《原本》一书中勾股定理的证明

《原本》一书中勾股定理的证明（共3篇）

篇1：《原本》一书中勾股定理的证明

《原本》一书中勾股定理的证明

我们知道，勾股定理的证明方法有五百余种。现存的最古老的证明，载于欧几里得的《原本》一书中，它随《原本》在世界广泛流传而流传，成为二千年来《几何学》教科书中通用证法.如下图，在Rt△ABC各边上向外作正方形ABED，BCGK，CAFH.连结CD，FB.因为AF=AC，AB=AD，∠FAB=∠CAD=90°+∠CAB，所以△FAB≌△CAD，作CL∥AD.因为S△FAB=1

2FA·FH.(FH为△FAB的AF边上的高).而S正方形CAFH=FA·FH.所以S正方

形CAFH= 2S△FAB.又因为S△CAD=

形ADLM12AD·DL(DL为AD边上的高)，而S长方形ADLM=AD·DL，所以S长方= 2S△CAD；

综上所述，可得S正方形CAFH=S长方形ADLM.同理可证S正方形BCGK=S长方形BELM，所以S正方形ABED=S长方形ADLM+S长方形BELM=S正方形CAFH+S正方形BCGK，即AB2=AC2+BC2.其实，欧几里得《原本》中的证明并不简单，简明的证明要数公元三世纪我国数学家赵爽给出的勾股圆方图.即这节课我们介绍的验证勾股定理的第二种拼图.

篇2：《原本》一书中勾股定理的证明

一、勾股定理的发现与证明

勾股定理起源于实际测量和计算是没有疑问的。在中国, 《周髀算经》中记载了三国时期赵爽为证明勾股定理所作的“勾股圆方图”即“赵爽弦图” (如图1) 。这是极具东方特色的勾股定理无字证明法, 证明的思路直观体现在由四个直角三角形所构造的正方形图形中。东汉末年数学家刘徽注《九章算术》中根据“出入相补原理”即割补术给出了“青朱出入图” (如图2) , 运用数形关系证明了勾股定理, 但没有给出具体的证明过程。

在西方, 勾股定理被称为毕达哥拉斯定理。直角三角形中的三边关系, 早在古巴比伦时期人们就已经知道并用于计算, 他们还知道许多勾股数组。但在巴比伦人的数学中肯定还没有严格证明的思想, 他们是在解决实际问题中从直观认识得出结果并用于一般情况。而在古希腊, 勾股定理虽然以毕达哥拉斯命名, 但许多研究表明这个学派可能并未给予证明, 最合理的解释是:他们根据一些特例来肯定所得的结果[3]。有史学家把《原本》中关于此定理的证明归功于欧几里得, 证明过程突出体现了《原本》证明数学问题时所采用的主要思路———数形结合、转化与等积变换的思想。

二、《原本》中重要的数学思想

《原本》是最早一本知识丰富且以公理化体系组织内容的数学书, 全书十三篇集结了希腊古典时期数学工作的精华, 涉及算术、代数、平面与立体几何。现行中小学数学教材中算术、代数和几何的内容大都出自《原本》。因此, 了解《原本》在证明定理和命题时所采取的主要数学思想, 不仅能对勾股定理有更深层次的认识, 还有助于我们对中学数学内容的整体把握和进行有效的教学设计。

《原本》最突出的特点在于公理化体系的演绎推理。在处理数学证明时主要涉及到归纳猜想、分类讨论、数形结合、归谬法、穷竭法、等积 (等面积或等体积) 变换等数学思想方法。比如, 在第五篇的比例论中主要体现了分类的思想;在处理关于曲线和曲面所围图形的面积和体积时, 主要应用归谬法和穷竭法;在算术 (数论) 、代数和几何的内容中, 体现最为突出的是转化、等积变换和数形结合的思想。对于中学数学教学内容, 不管是在几何还是在代数方面, 这些思想的适用性都十分广泛。

1. 转化、等积变换和数形结合思想在几何上的体现

在《原本》中许多几何定理和命题都利用面积或体积的关系作出证明[3], 这种证明的思路也充分体现了数与形相互转化的思想。中学的几何主要是欧几里得几何, 所以教材中许多重要的几何结论 (等腰三角形的性质、角平分线定理、相交弦定理和正弦定理等) 和有关定值问题、线段数量关系和位置关系等习题[4], 都是可以通过转化、等面积变换和数形结合的思想给出简洁直观的证明。而在立体几何中, 常常利用等体积变换的思想求解线段长度问题。下面就以《原本》对勾股定理的证明为例说明这一特点。

如图3, 设∠ABC=90°AB=c, AC=b, BC=a。要证明a2+b2=c2。由《原本》思想就很自然地想到作边长分别为a, b, c的三个正方形。连接CD, BF, 过点C作CL⊥DE, 交AB于O, 交DE于L。容易得到△CAD≌△FAB。由图形中等底同高图形的面积关系得:所以S矩形ADLO=S正方形FACG, 同理可得S矩形OLEB=S正方形CBKH, 即有c2=a2+b2。

欧几里得证明的思路为:将边长问题转化为面积问题;把上方的两个正方形, 通过等底同高的三角形面积关系, 转换成下方两个等面积的长方形。

2. 转化、等积变换和数形结合思想在代数上的体现

毕达哥拉斯学派的信条:宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比。所以在毕达哥拉斯时期, 算术是数学的基础。但这个学派的成员希帕苏斯发现了与1不可公度后产生了数学史上的第一次数学危机。希腊人不愿意承认无理数是数, 所以不能从数量上处理所有的长度、面积和体积, 这样他们就用线段来代替数。两数的乘积表示相应边长的矩形的面积, 三数的乘积表示体积, 三个以上的数相乘就没有意义了, 因为没有几何的实体与之对应。所以在希腊的古典时期, 代数运算的逻辑基础是由几何证明来保证的, 几何成了数学可靠的基础。自然地, 许多代数问题的解决也就转化为面积或体积进行处理。

比如, 完全平方公式 (a+b) 2=a2+2ab+b2, 在《原本》中就是构造相应矩形和正方形的面积 (如图4) 给予几何证明的, 正如现在中学教材里给出的直观几何解释一样。根据这个思路就有了解二次方程的方法。解方程x2+10x=39, 《原本》给出如下的几何方法。如图5, 作边长为x的正方形ABCD, 延长DA到H, 延长DC到F, 使AH=CF=5。作以DH及DF为边的正方形。于是Ⅰ, Ⅱ, Ⅲ三块面积各为x2, 5x, 5x, 第Ⅳ块的面积为25。所以整个正方形的面积是39+25, 对应的边长为x+5, 于是x=3。

上述处理代数问题的思想反映了数形结合的一个侧面———从数到形, 属于代数直观。自从引入笛卡尔坐标系后, 我们很容易将几何问题转化为代数问题处理, 实现从形到数的过渡。而面对代数问题, 大家常会片面地认为只是形式符号法则的逻辑运算, 相对枯燥无味。由《原本》的思想可见, 结合几何的直观背景同样能使代数问题变得形象有趣。

三、勾股定理的教学价值及其处理

1. 勾股定理教学重点的定位偏差

探究性教学方式是新课程理念下所强调的教与学的主要形式。因此, 大部分的教学设计都把重点放在引导学生探究勾股定理的发现与证明的过程上。虽然定理的内容和证明过程简单直观, 但回望历史我们能体会到, 要在课堂教学中让学生真正地去“再发现”定理及其证明是极度困难的事[2]。倘若让学生像教材那样通过测量、面积拼补的数学活动去发现定理, 这属于知道定理后的验证, 并不是真正意义的探究和数学再发现。但已有研究[2,5]发现, 这是目前探究勾股定理常用的两种教学方法。

2. 勾股定理的价值及其教学思考

从勾股定理的发现和证明的历史发展看, 定理有其实际应用价值且蕴含了丰富的数学思想, 如特殊到一般、归纳猜想、转化和数形结合的思想。古代中国和古希腊人对定理的证明也彰显了东西方不同的数学文化和精神。从《原本》中我们可以获得启示, 承载在勾股定理证明之上的数学思想是《原本》的精髓部分, 核心体现了处理中学几何和代数问题的常用方式。所以实际上勾股定理在中学数学中的价值还在于它为几何与代数架设了一座桥梁, 起到了传承的作用。

基于对数学史和《原本》思想的认知, 勾股定理的教学价值在于:一是它能解决实际问题;二是定理和定理证明蕴含着丰富的数学思想。这些是学生为什么要学、教师为什么要教的原因。因此, 勾股定理的教学重点在于:让学生体会应用价值的基础上突出对数学思想的把握和数学文化的对比。而根据弗赖登塔尔的数学教学观点[6], 数学的学习应是一个数学知识再发现、再创造的活动过程。教师应带领学生在做中学、重走发现之路, 通过相应的情景体验所学知识的重要性, 并从中获得具体的知识和一般的思想方法。结合弗赖登塔尔的教学理念和勾股定理的价值定位, 笔者对勾股定理教学的几个重要环节提出建议。

环节1:设置适当的现实的生活情景, 激发学生求知欲

这个环节主要是让学生体会到学习勾股定理的现实需要及其应用价值。已有不少好的情景设计可供大家参考[5,7], 这里不再赘述。

环节2:简单介绍有关勾股定理的历史, 体会知识的形成过程

从巴比伦人解决实际问题中发现直角三角形三边关系, 到毕达哥拉斯学派用特例肯定结果, 再到欧几里得给出严格证明的过程, 体现了观察、归纳、猜想、证明的合情推理数学思想。同时也印证了数学的知识大都来源于实际生活的需要, 这是数学发展的动力之一。通过了解历史, 让学生对以上两个方面有所理解。

环节3:展示定理的证明过程, 突出其丰富的数学思想 (替代让学生探索定理的证明过程)

展示定理的证明, 习得证明的方法。更重要的是让学生体验并获得承载在证明之上的数学思想, 这对学生后续的学习乃至终身都是有益的。

引领学生进行欧几里得的证明, 揭示蕴含的数学思想。其一, 将直角三角形三边关系转变为面积关系来考虑问题, 体现了由线段长度向面积转化的思想。其二, 证明过程中利用面积相等的理论进行图形间的相互转换, 体现了等积变换的思想。其三, 这个定理还告诉我们怎样作一个正方形使其面积为所给两个正方形面积之和, 即求x, 使得x2=a2+b2。因此, 证明过程更深层次的意义在于给我们提供了一个解决代数问题的思路:许多代数表达式中两数乘积、三数乘积可转化为面积、体积来处理。这些体现了重要的数形结合思想, 它贯穿了整个中学数学的教与学。

环节4:东西方证明方法对比, 领略数学思想的统一性和数学文化的差异性

根据时间的充裕程度, 选择“赵爽弦图”、“青朱出入图”中一个或两个向学生展示说明证明的思路和特点。中国古代和欧几里得证法都充分运用了面积转化理论, 却又各具特色。欧几里得证法推理严谨, 重在演绎;赵爽和刘徽的证法通俗易懂, 重在应用。两者的证明也反映了古代中国和古希腊两种不同风格的数学文化。古希腊人追求用公理进行逻辑推演, 注重理性思维的培养;而中国古代数学则崇尚实用和算法。等式a2+b2=c2, 简洁、对称, 证明的方法多样、直观, 图形构造简单又不失美感。因此, 勾股定理的内容和证明所体现的美学价值, 也是吸引众多的数学爱好者寻找各种证明的原因之一。

参考文献

[1]王芳, 张维.多元文化下的勾股定理[J].数学教育学报, 2004 (4) .

[2]杨小丽.勾股定理的PCK内涵解析[J].数学通报, 2011 (3) .

[3]莫里斯克莱因.古今数学思想 (第一册) [M].上海:上海科学技术出版社, 2014.

[4]王海青.新课程下不可遗忘的几何教学宝剑---面积法[J].数学教学研究, 2008 (2) .

[5]李庆辉《.勾股定理》教学设计比较研究[J].中国信息技术教育, 2009 (17) .

[6]弗莱登塔尔.作为教育任务的数学[M].上海:上海教育出版社, 1992.

篇3：《原本》一书中勾股定理的证明

关键词勾股定理 数学思想 教学价值 教学设计

勾股定理是一个基本的几何定理，在中学数学和欧几里得《原本》中都占据非常重要的地位。通过勾股定理，我们可以推导出许多其他的定理和命题，这大大地方便了几何问题的解决，也使数学的发展迈出了一大步。现发现勾股定理约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。在形式和应用上看起来如此简单的定理，为什么会吸引那么多人去寻找各种证明方法？勾股定理的主要价值在哪？它应带给我们怎样的思考和启示？已有文献[1，2]从不同的视角探讨勾股定理的教育价值。笔者则试图在追寻勾股定理发现和证明的历史中，重温欧几里得《原本》处理数学证明的思想，从教学的角度重新认识勾股定理的作用和重要价值。

一、勾股定理的发现与证明

勾股定理起源于实际测量和计算是没有疑问的。在中国，《周髀算经》中记载了三国时期赵爽为证明勾股定理所作的“勾股圆方图”即“赵爽弦图”（如图1）。这是极具东方特色的勾股定理无字证明法，证明的思路直观体现在由四个直角三角形所构造的正方形图形中。东汉末年数学家刘徽注《九章算术》中根据“出入相补原理”即割补术给出了“青朱出入图”（如图2），运用数形关系证明了勾股定理，但没有给出具体的证明过程。

在西方，勾股定理被称为毕达哥拉斯定理。直角三角形中的三边关系，早在古巴比伦时期人们就已经知道并用于计算，他们还知道许多勾股数组。但在巴比伦人的数學中肯定还没有严格证明的思想，他们是在解决实际问题中从直观认识得出结果并用于一般情况。而在古希腊，勾股定理虽然以毕达哥拉斯命名，但许多研究表明这个学派可能并未给予证明，最合理的解释是：他们根据一些特例来肯定所得的结果[3]。有史学家把《原本》中关于此定理的证明归功于欧几里得，证明过程突出体现了《原本》证明数学问题时所采用的主要思路——数形结合、转化与等积变换的思想。

二、《原本》中重要的数学思想

《原本》是最早一本知识丰富且以公理化体系组织内容的数学书，全书十三篇集结了希腊古典时期数学工作的精华，涉及算术、代数、平面与立体几何。现行中小学数学教材中算术、代数和几何的内容大都出自《原本》。因此，了解《原本》在证明定理和命题时所采取的主要数学思想，不仅能对勾股定理有更深层次的认识，还有助于我们对中学数学内容的整体把握和进行有效的教学设计。

《原本》最突出的特点在于公理化体系的演绎推理。在处理数学证明时主要涉及到归纳猜想、分类讨论、数形结合、归谬法、穷竭法、等积（等面积或等体积）变换等数学思想方法。比如，在第五篇的比例论中主要体现了分类的思想；在处理关于曲线和曲面所围图形的面积和体积时，主要应用归谬法和穷竭法；在算术（数论）、代数和几何的内容中，体现最为突出的是转化、等积变换和数形结合的思想。对于中学数学教学内容，不管是在几何还是在代数方面，这些思想的适用性都十分广泛。

三、勾股定理的教学价值及其处理

1.勾股定理教学重点的定位偏差

探究性教学方式是新课程理念下所强调的教与学的主要形式。因此，大部分的教学设计都把重点放在引导学生探究勾股定理的发现与证明的过程上。虽然定理的内容和证明过程简单直观，但回望历史我们能体会到，要在课堂教学中让学生真正地去“再发现”定理及其证明是极度困难的事[2]。倘若让学生像教材那样通过测量、面积拼补的数学活动去发现定理，这属于知道定理后的验证，并不是真正意义的探究和数学再发现。但已有研究[2，5]发现，这是目前探究勾股定理常用的两种教学方法。

2.勾股定理的价值及其教学思考

从勾股定理的发现和证明的历史发展看，定理有其实际应用价值且蕴含了丰富的数学思想，如特殊到一般、归纳猜想、转化和数形结合的思想。古代中国和古希腊人对定理的证明也彰显了东西方不同的数学文化和精神。从《原本》中我们可以获得启示，承载在勾股定理证明之上的数学思想是《原本》的精髓部分，核心体现了处理中学几何和代数问题的常用方式。所以实际上勾股定理在中学数学中的价值还在于它为几何与代数架设了一座桥梁，起到了传承的作用。

基于对数学史和《原本》思想的认知，勾股定理的教学价值在于：一是它能解决实际问题；二是定理和定理证明蕴含着丰富的数学思想。这些是学生为什么要学、教师为什么要教的原因。因此，勾股定理的教学重点在于：让学生体会应用价值的基础上突出对数学思想的把握和数学文化的对比。而根据弗赖登塔尔的数学教学观点[6]，数学的学习应是一个数学知识再发现、再创造的活动过程。教师应带领学生在做中学、重走发现之路，通过相应的情景体验所学知识的重要性，并从中获得具体的知识和一般的思想方法。结合弗赖登塔尔的教学理念和勾股定理的价值定位，笔者对勾股定理教学的几个重要环节提出建议。

环节1：设置适当的现实的生活情景，激发学生求知欲

这个环节主要是让学生体会到学习勾股定理的现实需要及其应用价值。已有不少好的情景设计可供大家参考[5][7]，这里不再赘述。

环节2：简单介绍有关勾股定理的历史，体会知识的形成过程

从巴比伦人解决实际问题中发现直角三角形三边关系，到毕达哥拉斯学派用特例肯定结果，再到欧几里得给出严格证明的过程，体现了观察、归纳、猜想、证明的合情推理数学思想。同时也印证了数学的知识大都来源于实际生活的需要，这是数学发展的动力之一。通过了解历史，让学生对以上两个方面有所理解。

环节3：展示定理的证明过程，突出其丰富的数学思想（替代让学生探索定理的证明过程）

展示定理的证明，习得证明的方法。更重要的是让学生体验并获得承载在证明之上的数学思想，这对学生后续的学习乃至终身都是有益的。

引领学生进行欧几里得的证明，揭示蕴含的数学思想。其一，将直角三角形三边关系转变为面积关系来考虑问题，体现了由线段长度向面积转化的思想。其二，证明过程中利用面积相等的理论进行图形间的相互转换，体现了等积变换的思想。其三，这个定理还告诉我们怎样作一个正方形使其面积为所给两个正方形面积之和，即求x，使得x2=a2+b2。因此，证明过程更深层次的意义在于给我们提供了一个解决代数问题的思路：许多代数表达式中两数乘积、三数乘积可转化为面积、体积来处理。这些体现了重要的数形结合思想，它贯穿了整个中学数学的教与学。

环节4：东西方证明方法对比，领略数学思想的统一性和数学文化的差异性

根据时间的充裕程度，选择“赵爽弦图”、“青朱出入图”中一个或两个向学生展示说明证明的思路和特点。中国古代和欧几里得证法都充分运用了面积转化理论，却又各具特色。欧几里得证法推理严谨，重在演绎；赵爽和刘徽的证法通俗易懂，重在应用。两者的证明也反映了古代中国和古希腊两种不同风格的数学文化。古希腊人追求用公理进行逻辑推演，注重理性思维的培养；而中国古代数学则崇尚实用和算法。等式a2+b2=c2，简洁、对称，证明的方法多样、直观，图形构造简单又不失美感。因此，勾股定理的内容和证明所体现的美学价值，也是吸引众多的数学爱好者寻找各种证明的原因之一。

参考文献

[1] 王芳，张维.多元文化下的勾股定理[J].数学教育学报，2004（4）.

[2] 杨小丽.勾股定理的PCK内涵解析[J].数学通报，2011（3）.

[3] 莫里斯克莱因.古今数学思想（第一册）[M].上海：上海科学技术出版社，2014.

[4] 王海青.新课程下不可遗忘的几何教学宝剑——面积法[J].数学教学研究，2008（2）.

[5] 李庆辉.《勾股定理》教学设计比较研究[J].中国信息技术教育，2009（17）.

[6] 弗莱登塔尔.作为教育任务的数学[M].上海：上海教育出版社，1992.

[7] 张蜀青，曹广福.以问题驱动的原理课教学——以勾股定理教学为例[J].中學数学月刊，2014（8）.