高考经验名师支招：如何攻克高考数学压轴题

2024-04-25

高考经验名师支招：如何攻克高考数学压轴题（精选6篇）

篇1：高考经验名师支招：如何攻克高考数学压轴题

攻克数学，要学会梳理连贯的知识模块

名师介绍，高考数学，对于没有“悟性”的孩子真的很难。而我们传统的“套题”训练，难以实现“悟性”的培养，造成孩子看到题目，发现自己没有做过这样的“套题”，心理就马上崩溃。最后时刻，快速提高“悟性”已经不现实，但老师对高考数学的每个部分都有透彻研究，结合学生特点都有独特的训练方法，把有限的时间和精力，用在“要出的题目”上，提高分数还是现实的。

数学是每年高考的决胜科目，想考入名校，数学成绩就需要在140分以上。也许有的家长认为数学考这么高的分数很难，其实不是这样！很多孩子数学不好，总有莫名其妙的失误，原因是学校统一训练，而孩子的问题不一样，所以做了很多试卷，成绩提升慢，甚至还下滑。再有就是知识模块的不连贯性，导致最后的压轴大题往往做得不尽如人意，成绩想要拔高140分以上，就显得很难。

深入浅出，两种方法解决压轴难题

讲座中，老师一共讲解了几何和函数三道压轴大题。名师介绍，所谓压轴题，就是数学成绩好坏的分水岭。出题老师的目的，并不仅仅考查某一个知识点或者公式的运用，往往是对某一个知识点引申出来的相关知识模块的全方位考查，所以，一旦学生用很轻松的或者说很简单的公式就推导出来，那十有八九就出错了。解析压轴题最重要的是要学会拆题的技巧。到底该如何拆题呢？老师通过不同的题型讲解了两种拆题的技巧。

第一种就是传统的逆推思维，通过需要求证的答案，来逆推过程，假设论证，倒着推出问题，推理的过程中，将压轴题中蕴含的知识模块全部拆解开来，寻找正确的解题思路，条理清晰，问题自然迎刃而解。

第二种就是老师常说的解题思维轨迹。拿到大题后，第一步读题，出题老师组成一道题，肯定要有相关的背景及知识点分解。读出背景来，进行知识体系的开枝散叶，将题目中牵扯的知识快速分析总结，需要运用那些知识模块，相关定理和思路是什么，为思路寻找轨迹，理顺自己解题的思维轨迹，然后找路、搭桥，通向结果。

老师以面面垂直问题举例：看到面面垂直，第一步找面面交线，第二步各面引申出线，第三步证明A面线垂直交线，第四步引申A面线垂直B面，最后知识连续性，线线垂直。“这就是一个简单的思维轨迹过程，将所有相关知识进行梳理，看到一个点，立刻能引申出一整个知识体系，这时候再来做压轴题，你会发现真的很简单。”红旗老师说。

最后时刻

什么影响孩子高考？

“明明这些题平时都会，可一到考试时就忘得一干二净，不知道如何下手了？这到底是怎么回事？”讲座中，不少考生向赵老师咨询道。

对此，老师介绍，影响高考的心理因素很多，如，考场心理，试卷心理，不同科目心理等。因此，在考试前要进行适当的训练和调整。

另外，心理的调整与外在的生活环境，内在的生理环境都有关系。如考场心理，学生坐的位置就是一个重要的影响考试成绩的心理因素，位置在教室的前后，位置是否靠墙，学生都要能够淡然处之，全力冲刺。在考试中，同学翻看试卷的声音，同样也会严重影响学生。老师提醒学生，当别人比自己早一点翻看后面的试卷，就要暗示自己“这个同学前面很多题不会做。”这样，就不会出现紧张的心理。

此外，压轴题也是影响考生发挥的一个重要因素，很多考生一看到压轴题就头晕、感觉很难、不会做……这都要在高考前逐个解决的，否则，带着未解决的心理问题上战场，很容易出现失误。

篇2：高考经验名师支招：如何攻克高考数学压轴题

对中考数学卷，压轴题是考生最怕的，以为它一定很难，不敢碰它。其实，对历年中考的压轴题作一番分析，就会发现，其实也不是很难。这样，就能减轻做“压轴题”的心理压力，从中找到应对的办法。

压轴题难度有约定：历年中考，压轴题一般都由3个小题组成。第(1)题容易上手，得分率在0.8以上;第(2)题稍难，一般还是属于常规题型，得分率在0.6与0.7之间，第(3)题较难，能力要求较高，但得分率也大多在0.3与0.4之间。近十年来，最后小题的得分率在0.3以下的情况，只是偶尔发生，但一旦发生，就会引起各方关注。控制压轴题的难度已成为各届命题组的共识，“起点低，坡度缓，尾巴略翘”已成为上海数学试卷设计的一大特色，以往上海卷的压轴题大多不偏不怪，得分率稳定在0.5与0.6之间，即考生的平均得分在7分或8分。由此可见，压轴题也并不可怕。压轴题一般都是代数与几何的综合题，很多年来都是以函数和几何图形的综合作为主要方式，用到三角形、四边形、相似形和圆的有关知识。如果以为这是构造压轴题的唯一方式那就错了。方程与图形的综合的几何问题也是常见的综合方式，如去年中考的第25(3)题，就是根据已知的几何条件列出代数方程而得解的，这类问题在外省市近年的中考试卷中也不乏其例。动态几何问题中有一种新题型，如北京市去年的压轴题，在图形的变换过程中，探究图形中某些不变的因素，它把操作、观察、探求、计算和证明融合在一起。在这类动态几何问题中，锐角三角比作为几何计算的一种工具，它的重要作用有可能在压轴题中初露头角。总之，压轴题有多种综合的方式，不要老是盯着某种方式，应对压轴题，决不能靠猜题、押题。

分析结构理清关系：解压轴题，要注意它的逻辑结构，搞清楚它的各个小题之间的关系是“平列”的，还是“递进”的，这一点非常重要。如去年第25 题的(1)、(2)、(3)三个小题是平列关系，它们分别以大题的已知为条件进行解题，(1)的结论与(2)的解题无关，(2)的结论与(3)的解题无关，整个大题由这三个小题“拼装”而成。又如第25题，(1)、(2)两个小题是“递进关系”，(1)的结论由大题的已知条件证得，除已知外， (1)的结论又是解(2)所必要的条件之一。但(3)与(1)、(2)却是“平列关系”，(1)中，动点p在射线an上，而(3)根据已知，动点p在射线 an上。它除了可能在射线an上，还可能在an的反向延长线上，或与点a重合。因此需要“分类讨论”。如果将(1)、(2)的结论作为条件解(3)，将会使你坠入“陷阱”，不能自拔。

应对策略必须抓牢：学生害怕“压轴题”，恐怕与“题海战术”有关。中考前，盲目地多做难题是有害的。从外省市中考卷或从前几年各区模拟考卷中选题时，特别要留意它是否超出今年中考的考查范围。有关部门已明确，拓展ii的教学内容不属于今年中考的范围，如代数中的“一元二次方程的根与系数的关系”、“用‘两根式’和‘顶点式’来求二次函数的解析式”、“二次函数的应用”等，几何中“圆的切线的判定和性质”、“四点共圆的性质和判定”等，因此这些内容不可能作为构造压轴题的“作料”。为了应对中考压轴题，教师可以根据实际，为学生精选一二十道，但不必强求一律，对有的学生可以只要求他做其中的第 (1)题或第(2)题。盲目追“新”求“难”，忽视基础，用大量的复习时间去应付只占整卷10%的压轴题，结果必然是得不偿失。事实证明：有相当一部分学生在压轴题的失分，并不是没有解题思路，而是错在非常基本的概念和简单的计算上，或是输在“审题”上，因此在最后总复习阶段，还是应当把功夫花在夯实基础、总结归纳上，老师要帮助学生打通思路，掌握方法，指导他们灵活运用知识。有经验的老师常常把压轴题分解为若干个“小综合题”，并进行剪裁与组合，或把外省市的某些较难的“填空题”，升格为“简答题”，把“熟题”变式为“陌生题”，让学生练习，花的时间虽不多，但能取得较好的效果。我认为：综合题的解题能力不能靠一时一日的“拔苗助长”而要靠日积月累的培养和训练。在总复习阶段，对大部分学生而言，放弃一些难题和大题，多做一些中档的变式题和小题，反而能使他们得益。

不要太受区考影响：从今年各区的统考试卷看，有的压轴题的综合度太大，以致命题者自己在“参考答案”中表达解题过程都要用去a4纸一页还多。为了应付中考压轴题，有的题拔高了对数学思想方法的考查要求，初中阶段只要求学生初步领会基本的数学思想方法。因此在中考中也只能在考查基础知识、基本技能和基本方法中有所渗透和体现而已，希望命题者手下留情，不要再打“擦边球”，搞“深挖洞”了。更希望今年中考数学卷能够控制住最后两题的难度，不要再“双压轴”了。

中考数学选择题的解法技巧

1、排除法。是根据题设和有关知识，排除明显不正确选项，那么剩下唯一的选项，自然就是正确的选项，如果不能立即得到正确的选项，至少可以缩小选择范围，提高解题的准确率。排除法是解选择题的间接方法，也是选择题的常用方法。

2、特殊值法。即根据题目中的条件，选取某个符合条件的特殊值或作出特殊图形进行计算、推理的方法。用特殊值法解题要注意所选取的值要符合条件，且易于计算。此类问题通常具有一个共性：题干中给出一些一般性的条件，而要求得出某些特定的结论或数值。在解决时可将问题提供的条件特殊化。使之成为具有一般性的特殊图形或问题，而这些特殊图形或问题的答案往往就是原题的答案。利用特殊值法解答问题，不仅可以选用特别的数值代入原题，使原题得以解决而且可以作出符合条件的特殊图形来进行计算或推理。

篇3：如何攻克中考数学压轴题

1.以坐标系为桥梁, 运用数形结合思想.最近几年各地的中考压轴题, 绝大部分都是与坐标系有关的, 其特点是通过建立点与数即坐标之间的对应关系, 一方面可用代数方法研究几何图形的性质, 另一方面又可借助几何直观, 得到某些代数问题的解答.

2.以直线知识为载体, 运用函数与方程思想.直线和抛物线是初中数学中的重要函数, 即一次函数和二次函数所表示的图形.因此, 无论是求其解析式还是研究其性质, 都离不开函数与方程的思想.例如, 函数解析式的确定, 往往需要根据已知条件列方程或方程组并解之而得.

3.利用条件或结论的多变性, 运用分类讨论的思想.分类讨论思想可用来检测学生思维的准确性与严密性, 常常通过条件的多变性或结论的不确定性来进行考察, 有些问题, 如果不注意对各种情况分类讨论, 就有可能造成错解或漏解, 中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点.

4.综合多个知识点, 运用等价转换思想.中考压轴题所考察的并非孤立的知识点, 也并非个别的思想方法, 一道中考压轴题一般是融代数、几何、三角于一体的综合试题.它是对考生综合能力的一个全面考察, 所涉及的知识点多, 条件隐蔽, 关系复杂, 解法灵活.所使用的数学思想方法也较全面.解数学压轴题, 一要树立必胜的信心, 二要具备扎实的基础知识和熟练的基本技能, 三要掌握常用的解题策略.数学综合题启示我们在进行综合思维的时候要做到:数形结合记心头, 大题小作来转化, 潜在条件不能忘, 化动为静多画图, 方程函数是工具, 计算推理要严谨, 创新品质得提高.

二、得分策略

1、分题得分.中考压轴题一般在大题下都有两至三个小题, 难易程度是第 (1) 小题较易, 第 (2) 小题中等, 第 (3) 小题偏难, 在解答时要把第 (1) 小题的分数一定拿到, 第 (2) 小题的分数要力争拿到, 第 (3) 小题的分数要争取得到, 这样就大大提高了获得中考数学高分的可能性.

2.分段得分.一道中考压轴题做不出来, 不等于一点不懂, 一点不会, 要将片段的思路转化为得分点, 因此, 要强调分段得分, 分段得分的根据是“分段评分”, 中考的评分是按照题目所考察的知识点分段评分, 答上知识点就给分, 多答多给分.因此, 对中考压轴题要理解多少做多少, 最大限度地发挥自己的水平, 把中考数学的压轴题变成最有价值的压台戏.

下面用一道典型的中考压轴题来予以解析和说明.

例如图1, 在等腰梯形ABCD中, AD//BC, E是AB的中点, 过点E作EF//BC交CD于点F.AB=4, BC=6, ∠B=60°.

(1) 求点E到BC的距离;

(2) 点P为线段EF上的一个动点, 过P作PM⊥ EF交BC于点M, 过M作MN//AB交折线ADC于点N, 连结PN, 设EP=x.

①当点N在线段AD上时 (如图2) , △PMN的形状是否发生改变?若不变, 求出△PMN的周长;若改变, 请说明理由;

②当点N在线段DC上时 (如图3) , 是否存在点P, 使△PMN为等腰三角形?若存在, 请求出所有满足要求的x的值;若不存在, 请说明理由. (江西2010年中考数学压轴题)

解析说明:这是一道几何型压轴题.常见的几何型压轴题以常见的三角形、四边形 (如正方形、等腰梯形等) 、圆等知识为考查重点, 贯穿几何、代数及三角函数等知识, 以证明题、计算题出现.

1.先从知识角度来分析

(1) 求点到直线的距离, 一般的方法就是过这个点向直线作垂线段, 然后利用勾股定理或者是解直角三角形的方法求垂线段的长度.

(2) ①通过观察点N的不同位置, 可以发现△PMN的形状并不发生变化.不需要说明理由, 然后分别去求三角形的三边长, 最终求出三角形的周长.线段PM的长实际上就是线段EG的长, 第一问已经求出来了, 线段MN的长就是线段AB的长, 问题复杂就复杂在求线段PN的长上, 求线段的长, 我们最容易想到也是最常用的方法还是构造直角三角形, 然后使用勾股定理, 因此过点P作PH⊥MN于H.②通过画草图, 可以看到当点N在线段DC上运动时, △PMN的形状发生改变, 但△MNC恒为等边三角形.△PMN为等腰三角形需要讨论三种情况.

2.详细解题过程

解: (1) 如图4, 过点E作EG⊥BC于点G.因为E为AB的中点, 所以undefined

在Rt△EBG中, ∠B=60°, 所以∠BEG=30°.

所以undefined

即点E到BC的距离为undefined

(2) ①当点N在线段AD上运动时, △PMN的形状不发生改变.

因为PM⊥EF, EG⊥EF, 所以PM//EG.因为EF//BC, 所以undefined,

同理MN=AB=4.

如图5, 过点P作PH⊥MN于H, 因为MN//AB,

所以∠NMC=∠B=60°, ∠PMH=30°.

所以undefined.所以undefined

则undefined

在Rt△PNH中, undefined

所以△PMN的周长undefined

②当点N在线段DC上运动时, △PMN的形状发生改变, 但△MNC恒为等边三角形.当PM=PN时, 如图6, 作PR⊥MN于R, 则 MR=NR.

类似①, 所以undefined.所以MN=2MR=3.

因为△MNC是等边三角形, 所以MC=MN=3.此时, x=EP=GM=BC-BG-MC=6-1-3=2. 当MP=MN时, 如图7, 这时undefined

此时, undefined

当NP=NM时, 如图8, ∠NPM=∠PMN=30°.

则∠PMN=120°, 又∠MNC=60°, 所以∠PNM+∠MNC=180°.

因此点P与F重合, △PMC为直角三角形.

所以MC=PM·tan30°=1, 此时, x=EP=GM=6-1-1=4.

篇4：高考数学压轴题选讲

1．以解析几何题作为压轴题

以解析几何内容设置的压轴题，一般考查圆锥曲线的轨迹方程和定点定值问题、圆锥曲线中的变量的取值范围和最值问题．

例1 已知动直线[l]与椭圆[C]：[x23+y22=1]交于[Px1,y1、Qx2,y2]两不同点，且[ΔOPQ]的面积[SΔOPQ=62]，其中[O]为坐标原点．

（Ⅰ）证明：[x12+x22]和[y12+y22]均为定值；

（Ⅱ）设线段[PQ]的中点为[M]，求[OM⋅PQ]的最大值；

（Ⅲ）椭圆[C]上是否存在三点[D、E、G]，使得[SΔODE=SΔODG=SΔOEG=62]？若存在，判断[ΔDEG]的形状；若不存在，请说明理由．

分析对于（Ⅰ），注意到椭圆是对称图形，从特殊入手，当直线[l]的斜率不存在时，容易得到定值，然后以此为目标，在直线[l]的斜率存在中求解．对于（Ⅱ），注意[M]点是线段[PQ]的中点，考虑所求的目标和（Ⅰ）的联系．对于（Ⅲ），属于探索性问题，先假设存在，然后再进行探究．

解（Ⅰ）（1）当直线[l]的斜率不存在时，[P、Q]两点关于[x]轴对称，则[x1=x2,y1=-y2]，

由[Px1,y1]在椭圆上，则[x123+y122=1]，而[SΔOPQ=x1y1=62]，则[x1=62,y1=1.]

于是[x12+x22=3]，[y12+y22=2].

（2）当直线[l]的斜率存在，设直线[l]为[y=kx+m]，代入[x23+y22=1]整理后有

[(2+3k2)x2+6k m+3m2-6=0]，

由[Δ>0]，有[3k2+2>m2],

且[x1+x2=-6k m2+3k2,x1x2=3m2-62+3k2.]

又[PQ=1+k2x1-x2=1+k2(x1+x2)2-4x1x2][=1+k2263k2+2-m22+3k2]，[d=m1+k2]，

所以[SΔPOQ=12⋅d⋅PQ=6m3k2+2-m22+3k2=62.]

解之得[3k2+2=2m2]，满足[Δ>0]，

此时有[x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2]

[=(-6k m2+3k2)2-2×3(m2-2)2+3k2=3]，

[y12+y22=23(3-x12)+23(3-x22)=4-23(x12+x22)=2,]

综上可知[x12+x22=3]，[y12+y22=2].

（Ⅱ）注意到[4OM2+PQ2]

[=x1+x22+y1+y22+x2-x12+y2-y12]

[=2x21+x22+y21+y22=10]，

所以[2OM⋅PQ≤4OM2+PQ22=102=5,]

即[OM⋅PQ≤52]，

当且仅当[2OM=PQ=5]时等号成立.

（Ⅲ）假设椭圆上存在三点[D、E、G]，使得[SΔODE=SΔODG=SΔOEG=62]，

由（Ⅰ）知[xD2+xE2=3,xE2+xG2=3,xG2+xD2=3,]

[yD2+yE2=2,yE2+yG2=2,yG2+yD2=2].

解得[xD2=xE2=xG2=32],[yD2=yE2=yG2=1]，

因此[xD、xE、xG]只能从[±62]中选取，[yD、yE、yG]只能从[±1]中选取，

因此[D、E、G]只能从[(±62,±1)]中选取三个不同点，而这三点的两两连线必有一个过原点，这与[SΔODE=SΔODG=SΔOEG=62]相矛盾，

故椭圆上不存在三点[D、E、G]，使得[SΔODE=][SΔODG=SΔOEG=62].

点拨（1）对于（Ⅰ），体现了由一般到特殊的转换思想.其解法是探求圆锥曲线中的定点、定值问题的一般方法.

（2）对于（Ⅱ），用到了整体思维的方法，[M]点是线段[PQ]的中点，[M]点的坐标可以用[P、Q]的坐标表示，联想基本不等式的应用，先求出[4OM2+PQ2]，再求[OM⋅PQ]的最大值.

（3）对于（Ⅲ），题设中的已知如果不加附加条件，往往是为后面的证明服务的，在这里，由（Ⅰ）中[x12+x22]和[y12+y22]均为定值，可以得到三点[D、E、G]的两两的横坐标和纵坐标的和均为常数，从而求出这三点的横坐标和纵坐标，再来探讨这三点的连线是否能够构成三角形.

2．以函数和导数的交汇问题作为压轴题

函数和导数交汇的题目，往往是利用导数作为工具去解决函数问题，涉及恒成立不等式内容的题目比较多.

例2 设函数[f(x)]＝[(x-a)2lnx]，[a∈R].

（Ⅰ）若[x]＝[e]为[y=f(x)]的极值点，求实数[a]；

（Ⅱ）求实数[a]的取值范围，使得对任意的[x]∈[0,3e]，恒有[f(x)]≤4[e2]成立.

注：[e]为自然对数的底数.

分析对于（Ⅰ），由条件有[f ′(e)=0]，容易求出[a].对于（Ⅱ），是恒成立不等式问题，问题转换为求[f(x)]的最大值.

解（Ⅰ）求导得[f ′x=2x-alnx+(x-a)2x][=x-a2lnx+1-ax,]因为[x=e]是[fx]的极值点，所以[f ′e=e-a3-ae=0]，解得[a=e] 或[a=3e]，经检验，符合题意，所以[a=e] 或[a=3e].

（Ⅱ）（1）当[0

（2）当[1

解得[3e-2eln(3e)≤a≤3e+2eln(3e)] ，

注意到[3e-2eln(3e)>1]，

由（Ⅰ）知[f ′(x)=(x-a)(2lnx+1-ax)]，

令[h(x)=2lnx+1-ax]，

则[h(1)=1-a<0]，[h(a)=2lna>0]，

且[h(3e)=2ln(3e)+1-a3e≥2ln(3e)+1-3e+2eln(3e)3e]

[=2(ln3e-13ln(3e))>0]，又[h(x)]在[0,+∞]内单调递增，所以函数[h(x)]在[0,+∞]内有惟一零点，记此零点为[x0]，则[10]；当[x∈(x0,a)]时，[f ′(x)<0]；当[x∈(a,+∞)]时，[f ′(x)>0]，即[f(x)]在[(0,x0)]内单调递增，在[(x0,a)]内单调递减，在[(a,+∞)]内单调递增，

所以要使[f(x)≤4e2]对[x∈(1,3e]]恒成立，只要

[f(x0)=(x0-a)2lnx0≤4e2,①f(3e)=(3e-a)2ln(3e)≤4e2,②] 成立，

由[h(x0)=2lnx0+1-ax0=0]，

知 [a=2x0lnx0+x0]. ③

将③代入①得[4x02ln3x0≤4e2]，又[x0>1]，注意到函数[x2ln3x]在[1,+∞)内单调递增，故[1

由②解得，[3e-2eln(3e)≤a≤3e+2eln(3e)]，所以[3e-2eln(3e)≤a≤3e.]

综上，[a]的取值范围为[3e-2eln(3e)≤a≤3e].

点拨解决此题的第（Ⅱ）问，注意几个关键点：

（1）对于给定区间[0,3e]，可以分为两个区间[0,1]和[1,3e]进行讨论，因为在区间[0,1]内，显然有[fx<0]，只在区间[1,3e]进行讨论即可.

（2）当[x∈1,3e]时，首先确定[a]的大致范围，由[f3e≤4e2]，解得[3e-2eln(3e)≤a≤3e+2eln(3e)]，进一步讨论要出现[3e-2eln(3e)>1]，这是为了确定零点[x0]的取值范围.

（3）注意[f ′x]的因式[h(x)=2lnx+1-ax]的单调性，从而确定[fx]的单调性，找出函数[fx]可能取得最大值的点，进一步确定[a]的范围.

3．以创新题型作为压轴题

高考题对考生的创新意识和创新能力的要求都有了较大的提高．它要求考生“对新颖的信息、情境和设问，选择有效的方法和手段分析信息，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法，进行独立的思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题．”

例3 在平面直角坐标系[xOy]上，给定抛物线[L]：[y=14x2]．实数[p、q]满足[p2-4q]≥[0]，[x1、x2]是方程[x2-px+q=0]的两根，记[φ(p、q)=max{x1,x2}.]

（Ⅰ）过点[A(p0,14p20)][(p0≠0)]作[L]的切线交[y]轴于点[B]．证明：对线段[AB]上的任一点[Q(p,q)]，有[φ(p,q)=p02]；

（Ⅱ）设[M(a,b)]是定点，其中[a、b]满足[a2-4b>0]，[a≠0]．过[M(a,b)]作[L]的两条切线[l1、l2]，切点分别为[E(p1,14p21)]、[E′(p2,14p22)]，[l1、l2]与[y]轴分别交于[F、F′]．线段[EF]上异于两端点的点集记为[X]. 证明：[M(a,b)∈X⇔p1>p2⇔φ(a,b)=p12]；

（Ⅲ）设[D={(x,y)|y]≤[x-1]，[y]≥[14(x+1)2-54}].当点[(p,q)]取遍[D]时，求[φ(p,q)]的最小值（记为[φmin]）和最大值（记为[φmax]）．

分析对于（Ⅰ）（Ⅱ），要正确理解[p、q]和[x1、x2]之间的联系，特殊定义[φ(p,q)=max{x1,x2}]是解题过程中的一条主线．对于（Ⅰ）（Ⅱ），[φ(p,q)]均为定值，而对于（Ⅲ），[φ(p,q)]则为变量，处理不同的问题，要选用不同的方法．

解（Ⅰ）[A(p0,14p20)]是抛物线[L]上的点，[y′=12x]，则切线的斜率[k=12p0.]

过点[A]的抛物线[L]的切线方程为[AB]：[y-14p02=12p0(x-p0)]，即[y=12p0x-14p02.]

因为[Q(p,q)]在线段[AB]上，则有[q=12p0p-14p02]，

所以[p2-4q=p2-4(12p0p-14p02)=(p-p0)2]≥[0.]

不妨设方程[x2-px+q=0]的两根为[x1=p-p2-4q2]，[x2=p+p2-4q2，]

则[x1=p-p-p02]，[x2=p+p-p02]．

（1）当[p0>0]时，[0≤p≤p0]，

[x1=2p-p02=p-p02]，[x2=p02]，

因为[-p02

故[φ(p,q)=max{x1,x2}=x2][=p02]．

（2）当[p0<0]时，[p0≤p≤0]，

[x1=p02]，[x2=2p-p02=p-p02]，

因为[p02≤x2<-p02]，所以[x1≥x2]，

故[φ(p,q)=max{x1,x2}=x1][=p02]．

综上所述，对线段[AB]上的任一点[Q(p,q)]，有[φ(p,q)=p02]．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知抛物线[L]在[(p0,14p20)]处的切线方程为[p02-2p0x+4y=0]．

因为切线恒过点[M(a,b)]，

则[p02-2ap0+4b=0]，所以[p1,2=a±a2-4b]．

① 当[a>0]时，由（Ⅰ）有

[M(a,b)∈X][⇔][0p2]．

② 当[a<0]时，由（Ⅰ）有

[M(a,b)∈X][⇔][p1p2]．

综合①②可得[M(a,b)∈X][⇔][p1>p2]．

因为由（Ⅰ）可知，若[E(p1,14p21)]，点[M(a,b)]在线段[EF]上，有[φ(a,b)=p12]，

所以[M(a,b)∈X⇒][φ(a,b)=p12.] ③

又由（Ⅰ）可知，方程[x2-ax+b=0]的两根[x1,2=p12]或[a-p12]，[x1,2=p22]或[a-p22]，

若[φ(a,b)=p12]，即[max{x1,x2}=p12]，

则[p12≥a-p12]、[p12≥p22]、[p12≥a-p22,]

所以[p1>p2]，

故[φ(a,b)=p12][⇒][|p1| > |p2|][⇒][M(a,b)∈X.] ④

综合③④可得[M(a,b)∈X⇔][φ(a,b)=p12]．

综上所述，

[M(a,b)∈X⇔p1>p2⇔φ(a,b)=p12]．

（Ⅲ）由[y=x-1,y=14(x+1)2-54,]求得两个交点[(0,-1)、 (2,1)]，则[0≤p≤2]，

过点[G(p, q)]作抛物线[L]的切线，设切点为[N][(x0, 14x02)]，切线与[y]轴的交点为[H]，

由（Ⅱ）知[x02-2px0+4q=0]，

解得[x0=p±p2-4q]，

（1）若[x0=p+p2-4q]，则点[G(p, q)]在线段[NH]上．

由[y≤x-1]，得[q≤p-1]，

所以[x0=p+p2-4q≥p+p2-4p+4=p+p-2=2,]

故[φmin=(x02)min=1]．

由[y≥14(x+1)2-54]，

得[q≥14(p+1)2-54=14p2+12p-1]，

所以[p2-4q≤4-2p]，

所以[x0=p+p2-4q≤p+4-2p]，

令[4-2p=t]，则[p=-12t2+2]，[0≤t≤2]，

所以[x0≤-12t2+t+2=-12(t-1)2+52≤52]，

故[φmax=(x02)max=54]．

（2）若[x0=p-p2-4q]，则点[G(p, q)]在线段[NH]的延长线上，

方程[x2-px+q=0]的两根为

[x1=p-p-x02]，[x2=p+p-x02]，

即[x1,2=x02]或[p-x02]．

因为[x0≤p]，所以

[φ(p,q)=maxx1,x2=maxx02,p-x02=p-x02]

[=p-p-p2-4q2=p+p2-4q2]，

同理可得[1≤φ(p,q)≤54]．

综上所述[φmin=1]，[φmax=54.]

点拨（1）对于（Ⅰ），解题时要注意两点，其一是[p、q]的相互关系[q=12p0p-14p02]，其二是[p0]与[p]同号．

（2）对于（Ⅱ），分为两部分进行证明．第一部分证明[M(a,b)∈X⇔p1>p2]，由（Ⅰ）的结论，可以证明；第二部分证明[M(a,b)∈X][⇔φ(a,b)=p12]，由（Ⅰ）的结论，容易证明[M(a,b)∈X][⇒φ(a,b)=p12]，而证明[φ(a,b)=p12⇒][M(a,b)∈X]时，列出方程[x2-ax+b=0]所有可能的根的情况进行比较，得到[φ(a,b)=p12][⇒][|p1| > |p2|][⇒][M(a,b)∈X]．

篇5：高考数学压轴题分析

本书是为快速提高考生解决高考数学准压轴题——解析几何的解题能力而编写的辅导用书。系统介绍了解析几何的五大重点问题：

(一)解析几何通性通法的研究;

(二)圆锥曲线中最值问题的研究;

(三)定点、定值、定直线问题的研究;

(四)解析几何中常见模型研究;

(五)利用几何性质巧解解析几何问题。本书对方法(一题多解问题)，技巧(在做题效率上超越)，方向(探究未来考试的趋势)，深度(站在命题人的角度来研究问题)。

[高考数学专项类图书]《全国卷满分秘籍·导数篇》

本书是为快速提高考生解决高考数学压轴题——导数的解题能力而编写的辅导用书。系统介绍了导数的五大重点问题：

(一)研究含参函数的单调性;

(二)不等式恒成立与存在性问题;

(三)零点问题研究;

(四)利用导数证明不等式;

(五)高观点下的导数问题。本书对方法(一题多解问题)，技巧(在做题效率上超越)，方向(探究未来考试的趋势)，深度(站在命题人的角度来研究问题)。

[高考数学专项类图书]《全国卷满分秘籍·压轴小题篇》

本书是为快速提高考生解决高考数学满分关键题——压轴小题的解题能力而编写的辅导用书。重点介绍了影响满分常考的四大重难点小题：

(一)函数综合;

(二)三视图;

(三)平面向量;

(四)圆锥曲线;

系统介绍了四种非常规求解选择、填空题的方法：

(一)图像法;

(二)构造法;

(三)特例法;

(四)排除法与极限法。本书对方法(一题多解问题)，技巧(在做题效率上超越)，方向(探究未来考试的趋势)，深度(站在命题人的角度来研究问题)。

本书的面向对象是高中数学教师和高中优秀学生。有志于挑战高考数学高分甚至满分的同学，应该拥有这样一套好书。

高三数学学习方法指导

一、用好课本：侧重以下几个方面1.对数学概念重新认识，深刻理解其内涵与外延，区分容易混淆的概念。2.尽一步加深对定理、公式的理解与掌握，注意每个定理、公式的运用条件和范围。如用基本不等式求最值，必须满三个条件，缺一不可。有的同学之所以出错误，不是对基本不等式的结构不熟悉，就是忽视其应满足的条件。3.掌握典型命题所体现的思想与方法。因此，端正思想，认真看书，全面掌握，并结合其它资料和练习，加深对基础知识的理解，从而为提高解题能力打下坚实的基础。

二、上好课：课堂学习质量直接影响学习成绩1.会听课。会听课就是要积极思考。当老师提出问题后，就要抢在老师前面思考怎么办?想一想解决这个问题的所有可能的途径和方法，然后在和教师讲的去比较，可能有的想法行有的不行，可能老师的方法更好，可能你的方法还简明、还奇妙。而不要等老师一点一点告诉你，自己仅仅是听懂了就认为学会了，这实际上是只得怀疑的。难怪不少同学说老师一讲就会，自己一做就错，原因是自己没有真正去思考，也就不可能变成自己的东西。所以积极思考是上好课最为重要的环节，当然也学习的主要方法。2.做笔记。上课老师讲的含有重要概念，各种问题常规思想与方法，易错的问题，以及一些很适用的规律和技能等，所以，上课做好笔记是必要的。3.要及时复习。根据记忆规律，复习应及时，每天一复习，一周一复习，每单一总结为好。

篇6：高考数学压轴题解题技巧

压轴题的基本情况：

一般情况下，每个大题都有至少两个小题，而每题的最后一小题是最压轴最难的，第一小题最简单，无论压轴题多难，第一小题一般同学都可以做出来拿到分数的，所以在对付压轴题的时候，第一小题一定要做对才有资格接着做后面的题目。

学习基础比较好的同学在最后一道压轴题的第二小题上，一般情况下可以拿到一半左右的分数。因为压轴题很难，用时久，所以能够拿到一半的分数就算很棒了。因此建议大家在压轴题上不要耗时太久，在不浪费整体考试时间的基础上，能拿多少分就拿多少分，强弩之末不能穿缟，考试时要适可而止。

平日练习建议：

一定要重视审题。解题最重要的是要有条件，所以审题能否审出需要的条件是非常重要的因素。一般一道题给出的题目中，不会有用不到的条件的，考生要相信所有条件都自有用处，只是当时你没有想到而已。建议解答这些压轴题是，第一个要做的就是认真审视题目，把条件罗列出来，然后再根据题目选择需要的条件作答。

小窍门——一道大题中第一题的答案是下一题的条件。很多同学在做压轴题时都忽略了一个重要条件，就是第一小题的答案。一般第一小题很简单，第二题很难，有的同学忽略了第一题答案可以作为下一题条件这个重要因素，所以耗时很久也解答不出来。建议考生罗列题目给出的条件时，一定要把第一小题的答案也考虑进去。当然，不是每个压轴大题都是这样的，也有很多压轴题的不同小题给出不同条件，希望考生们能够根据实际情况随机应变。

平日高一高二学生练习时一定要注意方法，重视解题思路，实在解答不出来时可以参考答案或者询问老师同学，在这上面耗费太多时间得不偿失。对于高考(课程)生来讲，在不到一个月的时间里最好不要把时间浪费在压轴题目上，基础巩固与考试技巧训练更加重要。

做题心态：

做题时心态是非常重要的，有的同学解答不出来时容易烦躁、紧张、出冷汗或者自暴自弃，这在高考中是最忌讳的。如果时间充足，建议同学们在压轴题上训练自己的心态，即使做不出来也要冷静、淡定，另外要注意好时间的控制。

做压轴题的最高境界是没有难易之分，只有根据题目条件推理出新条件，最终获取结论的做题流程。如果解答不出就果断放弃，能够解答到哪里就解答到哪里，老师会根据得分点来给分的。

高三数学复习的阶段

高三数学复习，大体可分四个阶段，每一个阶段的复习方法与侧重点都各不相同，要求也层层加深，因此，同学们在每一个阶段都应该有不同的复习方案，采用不同的方法和策略。

1.第一阶段，即第一轮复习，也称“知识篇”，大致就是高三第一学期。在这一阶段，老师将带领同学们重温高一、高二所学课程，但这绝不只是以前所学知识的简单重复，而是站在更高的角度，对旧知识产生全新认识的重要过程。因为在高一、高二时，老师是以知识点为主线索，依次传授讲解的，由于后面的相关知识还没有学到，不能进行纵向联系，所以，你学的往往时零碎的、散乱的知识点，而在第一轮复习时，老师的主线索是知识的纵向联系与横向联系，以章节为单位，将那些零碎的、散乱的知识点串联起来，并将他们系统化、综合化，侧重点在于各个知识点之间的融会贯通。所以大家在复习过程中应做到：

①立足课本，迅速激活已学过的各个知识点。(建议大家在高三前的一个暑假里通读高一、高二教材)

②注意所做题目使用知识点覆盖范围的变化，有意识地思考、研究这些知识点在课本中所处的地位和相互之间的联系。注意到老师选题的综合性在不断地加强。

③明了课本从前到后的知识结构，将整个知识体系框架化、网络化。能提炼解题所用知识点，并说出其出处。

④经常将使用最多的知识点总结起来，研究重点知识所在章节，并了解各章节在课本中的地位和作用。

2.第二轮复习，通常称为“方法篇”。大约从第二学期开学到四月中旬结束。在这一阶段，老师将以方法、技巧为主线，主要研究数学思想方法。老师的复习，不再重视知识结构的先后次序，而是以提高同学们解决问题、分析问题的能力为目的，提出、分析、解决问题的思路用“配方法、待定系数法、换元法、数形结合、分类讨论”等方法解决一类问题、一系列问题。同学们应做到：

①主动将有关知识进行必要的拆分、加工重组。找出某个知识点会在一系列题目中出现，某种方法可以解决一类问题。

②分析题目时，由原来的注重知识点，渐渐地向探寻解题的思路、方法转变。

③从现在开始，解题一定要非常规范，俗语说：“不怕难题不得分，就怕每题都扣分”，所以大家务必将解题过程写得层次分明，结构完整。

④适当选做各地模拟试卷和以往高考题，逐渐弄清高考考查的范围和重点。

3.第三轮复习，大约一个月的时间，也称为“策略篇”。老师主要讲述“选择题的解发、填空题的解法、应用题的解法、探究性命题的解法、综合题的解法、创新性题的解法”，教给同学们一些解题的特殊方法，特殊技巧，以提高同学们的解题速度和应对策略为目的。同学们应做到：

①解题时，会从多种方法中选择最省时、最省事的方法，力求多方位，多角度的思考问题，逐渐适应高考对“减缩思维”的要求。

②注意自己的解题速度，审题要慢，思维要全，下笔要准，答题要快。

③养成在解题过程中分析命题者的意图的习惯，思考命题者是怎样将考查的知识点有机的结合起来的，有那些思想方法被复合在其中，对命题者想要考我什么，我应该会什么，做到心知肚明。

4.最后，就是冲刺阶段，也称为“备考篇”。在这一阶段，老师会将复习的主动权交给你自己。以前，学习的重点、难点、方法、思路都是以老师的意志为主线，但是，现在你要直接、主动的研读《考试说明》，研究近年来的高考试题，掌握高考信息、命题动向，并做到：

①检索自己的知识系统，紧抓薄弱点，并针对性地做专门的训练和突击措施(可请老师专门为你拎一拎);锁定重中之重，掌握最重要的知识到炉火纯青的地步。

②抓思维易错点，注重典型题型。

③浏览自己以前做过的习题、试卷，回忆自己学习相关知识的历程，做好“再”纠错工作。