高中数学解题中的思维起步

乔治·波利亚 (George Polya, 1887～1985) 是美籍匈牙利数学家、数学教育家, 在解题方面, 是数学启发法 (指关于发现和发明的方法和规律, 亦译为探索法) 现代研究的先驱。波利亚是围绕“怎样解题”、“怎样学会解题”来开展数学启发法研究的, 这首先表明其对“问题解决”重要性的突出强调, 同时也表明其对“问题解决”研究兴趣集中在启发法上。波利亚在风靡世界的《怎样解题》一书中给出的“怎样解题表”, 将数学解题过程分为四个阶段:审题、寻求解题途径、实施计划、检查与总结。其中寻求解题途径又是其中的重要一步, 寻求解题途径就是进行各种组合的试验, 尽可能将习题化为已知类型, 选择最优解法, 选择解题方案, 经检验后作修正, 最后确定解题计划。而在这当中怎样才能化为已知类型, 选择题优解题方案, 思维从何而来, 笔者就自己的体会抛砖如下:

一、从特殊性看问题

对于某一问题, 从中选取几个特例或许可洞悉该问题的一般规律 (特征) , 因此从特殊性质看问题是思维起步的模式之一。

思维起步一:若存在这样的常数a, b, c, 则等式n=1, n=2, n=3应该成立, 将这些值分别代入恒等式中, 得一个关于a, b, c的三元一次方程组, 解方程组求出a, b, c。最后将这些数值代入恒等式, 用数学归纳法证明恒等式。

用以上思路易得到a=3, b=11.c=10使题设等式对一切自然数n都成立。

思维起步二:等式左边由一些特殊项的和构成, 这些特殊项的一般结构为k (k+1) 2=k3+2k2+k (k=1, 2, ..., n) 。由再套用已知的立方和、平方和公式即可得原式左边, 和等式右边比较可知a=3, b=11, c=10

对于含有变动的几何元素 (点、线段、图形) 的题目, 也常从变动元素处于特殊位置 (常为极端位置) 时展开解题思路。

二、从转换中寻求统一

解题的实质是寻求条件与结论或已知与未知的和谐统一, 亦即架设结论与条件或未知与已知的桥梁, 实现条件到结论或已知向未知的转化。因此, 尽可能的将所考虑的题目向简易和明确转化是解题的思维起步。

例2设a, b是实数A={ (x, y) |x=n, y=na+b, nεZ}, B={ (x, y) |x=m, y=3m2+15, mεZ}, C={ (x, y) |x2+y2≤144) }是平面上的点集, 讨论是否存在a和b使: (1) A∩B≠φ, (2) (a, b) εC同时成立。

分析:本例看似繁难, 其实只要注意到了“集合语言”向“通常语言”的转换, 也就迎刃而解。集合A即直线l1:y=ax+b上的点集 (横坐标为整数的点) , 集合B即抛物线C1:y=3x2+15上的整点集, 集合C为圆C2:x2+y2=144的内部, A∩B≠φ即l1与C1有公共的整点, 即存在n∈Z使na+b=3n2+15. (a, b) ∈C即l2:nx+y=3n2+15和C2有交点, 亦即 (0, 0) 到l2的距离d≤12, 由此得。进一步推得n2=3和nεZ矛盾。故不存在a和b同时满足 (1) 和 (2) 。

三、由相似联想已知

此处的“已知”是指解题者头脑中已有的定理、公式、熟悉题目及常用方法。有经验的解题者只要一接触即会浮想联翩, 从题目和已知信息的相似中发现解题契机。

分析:将x, y的值代入欲证等式, 企图将左边转化为右边的一种思维方法, 但一试便知此法较难, 注意到欲证等式类似余弦定理, 一个构造边长和夹角满足特定关系的三角形求证的想法应运而生。

四、由经验诱发猜测

丰富的解题经验可产生十分可靠的直觉, 进而据题目的条件直接猜出可能要用的解题方法或结论, 剩下的式作只是例行验证任务罢了, 这往往是一种“创造型”的解题思维起步。

例4已知sinx+cosx=1, 求sinnx+cosnx的值

结论猜测:n=1时, s i n x+c o s x=1;n=2时, sin2x+cos2x=1;n=3时, sin3x+cos3x= (sinx+cosx) 3-3sin2xcosx-3sinxcos2x=1 (易由sinx+cosx=1得sinxcosx=0)

故有理由猜测sinnx+cosnx=1

猜测的验证:思维起步一:由二项式定理得

思维起步二:命题和自然数n有关, 可考虑用数学归纳法

两个交点 (如图) 由sinx+cosx=1得sinx=0时cos=1, cosx=0时sinx=1, 且sinx, cosx不可能再取其它值, 因而sinnx+cosnx=1

在数学解题中寻求解题途径即转换问题是解题思维活动的核心, 是探索解题方向和途径的积极的尝试发现过程, 是思维策略的选择和调整过程。以上途径特别有利于开始解题者能迅速“登堂入室”, 找到解题的起步点。