一个最值定理及其应用

定理:

若ai、bi、αi、βi、yi∈R+(i=1,2,…,n)x1、x2、…、xn为正变量,且

则

(1)当αi>βi(i=1,2,…,n)时,有最小值为,当且仅当xi=yi(i=1,2,…,n)时y取最小值;

(2)当αi<βi(i=1,2,…,n)时,有最大值为,当且仅当xi=yi(i=1,2,…,n)时y取最大值。

证明:

(1)αi>βi当(i=1,2,…,n)时,根据加权平均不等式有

由上面推导易知,上式“≥”中等号当且仅当xi=yi(i=1,2,…,n)时成立。∴y有最小值为,当且仅当xi=yi(i=1,2,…,n)时y取最小值。

(2)当αi<βi(i=1,2,…,n)时,根据加权平均不等式有

易知:上式“≤”中等号当且仅当xi=yi(i=1,2,…,n)时成立。∴y有最大值为,当且仅当xi=yi(i=1,2,…,n)时y取最大值。

推论:若ai、bi、yi∈R+(i=1,2,…,n),α、β∈R+,x1、x2、…、xn为正变量,且

则

(1)当α>β时,有最小值为cα,当且仅当xi=yi(i=1,2,…,n)时y取最小值;

(2)当α<β时,有最大值为cα,当且仅当xi=yi(i=1,2,…,n)时y取最大值。

证明:由定理易知,当α>β时,y有最小值为,当且仅当xi=yi(i=1,2,…,n)时y取最小值;当α<β时,y有最大值为,当且仅当xi=yi(i=1,2…,n)时y取最大值。

由可得:

∴(1)当α>β时,y有最小值为cd,当且仅当xi=yi(i=1,2,…,n)时y取最小值;

(1)当α<β时,y有最小大值为,当且仅当xi=yi(i=1,2,…,n)时y取最大值。

下面举例说明定理及其推论的应用。

例1.已知x1、x2∈R+,且,求的最小值。

解:

∴y最小=32+42=73 (应用定理)

例2.已知x1、x2、x3∈R+,且求的最大值及取最大值时x1、x2、x3的值。

解:

∴y最大=2·2+3·2=11,且当y取最大值时x1=2,x2=2,x3=1(应用定理)

例3.已知x1、x2、x3∈R+,且,求函数的最小值。

解:

∴y最小=3·114=342 (应用推论)

例4.已知x1、x2、x3∈R+,且,求函数的最大值。

解:

∴说明:在应用推论时,所需要的一组正数y1、y2、…yn可通过解方程组

(这里为定值)

来求得。

摘要：在教学中，有的定理需要我们认真的研究，就一个最值定理进行分析掌握其应用

关键词：定理,应用,求证