三角形重心用向量证明

第一篇：三角形重心用向量证明

三角形外心、重心、垂心的向量形式

已知△ABC，P为平面上的点，则

(1)P为外心

(2)P为重心

(3)P为垂心

证明 (1)如P为△ABC的外心(图1)，

则 PA=PB=PC，

(2)如P为△ABC的重心，如图2，延长AP至D，使PD=PA，设AD与BC相交于E点.

由重心性质

∴ 四边形PBDC为平行四边形.

BC和PD之中点.

心.

(3)如图3，P为△ABC的垂心

同理PA⊥AC，故P为△ABC之垂心.

由上不难得出这三个结论之间的相互关系：

∴ △ABC为正三角形.

∴ △ABC为正三角形，且O为其中心.

第二篇：三角形外心内心重心垂心与向量性质

三 角 形 的“四 心”

所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。

一、三角形的外心

定

义：三角形三条中垂线的交点叫外心， 即外接圆圆心。ABC的重心一般用字母O表示。 性

质：

1.外心到三顶点等距，即OAOBOC。

2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即ODBC,OEAC,OFAB.

3.向量性质：若点O为ABC所在的平面内一点，满足(OAOB)BA(OBOC)CB(OCOA)AC，则点O为ABC的外心。

二、三角形的内心

定

义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。ABC的内心一般用字母I表示，它具有如下性质： 性

质：

1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。 2.三角形的面积=1三角形的周长内切圆的半径. 23.向量性质：设0,，则向量AP(点P的轨迹过ABC的内心。

AB|AB||AC|AC)，则动

1

三、三角形的垂心

定

义：三角形三条高的交点叫重心。ABC的重心一般用字母H表示。 性

质：

1.顶点与垂心连线必垂直对边， 即AHBC,BHAC,CHAB。 2.向量性质：

结论1：若点O为ABC所在的平面内一点，满足OAOBOBOCOCOA，则点O为ABC的垂心。

结论2：若点O为△ABC所在的平面内一点，满足OABCOBCAOCAB， 则点O为ABC的垂心。

22222

2四、三角形的“重心”：

定

义：三角形三条中线的交点叫重心。ABC的重心一般用字母G表示。

性

质：

1.顶点与重心G的连线必平分对边。

2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。

即GA2GD,GB2GE,GC2GF 3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值. 即xGxAxBxCyyByC,yGA. 334.向量性质：(1)GAGBGC0; (2)PG

1(PAPBPC)。 3 2

第三篇：向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇

一、四心的概念介绍

(1)重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1; (2)垂心——高线的交点：高线与对应边垂直; (3)内心——角平分线的交点(内切圆的圆心)：角平分线上的任意点到角两边的距离相等; (4)外心——中垂线的交点(外接圆的圆心)：外心到三角形各顶点的距离相等。

二、四心与向量的结合

(1)OAOBOC0O是ABC的重心.证法1：设O(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)

(x1x)(x2x)(x3x)0

(y1y)(y2y)(y3y)0

OAOBOC0

x1x

yy1

x2x33y2y3

3O是ABC的重心.

证法2：如图

OAOBOC OA2OD0

AO2OD

A、O、D三点共线，且O分AD

为2：

1O是ABC的重心

BDC

(2)OAOBOBOCOCOAO为ABC的垂心.证明：如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC， D、E是垂足.

OAOBOBOCOB(OAOC)OBCA0 OBAC

同理OABC，OCAB

O为ABC的垂心

(3)设a,b,c是三角形的三条边长，O是ABC的内心

aOAbOBcOC0O为ABC的内心.证明：



ABc

AB

ACAC方向上的单位向量， 分别为AB、cb

ACb

平分BAC,

ABcACb

AO()，令

bcabc

AO

bcabc

(

ABc



ACb

)

化简得(abc)OAbABcAC0

aOAbOBcOC0

(

4O为ABC的外心。

典型例题：

例1：O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足

OPOA(ABAC)，0, ，则点P的轨迹一定通过ABC的()

A.外心B.内心C.重心D.垂心 分析：如图所示ABC，D、E分别为边BC、AC的中点.ABAC2AD

OPOA2AD OPOAAP AP2AD

BDC

AP//AD

点P的轨迹一定通过ABC的重心，即选C.

例2：(03全国理4)O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P

满足OPOA，0, ，则点P的轨迹一定通过ABC的(B)

A.外心B.内心C.重心D.垂心

分析：

AC方向上的单位向量，

分别为AB、



AB

AC平分BAC,

点P的轨迹一定通过ABC的内心，即选B.例3：O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P

满足

OPOAAB

AC，0, ，则点P的轨迹一定通过ABC的

()

A.外心B.内心C.重心D.垂心

分析：如图所示AD垂直BC，BE垂直AC， D、E是垂足

. 

BC





=

=0

点P的轨迹一定通过ABC的垂心，即选D.练习：

1.已知ABC三个顶点A、B、C及平面内一点P，满足PAPBPC0，若实数满足：ABACAP，则的值为()

A.2B.

32C.3D.6

2.若ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，OAOBOC0，则OAOB() A.

12

B.0C.1D.

12

3.点O在ABC内部且满足OA2OB2OC0，则ABC面积与凹四边形

ABOC

面积之比是() A.0B.

32

C.

54D.

43

4.ABC的外接圆的圆心为O，若OHOAOBOC，则H是ABC的()

A.外心B.内心C.重心D.垂心

5.O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，若OA

BCOB

CAOCAB，则O是ABC的()

A.外心B.内心C.重心D.垂心

OHm(OAOBOC)，ABC的外接圆的圆心为O，6.两条边上的高的交点为H，

则实数m =

→→→→1ABACABAC→→→

7.(06陕西)已知非零向量AB与AC满足(+ )·BC=0 · = , 则

2→→→→|AB||AC||AB||AC|△ABC为()

A.三边均不相等的三角形B.直角三角形 C.等腰非等边三角形D.等边三角形

8.已知ABC三个顶点A、B、C，若AB

ABC为()

ABACABCBBCCA，则

A.等腰三角形B.等腰直角三角形

C.直角三角形D.既非等腰又非直角三角形 练习答案：C、D、C、D、D、

1、D、C

第四篇：用向量法证明

用向量法证明步骤1

记向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,c

∴a+b+c=0

则i(a+b+c)

=i·a+i·b+i·c

=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)

=-asinC+csinA=0

接着得到正弦定理

其他

步骤2.

在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足为点H

CH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，

b/sinB=c/sinC

步骤3.

证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.

作直径BD交⊙O于D.连接DA.

因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度

因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.

所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

类似可证其余两个等式.希望对你有所帮助!

2

设向量AB=a,向量AC=b，向量AM=c向量BM=d,延长AM到D使AM=DM，连接BD,CD,则ABCD为平行四边形

则向量a+b=2c(a+b)平方=4c平方a平方+2ab+b平方=4c

平方(1)

向量b-a=2d(b-a)平方=4d平方a平方-2ab+b平方=4d

平方(2)

(1)+(2)2a平方+2b平方=4d平方+4c平方

c平方=1/2(a+b)-d平方

AM^2=1/2(AB^2+AC^2)-BM^2

3

已知EF是梯形ABCD的中位线，且AD//BC，用向量法证明梯形的中位线定理

过A做AG‖DC交EF于p点

由三角形中位线定理有：

向量Ep=½向量BG

又∵AD‖pF‖GC且AG‖DC∴向量pF=向量AD=向量GC(平行四边形性质)

∴向量pF=½(向量AD+向量GC)

∴向量Ep+向量pF=½(向量BG+向量AD+向量GC)

∴向量EF=½(向量AD+向量BC)

∴EF‖AD‖BC且EF=(AD+BC)

得证

4

先假设两条中线AD,BE交与p点

连接Cp,取AB中点F连接pF

pA+pC=2pE=Bp

pB+pC=2pD=Ap

pA+pB=2pF

三式相加

2pA+2pB+2pC=Bp+Ap+2pF

3pA+3pB+2pC=2pF

6pF+2pC=2pF

pC=-2pF

所以pC,pF共线，pF就是中线

所以ABC的三条中线交于一点p

连接OD,OE,OF

OA+OB=2OF

OC+OB=2OD

OC+OC=2OE

三式相加

OA+OB+OC=OD+OE+OF

OD=Op+pD

OE=Op+pE

OF=Op+pF

OA+OB+OC=3Op+pD+pE+pF=3Op+1/2Ap+1/2Bp+1/2Cp

由第一问结论

2pA+2pB+2pC=Bp+Ap+Cp

2pA+2pB+2pC=0

1/2Ap+1/2Bp+1/2Cp

所以OA+OB+OC=3Op+pD+pE+pF=3Op

向量Op=1/3(向量OA+向量OB+OC向量)

第五篇：用正弦定理证明三重向量积

作者：光信1002班 李立

内容：通过对问题的讨论和转化，最后用正弦定理来证明三重向量积的公式——(ab)c(cb)a(ca)b。

首先，根据叉乘的定义，a、b、ab可以构成一个右手系，而且对公式的观察与分析我们发现，在公式中，a与b是等价的，所以我们不妨把a、b、ab放在一个空间直角坐标系中，让a与b处于oxy面上，ab与z轴同向。如草图所示：

其中，向量c可以沿着z轴方向与平行于oxy平面的方向分解，即：

cczcxy

将式子带入三重向量积的公式中，发现，化简得：

(ab)cxy(cxyb)a(cxya)b这两个式子等价

现在我们考虑(ab)c刚好被a与b反向夹住的情况，其他的角度情况以此类推。

由图易得，(ab)c与a、b共面，a与b不共线，不妨设(

ab)cxayb，

a,cxy

(



,),b,cxy

(0,



)，所以：

在三角形中使用正弦定理，得

ab)cSin[-a,b]

Sin[

xa



yb

Sin[a,cxy

k]



b,cxy

又因为ab)cabcSina,b

所以，解得k=abc， 于是解得：

x= bcxyCosb,cxyyacxyCosa,cxy

bcxy acxy

由图示和假定的条件，(ab)c在a和b方向上的投影皆为负值，所以x，y都取负值，

所以，

(ab)cxy(cxyb)a(cxya)b

其他的相对角度关系，以此类推，也能得到相同的答案，所以：

(ab)c(cb)a(ca)b，命题得证。

小结论：当直观解答有困难时，可以通过分析转化的方法来轻松地解决。