勾股定理的应用

2024-04-11

勾股定理的应用（精选8篇）

篇1：勾股定理的应用

1、勾股定理的应用

勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有：（1）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系。求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题

2、如何判定一个三角形是直角三角形（1）先确定最大边（如c）（2）验证c与a+b则△ABC不是直角三角形。

3、勾股数满足c=a+b的三个正整数，称为勾股数如（1）3，4，5；（2）5，12，13；

（3）6，8，10；（4）8，15，17（5）7，24，25（6）9, 40, 412、三角形的三边长为abcba2)(22+=+,则这个三角形是()

A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.锐角三角形

3.已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）

（A）25（B）14（C）7（D）7或25

6.将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是()（A）钝角三角形

（B）锐角三角形（C）直角三角形（D）等腰三角形.7.如图小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD的面积是()

（A）25（B）12.5（C）9（D）8.54、将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是（）．

A．h≤17cmB．h≥8cmC．15cm≤h≤16cmD．7cm≤h≤16cm3、如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距离为7m，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3m．同时梯子的顶端B下降至B′，那么BB′（）．

A．小于1mB．大于1mC．等于1mD．小于或等于1m11、如图，甲船以16海里/时的速度离开港口，向东南航行，乙船在同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口一个半小时后分别到达B、A两点，且知AB＝30海里，问乙船每小时航行多少海里

222222是否具有相等关系（3）若c2=a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形；若c2≠a2+b2

篇2：勾股定理的应用

各位评委老师，你们好！

今天我说课的题目是《勾股定理的应用》，下面我将从教材的地位和作用、学情、教学目标、教学重、难点、教法和学法、教学过程六个方面对本课进行分析。

一、说教材的地位和作用

本节选自华东师大版八年级数学上册第14章第2节，本节是在掌握勾股定理的基础上对勾股定理的应用之一。教材在编写时注重培养学生的动手操作能力和分析问题的能力。通过实际分析，使学生获得较为直观的印象。通过联系和比较，了解勾股定理在实际生活中的广泛应用。勾股定理作为数学学习的工具，掌握好本节内容对其他内容的学习奠定基础。《勾股定理的应用》分为两个课时，本节课是第一课时。二：说学情

在本节内容之前，学生已经准确的理解了勾股定理的内容，并能运用它解决一些数学问题，同时也具备了一定的合作意识与能力，并对“做数学”有相当的兴趣和积极性，但探究问题的能力还是有限，对生活中的实际问题与勾股定理的联系还不明确，特别是构建数学模型还有困难，自主学习能力也有待于加强。

三、说教学目标

课标要求：能运用勾股定理及逆定理解决简单的实际问题

1.知识与技能目标：能运用勾股定理及逆定理解决简单的实际问题。

2.过程与方法目标：经历勾股定理的应用过程，熟练掌握其应用方法，明确应用的条件。

3.情感态度价值观目标：培养合情推理能力，体会数学源于生活又服务于生活，激发学习热情。

四、说教学重、难点

重点：勾股定理及逆定理的应用。

难点：勾股定理的正确使用及体会数学建模思想。

关键：在现实情境中捕捉直角三角形，把实际问题化成勾股定理几何模型，然后针对性解决。

五、说教法和学法

1、教法分析

我主要采用了引导发现法

问题教学法

演示法

合作探究法

练习巩固法等

2、学法分析

我主要采用了：自主探究学习法

实验法

合作探究学习

个人展示法

练习巩固法等

六、说教学程序

【第一环节

情境引入导入新课】

本环节我设计了一个受台风影响树木断裂的问题，学生先独立思考，然后二人复述，再上黑板展示，最后教师引导学生发现解题思路，引出本节内容。

设计意图：通过给学生提供现实背景及生活素材，激发学生为解决问题而生成的求知欲。并体会数学来源于生活。

【第二环节

自主学习】我把例1设计了5个问题，例2设计了4个问题，然后学生课前根据老师

设计问题自主探究，独立完成

设计意图：

1、通过自主学习，培养学生的自主探究学习的能力。

2、问题具体化，让学生亲历知识生成的过程，明确本节的重点，突破难点。

3、问题的层次化引导了学生数学模型的建立。

4、要求学生把解题过程规范写出来，让学生在理解知识内涵，掌握规律的基础上规范解题。

【第三环节

合作探究】

小组合作探究学习，教师巡视指导。

设计意图：一方面培养学生团队合作意识。另一方面让学生在讨论辨析中明辨事理，突破疑点和难点。

【第四环节

师生点拨] 通过合作探究，小组提出问题，学生解决问题，老师补充。老师质疑，师生共同解决。

设计意图：通过问题的解决和思维的展示，突破本节课的重难点。

【第五环节

巩固训练】

1、课本练习1

2、【2008年德州中考】有两棵树，一棵树高8米，另一颗树高2米，两树相距8米，一只小鸟从一颗树飞到另一棵树梢至少飞

米。

（黑板展示3号完成1题，2号完成2题，然后全体学生共同点评）设计意图：

1、让学生在训练中反思基础，认识规律，熟练掌握其应用方法，明确应用的条件

2、通过黑板测验激发学生的竞争力，同时巩固本节课的内容。【第五环节

拓展创新】

如图，在长、宽都是5，高是7的长方体纸箱的外部，一B只蚂蚁从顶点A沿纸箱表面爬到顶点B处，求它所行的最短路线的长。

（学生先独立思考，然后各抒己见，教师引导达成共识，最后老师继续拓展，长宽不一样又应该怎么求）A

设计意图：进一步深化和拓展本节知识的内涵与外延，从而提高学生的思维能力。

【第五环节

课堂小结】

鼓励学生畅所欲言的总结本节课的收获与体会；然后帮助学生自主建构知识体系。

篇3：勾股定理的探究与应用

探究一:如图1所示, 在边长为 c 的正方形中, 有四个斜边为 c 的全等直角三角形, 已知它们的直角边分别为 a、b, 中间是一个小正方形, 现利用这个图证明勾股定理。

证明:由题意得大正方形的面积=c2,

小正方形的面积= (b-a) 2,

直角三角形的面积undefinedab.

由大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积得:

c2= (b-aundefinedab×4.

所以 c2=b2-2ab+a2+2ab.

即:c2=a2+b2.

探究二:把图1中的四个直角三角形重新拼接, 拼成了以 (a+b) 为边的正方形, 如图2所示, 中间是边长为 c 的小正方形, 现用图2来证明勾股定理:

证明:大正方形的面积= (a+b) 2,

小正方形的面积=c2,

直角三角形面积undefinedab.

由大正方形的面积=小正方形面积+4个直角三角形面积, 得:

(a+b) 2=cundefinedab×4,

a2+2ab+b2=c2+2ab,

所以 a2+b2=c2. 即:c2=a2+b2.

探究三:也可以把图1、图2拼接为图3, 证明勾股定理。

证明:如图3所示, 大正方形的面积= (a+b) 2, 小正方形的面积=c2, 直角三角形的面积undefinedab.

据图3, 以 c 为边长的小正方形面积+4个直角三角形面积=cundefinedab×4=c2+2ab, 这与大正方形面积相等。

即: (a+b) 2=c2+2ab,

a2+2ab+b2=c2+2ab,

所以 a2+b2=c2.

探究四:两个全等的直角三角形 ABC 和 BED 的两直角边分别为 a、b, 斜边为 c, 与一个以 c 为直角边的等腰直角三角形 ABE 拼成如图4所示的直角梯形, 也可以用该图来证明勾股定理。

证明:直角梯形的面积=2个全等的直角三角形面积+1个等腰直角三角形的面积。

直角梯形的面积undefined (a+b) (a+b) undefined (a+b) 2.

三个直角三角形拼成图形的面积undefinedabundefinedc2=abundefinedc2.

所以undefined (a+b) 2=abundefinedc2,

即:a2+b2=c2.

探究五:如图5所示 , 已知在等腰直角三角形的外部, 分别以腰和斜边为边作三个正方形, 用以一个小方格为1个单位面积, 计算出三个正方形的面积。

证明:以腰 AB、BC 为边长的小正方形面积=32=9, 以斜边 AC 为边长的正方形面积=大正方形 HBDF 的面积-4个全等直角三角形的面积undefined, 而两个小正方形面积的和=9+9=18, 所以有以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和等于以斜边为边长的正方形的面积, 若以 a、b 表示两直角边, c 表示斜边, 就有 a2+b2=c2, 即两直角边的平方和, 等于斜边的平方。

探究六:如图6, 每个小正方格的面积均为1, 分别算出图中三个小正方形的面积, 看看能得出什么结论?

证明:正方形 ACDE 面积为22=4, 正方形 BCFG 的面积为32=9, 正方形 ABHK 的面积=大正方形 CMNQ 的面积-四个全等直角三角形面积undefined, 而4+9=13即undefined, 那么在直角三角形中, 以两直角边为边长的小正方形的面积的和, 等于以斜边为正方形的面积, 若以 a、b 为两直角边, c 为斜边, 有 a2+b2=c2.

勾股定理的多种证法, 可以开拓同学们的思路, 提高学习兴趣, 下面请思考:能不能运用勾股定理去解析直角三角形呢?

勾股定理反应了直角三角形各边之间的关系, 是我们求线段长度最常用的方法之一。一般地, 只要几何图形中出现了直角三角形, 我们首先想到的是以勾股定理为等量关系, 进行求解。勾股定理的应用, 其大体分为两类:一类是和几何图形有关的线段长度求解;一类是解决生活中的距离等问题。

例1 如图7所示, 在Rt△ABC 中, 求 AC.

解:根据勾股定理, AC2=AB2-BC2=102-62=64,

∴ACundefined

例2 如图8所示, 在Rt△ABC 中, 求 AB的长.

解:根据勾股定理, AB2+AC2+BC2=152+82=289,

∴ABundefined

例3 如图9所示, 厂门的上方是一个半圆, 一辆装满货物的卡车, 宽1.6m、高2.6m, 这辆卡车能否通过厂门 (要求卡车的上端以门的距离不小于0.2m)

解:如图所示, 由题意可知

OA=2.6-2.3=0.3 (m) ,

OBundefined

在Rt△OAB 中, 根据勾股定理得

AB2=OB2-OA2=12-0.32=0.91,

所以 ABundefined

所以在大门2.6m处的上方宽度为0.95×2=1.9 (m) .

由于1.9m>1.6m, 即卡车高2.6m处厂门宽1.9m, 比车宽1.6m大, 所以这辆卡车能通过厂门。

例4 一根70cm的木棒要放在长、宽、高分别是50cm、40cm、30cm的长方体木箱中, 能放进去吗? (提示:长方体的高垂直于底面的任何一条直线)

解:如图10所示, 在Rt△ABC 中, 根据勾股定理得:

AC2=AB2+BC2=302+402=502, 所以 AC=50

由于50<70,

故沿 AC 所在线段放不进去。

在Rt△BFC 中, FC2=BC2+BF2=402+502=4100, FCundefined

∴沿 FC 所在线段放不进去。

在Rt△AEC 中, EC2=AC2+AE2=502+502=5000

所以 ECundefined

由于70.7>70,

篇4：勾股定理的实际应用

例1 （2013年贵州省安顺市中考题）如图1，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米。一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（）

A.8米B.10米

C.12米D.14米

分析根据“两点之间线段最短”可知，小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所飞行的路程最短，运用勾股定理可求出两点之间的距离。

解如图1，设大树高为AB＝10 m，小树高为CD＝4 m，过C点作CE⊥AB于E，则四边形EBDC是长方形，连接AC，所以EB＝4 m，EC＝8 m，AE＝AB－EB＝10－4＝6 m，在Rt△AEC中，AC＝■＝■=10 m，故答案应选B。

点评本题考查勾股定理的运用，善于观察题目的信息是解题的关键。

二、确定车子是否超速

例2 （2013年辽宁省本溪市中考题）校车安全是近几年社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载。某中学九年级数学活动小组进行了测试汽车速度的实验，如图2，先在笔直的公路l旁选取一点A，在公路l上确定点B、C，使得AC⊥l，∠BAC＝60°，再在AC上确定点D，使得∠BDC＝75°，测得AD＝40米，已知本路段对校车限速是50千米/小时，若测得某校车从点B到点C匀速行驶用时10秒，问这辆车在本路段是否超速？请说明理由。（参考数据：■＝1.41，■＝1.73）

分析过点D作DE⊥AB于点E，可得△BCD≌△BED，在Rt△ADE中求出DE，继而得出CD，计算出AC的长度后，在Rt△ABC中求出BC，从而可判断校车是否超速。

解过点D作DE⊥AB于点E，因为∠CDB＝75°，所以∠CBD＝15°，∠EBD＝15°，在Rt△CBD和Rt△EBD中，因为∠CBD＝∠EBD，∠DCB＝∠DEB，BD＝BD，所以△CBD≌△EBD，所以CD＝DE。

在Rt△ADE中，因为∠A＝60°，所以∠ADE＝30°。又因为AD＝40米，所以AE＝20米。

由勾股定理，得DE＝20■米，故AC＝AD+CD=AD+DE＝(40+20■)米。

在Rt△ABC中，因为∠A＝60°，所以∠ABC＝30°，AB＝2AC=(80+40■)米，BC＝（40■+60）米。

所以这辆车在BC段的速度＝（40■+60）÷10＝（4■+6）米/秒≈12.92米/秒＝46.512千米/小时＜50千米/小时，所以该车没有超速。

点评本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，求出BC的长度，需要运用两次勾股定理。

三、求楼的高度

例3 （2013年湖北省鄂州市中考题）小明、小华在一栋电梯楼前感慨楼房真高。小明说：“这楼起码20层！”小华却不以为然：“20层？我看没有，数数就知道了！”小明说：“有本事，你不用数也能明白！”小华想了想说：“没问题！让我们来量一量吧！”小明、小华在楼体两侧各选A、B两点，测量数据如图3所示，其中矩形CDEF表示楼体，AB＝150米，CD＝10米，∠A＝30°，∠B＝45°，A、C、D、B四点在同一直线上，问：

（1）楼高多少米？

（2）若每层楼按3米计算，你支持小明还是小华的观点呢？请说明理由。（参考数据：■≈1.73，■≈1.41，■≈2.24）

分析（1）设楼高为x，则CF＝DE＝x，在Rt△ACF和Rt△DEB中分别用x表示AC、BD的值，然后根据AC+CD+BD＝150，求出x的值即可。（2）先算出20层楼的高度，然后和上一问求出的x的值进行比较即可判断谁的观点正确。

解（1）设楼高为x，则CF＝DE＝x，因为∠A＝30°，∠B＝45°，∠ACF＝∠BDE＝90°，所以AF＝2x，BD＝x，由勾股定理，得AC＝■x，所以■x+x＝150－10，解得x＝■＝70×（■－1），所以楼高70×(■－1)米。

（2）因为x＝70×(■－1)≈70×(1.73-1)＝70×0.73＝51.1＜3×20，所以我支持小华的观点，这楼不到20层。

点评本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用方程思想求解。

四、求梯子的滑行距离

例4 （2013年内蒙古包头市中考题）如图4，一根长6■米的木棒AB，斜靠在与地面OM垂直的墙ON上，与地面的倾斜角∠ABO为60°。当木棒A端沿墙下滑至点A′时，B端沿地面向右滑行至点B′。

（1）求OB的长；

（2）当AA′＝1米时，求BB′的长。

分析（1）由已知数据求解即可。（2）首先求出OA的长和OA′的长，再根据勾股定理求出OB′的长。

解（1）在Rt△AOB中，根据题意可知，AB＝6■，∠ABO＝60°，∠AOB＝90°，所以∠OAB＝30°，所以OB＝3■，即OB的长为3■米。

（2）根据题意可知，A′B′＝AB＝6■米，而在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA＝9米。

因为OA′＝OA－AA′，AA′＝1米，所以OA′＝8米。

在Rt△A′OB′中，由勾股定理得OB′＝■=2■米，所以BB′＝OB′－OB＝（2■-3■）米。

点评本题以生活中的梯子为背景，考查了勾股定理的实际应用。

篇5：勾股定理的证明及应用

【重点】：

学习勾股定理的文化背景，欣赏历史上经典的勾股定理证明方法，体会其蕴含的创新思维，初步运用勾股定理分析处理具体问题

【难点】：

通过图示欣赏，还原推测图示所含的证明方法

【勾股文化学习】

勾股定理是欧式平面几何的一个核心结果，是三角学的出发点，与“黄金分割”一起被开普勒称为“几何学两个宝藏”。它在‘RT△的三条边之间建立了固定关系’，使人们对原来几何学的感性认识精确化，其中体现出来的“数形统一”的思想方法，启发了人类对数学的深入思考，促成了解析几何与三角学的建立，使数学的两大门类代数和几何结合起来，许多大科学家都认为勾股定理以及处理数据的数学方法深深地影响了现在许多学科的思考模式。

千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家、画家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单又实用，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。这是任何定理无法比拟的。

在西方国家，一般称勾股定理为毕达哥拉斯（前500）定理，因为人们相信是毕达哥拉斯最早提出并证明了这一定理。并且据说，他在发现这一结论时，欣喜若狂，杀牛百只以供奉神灵。因而这一定理又有了“百牛定理“的称法。在法国和比利时这个定理被称为“驴桥定理”。在中世纪的阿拉伯国家和印度，这一定理还有一个绰号，叫“新娘图”。至于绰号由来，现代人众说纷纭，莫衷一是。

在我国以前也称这一定理为毕达哥拉斯定理。五十年代初，曾展开过关于这一定理命名的讨论。有人主张叫“商高定理”。因这一结论的在我国最早是由西周初的商高提出的。在数学著作《周髀算经》(前1世纪)一书中，记载有商高(前1120)与周公的对话，其中商高提出了“勾三股四弦五”的说法。不过据推断，他还只是了解三边满足3：4：5关系的特例情况，普遍性的结论，由陈子(前716)提出。他说：“„„勾股各自乘，并而开方除之„„”这是普遍勾股定理在我国的最早记载。故有人主张应称为“陈子定理”。后来决定不用人名，而称为“勾股定理”。单就名称之多，勾股定理就可创下一项平面几何之最了。

今天有人戏称，勾股定理为‘宇宙大定理’，因为现在看来，世界上各民族都在差不多接近的时间内独立地发现了勾股定理及其逆定理。目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。据说我国著名数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种“语言”的。

勾股定理在每一个时代都会被当代的精英们给出新的内涵外延，从柏拉图寻求不定方程通解到费马大定理，到今天的分形勾股树(如右上两图)，每每读到这些智慧的创造都会让人神往。

„„

【勾股定理的证明】

观察下列图形，推测勾股定理的证明方法

1、下图是《几何原本》（公元前4世纪前后）中提供的一种证明方法，过A作AH⊥BC于H延长交FK于G．

可证明：

证明思路很多，较简捷的是过F作FP⊥AB于P

易证△FPB≌△CBA进而可知

而

2、下图最早是由我国三国时期数学家赵爽（东汉末至三国东吴人）提出的一种证法．

该图叫弦图，由图示可知

．

3、下图最早是由我国三国时魏国的数学家刘徽（公元三世纪）为注释《九章算术》时提出的一种证法“青朱入出图”，由图示．

边长为a、b的两个正方形，如图示裁割．

M补入处，N补入处，Q补入

处

4、下图最早是由古代印度数学家婆什迦罗提出的一种证法．

图示的裁割线索很清晰，你试试给出解释．

„„

【勾股定理的应用】

1、已知在△ABC中，a，b，c分别是∠A、∠B，∠C的对边，且a=3，b=4，且b

错解：由勾股定理可得

分析：上面的解法受“勾

三、股

四、弦五”的影响，没有认真审题，错在没有注意到题目中的三角形是否为直角三角形。

正解：，又，∴，即4

评述：运用勾股定理解决问题时，必须是在直角三角形的条件下，不可不加分析就用勾股定理来进行计算。

2、已知：三角形两边的长分别是5和12，如果这个三角形是直角三角形，则其第三边长为_____，∴ x=13

错解：设第三边长为x，则由勾股定理可得：

分析：由于此题中己知直角三角形的两边长，但没有明确这两条边是直角边还是斜边，故需要分情况讨论

正解：当x为斜边时，x=13；当x为直角边时，故第三边长为13或。

评述：在运用勾股定理进行计算时，一定明确哪条是直角边，哪条是斜边，以防止运用不当。

3、利用勾股定理求线段长的简单应用

(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，①若a=7，b=24，则c=________；②若a=5，c=13，则b=________；

③若b=15，c=25，则a=________

(2)等腰直角三角形的斜边长为，则此直角三角形的腰长为________________

(3)在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，则斜边AB=________________，斜边AB上的高线长

为________________。(与面积的结合)

(4)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且c+a=9，c-a=4，则b=________。

(5)如果一个直角三角形有一条直角边长为11，另两条边长为自然数，则这个直角三角形的周长是___

解析：（1）①

（2）2 ②

③

（3）AB=10，（4）

（5）设斜边长为c，另一直角边为a，则

∵ c、a为自然数

∴

∴ 周长为132

4、勾股定理在几何中的应用。

己知：△ABC中AB=AC=20，BC=32，D是BC上一点，且AD⊥AC，求BD的长。

解：过A作AE⊥BC于E。

∵ AB=AC，∴

在Rt△ABE中，AB=20，BE=16，∴

∴ AE=12

故在Rt△ADE中，设DE=x，则

∵ AD⊥AC于A，∴

解得，即，∴ BD=BE-DE=16-9=7

评述：勾股定理是解决直线形中线段计算问题的常用方法，题目中含有直角三角形别忘记使用，题目中没有给出直角三角形可以考虑作垂线构建直角三角形。

5、利用勾股定理解决实际问题

(1)平面上有A、B两点处有甲、乙两只蚂蚁，它们都发现C处有食物，已知点C在A的东南方向，在B的西南方向。甲、乙两只蚂蚁同时从A、B两地出发爬向C处，速度都是30cm／min。结果甲蚂蚁用了2 min，乙蚂蚁2分40秒到达C处分享食物，试问两只蚂蚁原来所处地点相距多远?

解析：首先结合题设画出图形，C在A东南，则A在C西北；C在B西南，则B在C东北

∴ 可知∠ACB=90°，依题设AC=60cm，BC=80cm

∴ AB=100cm

(2)如图A、B为两个村庄，AB、BC、CD为公路，BD为田地，AD为河宽，且CD与AD互相垂直。现要从点E处开设通往村庄A、村庄B的一条电缆，现在共有两种铺设方案：方案一：E→D→A→B；方案二：E→C→B→A。经测量得千米，BC=10千米，∠BDC=45°，∠ABD=15°。已知：地下电缆的修建费为2万元／千米，水下电缆的修建费为4万元／千米。

求：1)河宽AD(结果保留根号)；

2)公路CD的长：

3)哪种方案铺设电缆的费用低?请说明理由。

解析：过B作BF⊥AD交DA延长线于F

在Rt△ABF中可知∠BAF=60°，AB

∴ BF=6，在Rt△BFD中，知∠BDF=45°

∴ DF=BF=6

∴

过B作BG⊥CD于G，则BG=6，BC=10，有CG=8

∴ DC=CG+DG=14

设CE=x，则方案一、二费用分别为

由

∴ 当

当0＜CE＜

当CE=

6、画出长为的线段，可作图可解得，＜CE＜14时，方案一较省

时，方案二较省时，方案一、二均可．

解析：考虑到

线段AB为所求

考虑到，可作图

篇6：勾股定理的应用方法小结

绵竹市紫岩雨润中学

岳关芬

谈到勾股定理，学数学的学生以及经常使用数学知识的科研技术人员都非常的熟悉。它的具体内容就是：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。这个重要的结论为我们解决直角三角形中线段长度的计算带来很大的方便。

但是作为一名从事数学教学工作的教师，在教学的过程当中，仍然发现有许多学生在涉及到这个方面的问题是，还是不明白该如何入手解决问题。所以在此把自己总结的一些经验与大家分享，共同学习。

在直角三角形中：

（一）：直接变式法

已知两条边的具体的值，求第三边。例1：已知：在⊿ABC中:∠C=90°

(1)AC=4, BC=3 , 求AB的长。

(2)AB=13，AC=12，求BC的长

小结：像这个题，他就是勾股定理的一个直接的应用。

（二）设未知数法

已知一条边具体的值，同时已知另外两边的关系，求边长。例2：已知：在⊿ABC中:∠C=90°，（1）AC + BC= 7, AB=5 ,求AC ,BC的长。

（2）AB –AC =8, BC=12，求AB ,AC 的长。

小结：像这两个小题，它需要根据勾股定理结合条件

把它转化成带有一个未知数的方程来解决问题。以（1）为例，设AC = x,则

BC=7-x,那么x+(7-x)= 25,就可以找出线段的值。

变式训练：

已知：小红用一张举行纸片惊醒折纸。已知该纸片的宽AB为8厘米，长BC为10厘米，当小红折叠时，顶点D落在边BC上的点F处（折痕为）。想一想，此时CE有多长?

(三)面积法

已知两直角边的长，求斜边上的高。2例3：已知：在⊿ABC中:∠C=90°，AC =3, BC=4，求AB边上的高CD。

小结：这个题目先利用勾股定理求出斜边，再结合三角形的面积求可以求出斜边上的高。

变式训练

已知；在在⊿ABC中:∠C=90°，AC=7，BC=24，P是⊿ABC内的一点，并且P到三角形三边的距离相等，求这个距离。

(四)构建等式法

例4：已知：铁路上A,B两点相距25㎞，C, D为两村庄，已知：AD⊥AB于A,BC⊥AB于B,已知：AD=15㎞，BC=10㎞。现在要在铁路AB上修建一个土特品收购站E，使得C,D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多远处？

小结：这个题目单独利用直角三角形ADE没有办法解决问题，恰好⊿ADE和⊿BCE都是2222直角三角形，并且相等的边DE和CE,于是设AE=x,BE=25-x,得15+x=10+(25-x).即可找出线段的长。变式训练：

篇7：14.2勾股定理的应用教案

执笔人：

审核：八年级数学组课型：新授时间：

1、知识与方法目标：通过对一些典型题目的思考、练习，能正确、熟练的进行勾股定理有关计算，深入对勾股定理的理解。

2、过程与方法目标：通过对一些题目的探讨，以达到掌握知识的目的。

3、情感与态度目标：感受数学在生活中的应用，感受数学定理的美。

课前复习

1、勾股定理的内容是什么？

问：是这样的。在RtΔABC中，∠C＝90°，有：AC2+BC2＝AB2，勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系。

今天我们来看看这个定理的应用。新课过程分析：

大家分组合作探究：

解：在RtΔABC中，由题意有：

AC＝

＝

≈2.236

∵AC大于木板的宽

∴薄木板能从门框通过。学生进行练习：

1、在Rt△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，∠B=90゜.①已知a=5，b=12，求c； ②已知a=20，c=29，求b（请大家画出图来，注意不要简单机械的套a+b＝c，要根据本质来看问题）

2、如果一个直角三角形的两条边长分别是6厘米和8厘米，那么这个三角形的周长是多少

22厘米？

解：①当6cm和8cm分别为两直角边时；

斜边＝

＝10

∴周长为：6+8+10＝24cm ②当6cm为一直角边，8cm是斜边时，另一直角边＝

周长为：6+8+2

＝2＝14+2

解：由题意有：∠O＝90°，在RtΔABO中

∴AO＝

又∵下滑了0.4米

∴OC＝2.0米在RtΔODC中 ∴OD＝∴外移BD＝0.8米答：梯足将外移0.8米。例3 再来看一道古代名题：

这是一道成书于公元前一世纪，距今约两千多年前的，《九章算术》中记录的一道古代趣题：

=1.5（米）

＝2.4（米）

“现在有一个贮满水的正方形池子，池子的中央长着一株芦苇，水池的边长为10尺，芦苇露出水面1尺。若将芦苇拉到岸边，刚好能达到水池岸与水面的交接线的中点上。请求出水深与芦苇的长各有多少尺？

解：由题意有：DE＝5尺，DF＝FE+1。设EF＝x尺，则DF＝（x+1）尺由勾股定理有： x2+52＝（x+1）2 解之得：x＝12 答：水深12尺，芦苇长13尺。

例4 如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高16米，另一棵树高11米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞多少米？

解：由题意有：BC＝12米，AC＝16－11＝5米。在RtΔABC中 AB＝＝13 答：小鸟至少要飞13米。

三、作业：完成书P77页1，P78页2、3

篇8：浅谈勾股定理的教学与应用

一、丰富课堂内容, 激发学生学习求知欲望

在教学中, 教师可通过导入课外内容、采用设问等方式作为课堂开课的切入点.如, “在地球之外的浩瀚的宇宙中, 有没有外星人?”“如果有的话, 我们如何与他们进行联系?”“我国著名的数学家华罗庚曾建议:让宇宙飞船带着几个数学图形飞到宇宙空间, 其中一个就是边长为3∶4∶5的直角三角形.你知道他为什么会提出这样的建议吗?”等等.通过这样一系列的问题, 牢牢抓住了学生的注意力——“古老的勾股定理, 竟然成为了我们与外星人之间的联络密码!”学生在感叹人类古老文明的同时体会到勾股定理的重要性.

教师再通过一系列生活中随处可见的直角三角形实例, 引起学生的共鸣.如, 让学生欣赏传说故事:相传2500年前, 毕达格拉斯在朋友家做客时, 发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系.通过故事使学生明白:科学家的伟大成就多数都是在看似平淡无奇的现象中发现和研究出来的;生活中处处有数学, 我们应该学会观察、思考, 将学习与生活紧密结合起来.

二、剖析定理结构, 让学生正确理解和应用定理

在教学中, 教师要把勾股定理的理解和应用放在比较突出的位置, 学生通过对一些典型题目的思考、解答, 正确、熟练地进行勾股定理有关计算, 加深对勾股定理的理解应用.

【例1】等边三角形的高是h, 求它的面积.

说明:这需要利用勾股定理的简单变形求解.

解析:△ABC为等边三角形, 作AD⊥BC, 垂足为D, 则AD=h.

因为∠B=60°, AD⊥BC, 所以∠BAD=30°.

设BD=x, 则AB=2x, 且有x2+h2= (2x) 2, 解之得 $x = \frac{\sqrt{3}}{3} h .$

因为 $B C = 2 B D = \frac{2 \sqrt{3}}{3} h$ ,

所以 $S_{△ A B C} = \frac{1}{2} B C \cdot A D = \frac{\sqrt{3}}{3} h \cdot h = \frac{\sqrt{3}}{3} h^{2}$ ,