走进勾股定理

八年级数学课本 (下) , 有我国古代研究勾股定理的弦图, 它也是第24届国际数学家大会的会标, 从它由我国古书上走向现代数学教材, 由国内走向世界数学界权威盛会舞台, 可见勾股定理在数学领域的重要作用。

历史上我国不少数学家都对勾股定理进行了研究, 从《周髀标经》到《九章算术》都有不少记载。

教材上是根据面积相等来验证勾股定理的正确性, 同学们通过把边长为3:4:5 (简单性) 的三角形纸板在画有方格的纸板上摆放, 从而得到多种图形来验证, 这引起同学们的兴趣, 再根据一种摆法书写证明过程, 征集勾股定理的多种证法活动就这样开始了。

通过征集勾股定理多种证法, 同学们产生了强烈的好奇心和探究欲, 并获得很强的成就感。

问题延伸:

1、因为勾股定理的表现形式为:

c2=a2+b2。从几何定义方面思考很容易, 与正方形面积建立联系, 以直角三角形斜边为边向外作的正方形的面积等于两直角边为边向外做的正方形的面积之和。如果以直角三角形的三边向外作正三角形, 我们也会很容易得到同样的结论, 再推广到正n边形又会如何呢?回答是肯定的, 因为任意两个正n边形均相似, 且有相似多边形面积的比等于相似比的平方。由相似, 因此还可进一步推广到只要直角三角形的三边为对应边的三个n边形相似, 到斜边为边的n边形的面积等于两个直角边为边的n边形面积之和, 和直角三角形三边为直径作圆 (或半圆) 时, 斜边为直径所做的圆 (或半圆) 的面积等于两直角边为直径的圆 (或半圆) 的面积之和, 为减少记忆负担, 把这两点合起来就有:凡是以直角三角形三边为对应边做相似的平面图形, 都有以斜边为相应边的面积等于以两直角边为相应边的面积之和, 这样回过头来看书上练习题那比起开始作练习就别有一番风味了。

2、证明是用等式表示出来的, 为避免证明时的繁琐, 有同学力求找到直角三角形中的尽量多的等式, 如下图:

3、转化思想是数学的基本思想方法, 对于一个任意三角形,

只要从一个顶点向对边做垂线就会得到直角三角形, 再利用勾股定理写出一边的平方、等式的另一边换成其余两边的平方就得出:

BC2=AB2+AC2±2AB·AD (BC边对钝角为加, 锐角为减) 。

任何三角形, 这个等式永远成立, 并且这个等式没有记忆负担 (与完全平方公式相仿) 它在解三角形中有广泛运用。

4、像32+42=52并且3、4、5同乘以一个正整数等式仍然成立。

我们称3、4、5为勾股数的一组勾股数组, 像这样的勾股数组还有, 如:52+122=132, 72+242=252, 82+152=172, 202+212=292, 只要能满足不定方程x2+y2=z2整数解都是。

如何确定x、y、z呢?很容易想起与以上等式形式一样, 练习中出现过的: (a-b) 2+4ab= (a+b) 2, 4ab如写成 (2√ab) 2就不能保证是一个整数的平方, 如写为 (2ab) 2就有 (a2-b2) 2+ (2ab) 2= (a2+b2) 2。

只要x=a2-b2、y=2ab、z=a2+b2, a、b都是正整数且a>b, a、b为一奇一偶时就能找到一组勾股数组 (因a、b均为偶数时是上面某一组勾股数乘以一个偶数) 。

5、通过征集活动, 数学中一种简单适用的面积证题法, 加深了理解, 除证勾股定理外, 还可以证明如:

中位线定理、内角平分线定理, 还可证线段的相等和不等, 角的相等和不等, 线段的平行、线段成比例以及线段的和、差、积、商等。

活动反思:

1、数学题的多种证法, 并不同于做练习, 练习有现成的思路, 通过操练可以达到对定理、定律的理解和应用, 而多种证法需要靠自己去探索, 因此学生成功的乐趣远远大于做习题。

2、一题多证, 把学生由做练习完成任务式的他主学习方式转变为由自己思考和探索的自主学习方式, 培养了他们的创造性、开阔了学生思维和视野。

3、学生只要对所学的东西感兴趣, 就会在学习过程中积极的参与, 大胆地去猜想, 这样就能养成动脑, 动口、动手的学习习惯, 使兴趣也得以延伸, 知识转化为能力, 教师也在共同的探索中得到了学习和发展。