巧用构造对偶法妙解高考压轴题

巧用构造对偶法解决不等式问题是一种解题技巧, 它主要是根据问题所涉及的数学式子A的特点, 给它配上一个合适的式子B, 使A※B (“※”表示某种数学运算, 如加法运算、乘法运算等) 成为对这个问题来说是容易处理的式子, 以便从中找到解题的突破口, 使问题间接获解。下面, 我们就运用该方法, 来简单地解决一道高考压轴题, 并由此得到一个更一般的结论。

1998年普通高等学校招生全国统一考试数学试题压轴题, 文、理科第二小题, 最后可分别归结为证明以下不等式:

对于这两个不等式的证明, 在命题组给出的答案中, 都统一采用了数学归纳的方法, 这是比较麻烦的, 但如果我们采用对偶法, 该问题相对就要简单得多了, 具体如下:

对于不等式 (1) , 设:

显然A>B, 于是有:

对于不等式 (2) , 设:

则A>B>C, 于是有:

相对于命题组给的答案, 构造对偶法来解该题显然要简单得多了, 而且, 由不等式 (1) , (2) 容易得以下不等式:

要证明此不等式, 可仿照不等式 (1) , (2) 的证明, 设:

则A>B>C>D, 于是有:

摘要：构造法是解决数学问题的有效途径之一。在此, 通过构造对偶法来妙解一道高考题, 并由此得到另一个一般的形式。

关键词：构造对偶法,妙解高考题,一般形式

参考文献

[1] 徐和郁, 徐苏焦.例谈配偶法解题[J].数学通报, 1992, 1 2.

[2] 周步骏, 文家金.1 9 9 8年高考第2 5题的推广[J].数学通报, 2000, 2.

[3] 李玉程, 林秀清.巧用构造数列法, 妙解 (证) 三角题[J].数学通报, 2000, 4.