数学解题中的思维导向

数学解题中的思维导向（精选九篇）

数学解题中的思维导向 篇1

一、辨析题目的条件与结论的关系

这是解题思维过程中的第一步。当收集到问题的已知、特征、图形等条件时, 就需要着手对这些条件进行整理、归类、分离和辨析, 看看这些条件的属性、含义及其明显的特征, 并注意挖掘题设隐含条件, 仔细观察题目的结构组合形式, 再逐一分析, 寻找途径。例如以下这道问答题:“四人分苹果, 贝贝拿了所有苹果的一半加半个, 晶晶拿了剩下的一半加半个, 欢欢拿了晶晶剩下的一半加半个, 盈盈分得了最后剩下的一半加半个。苹果全部分完了, 并且四人拿到的都是整个的苹果, 一共有多少苹果?”这类型的题目采用推理的方法是:盈盈拿了最后剩下的一半加半个, 苹果分完。那么她拿走的是1个苹果。欢欢拿苹果时的数是 (1+0.5) ×2=3, 静静拿苹果时的数是 (3+0.5) ×2=7, 贝贝拿苹果时的数是 (7+0.5) ×2=15, 一共有15个苹果。这个例子充分说明对题设和结论的特征进行挖掘和辨析是完全必要的, 只有抓住题目的已知条件和结论的自身特征, 从特征中进行充分的观察和分析, 就可以找到解题途径。

二、培养发散性思维, 展开联想与回忆

在对题目进行整体的观察和辨析中, 要启发学生进行联想与回忆。联想就是发现诸个题目中具有相似的典型特征, 从思维的角度上说, 就是思维的发散, 要求学生触类旁通、以点带面, 把多种相似的问题与某一种模式对应起来。回忆则要求学生根据题目形式回想与哪一个定理定义描述的相似, 或者与某种解法相似, 顿悟出都可用某种知识或方法解答, 加深了对知识的认识。例如以下这道选择题:“甲、乙两只装满硫酸溶液的容器, 甲容器中装有浓度为8%的硫酸溶液600千克, 乙容器中装有浓度为40%的硫酸溶液400千克。从两只容器中各取 () 千克的硫酸溶液, 分别放入对方的容器中, 才能使这两个容器中的硫酸溶液的浓度一样。”A.48%%B.208%%C.240%%D.160这道题目的解答思路是, 由于交换前后两容器中溶液的重量均没有改变, 而交换一定量的硫酸溶液其目的是将原来两容器中溶液的浓度由不同变为相同, 而且交换前后两容器内溶液的重量之和也没有改变。根据这个条件我们可以先计算出两容器中的溶液浓度达到相等时的数值, 从而计算出应交换的溶液的量:甲容器中纯硫酸的重量为600×8%=48 (千克) ;乙容器中纯硫酸的重量为400×40%=160 (千克) ;两容器中纯硫酸的重量和为48+160=208千克, 硫酸溶液的重量和为600+400=1000千克。两容器中溶液混合后浓度为208÷1000=20.8%。所以应交换的硫酸溶液的量为: (600×20.8%-600×8%) ÷ (40%-8%) =240 (千克) , 应从两容器中各取出240千克放入对方容器中, 才能使两容器中硫酸溶液的浓度一样。所以答案选C。联想与直觉的判断是紧密相连的, 当学生面临的题目构造与某些题目相似时, 往往会回想起其他的题目, 或者说唤起了他记忆深处的东西。当然, 这种快速的联想和回忆与知识是否丰富有关, 基础知识愈是扎实, 经验愈是丰富, 方法素质愈高, 所富有的联想就愈有价值, 直觉判断的准确性也就愈高。正如以上所说, 联想的产生需要对题设条件进行仔细观察, 巧妙地逻辑分解或组合, 一般化或特殊地对概念进行数、形、义的辨析, 才能产生正确的联想回忆。

三、关注题干中的特殊条件

欲解决题目一般情况, 先解决其特殊情况。由于特殊情况与一般情况是具有共性的, 先解决特殊情况可以提供的关键步骤, 提供思维途径, 可以猜测预见结论。例如以下这道选择题:“火车进山洞隧道, 从车头进入到车尾进入洞口, 共用a分钟, 又当车头开始进入洞口直到车尾出洞口, 共用b分钟, 且b:a=8:3, 又知山洞隧道长是300米, 那么火车车长为 (%%) 米。”先理解从车头进入洞口到车尾进入洞口的路程仅为列车的长度, 当车头开始进入洞口直到车位出洞口路程包含了列车长度和隧道长度, 所以二者之比=列车长度和隧道长度:列车的长度=8:3, 所以车长=[300/ (8-3) ]×3=180。由以上可见, 在特殊情况下, 由于新增加了条件, 使得问题易于解决, 而且由于特殊情况与一般情况具有共性, 提供了解决一般情况的恰当方法基础, 通过特殊情况的研究而解决问题的方法, 又大量地应用于求解选择题上。

四、重视习题的转化与总结

转化和总结是思维的灵活性之一, 它可以拓宽解题思路, 及时灵活地转化解题模式。这在解题中转化和总结的方法也是常见的。例如, 列方程解稍复杂的百分数实际问题要点, 解答稍复杂的百分数应用题和稍复杂的分数应用题的解题思路、解题方法完全相同;解答“已知比一个数多 (少) 百分之几的数是多少, 求这个数”的实际问题, 可以根据数量间的相等关系列方程求解;或者根据除法的意义, 直接解答。例题:“果园里的梨树和苹果树共有360棵, 其中的苹果树的棵数是梨树的棵数的20%。苹果树和梨树各有多少棵?”此题解答如下:设梨树有x棵, 苹果树有20%x棵, x+20%x=360, x=300, 20%x=300×20%=60, 所以梨树有300棵, 苹果树有60棵。

例谈学生数学解题中的思维品质 篇2

关键词：思维品质；深刻性；灵活性；独创性；批判性；敏捷性

思维品质反映了每个个体智力或思维水平的差异，主要包括深刻性、灵活性、独创性、批判性、敏捷性等.优秀的思维品质来源于优秀的逻辑思维能力.数学解题除了检测学生的数学知识与方法掌握的程度与水平，也检测学生思维品质的层次与特征，从数学解题中来剖析学生的思维品质，可以更加深刻地揭示数学思维本质特征[1].在数学教学与辅导中，不断地发现学生在数学解题中的一些现象，这些现象从人的思维角度去认识，可以把握问题的本质，关注并改善教学中的重要环节，有利于提升对数学教学的认识.

追根求源：灵活性是指思维活动的灵活程度.它的特点包括：一是思维起点灵活，即从不同角度、方向、方面，能用多种方法来解决问题；二是思维过程灵活，从分析到综合，从综合到分析，全面而灵活地作“综合的分析”；三是概括—迁移能力强，运用规律的自觉性高；四是善于组合分析，伸缩性大；五是思维的结果往往是多种合理而灵活的结论，不仅仅有量的区别，而且有质的区别[2]25-27.灵活性反映了智力的“迁移”，如我们平时说的，“举一反三”、“运用自如”等.灵活性强的人，智力方向灵活，善于从不同的角度与方面起步思考问题，能较全面地分析、思考问题，解决问题.审题是解题的基础，而观察又是审题的必要前提.

参考文献：

[1]任樟辉.数学思维论[M].南宁：广西教育出版社，1996：16.

[2]吕凤祥.中学数学解题方法[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2003.

[3]陈朝阳. 挖掘代数结构 渗透数学思想——2014年浙江省高考文科第16题解法探究 [J].中学数学，2015（2）：93.

高中数学解题中的思维起步 篇3

一、从特殊性看问题

对于某一问题, 从中选取几个特例或许可洞悉该问题的一般规律 (特征) , 因此从特殊性质看问题是思维起步的模式之一。

思维起步一:若存在这样的常数a, b, c, 则等式n=1, n=2, n=3应该成立, 将这些值分别代入恒等式中, 得一个关于a, b, c的三元一次方程组, 解方程组求出a, b, c。最后将这些数值代入恒等式, 用数学归纳法证明恒等式。

用以上思路易得到a=3, b=11.c=10使题设等式对一切自然数n都成立。

思维起步二:等式左边由一些特殊项的和构成, 这些特殊项的一般结构为k (k+1) 2=k3+2k2+k (k=1, 2, ..., n) 。由再套用已知的立方和、平方和公式即可得原式左边, 和等式右边比较可知a=3, b=11, c=10

对于含有变动的几何元素 (点、线段、图形) 的题目, 也常从变动元素处于特殊位置 (常为极端位置) 时展开解题思路。

二、从转换中寻求统一

解题的实质是寻求条件与结论或已知与未知的和谐统一, 亦即架设结论与条件或未知与已知的桥梁, 实现条件到结论或已知向未知的转化。因此, 尽可能的将所考虑的题目向简易和明确转化是解题的思维起步。

例2设a, b是实数A={ (x, y) |x=n, y=na+b, nεZ}, B={ (x, y) |x=m, y=3m2+15, mεZ}, C={ (x, y) |x2+y2≤144) }是平面上的点集, 讨论是否存在a和b使: (1) A∩B≠φ, (2) (a, b) εC同时成立。

分析:本例看似繁难, 其实只要注意到了“集合语言”向“通常语言”的转换, 也就迎刃而解。集合A即直线l1:y=ax+b上的点集 (横坐标为整数的点) , 集合B即抛物线C1:y=3x2+15上的整点集, 集合C为圆C2:x2+y2=144的内部, A∩B≠φ即l1与C1有公共的整点, 即存在n∈Z使na+b=3n2+15. (a, b) ∈C即l2:nx+y=3n2+15和C2有交点, 亦即 (0, 0) 到l2的距离d≤12, 由此得。进一步推得n2=3和nεZ矛盾。故不存在a和b同时满足 (1) 和 (2) 。

三、由相似联想已知

此处的“已知”是指解题者头脑中已有的定理、公式、熟悉题目及常用方法。有经验的解题者只要一接触即会浮想联翩, 从题目和已知信息的相似中发现解题契机。

分析:将x, y的值代入欲证等式, 企图将左边转化为右边的一种思维方法, 但一试便知此法较难, 注意到欲证等式类似余弦定理, 一个构造边长和夹角满足特定关系的三角形求证的想法应运而生。

四、由经验诱发猜测

丰富的解题经验可产生十分可靠的直觉, 进而据题目的条件直接猜出可能要用的解题方法或结论, 剩下的式作只是例行验证任务罢了, 这往往是一种“创造型”的解题思维起步。

例4已知sinx+cosx=1, 求sinnx+cosnx的值

结论猜测:n=1时, s i n x+c o s x=1;n=2时, sin2x+cos2x=1;n=3时, sin3x+cos3x= (sinx+cosx) 3-3sin2xcosx-3sinxcos2x=1 (易由sinx+cosx=1得sinxcosx=0)

故有理由猜测sinnx+cosnx=1

猜测的验证:思维起步一:由二项式定理得

思维起步二:命题和自然数n有关, 可考虑用数学归纳法

两个交点 (如图) 由sinx+cosx=1得sinx=0时cos=1, cosx=0时sinx=1, 且sinx, cosx不可能再取其它值, 因而sinnx+cosnx=1

数学解题中的思维导向 篇4

关键词：逆向思维 小学数学解题 作用 培养策略

如今的教学大纲明确提出了“培养学生逆向思维”的要求，逆向思维有助于提高学生的思维能力，是一种便捷、快速解题的方法。在解题中，很多学生往往受缚于常规思想，不能得出正确的答案。其实，如果学生能使用逆向思维，就能有所突破，快速得出正确的答案。

一、逆向思维在小学数学解题中的作用

之所以会有逆向思维，是因为有时使用顺向思维会束缚学生的想象力与创造力，不利于学生解题。如果学生能形成逆向思维，那么他们的思想会更加灵活，解题也会更加轻松。

以常见的水池问题为例：“甲乙两个水池中都有水，且总量为400升，但是这两个水池的含水量不同。为了使两个水池的含水量一样，现在把甲水池中分出40升水，倒入乙水池，求两个水池原来的含水量是多少。”显然，按照大多数学生的思维习惯，即顺向思维，把甲水池或者乙水池的含水量设为自变量，然后列等式，最后求出这两个水池原来的含水量，这种方程的方法虽然也能解题，但是小学生比较难掌握，也容易在解题过程中出错。运用逆向思维，效果就大不一样了，学生不仅能够快速解题，而且容易理解，不易出错。具体做法是：按照题目给的最后一个条件反向推导，运用结论来推测条件。该题的结论是两个水池的水一样多，那么我们先假设两个水池的水一样多，即甲水池和乙水池都是200升；题目中给的另一个条件是从甲水池取出40升水，然后倒入乙水池，那么反向推导就是把乙水池中取出40升水，倒入甲水池。这样一来，学生不用列方程，也能轻易得出答案了。

由此可见，逆向思维不仅能简化解题步骤，还能培养学生的创新能力，使学生不拘泥于传统思维，更能打开学生的解题思路，告诉学生一个道理：“在数学解题时，一种方法行不通的话，就换另一种方法进行，不要在一条路上死磕。”

二、培养学生逆向思维的策略

基于逆向思维的重要性，教师必须高度重视培养学生的逆向思维。首先，培养学生的逆向思维意识，教师应有意识地培养学生使用逆向思维解题的意识，使学生养成在解题前思考的习惯，然后再进行解题。如在小学数学教学中使用逆向思维解题的例子非常多，如乘除、加减、倍数、约数等，教师可以通过多举例，来培养学生的逆向思维。

其次，教师要培养学生的逆向思维解题能力。其中，倒推是最常用的一种方法，其本质就是通过结论来推导条件，追本溯源，最后得出答案。除了应用题之外，对于一些公式等式，学生可以运用逆向思维来理解。在应用公式解题时，学生往往只会按照顺向思维解题，一旦题目出现变化，学生就束手无策了。由此可见，教师要求学生熟练运用公式的正负推导和解题，也是培养学生逆向思维的一种方法。

三、总结

在小学数学解题过程中，有时学生从正面思考很难得出结果，使用逆向思维反而能产生神奇的效果，所以在教学中，教师应该注重培养学生的逆向思维，与顺向思维相结合，找出一条适合解题的新路径。在培养学生的逆向思维时，教师可以采取教学与实践相结合的方式，从而有利于学生理解和掌握。

参考文献：

[1]吴水成.逆向思维在数学论证中的作用与培养[J].教育教学论坛，2014，（18）.

[2]李名刚.浅谈学生在数学解题中逆向思维的培养[J].科学大众（科学教育），2013，（11）.

[3]张卫星.小学数学教学中逆向思维的培养策略[J].辽宁教育，2012，（5）.

[4]林群谦.在小学数学课堂教学中渗透逆向思维的策略[J].教师博览（科研版），2012，（3）.

[5]童丽.浅谈逆向思维在小学数学中的应用[J].快乐阅读，2013，（4）.

[6]郅福有.小学数学教学中培养学生逆向思维的有效策略[J].科学中国人，2015，（9）.

[7]刘蒙蒙.逆向思维在小学数学解题中的作用与培养[J].科学大众（科学教育），2014，（10）.

联想思维在数学解题中的妙用 篇5

一、相似联想

相似联想, 就是根据问题条件或结论的结构特征及表形而联想到应用相似知识点解决问题.

例1若a、b、c、d ∈R, 且a2+b2=1, c2+d2=1, 求证-1≤ac+bd≤1.

分析:由于已知条件a2+b2=1, c2+d2=1, 与三角函数恒等式sin2α+cos2α=1 结构特征相似, 因此联想到sin2α+cos2α=1 的情形.设a=sinα, b=cosα, c=sinβ, d=cosβ, 从而使本题得到解决.

在解题中, 对于形如a2+b2=u (u≥0) 的情形, 可以联想sin2α+cos2α=1, 对二次函数的问题可以联想到二次方程或二次不等式等.

二、接近联想

接近联想, 就是问题的意义或形式相近的一种联想方法, 即由问题或问题中的某一部分联想到用与其相同或相近的知识去解决问题的思维方式.

例2 若 (z-x) 2-4 (x-y) (y-z) =0, 证明:2y=x+z.

分析:解此题一般是通过因式分解来证, 但是如果注意观察已知条件的特点, 会发现它与一元二次方程根的判别式相似, 于是联想到用一元二次方程的知识来解.

当x-y≠0 时, 我们把等式 (z-x) 2-4 (x-y) (y-z) =0 看作是关于t的一元二次方程 (x-y) t2- (z-x) t+ (y-z) =0 有两个等根的条件.观察出这个方程的两个等根为t1=t2=-1.

∴2y=x+z

若x-y=0, 易知x=y=z, 显然也有2y=x+z.

在解题中, 圆锥曲线上的点到焦点的距离问题就要联想到圆锥曲线第二定义, 关于曲线相交的问题就要联想到解方程组的问题.

三、对立联想

对立联想, 就是当问题不易直接求解时, 联想到其反面情形, 就其反面进行分析探索, 使问题得以解决.

例3 若正实数a, b满足ab=ba, 且a<1, 求证:a=b.

分析本题如果由条件找结论或由结论找条件都难以下手, 所以联想结论的反面, 假如a≠b, 出现什么情形?

若a≠b, 则a>b或a<b.

(1) 当a>b时, 由1>a>b>0, 利用幂函数y=xb的单调性, ab>bb利用指数函数y=bx的单调性bb>ba, 故ab>ba, 与已知ab=ba矛盾;

(2) 当a>b时, b>a>0, 1>a, 利用幂函数y=xa的单调性, aa>ba利用指数函数y=xa的单调性, aa>ab, 故aa<ba, 与已知ab=ba矛盾.

综合 (1) (2) 知, a=b.

对否定性、限定性、无穷性、存在性、肯定性、不等 (相等) 关系的问题, 用对立联想常可获得解题的思路.

四、连锁联想

连锁联想, 就是由数学问题已知条件或结论中涉及的知识点, 联想其特有的性质, 并将相关性质适当推广解决问题.

分析:观察自变量的值, 就能发现:1/ (1001) 、2/ (1001) … (1000) / (1001) 是等差数列, 联想到等差数列的性质“与首末两端等距离的项和相等”, 于是又可联想到f (x) 、f (1-x) 是否也有f (x) +f (1-x) 为某一常数呢?

容易得出f (x) +f (1-x) =1, 于是可得

每个数学概念都有其特定的规定, 故具有特定的性质, 因而, 抓住题中各个概念, 合理地充分联想其特定的性质, 常能获取解题途径.

例谈学生数学解题中的思维品质 篇6

一、仔细审题:读出问题背后本质,体现思维的深刻性

例1.已知数列{an}满足:,则a1a2a3…a17a18=_______;设bn=(-1)nan,数列{bn}前n项的和为Sn,则S2016=_______.

现象1:面对,很多学生总是想得到一个“等差或等比”的通项公式来,其表现就是一味对此递推关系式变形;而不是根据递推关系去发现此数列的本质特征,更重要的是不能理解递推的本质属性,由a1可得a2,由a2可得a3,……

心理特征:“一步登天”急功近利思想对学生的深刻影响.

现象2:由

算到这一步,不愿算下去,结果发现不了此数列就是一个周期数列,所有计算得到a5=2的人,就会发现给定数列的特征.

心理特征:三步就想找到答案———仍是急功近利思想对学生的深刻影响.

现象3:由a1=2,a2=-3,,计算b1,b2,b3,b4时,粗心的人在计算b1=-2后,把a2,a3,a4加上一个负号作为b2,b3,b4,结果错了.

心理特征:审题不细作怪,思维定式影响.

追根求源:数学思维的深刻性是指思维活动的抽象程度和逻辑水平,涉及思维活动的广度、深度和难度.学生面对感性材料(题设条件),去粗取精、去伪存真,由此及彼、由表及里,进而抓住事物的本质与内在联系,认识事物的规律性.个体在这个过程中,表现出深刻性的差异.思维的深刻性集中表现为在智力活动中深入思考问题,善于概括归类,逻辑抽象性强,善于抓住事物的本质和规律,开展系统的理解活动,善于预见事物的发展进程.超常智力的人抽象概括能力高,低常智力的人往往只是停留在直观水平上[2]19.数列中递推思想是非常重要的,它反映了数列的本质特征,由特殊起步,一步一步地向着本质属性走去,为什么学生不重视递推思想方法呢?因为低思维层次的学生,只会代公式计算,不知道或不理解项与项之间的联系的重要性.

二、解法探索:寻找内部结构关系,体现思维的灵活性

例2.(1)函数的值域是______.

(2)函数的奇偶性是_____;函数的对称中心是_______.

现象1:对于第(1)题,有学生考虑函数定义域[-1,1],将端点值代入得到值域为[1/3,1],把给定函数认定为单调函数.

心理特征:心理潜意识是求值域必须考虑定义域,但当遇到无理式时不知如何处理,于是就代入求值.

现象2:建立在错误观点下的推理,有学生认为“2x-1是奇函数”,“2x+1是奇函数”,然后利用“奇÷奇=偶”判断为偶函数.

心理特征:在错误心理暗示下的学习心理活动导致判断出错,是数学解题中最常见的现象.

现象3:建立在特殊值代入的推理,虽然由x=0得y=2得到一个点(0,2)与答案吻合,但推理无数学基础,展现出一种盲目的思维.

心理特征:在面对一个无知概念时的特殊值处理,是数学逻辑思维能力弱者常用的方法.

追根求源:灵活性是指思维活动的灵活程度.它的特点包括:一是思维起点灵活,即从不同角度、方向、方面,能用多种方法来解决问题;二是思维过程灵活,从分析到综合,从综合到分析,全面而灵活地作“综合的分析”;三是概括—迁移能力强,运用规律的自觉性高;四是善于组合分析,伸缩性大;五是思维的结果往往是多种合理而灵活的结论,不仅仅有量的区别,而且有质的区别[2]25-27.灵活性反映了智力的“迁移”,如我们平时说的,“举一反三”、“运用自如”等.灵活性强的人,智力方向灵活,善于从不同的角度与方面起步思考问题,能较全面地分析、思考问题,解决问题.审题是解题的基础,而观察又是审题的必要前提.

一是观察题设中主要条件有没有代数结构?代数结构有几何意义吗?[3]如上述第(1)题表示上半圆,函数表达式结构与斜率公式结构一致,所以代数结构的几何意义就是上半圆上的点与定点(2,1)连线斜率的范围.

二是看问题前后条件之间是否有某种联系,寻找到这一关联就找到问题的答案,如第(2)题,“

为奇函数”,所以,此函数的对称中心是原点,后者的对称中心就是(0,2).

另一方面,用平移和翻转法,将关于x轴对称,得,再向上平移2个单位,得.事实上,由,可知关于(0,2)对称.

三、途径合理:养育良性运算习惯,体现思维的独创性

例3.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,其准线经过双曲线的左焦点,点M为这两条曲线的交点,且|MF|=p,则双曲线的离心率为()

现象1:由题意,所以M(c,2c)在双曲线上,有,接下去的运算需花费大量时间才能得到问题答案.

现象2:面对不会运算,停止不前,如不会,繁分逆算得到,从而得到关于e2的方程:

现象3:都算到这一步还有运算思维受阻,不能得到,从而得到(e2-1)2=4e2.

现象4:面对e2-1=±2e,不会分析舍去“-”情形,算到不会分析舍去“-”情形等.

追根求源:独创性即思维活动的创造性.在实践中,除善于发现问题、思考问题外,更重要的是要创造性地解决问题.独创性源于主体对知识经验或思维材料高度概括后集中而系统的迁移,进行新颖的组合分析,找出新异的层次和交结点.概括性越高,知识系统性越强,伸缩性越大,迁移性越灵活,注意力越集中,则独创性就越突出.

(1)每个人都有自己的运算习惯,但如果运算习惯是不良的,在各种数学测试时,运算要花费大量时间.

(2)数学运算是数学思维的核心部分,具有独创性的运算次序就是要寻找最简、最优的符合运算规则的思维,这一方面,在基础数学教育中存在问题很多,值得进一步深入研究.

四、过程监控:甄别推敲步步为营,体现思维的批判性

例4.设实数x1,x2,…,x100满足:|x1|=9,|xn|=|xn-1+1|,n=2,3,4,…100,则x1+x2+…+x100的最小值是______.

现象1:|x1|=9,|x2|=8,…,|x9|=1,|x10|=0,|x11|=1,|x12|=0,把求x1+x2+…+x100理解为求|x1|+|x2|+…+|x100|,然后填写90.

心理特征:问题没有审好,就急于下笔;在消极思维定式的引导下犯错.

现象2:认为x1=-9,x2=-8,…,x9=-1,x10=0,x11=1,x12=2,…认为最小值是

心理特征:当面对一组数呈现一个等差数列规律时,就在思维定式的误导下,走入歧途.

解析:在递推过程中,步步寻找最小者,|x1|=9,x1=±9,取x1=-9,同理x2=-8,…,x9=-1,x10=0;|x11|=1,|x11|=±1,取x11=-1,代入可得x12=0,发现周期性,x13=-1,x14=0,于是

追根求源:批判性是思维活动中独立发现和批判的程度.这是思维过程中一个很重要的品质.思维的批判性品质,来自于对思维活动各个环节、各个方面进行调整、校正的自我意识.它具有分析性、策略性、全面性、独立性和正确性等五个特点.正是有了批判性,人类才能够对思维本身加以自我认识,也就是人类不仅能够认识客体,而且也能够认识主体,并且在改造客观世界的过程中改造主观世界.现象1的学生没有理解题意就急于做题,不仅没有独立发现的思维特征,也不具备批判性的思维意识.现象2的学生没有坚持到底,进入x11时出错,主要是思维定势作怪.事实上,本题的最后数据构成前10项为等差数列,后90项为周期数列.

五、改变视角:同一问题不同方法,体现思维的敏捷性

例5.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P是正方体棱上一点(不包括棱的端点),且,则满足条件的点P的个数为_______.

解析1:画出正方体图.

观察条件,注意到与棱长1之间的数量关系,发现满足题设条件的点可以是某些棱的中点,如图,满足,这样的P点有6个.

正方体共有12条棱,其他6条棱上是否有满足条件的点呢?

假设满足条件P在CC1,使CP=x,则,解得,故在其他六条棱上也存在满足条件的点,故共有12个满足条件的点.

解析2:观察条件,思考到A,C1是两定点,一动点P到两定点距离和为定值,动点P的轨迹是以A,C1为焦点的旋转椭球,此旋转椭球与正方体的十二条棱均有交点,故共有12个满足条件的点P.

追根求源:敏捷性是指思维活动的速度,它反映了智力的敏锐程度.有了思维敏捷性,在处理问题和解决问题的过程中,能够适应变化的情况来积极地思维,周密地考虑,正确地判断和迅速地做出结论.比如,智力超常的人,在思考问题时敏捷,反应速度快;智力低常的人,往往迟钝,反应缓慢;智力正常的人则处于普通的速度.

问题的两种不同的思考,反映着学生思维的敏捷程度不同,解析1建立在对数字的敏感性,,这正是棱的中点满足的数量关系.此思路容易认为此问题的答案为6.

解析2建立在对整体理解上,由平面上的椭圆提升到空间的旋转椭球,这是此问题的本质.

因此,在解题过程中与学生一起研究、探索、发现、解决由一种性质所引申出来的变式,给学生充分表现自己、发挥想象力的机会,使其在解题中感到无穷乐趣,从而有意想不到的创造性表现[4].所以说为了使学生在学习数学有关知识后,能进行数学教学问题的“再创造”,教师选择和设计一些问题的引申与推广渗入课堂教学中,可激发学生的探求欲望,对学生的创造性思维能力的培养有着特殊的功能.

参考文献

[1]任樟辉.数学思维论[M].南宁:广西教育出版社,1996:16.

[2]吕凤祥.中学数学解题方法[M].哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社,2003.

[3]陈朝阳.挖掘代数结构渗透数学思想---2014年浙江省高考文科第16题解法探究[J].中学数学,2015(2):93.

数学解题中的思维导向 篇7

一、在学习中掌握类比思维的意义

1. 类比思维的理论基础

美国教育心理学家奥苏泊尔认为:学生的学习是否有意义, 关键就在于他所要掌握的原理和新概念能否与他们认知结构中的原有知识观建立“非人为”和“实质性”的联系。而类比思维就是连接新旧知识的桥梁, 通过类比, 学生就能在已知基础上发展为由陌生到熟悉, 从直观到抽象, 由浅入深。通过对比两类事物间的相似性, 用已知比较未知, 从而使学生在原有知识的基础上学习新的知识。我们都知道:“理论指导实践, 实践反过来验证理论。”所以说, 没有理论, 我们就失去了行动的指南, 而没有实践, 理论也不过是空中楼阁。所以, 伟大的思想家马克思、恩格斯先生告诉我们:无论任何事情, 只需要指导“是什么”“为什么”“怎么样”就足矣。而在数学教学当中类比就像“认识事物”“提出问题”“解决问题”的一个理论指导。它不仅贯穿于数学教学的始末, 更适用于生活的每个角落。

2. 类比思维及其与数学学习方法的联系

类比思维是一种最基本的逻辑思维, 它是将属性上相似的事物进行比较分析并且从中总结出类似事物的规律和方法的一种思维模式。类比思想在科学领域研究当中已经得到了广泛的应用并取得了丰硕的成果。与此同时, 类比思维也是数学学习中的重要指导思想, 学生如果能够掌握并熟练运用类比思维就能够将复杂的问题简单化, 陌生的问题熟悉化, 抽象的问题具体化。总之, 就是针对高中数学的知识点、章节和题型对比, 最后将问题落实到运用意识, 然后提高解决问题的能力。

3. 类比思维的特性

所谓类比就是根据两个对象之间的相似, 把信息从一个对象转给另一个对象的过程, 它的特征是:两个对象的某些属性是相同的, 但表面上毫无共同之处, 知识在其中某一个观点或者某一个抽象层面上是相似的, 通过结论的得出, 并不是简单的模仿、复制, 而是创造性的设想。所以说, 类比既不同于演绎推理也不同于归纳推理, 它可以在两个不同领域之间进行知识的过渡。

二、类比思维的具体运用

1. 加减法类比微积分

学习数学不仅要会做题, 更重要的是要学习数学的思维, 熟悉的概念让我们“认识事物”, 定理和证明就是“提出问题”和“思考问题”, 有了这些理论基础, 所有的题目就单纯地变成了对真理的检验而已。要思路清晰, 宏观把握, 这样才能不置身于茫茫题海之中却仍然对未知的、陌生的题目心有余悸。微积分是高等数学的内容, 老师在讲解的过程中就要一方面缓解学生的畏惧心理;一方面还能让学生在原有知识的基础上学习新的知识。

我们已知知识:“加”“减”“乘”“除”四种运算, 加法的逆运算为减法, 乘法的逆运算为除法。也正如各种运算都有其逆运算一样, 微分法也有其逆运算, 那就是积分法。这样, 通过类比, 我们就知道将要学习的新知识“积分法”也不过就是微分的逆运算, 仅此而已。如此分析下来, 一方面缓解了学生的思想压力, 另一方面也让学生对将要学习的知识有了充分的心理准备。

2. 线面垂直类比定积分

已知的知识:定义1:如果直线l垂直于面α的任意一条直线, 则称这条直线与这个平面垂直。

认识事物:通过定义就使我们知道了什么是线面垂直。

提出问题:如果只根据定义来说明线面垂直, 在实际中是不能做到的。因为线的移动构成面。就说明一个平面内有无数条直线, 我们是不可能一一验证平面上的每一条直线与直线l垂直的。那么, 这样看来定义1的意义似乎不大。

解决问题:我们知道, 两条相交的直线就可以确定一个平面, 因此我们就有了线面垂直的判断定理。再进一步思考, 如果一条直线垂直于平面, 那么就很容易得出这条直线垂直于此面上的任意一条直线。

通过以上例子, 同学们在学习过程中的思路就清晰了, 首先要理清思路, 掌握最基本的思维步骤, 即利用所学知识—在新知识上进行思考—新旧结合, 解决问题。更要善于利用多角度进行思考, 如逆向思维、发散思维等。

3. 形式类比

高等数学的学习一方面为广大学生提供了后续数学课程以及专业的理论知识所需要的数学方法和工具, 另一方面还能让学生学会如何熟练和应用正确的思维来获取知识。但是, 大部分的学生在学习的过程中并不能真正地体会到学习数学的重要性。只是看到公式的繁琐, 证明步骤的枯燥, 以及面对大量题目的无奈。其实, 数学的很多公式只是一种形式而已, 定理的证明也只是验证一种理论的可行性, 而题目只是对定理以及公式的应用而已。

综上所述, 类比思想在高中数学的教育、学习中是不可忽视的。当然, 建立类比的方式不是唯一的, 它没有任何学科的限制, 比如, 当代著名的数学家、获得菲尔兹数学奖的丘成桐, 无论到哪儿都会带着一本《史记》, 当他在数学研究中遇到困难, 那么他就会暂时放弃研究, 专心地去研读《史记》, 希望通过类比来寻求解决问题的方法和途径。所以说, 学习数学的关键是一种思维方法的学习。

摘要：数学教育的目的是培养学生解决实际问题的能力和创造性的数学能力, 但是知识并不能直接转化为能力, 需要通过思维作为中介才能得以实现, 而在数学教学中, 类比思维是一个有效地解决数学问题的思维方法, 通过对数学中类比思维的综合就可以实现数学学习中对系统学习方法的掌握。重点探讨培养学生类比思维的能力, 通过对概念、公式、方法、运算的类比, 使学习和教学在一个简练的教学过程中进行, 最终达到让学生获得学习兴趣的目的。

关键词：类比思维,高中数学,归纳思维

参考文献

[1]魏海燕.中专数学教学中类比思维的应用[J].时代教育:教育教学版, 2009 (6) .

[2]杜跃红.数学教学中类比思维的作用实践与反思[J].管理学家, 2011 (10) .

[3]张春笋.论高中数学教学有效创新能力的培养[J].考试周刊, 2008 (49) .

数学解题中的思维导向 篇8

关键词：高中数学教学,类比思维,科学运用

类比思想由来已久, 我国古代有名的木匠鲁班看到有一种带有齿状的树叶, 因此他根据类比思维发明了一种工具———锯, 大大提高了古代劳动人民的劳动力和生产力.16世纪曾经著名的科学家牛顿就曾经运用类比思维将自由落体这一运动与天体的运动作比较, 最终得到推动人类进步的伟大定律———万有引力定律.不难发现, 无论是古代中国的文明进化还是西方科学的发展, 类比思想都伴随着人类的智慧而不断发展.正因为类比思想具有这样重要的地位, 所以我们在高中数学教学中, 深入分析和探讨类比方法在高考解题中的应用, 对于提高高中数学质量, 帮助学生在高考中获胜具有非常深远的意义.

一、类比思想和类比方法的含义

所谓类比思想就是指将本质上或者形态上存在着相似或者相同的对象进行研究, 找到其共同点的一种思维方式.这种思维方法在数学中的应用比较广泛, 需要学生在不断深入练习的时候体味.

所谓类比方法就是运用类比思想求解一些实际问题的过程中总结到的一些实际操作性强的方式. 这在数学学习中表现为具体应用类比思维进行解题的技巧.

二、类比思想在高中数学教学中的应用

高中数学教师要在教学实践的基础上渗透类比思想, 引导学生更好地培养类比思维解题意识, 在教学中强调类比学习的优势和地位, 提高学生的思维能力.

(一 ) 教师要善于在课堂基础概念、性质及定理中应用类比思想.高中知识点纷繁复杂, 尽管如此, 一些知识点是紧密联系的, 教师要善于将知识点合理迁移, 通过设计图标类板书, 给学生以直观的类比思想展示, 不断地促进学生运用类比迁移知识学习概念和性质等知识点.

例如, 教师在讲解椭圆和双曲线这两部分内容的时候, 可以在板书设计上展示如下类比模型, 通过类比二者的不同和相同处, 让学生透彻理解并掌握椭圆和双曲线这两个对象的表达式和图像及性质.

(二 ) 教师要善于总结思维方式 , 将不同的思维结构进行类比.其实, 高中生的思维发展已经基本成熟, 因此他们具备很多成人式的“思维结构”.教师要善于捕捉学生在回答问题, 阐述答案及解答题目过程中所展现出的思维结构, 通过给学生列举并做相应的类比, 让学生自身构筑提高类比思维的元认知.

例如教师可以抽出课堂的十分钟时间, 总结不同的同学对同一高中数学例题求解的思维, 有的学生善于运用“由表及里”的思维, 有的学生善于运用“由简到难”的思维, 而有的学生喜欢运用反证法这种“逆向”思维.通过类比, 帮助学生发展思维, 提高学生的思维能力.

(三 ) 教师要善于将类比思维与教学模式相结合 , 增强学生互动的同时, 帮助学生提高类比思维能力.当下我们在高中数学授课过程中, 经常用到的教学模式有合作学习模式、交互式学习模式、情境式学习模式、多媒体技术学习模式等, 教师可以将类比思想与这些教学模式和教学方法相结合, 在点滴渗透的过程中应用类比方式, 真正做到科学而精妙地使用.

例如, 教师在讲解高中数学知识“二面角”的时候, 由于涉及空间几何知识, 不妨选用多媒体课件教学模式, 通过制作一些形象、生动的几何图形帮助学生正确理解二面角的定义, 与此同时教师也要把握将初中数学知识“角的认识”, 与“二面角”的知识做类比, 通过不断归纳和探讨, 让学生真正掌握“二面角”的基本定义和性质及求解方法.

三、类比思想在高中数学解题中的应用

高中数学解题过程中基本上百分之十的题目都会用到类比思想, 因此类比思想在高中数学解题中的重要作用显而易见.

(一 ) 类比思想与数形结合思想在数与数解题过程中的应用.

例如:y=3-cosx/2+sinx的最值问题。

(二 ) 类比思想在三角函数中的应用.

例如化简:

y=sin2xsin2ysin2z+sin (x+y) sin (y+z) sin (z+x) +sin (x+z) sin (y+z) sin (y+x) -sin (y+x) sin2zsin (x+y) sin (y+z) sin (z+y) sin2x-sin (z+x) sin (x+z) sin2y

在解这道例题的时候我们要注意类比

sin (α±β) =sinα±sinβ和cos (α±β) =cosα±cosβ与

二者之间谁对谁错, 不要用错.

(三 ) 类比思想在立体几何中的应用.

例如已知:在三角形中存在余弦定理:a2=b2+c2-2bccos A, 那么, 在三棱柱ABC-A1B1C1中存在关系 (假设α表示平面BCC1B1与平面ACC1A1所成的二面角) .不难发现, 在高中数学解题过程中还有很多技巧都要运用到类比思想, 笔者通过多年在高中数学教学一线实践的经验, 发现在教学过程中渗透类比思想往往能够帮助学生树立解题的自信心, 掌握一定的类比方法解题技巧, 针对不同的题目采用对应的方式, 使得解题快速而高效.

综上所述, 本文从三个方面分析了类比思维在高中数学教学中的广泛应用, 无论是在教学上还是解题上都显示出类比方法的不可替代性, 因此, 努力拓展类比思维的不同应用是每一位高中数学教师展开教研工作的一大方向, 同时在教学中不断渗透类比思维方法, 帮助学生构筑类比思维, 提高学生的思维能力和创造能力, 我们责无旁贷.希望本文的阐述能够为广大教育同仁带来帮助, 也愿意与同行共同探讨这方面的理论与方法.

参考文献

[1]任子超.能力测试与试题设计[J].北京教育出版社, 2003.

高中数学解题思维与策略 篇9

关键词 高中数学 解题 思维 策略

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2014）11-0050-02

高中数学的知识点和内容是非常的多，而且高中的课堂之上，无论是老师授课的内容还是授课的速度都是非常快，所以很多的同学们都是无法接受，而导致了成绩的后退。尤其是在高中数学上面，因为高中数学的内容要比以往所学习的数学抽象很多，所以同学们在学习的时候更加难以理解，而考试之中也就问题百出了。

一、何为数学解题的思维过程

所谓数学解题的思维过程是指从同学们理解问题开始，经过有思路地探索，转换问题，最终解决问题的思维活动。关于数学问题的解题过程，以往有位名人提出了一套合理的过程。分为四个阶段。是弄清问题、拟定计划、实现计划、最后回顾的过程。而古往今来，在很多数学学者或是教学工作者的总结之下，这四个步骤又被简化为：理解，转换，实施，反思。

理解问题首先就是要认真的读题，明白弄清题意，是解题思维活动这个过程的开始。转换问题是解题思维这个活动的核心步骤，将问题进行转化，转化成自己曾经做过的问题的类型，或是在大脑之中搜索例题，进行转化，转化问题是探索解题方向和途径的积极尝试和探索发现的过程，是思维转化的过程。计划实施是解决问题的应用。只能想不行，最重要的是能够将自己的思路工整、规律地写下来。另外反思对于同学们来说是一个十分有必要的步骤，但是很多同学都会忽视这个步骤，反思可以让同学们的思想得到升华，而反思也是思维过程的结束。

二、数学的解题策略

（一）熟悉化策略

熟悉化策略就是让同学们在面临以往没有做过的题，一些陌生的题目的对候，能够设法将这道题转化为曾经做过的题目，将这道题往自己学习过的知识点方向转化，这样有利于同学们运用自己已学知识和内容将这道题解答出来。另外考试之中不会出现同学们没有学习过的知识点或是内容的题目，所以同学们只要能够进行转化的话，就很容易找到题目的攻克点。而且一般来说，同学们对题目的熟悉程度，决定在同学们对题目的结构的认识和理解，从结构上分析一个问题，一般来说都是饱含条件和问题。在解题的时候，同学们一定要知道这道题问的是什么，这是非常重要的，因为我们的答案就是需要回答这道题的，而另一方面，同学们也需要仔细地研究条件，条件之中也有可能具有隐含的条件，读题的时候一定要能够把隐含的条件读出来，做题的时候也要能够运用得到。想要把陌生题目转化为熟悉的题目也是需要一定的技巧。

（二）简单化策略

所谓的简单化策略就是将我们做题之中遇到的一些结构复杂、难以下手的题目简化为一道或是多道比较简单的题目，以便于同学们能够通过对新题的考察，在解题思路上面有所突破，用最简单的方法解答问题。而简化问题的时候也需要同学们能够掌握一定的技巧。

首先同学们要能寻找题目的中间环节，挖掘隐含条件。在上文之中我就提到，答题的时候一定要先审题，审好题。有些时候题目之中会隐藏很多的条件，所以为了让同学们能够会答题，会做题，一定要能够做好审题的步骤，找到题目之中隐藏的条件，尤其是一些复杂的综合题目的时候，同学们要能根据它的背景，找到构成它的简单的题目，一般大的综合题目都是考察同学们对于一些简单的题目的综合能力，几道简单的题目在经过综合之后，适当的抽去其中间步骤就构成了一道大型的综合题。因此同学们在答题的时候要能够从题目的因果关系入手，寻求可能的中间环节或是隐含条件，然后把原题进行逐步解剖，实现复杂题目的简单化。

有些数学题目蕴含大量的内容，解题的时候十分复杂，需要同学们能够理清自己的思路，在书写的时候，要条理分明，思路清晰，而同学们在面对一般这类问题答题的时候一定要能够逐点解剖，要能够分清思路，分点作答，这是考察同学们的分类讨论的能力，很多的同学在写答案的时候，总是写了一大堆，让改卷老师十分为难，因为同学虽然写了很多，但是总结起来只能算是一点，所以是不能够给高分的，因此同学们答题的时候要注意分点答题，将自己的思路完美，条理清晰的呈现在卷子上面。

（三）直观化策略

这里所说的直观化策略，就是当同学们在面临一道内容十分抽象，难以捉摸的题目的时候，要设法将它转化为形象鲜明、内容具体的题目，以便同学们在做题的时候能够结合其中内在联系找到原题的解题思路。直观化的策略其中包含图标直观、图形直观、图像直观。有些数学题同学们读了很多遍都是无法寻找到解题的思路，但是当同学们根据原题作图的时候，就很容易找到思路，利用图标或是图像等内容可以让抽象的内容具体化，有利于同学们对这些知识和内容的理解，让同学们迅速的找到解题的思路。

（四）特殊化策略

特殊化策略就是在我们遇到以往从来没有见过，根本无从下手，老师也没有提到过的新题型的时候，我们要从特殊之中找一般原理，就算是这个题目比较特殊，它也应该具有最为简单的构成元素，也是由某个或是某几个简单的知识点组合而成的，所以答题的时候一定要能从特殊之中找一般的原理。有利于同学们扩展解题思路，发现解答原题的方向和途径。