中考数学压轴题几何

第一篇：中考数学压轴题几何

中考数学复习 几何证明压轴题

中考数学专题

几何证明压轴题

1、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°,且AB=1，BC=2，tan∠ADC=2.

(1)

求证：DC=BC;

(2)

E是梯形内一点，F是梯形外一点，且∠EDC=∠FBC，DE=BF，试判断△ECF的形状，并证明你的结论;

(3)

在(2)的条件下，当BE：CE=1：2，∠BEC=135°时，求sin∠BFE的值.

[解析]

(1)过A作DC的垂线AM交DC于M,

则AM=BC=2.

又tan∠ADC=2,所以.即DC=BC.

(2)等腰三角形.

证明：因为.

所以，△DEC≌△BFC

所以，.

所以，

即△ECF是等腰直角三角形.

(3)设,则，所以.

因为，又，所以.

所以

所以.

2、已知：如图，在□ABCD

中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G.

(1)求证：△ADE≌△CBF;

(2)若四边形

BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形?并证明你的结论.

[解析]

(1)∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠1=∠C，AD=CB，AB=CD

.

∵点E

、F分别是AB、CD的中点，

∴AE=AB

，CF=CD

.

∴AE=CF

∴△ADE≌△CBF

.

(2)当四边形BEDF是菱形时，

四边形

AGBD是矩形.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC

.

∵AG∥BD

，

∴四边形

AGBD

是平行四边形.

∵四边形

BEDF

是菱形，

∴DE=BE

.

∵AE=BE

，

∴AE=BE=DE

.

∴∠1=∠2，∠3=∠4.

∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，

∴2∠2+2∠3=180°.

∴∠2+∠3=90°.

即∠ADB=90°.

∴四边形AGBD是矩形

3、如图13-1，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起.现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O(点O也是BD中点)按顺时针方向旋转.

(1)如图13-2，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，FN的长度，猜想BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想;

(2)若三角尺GEF旋转到如图13-3所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，(1)中的猜想还成立吗?若成立，请证明;若不成立，请说明理由.

图13-2

E

A

B

D

G

F

O

M

N

C

图13-3

A

B

D

G

E

F

O

M

N

C

图13-1

A(

G

)

B(

E

)

C

O

D(

F

)

[解析](1)BM=FN.

证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，

∴

∠ABD

=∠F

=45°，OB

=

OF.

又∵∠BOM=∠FON，

∴

△OBM≌△OFN

.

∴

BM=FN.

(2)

BM=FN仍然成立.

(3)

证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，

∴∠DBA=∠GFE=45°，OB=OF.

∴∠MBO=∠NFO=135°.

又∵∠MOB=∠NOF，

∴

△OBM≌△OFN

.

∴

BM=FN.

4、如图，已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于E，连结AD、BD、OC、OD，且OD=5。

(1)若，求CD的长;

(2)若

∠ADO：∠EDO=4：1，求扇形OAC(阴影部分)的面积(结果保留)。

[解析]

(1)因为AB是⊙O的直径，OD=5

所以∠ADB=90°，AB=10

在Rt△ABD中，

又，所以，所以

因为∠ADB=90°，AB⊥CD

所以

所以

所以

所以

(2)因为AB是⊙O的直径，AB⊥CD

所以

所以∠BAD=∠CDB，∠AOC=∠AOD

因为AO=DO，所以∠BAD=∠ADO

所以∠CDB=∠ADO

设∠ADO=4x，则∠CDB=4x

由∠ADO：∠EDO=4：1，则∠EDO=x

因为∠ADO+∠EDO+∠EDB=90°

所以

所以x=10°

所以∠AOD=180°-(∠OAD+∠ADO)=100°

所以∠AOC=∠AOD=100°

5、如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交直线AB于点G.

(1)求证：点F是BD中点;

(2)求证：CG是⊙O的切线;

(3)若FB=FE=2，求⊙O的半径.

[解析]

(1)证明：∵CH⊥AB，DB⊥AB，∴△AEH∽AFB，△ACE∽△ADF

∴，∵HE=EC，∴BF=FD

(2)方法一：连接CB、OC，

∵AB是直径，∴∠ACB=90°∵F是BD中点，

∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO

∴∠OCF=90°,∴CG是⊙O的切线---------6′

方法二：可证明△OCF≌△OBF(参照方法一标准得分)

(3)解：由FC=FB=FE得：∠FCE=∠FEC

可证得：FA=FG，且AB=BG

由切割线定理得：(2+FG)2=BG×AG=2BG2

在Rt△BGF中，由勾股定理得：BG2=FG2-BF2

由、得：FG2-4FG-12=0

解之得：FG1=6，FG2=-2(舍去)

∴AB=BG=

∴⊙O半径为2

6、如图，已知O为原点，点A的坐标为(4，3)，

⊙A的半径为2.过A作直线平行于轴，点P在直线上运动.

(1)当点P在⊙O上时，请你直接写出它的坐标;

(2)设点P的横坐标为12，试判断直线OP与⊙A的位置关系，并说明理由.

[解析]

解:

1点P的坐标是(2,3)或(6,3)

2作AC⊥OP,C为垂足.

∵∠ACP=∠OBP=,∠1=∠1

∴△ACP∽△OBP

∴

在中,,又AP=12-4=8,

∴

∴AC=≈1.94

∵1.94<2

∴OP与⊙A相交.

7、如图，延长⊙O的半径OA到B，使OA=AB，

C

A

B

D

O

E

DE是圆的一条切线，E是切点，过点B作DE的垂线，

垂足为点C.

求证：∠ACB=∠OAC.

[解析]

证明：连结OE、AE，并过点A作AF⊥DE于点F，

(3分)

∵DE是圆的一条切线，E是切点，

∴OE⊥DC，

又∵BC⊥DE,

∴OE∥AF∥BC.

∴∠1=∠ACB，∠2=∠3.

∵OA=OE，

∴∠4=∠3.

∴∠4=∠2.

又∵点A是OB的中点，

∴点F是EC的中点.

∴AE=AC.

∴∠1=∠2.

∴∠4=∠2=∠1.

即∠ACB=∠OAC.

8、如图1，一架长4米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上，梯子与地面的倾斜角α为.

1求AO与BO的长;

2若梯子顶端A沿NO下滑，同时底端B沿OM向右滑行.

①如图2，设A点下滑到C点，B点向右滑行到D点，并且AC:BD=2:3，试计算梯子顶端A沿NO下滑多少米;

②如图3，当A点下滑到A’点，B点向右滑行到B’点时，梯子AB的中点P也随之运动到P’点.若∠POP’=

，试求AA’的长.

[解析]

1中,∠O=,∠α=

∴,∠OAB=，又AB=4米，

∴米.

米.

--------------

(3分)

2设在中,

根据勾股定理:

∴

-------------

(5分)

∴

∵　　∴

∴

-------------

(7分)

AC=2x=

即梯子顶端A沿NO下滑了米.

----

(8分)

3∵点P和点分别是的斜边AB与的斜边的中点

∴，

-------------

(9分)

∴-------

(10分)

∴

∴

∵

∴

-----------------------

(11分)

∴-----

(12分)

∴米.

--------

(13分)

9.(重庆，10分)如图，在平面直角坐标系内，已知点A(0，6)、点B(8，0)，动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,设点P、Q移动的时间为t秒.

(1)

求直线AB的解析式;(2)

当t为何值时，△APQ与△AOB相似?

(3)

当t为何值时，△APQ的面积为个平方单位?

解：(1)设直线AB的解析式为y=kx+b

由题意，得

解得

所以，直线AB的解析式为y=-x+6.

(2)由AO=6，

BO=8

得AB=10

所以AP=t

，AQ=10-2t

1°

当∠APQ=∠AOB时，△APQ∽△AOB.

所以　=

解得　t=(秒)

2°

当∠AQP=∠AOB时，△AQP∽△AOB.

所以　=

解得　t=(秒)

(3)过点Q作QE垂直AO于点E.

在Rt△AOB中，Sin∠BAO==

在Rt△AEQ中，QE=AQ·Sin∠BAO=(10-2t)·=8

-t所以，S△APQ=AP·QE=t·(8-t)

=-+4t=

解得t=2(秒)或t=3(秒).

(注：过点P作PE垂直AB于点E也可，并相应给分)

点拨：此题的关键是随着动点P的运动，△APQ的形状也在发生着变化，所以应分情况：①∠APQ=∠AOB=90○②∠APQ=∠ABO.这样，就得到了两个时间限制.同时第(3)问也可以过P作

PE⊥AB.

10.(南充，10分)如图2-5-7，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，对角线AC上有一个动点P(不包括点A和点C).设AP=x，四边形PBCD的面积为y.

(1)写出y与x的函数关系，并确定自变量x的范围.

(2)有人提出一个判断：“关于动点P，⊿PBC面积与⊿PAD面积之和为常数”.请你说明此判断是否正确，并说明理由.

解：(1)过动点P作PE⊥BC于点E.

在Rt⊿ABC中，AC=10，

PC=AC-AP=10-x.

∵　PE⊥BC，AB⊥BC，∴⊿PEC∽⊿ABC.

故　，即

∴⊿PBC面积=

又⊿PCD面积=⊿PBC面积=

即　y，x的取值范围是0

(2)这个判断是正确的.

理由：

由(1)可得，⊿PAD面积=

⊿PBC面积与⊿PAD面积之和=24.

点拨：由矩形的两边长6,8.可得它的对角线是10，这样PC=10-x，而面积y是一个不规则的四边形，所以可以把它看成规则的两个三角形：△PBC、△PCD.这样问题就非常容易解决了.

第二篇：【压轴题 精讲特训】挑战2014数学中考压轴题：几何证明及通过几何计算进行说理(含2013试题,含详解)

几何证明及通过几何计算进行说理问题

例12013年上海市黄浦区中考模拟第24题

已知二次函数y=-x2+bx+c的图像经过点P(0, 1)与Q(2, -3).

(1)求此二次函数的解析式;

(2)若点A是第一象限内该二次函数图像上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图像于点B，分别过点B、A作x轴的垂线，垂足分别为C、D，且所得四边形ABCD恰为正方形.

①求正方形的ABCD的面积; ②联结PA、PD，PD交AB于点E，求证：△PAD∽△PEA.

动感体验 请打开几何画板文件名“13黄浦24”，拖动点A在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，∠PAE与∠PDA总保持相等，△PAD与△PEA保持相似.

请打开超级画板文件名“13黄浦24”，拖动点A在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，∠PAE与∠PDA总保持相等，△PAD与△PEA保持相似.

思路点拨

1.数形结合，用抛物线的解析式表示点A的坐标，用点A的坐标表示AD、AB的长，当四边形ABCD是正方形时，AD=AB.

2.通过计算∠PAE与∠DPO的正切值，得到∠PAE=∠DPO=∠PDA，从而证明△PAD∽△PEA.

满分解答

(1)将点P(0, 1)、Q(2, -3)分别代入y=-x2+bx+c，得

c1,b0,解得 c1.42b13.

所以该二次函数的解析式为y=-x2+1.

(2)①如图1，设点A的坐标为(x, -x2+1)，当四边形ABCD恰为正方形时，AD=AB.

此时yA=2xA. 解方程-x2+1=2x

，得x1所以点A

1.

因此正方形ABCD

的面积等于1)]212

②设OP与AB交于点F

，那么PFOPOF11)31)2.

PF所以tanPAE1.

AF又因为tanPDAtanDPO

OD

1， OP

所以∠PAE=∠PDA.

又因为∠P公用，所以△PAD∽△PEA.

图1图

2考点伸展

事实上，对于矩形ABCD，总有结论△PAD∽△PEA.证明如下：

如图2，设点A的坐标为(x, -x2+1)，那么PF=OP-OF=1-(-x2+1)=x2.

PFx2

所以tanPAEx.

AFx

又因为tanPDAtanDPO

OD

x， OP

所以∠PAE=∠PDA.因此△PAD∽△PEA.

例22013年江西省中考第24题

某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程： (1)操作发现：

在等腰△ABC中，AB=AC，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连结MD和ME，则下列结论正确的是__________(填序号即可).

①AF=AG=

AB;②MD=ME;③整个图形是轴对称图形;④MD⊥ME.

2(2)数学思考：

在任意△ABC中，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连结MD和ME，则MD与ME有怎样的数量关系?请给出证明过程;

(3)类比探究：

在任意△ABC中，仍分别以AB、AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连结MD和ME，试判断△MDE的形状.答：_________.

图

1动感体验

请打开几何画板文件名“13江西24”，拖动点A可以改变△ABC的形状，可以体验到，△DFM≌△MGE保持不变，∠DME=∠DFA=∠EGA保持不变.

请打开超级画板文件名“13江西24”，拖动点A可以改变△ABC的形状，可以体验到，△DFM≌△MGE保持不变，∠DME=∠DFA=∠EGA保持不变.

思路点拨

1.本题图形中的线条错综复杂，怎样寻找数量关系和位置关系?最好的建议是按照题意把图形规范、准确地重新画一遍.

2.三个中点M、F、G的作用重大，既能产生中位线，又是直角三角形斜边上的中线. 3.两组中位线构成了平行四边形，由此相等的角都标注出来，还能组合出那些相等的角?

满分解答

(1)填写序号①②③④.

(2)如图4，作DF⊥AB，EG⊥AC，垂足分别为F、G.

因为DF、EG分别是等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE斜边上的高， 所以F、G分别是AB、AC的中点.

又已知M是BC的中点，所以MF、MG是△ABC的中位线.

所以MF

1

1AC，MGAB，MF//AC，MG//AB. 2

2所以∠BFM=∠BAC，∠MGC=∠BAC.

所以∠BFM=∠MGC.所以∠DFM=∠MGE.

因为DF、EG分别是直角三角形ABD和直角三角形ACE斜边上的中线，所以EG

11

AC，DFAB. 22

所以MF=EG，DF=NG.

所以△DFM≌△MGE.所以DM=ME.

(3)△MDE是等腰直角三角形.

图4图5

考点伸展

第(2)题和第(3)题证明△DFM≌△MGE的思路是相同的，不同的是证明∠DFM=∠MGE的过程有一些不同.

如图4，如图5，∠BFM=∠BAC=∠MGC.

如图4，∠DFM=90°+∠BFM，∠MGE=90°+∠MGC，所以∠DFM=∠MGE. 如图5，∠DFM=90°-∠BFM，∠MGE=90°-∠MGC，所以∠DFM=∠MGE.

第三篇：初二数学平行四边形压轴：几何证明题

1.在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接EF、FG、GH、HE.

(1)请判断四边形EFGH的形状，并给予证明; (2)试探究当满足什么条件时，使四边形EFGH是菱形，并说明理由。

2.如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=10，将△ABC绕点B沿顺时针方向旋转90°得到△A1BC1.

(1)线段A1C1的长度是，∠CBA1的度数是.

(2)连接CC1，求证：四边形CBA1C1是平行四边形.

C B

3. 如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点， PO的延长线交BC于Q.(1)求证：OP=OQ;

(2)若AD=8厘米，AB=6厘米，P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动(不与D重合).设点P运动时间为t秒，请用t表示PD的长;并求t为何值时，四边形PBQD是菱形.

4.已知：如图，在□ABCD中，AE是BC边上的高，将△ABE沿BC方向平移，使点E与点C重合，得△GFC.

⑴求证：BEDG;

⑵若∠B60，当AB与BC满足什么数量关系时，四边形ABFG是菱形?证明你的结论.C F B A1 P E

5. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连结AE、BE，BE⊥AE，延长AE交 BC的延长线于点F.

求证：(1)FC=AD;

(2)AB=BC+AD.

B F C D E

C

6.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连结AD，在AD的延长线上取一点E，连结BE，CE.(1)求证：△ABE≌△

ACE

(2)当AE与AD满足什么数量关系时，四边形ABEC是菱形?并说明理由. B

A

7.如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，BE的延长线与CD的延长线交于点F.

(1)求证：△ABE≌△DFE

(2)连结BD、AF，判断四边形ABDF的形状，并说明理由. ED

B C

8. 如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F.

(1)求证：AE=DF;

(2)若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由.

F

C B

D

9. 如图，在平行四边形中，点E，F是对角线BD上两点，且BFDE.

(1)写出图中每一对你认为全等的三角形;

(2)选择(1)中的任意一对全等三角形进行证明.

10.在梯形ABCD中，AD∥BC,AB=DC，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，并延长DE至点F，使EF=DE.连接BF、CF、AC.(1)求证：四边形ABFC是平行四边形;

(2)若DEBECE,求证：四边形ABFC是矩形.

2D B

11.如图，△ABC中，AB=AC，AD、AE分别是∠BAC和∠BAC的外角平分线，BE⊥AE.

(1)求证：DA⊥AE

(2)试判断AB与DE是否相等?并说明理由。

CB E

12.如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC上一动点(不与B、C重合)，作DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F.(1)当点D在BC上运动时，∠EDF的大小(变大、变小、不变)

(2)当AB=10时，四边形EDF的周长是多少? A (3)点D在BC上移动的过程中，AB、DE与DF总存在什么数量关系?请说明.

E

BF C

第四篇：中考数学压轴题整理

【运用相似三角形特性解题，注意分清不同情况下的函数会发生变法，要懂得分情况讨论问题】

【分情况讨论，抓住特殊图形的面积，多运用勾股定理求高，构造梯形求解】

【出现边与边的比，构造相似求解】

【当图形比较复杂的时候，要学会提炼出基础图形进行分析，如此题中可将两个三角形构成的平行四边形提取出来分析，出现两个顶点，结合平行四边形性质和函数图像性质，找出不变的量，如此题中N点的纵坐标不变，为-3，为突破口从而求解】

已知△ABC是等边三角形.

(1)将△ABC绕点A逆时针旋转角θ(0°<θ<180°)，得到△ADE，BD和EC所在直线相交于点O.

①如图a，当θ=20°时，△ABD与△ACE是否全等?(填“是”或“否”)，∠BOE=度;

②当△ABC旋转到如图b所在位置时，求∠BOE的度数;

【旋转，平移，轴对称的题目，要将动态转化为静态求解，运用全等和相似的方法】

【通过旋转把条件进行转移，利用与第一题相同的方法做辅助线，采用构造直角三角形的方法求解】

如下数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答.

(1)表中第8行的最后一个数是_________，它是自然数_______的平方，第8行共有________个数;

(2)用含n的代数式表示：第n行的第一个数是_______，最后一个数是_________，第n行共有个数__________;

(3)求第n行各数之和.

【利用三角函数求解】

如图所示，已知A点从(1，0)点出发，以每秒1个单位长的速度沿着x轴的正方向运动，经过t秒后，以O、A为顶点作菱形OABC，使B、C点都在第一象限内，且∠AOC=60°，又以P(0，4)为圆心，PC为半径的圆恰好与OA所在的直线相切，则t=_____________.

【提取基础图形，此题将三角形提取出来，构造直角三角形，利用30°所对的边是斜边的一半，设未知数求解】

【要求是否能构造成直角三角形，构造包含欲求三角形的三边的另外三个直角三角形，利用勾股定理求出三条边，再运用勾股定理，分三种情况求解】

如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将△AEF绕顶点A旋转，在旋转过程中，当BE=DF时，∠BAE的大小可以是___________.

当遇到求是否构成等腰三角形，等边三角形，等腰直角三角形，直角三角形时，在坐标轴中，设未知数求解;如设点A为(x,y)或设点A为(0，m)，多寻找可用相似表示的边，运用相似的面积比，周长比，高之比，边之比求解

求坐标轴上有多少个图形能够构成面积为多少，周长为多少的三角形四边形等时，注意坐标点可能在正半轴或负半轴，注意加绝对值符号，计算多边形面积可采用割补法

第五篇：中考数学压轴题破解方法

近几年的中考，一些题型灵活、设计新颖、富有创意的压轴试题涌现出来，其中一类以平移、旋转、翻折等图形变换为解题思路的题目更是成为中考压轴大戏的主角。不过这些传说中的主角，并没有大家想象的那么神秘，只是我们需要找出这些压轴题目的切入点。切入点一：构造定理所需的图形或基本图形

在解决问题的过程中，有时添加辅助线是必不可少的。对于北京中考来说，只有一道很简单的证明题是可以不用添加辅助线的，其余的全都涉及到辅助线的添加问题。中考对学生添线的要求还是挺高的，但添辅助线几乎都遵循这样一个原则：构造定理所需的图形或构造一些常见的基本图形。

切入点二：做不出、找相似，有相似、用相似

压轴题牵涉到的知识点较多，知识转化的难度较高。学生往往不知道该怎样入手，这时往往应根据题意去寻找相似三角形。

切入点三：紧扣不变量，并善于使用前题所采用的方法或结论

在图形运动变化时，图形的位置、大小、方向可能都有所改变，但在此过程中，往往有某两条线段，或某两个角或某两个三角形所对应的位置或数量关系不发生改变。切入点四：在题目中寻找多解的信息

图形在运动变化，可能满足条件的情形不止一种，也就是通常所说的两解或多解，如何避免漏解也是一个令考生头痛的问题，其实多解的信息在题目中就可以找到，这就需要我们深度的挖掘题干，实际上就是反复认真的审题。

总之，问题的切入点很多，考试时也不是一定要找到那么多，往往只需找到一两个就行了，关键是找到以后一定要敢于去做。有些同学往往想想觉得不行就放弃了，其实绝大多数的题目只要想到上述切入点，认真做下去，问题基本都可以得到解决。