百八十度，即三角形内角和为一百八十度。