对称思想与数学解题

对称思想与数学解题（精选三篇）

对称思想与数学解题 篇1

1 对称思想的含义

对称, 顾名思义, 就是两个事物 (或同一事物的两个方面) 相对而又相称。如果A、B是具有对称性的两个事物 (或同一事物的两个方面) , 那么把A、B交换顺序, 其结果不变, 这就是对称原理。著名数学家波利亚在文献中也有类似的定义。并指出“我们要尝试对称地处理对称的东西, 而不要随便破坏任何自然对称性”。

在数学问题中, 经常出现在某种意义下对称的形或式, 如几何中的圆、圆锥曲线数, 关于这方面的问题很多。充分利用对称原理, 可使我们在解决这类问题时多一条有效的通道, 而且常能起到化繁为简的效果。使用对称思想方法既能提高解题速度, 又能锻炼各种能力, 所以我们在问题教学活动中重视对称思想方法是非常必要的。下面就对称思想在数学中的应用从以下几个方面作一些介绍。

2 对称思想在解题中的应用

对称思想在中学数学中居于重要的地位, 是数学形式美的体现, 在平面几何、函数、方程和不等式等中学数学分支中均有广泛的应用, 对问题的解决起到出奇制胜的效果。

2.1 对称思想在几何中的应用

几何中有很多对称的图形, 比如点对称、线对称和面对称等图形, 这些对称图形中有很多重要的性质。在具体的解题中, 我们可以利用对称思想构造对称的图形, 这样会为题目带来有用的条件, 便于问题的解决。

例1:在平面直角坐标系中, 一个圆心在 (a, b) 的圆包含原点, 设此圆在第一象限及在第三象限的面积之和为1S, 在第二象限及第四象限的面积之和为S2, 求S1-S2的值。

分析:如图1, S1=SOAPC+SOBD, S2=SODQA+SOBMC。由于圆的半径未知及组成的四个部分的面积都不便用式子计算, 要想用代数计算求S1-S2是很困难的。但是, 注意挖掘图形的对称性, 这个问题就很容易了。

解:作x轴、y轴关于点 (a, b) 的对称直线MP, QN交点分别为F, G, E, M, N, P, Q如图1。那么, 由对称性可知

通过上面例子的分析, 我们可以看出“对称元分析法”的应用可帮助我们减少思维的盲目性, 简化运算过程, 使杂乱的运算变得有序, 同时也说明新方法在应用上有一定的广泛性。

2.2 对称思想在函数中的应用

函数是中学数学教学的主线, 也是整个高中阶段数学的基础。利用对称性能使一些函数问题得到简捷、巧妙地解决, 如求函数表达式, 函数的相关性质探究等。

例2:已知2f (-sinx) +3f (si nx) =4sinxcosx, , 求f (x) 的表达式。

分析:我们知道sin (-x) =-sinx, cos (-x) =cosx, -, 以-x代换x可得另一个关于f (si nx) 与f (-sinx) 的关系式。

解:因为-sinx=sin (-x) , 把-x代换x, 于是已知条件

(6) ×3- (7) ×2得5f (si nx) =20sinxcosx, 所以

此题利用x与-x的对称, 反映了f (si nx) 与f[sin (-x) ]的对称性, 使得问题的解决显得简捷、明了, 另外要注意运用对称性时, 要保证相关函数自变量满足已知条件。如果本题的取值为, 也就不能使用对称原理解决了。

上述例子体现了函数的对称性, 这种对称思想是一种重要的数学思想, 我们应将这种思想充分地运用到解题实践中去。

2.3 对称思想在方程中的应用

提到对称, 不仅是图形的对称, 还有式的对称。这些对称问题使得当我们对其一部分实施一个变换时, 那么对另一部分也必须实施同样的变换, 这样便可满足对称问题所具有的平衡和谐的特性, 从而降低解题难度, 便于解决问题, 这正是对称思想运用的妙处所在。

例3:解方程组:

分析:观察该方程组, 我们发现这里的未知数的地位是平等的, 未知数在方程中是对称的, 我们可以利用这种对称特性, 在方程之间作适当变换, 得到有用的关系式。

解:这里方程组每一方程两边都是对称式, (10) ~ (11) 得

即

所以x2 x3=1或x1=x4.若x2 x3=1, 由 (10) 有

无实数解, 故只能是x1=x4, 其次对方程组 (10) 与 (11) 、 (11) 与 (12) …施行上述运算, 由轮换对称性质, 得

于是

故方程组的解形如 (a, a, …, a) 不妨代入 (10) , 得a3=3a, 所以a=0或, 所以方程组的解集为

从上述例子可以看出, 对称性是解方程组的利器, 利用对称性可使问题得到巧妙的解决。不过并不是所有的方程组都可以运用对称性来解决, 需要方程组中各方程结构是对称的, 我们才可以考虑运用对称性来解决。

3 结语

通过以上的分析, 我们发现对称思想在数学均广泛的应用。在几何中, 我们可以利用轴对称和“对称元分析法”等对称思想将问题条件进行转化;在函数中, 一方面我们可充分利用函数本身 (如奇函数, 偶函数) 的对称性, 另一方面可利用函数表达式的对称性;对称思想应用在方程中时, 如果方程 (组) 本身具有对称性, 我们可以考虑应用对称思想解题, 但是并不是所有方程 (组) 均可利用对称思想求解。对称思想并不是万能的, 它只是启发我们在解决问题时, 多一种角度, 多一种思路。

参考文献

[1]李文富.数学对称思想方法新论[J].成都大学学报 (教育科学版) , 2007, 21 (9) .

[2]G.波利亚.怎样解题[M].上海科技教育出版社, 2005:256～258.

对称思想与数学解题 篇2

第一部分 数学思想篇

一.函数思想

1.函数与方程问题

2.函数与不等式问题

3.函数与数列问题

4.函数与导数问题（刘立新1-4）

5.函数与三角问题

6．函数与几何问题（杨志勤5-7）

7.函数与反函数问题

二.数形结合思想

1.以数辅形，用代数方法研究几何问题

①利用数量关系揭示几何性质（代数法）（李巧文1-3）②坐标思想及应用

③向量法

2.以形助数，借助于几何直观性揭示数与式的内在规律

①利用函数图象的性质解题

②利用方程的曲线解题（杨行保1-4）③利用有关几何意义解题

④利用已知图形的性质解题

3.数形互助，在解题中串联、结合使用（王成震共2讲）

三.分类讨论思想

1.根据数学概念分类

2.根据定理、公式的限制条件分类（江忠东1-2）

3.根据运算性质、运算要求分类

4.根据图形位置的不确定性分类（赵善华3-4）

5.根据函数性质分类

6.其他方面的讨论

7.如何回避分类讨论（周家忠5-7）

四.转化与化归思想

1.等与不等的转化

2.正与反的转化

3.特殊与一般的转化(归纳与演绎)

4.分解与组合的转化(整体与局部)(毛良忠共5讲：1-4及方法篇41)

5.静止与运动的转化(常量与变量)

6.空间与平面的转化

7.无限与有限的转化(赵太田5-7)

8.多元与一元的转化

9.实际问题与数学问题的转化（潘巨军共3节）

五.建模思想

1.函数、方程思想与数学建模（尹述章共3节）2.线性规划与数学建模

3.数列与数学建模（陈小鹏2-3）4.概率与数学建模

5.导数与数学建模（苏克义5-6）六.算法思想

1.顺序结构

2.选择结构3.循环结构

4.算法应用

1.消元法 2.换元法

3.配方法4.判别式法 5.点差法 6.向量法

7.等积法8.割补法

9.排序法10.导数法

11.归纳法12.演绎法

13.降次法14.图表法

15.模型化法16.猜想法

17.估算法18.递推法

19.赋值法20.统计法

21.放缩法22.反证法23.增量法24.参数法

25.构造法第二部分 数学方法篇

（李立朝）6节）（王安寓1-3）（邱建永4-7）（赵家早8-9）10-11）李天红 崔平社曾仕欠 季丙富 蒋德亮 王秀彩 冯建锁 林文柱

（张祖寅共（王亮续

26.比较法

27.有理化法冯建中 28.分析法

29.综合法尹述章同上 30.待定系数法

31.面积法张丕学32.三角法

33.类比法吴茂 34.平移法

35.旋转法36.对称法

37.排除法38.特殊化法 39.常量代换法

40.配凑法41.极限法第三部分

一.集合与简易逻辑运算技巧

1.一般集合运算技巧

2.特殊抽象集合的运算技巧

3.简易逻辑问题的相关技巧二.函数运算技巧

1.函数定义域的求解技巧2.函数值域的求解技巧3.抽象函数的求解技巧

4.利用函数单调性解题技巧(5.利用函数奇偶性解题技巧6.利用函数周期性解题技巧

7.利用函数连续性解题技巧三.数列运算技巧

1.等差数列运算技巧2.等比数列运算技巧

3.递推数列运算技巧四.平面向量与三角的解题技巧

1.三角函数化简技巧2.求三角函数最值的解题技巧

3.平面向量的解题技巧五.不等式证明技巧

1.利用导数证明不等式的技巧

数学技巧篇徐宝宏 姜忠杰

袁竞成1-3 张祖寅见上)马兴奎5-7王树强程自顺 莫德松 刘焰（毛良忠见上）

2.利用数学归纳法证明不等式的技巧李云杰3.利用构造法证明不等式的技巧

4.利用柯西不等式证明技巧王明山5.利用均值不等式证明技巧

6.含绝对值不等式的证明技巧徐爱勇7.其他情况不等式的证明技巧翟洪亮共3讲六.立体几何求解技巧

1.空间角的计算技巧（线线角与线面角的计算技巧）

2.空间距离的计算技巧韦艾珍 3.三视图问题解题技巧（王成震见上）5.几何体面积与体积的计算技巧

6.常见几何体外接球问题的求解技巧赵学锋 七.解析几何求解技巧

1.判定两条直线位置关系的技巧2.线性规划问题的求解技巧

3.判定直线和圆锥曲线位置关系的技巧吉众1-3 4.求轨迹方程的技巧罗鹏 5.动点问题探求的方法与技巧孙英 6.圆锥曲线离心率及其取值范围的求解技巧

7.圆锥曲线过定点问题的求解技巧张胜利 八.参数问题的求解技巧

1.参数方程应用技巧

2.求解参数范围的技巧杨传宝1-23.含参数的恒成立问题求解技巧赵冬梅4.含参数的有意义问题求解技巧

5.含参数的存在性问题求解技巧王利坡4-5 九.计数原理与复数

1.计数原理的应用技巧

2.复数的计算技巧张海通1-2 十.概率统计问题的相关技巧

1.离散型随机变量的常见题型及求解技巧2.n次独立重复试验相关问题的求解技巧

3.线性回归问题的求解技巧李鹏1-3 十一.高考相关问题的解题技巧

1.解答高考选择题的常用方法和技巧

2.解答高考填空题的常用方法和技巧韩红军1-23.高考新题型的求解技巧

4.高考实际问题的图象选择技巧刘会丰3-4 十二.其他

1.排列、组合问题的计算技巧翟辉亮共2讲：第1讲和第3讲2.高等数学中的思想与方法在初等数学中的表现与应用（潘巨军见上）

3.合情推理翟辉亮见上

一、写作的总体要求：

1、整本书的选题以高考和竞赛（一试或初试）题为主，兼顾其他，但选题要新颖、典型，原创题目（非常提倡）必须核准无误，高考和竞赛题注明年份、出处；对于原书中的旧题、偏题、过难题一律调换；

2、因为我们是修订“思想方法技巧”一书，因此请编者在编写时

有选择性地保留原书的30℅--50℅；

3、章节层次脉络清晰，书写工整，图文对应，尽量避免一切科学

性错误及笔误；

4、本着对教育教学事业的热爱，请您拿出百分百的耐心、热心和

责任心编写本书，我们会将您的姓名写进编委名单中；

5、本次修订的结稿日期为2008年10月1日，若期间未见您的文

稿，视为自动放弃，我们将另请人编写！

二、写作体例 第一部分 数学思想篇

一、函数与方程思想

〖概述〗

要求： 概述本篇所包涵的内容精髓、特征、适用范围等等。

第1讲 函数与方程问题

〖思想精髓〗（方法、技巧篇改为方法精髓、技巧精髓）

要求：阐述该讲所蕴涵的思想与方法，准确叙述该讲所涉及的概念，以及在数学解题中的地位和作用。条理清晰，言简意赅．（修订的部分需对已有内容做更进一步的加工，使其与新教材接轨，符合新课程理念）〖应用示范〗

例1 …… …… …… …… ………… …… 绿色通道 …… ……

红色警示

…… ……

例2 …… …… 要求：

1.绿色通道 给读者提供思路与过程；

2.红色警示 揭示思维误区，反思解题方法；

3.解析到位，过程完整，反思要有新意，叙述简洁；

4.例题典型，能充分体现所阐述的数学思想（方法或技巧），应用所讲述的数学方法和技巧； 5.题量：3道． 〖思维挑战〗

1.（年份出处）…… …… …… 2.…… …… …… ……

要求：题量3道． 〖答案链接〗

1.A.提示：…… …… …… 2.16.提示：…… …… …… ……

对称思想与数学解题 篇3

关键词：对称美；数学研究；中学数学

一、对称性起源

世界万物都是对立统一的，都包含有矛盾的两个方面，这两个方面是对立的.同一种包含有对立和对称的性质反映在数学上就是对称性.

早在远古时期，人们已经认识到了对称性，注意到的是普遍存在于自然界的空间对称，例如，镜像对称、中心对称等.随着人力文明的发展，对称性渐渐地融入人类生活的方方面面.在建筑、音乐、文学等领域都得到了充分体现，建筑方面：北京紫禁城、古罗马斗兽场等；音乐中的交响曲；文学中的众多古诗词，如“明月松间照，清泉石上流.”对称性正式进入科学领域大约是在古希腊时期：化学中的分子对称；物理学中的对称性；数学中的几何对称、函数对称等.

二、对称的概念

所谓对称，是指组成某种事物或对象的两部分的对等性，是统一性的特殊表现.当然，这里所讲的对称主要包含两个方面的内容，一是视角情况下的图形，这集中体现了一些函数的坐标变量关系，这种图形比较直观；另外是关于数学概念与定理方面的对称思想.在数学中，用自同构对应笼统的来解释对称性.一般的，设集合S有一个到自身的变换f，S的元素之间定义了某种关系“*”，a，b∈S在变换f之下的像a′、b′∈S，如果a、b之间具有关系“*”，则a′、b′之间仍保持关系“*”，即a′*b′就称变换f是集合S关于关系“*”的一个自同构对应.设S是一个给定的集合，P是S的一个子集，如果S有一个自同构对应f，使得对p的任意元素x，仍有f（x）∈P，则称集合P是对称的.在几何学中，对称是图形的一种性质或指两个合同图形间一种特殊位置关系，包括中心对称、轴对称、平面对称三种.

三、数学对称性主要内容