三角形五心的向量证明

第一篇：三角形五心的向量证明

向量中的三角形心的问题

向量中的三角形“四心”问题

学习向量的加减法离不开三角形，三角形的重心、垂心、内心、外心是三角形性质的重要组成部分，你知道它们的向量表示吗?你能证明吗?下面的几个结论也许能给同学们一点帮助。

结论1：若点O为△ABC所在的平面内一点，满足点O为△ABC的垂心。 证明：由，所以

。同理可证

，得

，即

，则

。故O为△ABC的垂心。

结论2：若点O为△ABC所在的平面内一点，满足，则点O为△ABC的垂心。

证明：由。同理可证

，得

。容易得到

，所以

由结论1知O为△ABC的垂心。

结论3：若点G为△ABC所在的平面内一点，满足ABC的重心。 证明：由，所以

，得

，则点G为△

。设BC边中点为M，则

，即点G在中线AM上。设AB边中点为N，同理可证G在中线CN上，故点G为△ABC的重心。

结论4：若点G为△ABC所在的平面内一点，满足为△ABC的重心。

，则点G证明：由，得。由结论3知点G为△ABC的重心。

，得结论5：若点P为△ABC所在的平面内一点，并且满足

，则点P为△ABC的内心。

证明：由于方向的单位向量为，与

，可得

同方向的单位向量为

，则

。设与同

。因为

，知点P在∠A为单位向量，所以向量的平分线上。

同理可证点P在∠B的平分线上。 故点G为△ABC的内心。

在∠A的平分线上。由结论6：若点O为△ABC所在的平面内一点，满足，则点O为△ABC的外心。

证明：因为，所以

同理得

，所以。故点O为△ABC的外心。

由题意得

，得说明：以上几个结论不仅给大家展示了三角形的“四心”的向量表示，而且是向量加减法应用的很好典例，值得大家关注。

第二篇：三角形五心的性质【超全总结】

重心的性质：(三条中线的交点)

1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。

2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为((X1+X2+X3)/3，(Y1+Y2+Y3)/3。

5. 以重心为起点，以三角形三定点为终点的三条向量之和等于零向量。

外心的性质：(三条边的垂直平分线的交点)

1、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A(∠A为锐角或直角)或∠BOC=360°-2∠A(∠A为钝角)。

2、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部;当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部;当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。

3、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。C1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2;c=c1+c2+c3。外心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。

4、外心到三顶点的距离相等

垂心的性质：(三条高的交点)

1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。

2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。(此直线称为三角形的欧拉线)

3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。

4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。

内心的性质：(三个内角的角平分线的交点)

1、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。

2、P为ΔABC所在空间中任意一点，点O是ΔABC内心的充要条件是：Po=(a×PA+b×PB+c×PC)/(a+b+c).

3、O为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长AO交BC边于N，则有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC

4、(欧拉定理)ΔABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI2=R2-2Rr.

5、(内角平分线分三边长度关系)

△ABC中，O为内心，∠A、∠B、∠C的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、P、R，则BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b.

6、内心到三角形三边距离相等。

旁心的性质：(外角的角平分线的交点)

1、每个三角形都有三个旁心。

2、旁心到三边的距离相等。

附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。

第三篇：向量与三角形的重心

例1 已知A，B，C是不共线的三点，G是△ABC内一点，若GAGBGC0.求

证：G是△ABC的重心.

证明：如图1所示，因为GAGBGC0，所以GA(GBGC).

以GB，GC为邻边作平行四边形BGCD，则有GDGBGC，

所以GDGA.

又因为在平行四边形BGCD中，BC交GD于点E，所以BEEC，

GEED.所以AE是△ABC的边BC的中线，且GA2GE.

故G是△ABC的重心.

点评：①解此题要联系重心的性质和向量加法的意义;②把平面几何知识和向量知识结合起来解决问题是解此类问题的常用方法.

变式引申：已知D，E，F分别为△ABC的边BC，AC，AB的中点.求证： ADBECF0.

证明：如图2的所示，

ADACCD2ADACABCDBD，即2ADACAB. ADABBD

同理2BEBABC，2CFCACB.

2A(DBEC)FAC

0CFADBE. .ABBAB0C CACB

点评：该例考查了三角形法则和向量的加法.

例2 如图3所示，△ABC的重心为G，O为坐标原点，

OAa，OBb，OCc，试用a，b，c表示OG.

解：设AG交BC于点M，则M是BC的中点，

baABACBCcb.则，ca，

111AMABbCa(cb)(cb2a). 22

221AGA(cb2a.

) 3

311故OGOAAGa(cb2a)(abc). 33

点评：重心问题是三角形的一个重要知识点，充分利用重心性质及向量加、减运算的几何意义是解决此类题的关键.

变式引申：如图4，平行四边形ABCD的中心为O，

1P为该平面上任意一点，则PO(PAPBPCPD). 4

POPAAO，POPBBO，POPCCO，证法1：

POPDDO，

PBPC PD4POPA， 1即PO(PAPBPCPD). 4

11证法2：PO(PAPC)，PO(PBPD)， 22

1PO(PAPBPCPD). 4

点评：(1)证法1运用了向量加法的三角形法则，证法2运用了向量加法的平行四边形法则.

(2)若P与O重合，则上式变为OAOBOCOD0.

第四篇：三角形内心的向量表示形式

有这样一个高考题：

已知O，N，P在ABC所在平面内，且OAOBOC,NANBNC0，且PAPBPBPC，则点PCPAO，N，P依次是ABC的(

)

(A)重心 外心 垂心

(B)重心 外心 内心

(C)外心 重心 垂心

(D)外心 重心 内心

答案为C，即分别为外心、重心、垂心，通过此题我们可以发现三角形的这三个“心”的向量表示形式非常和谐美观。而三角形的“心”常见的有四个，我们不仅会想三角形内心的向量表示形式是什么呢?

内心的向量表示有三种常见的形式，网络以及资料上面，对于它们的证明往往不完整，下面我把内心的向量表示形式及其验证的完整过程给读者介绍一下.

(1)点I是ABC所在平面内一点，I是ABC内心的充要条件是

CACBBICI0

CACBABAC分析：此条件直观意义较强，如即分别为与AB、AC同

ABACAIABACABACBCBABCBA向的单位向量AM、AN的差向量MN，由条件可得MN与AI垂直，而MN为等腰AMN的底边，故AI为A的角平分线，同理可得BI、CI亦为角平分线，即I是ABC内心.

上面的条件直观意义较易发现，然而形式较为复杂，下面介绍一个较为简单的充要条件，你能做出证明吗?

(2)如图，ABC的边长分别为a、b、c,点I是ABC所在平面内一

点，I是ABC内心的充要条件是aIAbIBcIC0

证明：已知点I为ABC的内心，延长AI交BC于点D， 则BDcBDcac，所以，BD DCbBCbcbcAIABAIbccbc ，所以

acIDBDADabcabc连接BI,则有bcbcbccAD=(ABBD)(ABBC) 因此，AIabcabcabcbcbccbcbc(AB(ACAB))(ABAC) abcbcabcbcbcbcbcbcABAC ABACabcabcabcbcbc(abc)AIbABcAC

aAI(bABbAI)(cACcAI)bIBcIC

aIAbIBcIC0

反之，当aIAbIBcIC0时，可得点I为ABC的角平分线的交点，即为三角形的内心.

此题的证明需要利用角平分线的性质定理与比例的性质，在化简变形的过程中要特别注意. (2)若0为平面内任一点，则点I为ABC的內心的充要条件为abcOAOBOC

abcabcabc证明：由(1)知aIAbIBcIC0 OI a(OIOA)b(OIOB)c(OIOC)0  (abc)OIaOAbOBcOC

 从而有OIabcOAOBOC

abcabcabc上面我们提到的三角形的四个“心”非常奇妙，这一点从它们的向量表示形式上也能够体现出来，在平时的学习中要注意体会;同时向量法是研究几何图形性质的重要方法，而上面的证明过程也告诉我们把几何图形中的几何量用向量表示出来后，灵活运用平面几何中的比例关系及比例的性质是再进行向量运算的“先行军”.

第五篇：不等式 向量解三角形复习

一、不等式的解法：

1.一元一次不等式：Ⅰ、axb(a0)：⑴若a0，则;⑵若a0，则;

Ⅱ、axb(a0)：⑴若a0，则;⑵若a0，则;

2.一元二次不等式：a0时的解集与有关(数形结合:二次函数、方程、不等式联系) 3. 高次不等式：数轴标根步骤：正化，求根，标轴，穿线(奇穿偶不穿)，定解.4.分式不等式的解法：通解变形为整式不等式; ⑴f(x)g(x)0

;⑵f(x)g(x)0

⑶

f(x)g(x)

0;⑷

f(x)g(x)

0

5.解含有参数的不等式：

解含参数的不等式时，首先应注意考察是否需要进行分类讨论.如果遇到下述情况则一般需要讨论： ①不等式两端乘除一个含参数的式子时，则需讨论这个式子的正、负、零性.②在求解过程中，需要使用指数函数、对数函数的单调性时，则需对它们的底数进行讨论.

③在解含有字母的一元二次不等式时，需要考虑相应的二次函数的开口方向，对应的一元二次方程根的状况(有时要分析△)，比较两个根的大小,设根为x1,x2x1x

2、x1x

2、x1x2讨论。

例：解关于x的不等式： ax

2(a1)x10

(aR))

例：实系数方程

f(x)x2

ax2b0的一个根在(0，1)内，另一个根在(1，2)内，则b2a

1;

(a1)2

(b2)

2ab3 

二、不等式的性质(几个重要不等式) (1)若aR,则|a|0,a20 (2)若a、bR,则a

2b

22ab(或a

2

b

2

2|ab|2ab)(当仅当

a=b时取等号)

(3)如果a,b都是正数，那么

ab时取等号)

2

.(当仅当

a=b极值定理：若x,yR,xyS,xyP,则：

○

1如果P是定值, 那么当x=y时，S的值最小;②如果S是定值, 那么当x=y时，P的值最大.利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等.

常用的方法为：拆、凑、平方;

例1:设x,a(a

21a2)1,a2,y成等差数列，x,b1,b2,y成等比数列，则b的取值范围是___。

1b2

例2:若abc，且

1ab



1kbc



ac

恒成立，k的最大值为。

14.函数y=log12a(x+3)-1(a>0,a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn>0，则m



n

的最小值为______________.例3:已知a0,b0且ab

4。

例4:已知a0,b0且a

2

b

2

2



1，。

(5)若ab0,则

ba(当仅当a=b时取等号)

ab2

(6)a0时，|x|ax2

a2

xa或xa;|x|ax2a2

axa

(7)若a、bR,则||a||b|||ab||a||b| (4)几个著名不等式

(1)平均不等式：如果a,b都是正数，那么

2b(当仅当a=b时取等号)即：

1

a

2

a1b平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均(a、b为正数)：特别地，ab(

ab2

2ab2

(当a = b时，a2b2

2)

2

(

ab2

2

)

2

ab)

二、不等式的证明不等式证明的常用方法

2

2比较法、综合法、已知a>0，b>0ba

ab

≥a+b.平面向量

㈠向量

AB①单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB共线的单位向量是

|AB|

);②平行向量(也叫共线向量)：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：a∥b， 规定零向量和任何向量平行。

注意:①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等;

②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平

行不包含两条直线重合;③平行向量无传递性!(有0); ④三点A、B、C共线AB、

AC共线 ㈡向量的表示方法坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单



位向量i，j

为基底，则平面内的任一向量a可表示为

axiyjx,y

，称

x,y为向量a的坐标，

a=x,y叫做向量a的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。



22

abaaaa,a①abab0; ②当a，b同向时，ab=，特别地，

;

㈢.平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的

当a与b反向时，ab



b不同向，ab0是为锐角的必要非充分条件; 当为锐角时，ab>0，且a、

任一向量a，有且只有一对实数

1、

2，使a=1e1+2e2。如

(1)若

a(1,1),b(1,1),c(1,2)



，则c______(答：132a

2b);

㈣.平面向量的数量积：



⒈平面向量的数量积：如果两个非零向量a，b，它们的夹角为，我们把数量|a||b|cos

叫做a与b



的数量积(或内积或点积)，记作：ab，即ab=abcos

。规定：零向量与任一向量的数量积是

0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。







(1)△ABC中，|AB|3，|AC|4，|BC|5，则ABBC_________ (答：-9);

11a(1,),b(0,),

(2)已知22cakb,dab

，c与d的夹角为4，则k等于____(答：1);

(

325,ab3等于____

); 



(4)已知

a,b

，则a与ab的夹角为____(答：30

)

⒉.b在a

，它是一个实数，但不一定大于0。





已知

|a|3



，

|b|

5，且ab12，则向量a在向量b上的投影为______(答：

125

)



⒊.ab的几何意义：数量积ab等于a的模|a|

与b在a上的投影的积。

⒋.向量数量积的性质：设两个非零向量a，b，其夹角为，则：



当为钝角时，ab<0，且a、

b不反向，ab0是为钝角的必要非充分条件; 

③非零向量a，b夹角

的计算公式：cos

;④

|ab||a||b|

。





(1)已知a(,2)，b(3,2)

，如果a与b的夹角为锐角，则的取值范围是______

(答：>—

43或>　0且

13

);

(2)已知OFQ面积为S，且OFFQ1，若

13

2

,则OF,FQ夹角的取值范围是_________

(五)坐标运算：





设

a(x1,y1),b(x2,y2)，则：向量的加减法运算：ab(x1x2

，

y1y2)

实数与向量的积：ax1,y1x1,y1。平面向量数量积：abx1x2y1y2

向量的模：|a|a2

|a|2x2y

。



已知

a,b

均为单位向量，它们的夹角为60

，那么

|a3b|

=_____

);

Ax

两点间的距离：若

1,y1,Bx2,y2

，则

|AB|(六)向量的运算律：

交换律：abba，



a

a

，abba;

结合律：abcabc,abcabc，ababab



;

分配律：

aaa,ab

ab

，

ab

cacbc。























如下列命题中：① a(bc)abac;② a(bc)(ab)c;③ (ab)|a|









||a|b|||a|b|a||b|(这些和实数比较类似).2|a||b||b|;④ 若ab0，则a0或b0;⑤若





abcb,



a

则ac;⑥

2a

;⑦

Ax1,y1,Bx2,y2,Cx3,y3(3)在ABC中，①若，则其重心的坐标为



abb

a

2ab)a2b2ab)a22abb2

a;⑧(2;⑨(2

。其中正确的是______(答：①⑥⑨ (七)重要结论

向量平行(共线)的充要条件：

a//bab(ab)2(|a||b|)2

x1y2y1x2=0



(1)若向量a(x,1),b(4,x)



，当x=_____时a与b共线且方向相同(答：2);





(2)已知a(1,1),b(4,x)

，ua2b，v2ab，且u//v，则x=______(答：4);



(3)设

PA(k,12),PB(4,5),PC(10,k)

，则k=_____时，A,B,C共线(答：-2或11)

向量垂直的充要条件：



abab0|ab||ab|x1x2y1y20

如：AB

ACAB

AC。



OA(1,2),OB(3,m)



(1)已知

，若OAOB，则m答：(3

);

(2)以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，B90，则点B的坐标是________(答：(1,3)或(3，-1)); 





(3)已知

n(a,b),

向量nm，且nm

，则m的坐标是________ (答：(b,a)或(b,a))

向量中其他常用的结论：

(1)一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用; 

(2)

||a||b|||ab||a||b|



，特别地，当a、

b同向或有0|ab||a||b| ||a||b|||ab|;当a、 b反向或有0|ab||a||b|||a|b|||a|

b;当a、

b不共线

3Gx1xx,y3

y21y23

133。如①PG3

(PAPBPC)

G为ABC的重心，特别地

PAPBPC0P为ABC的重心;②PAPBPBPCPCPAP为ABC的垂心;

③向量AB

AC((0))所在直线过ABC的内心(是BAC的角平分线所在直线);



④|AB|PC|BC|PA|CA|PB0PABC的内心;





MPMP

(3)若P分有向线段

P1P

2所成的比为，点

M为平面内的任一点，则

MP

12

1，特别地P为

P1P2



MP的中点MP

1MP

2;



(4)向量PA、

PB、 PC中三终点A、B、C共线存在实数、使得PAPBPC且1. 



平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1),B(1,3),若点C满足OC1OA2OB,其中

1,2R且121,则点C的轨迹是_______(答：直线AB)

解三角形

1.斜三角形中各元素间的关系：

在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边。 (1)三角形内角和：A+B+C=π。

(2)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等

asinA



bsinB



csinC

2R

。(R为外接圆半径)

(3)余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍

a

，b2， c

2。

cosAcosBcosC。

3.三角形的面积公式： (1)S1absinC==4R2

sinAsinBsinC=

abcABC2

4R

(2)Ss(sa)(sb)(sc)

ABC=

;;

(3)SABC=r·s其中s

abc

(4)射影定理：在△ABC 中，abcosCccosB，b，c。4.两内角与其正弦值：在△ABC 中，ABsinAsinB，

5.解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。

主要方法：三角形中的三角变换

三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。 (1)角的变换

在△ABC中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC;cos(A+B)=-cosC;tan(A+B)=-tanC。 sin

ABB

2cos

C2,cos

A2

sin

C2;

(2)边角转化，判定三角形形状时，利用正余弦定理实现边角转化，统成边的形式或角的形式 例1(正、余弦定理判断三角形形状)

在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，则△ABC的形状一定是() A.等腰直角三角形

B.直角三角形C.等腰三角形

D.等边三角形

例2在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，

若ab

，sinCB，则A=()

(A)300

(B)600

(C)1200(D)1500

例3：在ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、

c

，已知a2c2

2b，且

sinAcosC3coAs

sCin 求b

c2

分析：:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)a2b左侧是二次的右

侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2)

sinAcosC3cosAsinC,过多关

注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分. 解法：在ABC中则

siAn

cCos

A3coC由正弦定理及余弦定理

有:a

abc

c2

a

角化边) 化简并整理得：2(a2

c2

)b

2ab

3c

b(.又由已知

2bc

a2c22b4bb2

.解得b4或b0(舍).