正项级数收敛性

2024-04-21

正项级数收敛性（精选9篇）

篇1：正项级数收敛性

这两个级数只是l??,l??，我们暂时抹掉这种差异，用l代替这两者，于是，我们关注

n?N?1

??(l,n)

究竟是什么？可以充当级数收敛性的判定标准？

目前我们只能用等比级数作标准，能用p-级数

吗？也就是 ?p

n?1n

n?N?1

??(l,n)

（为了左右一致，将p换成l，n换成m） lm

?e?llnm lm

即 e

n?N?1

??(l,n)

于是

n?N?1

??(l,n)?llnm

考虑到级数和广义积分收敛性相同，我们更愿意假设

N?1

?(l,n)dn?llnm

l m

对m求导，得到 ?(l,m)?于是

al??l??

?lnn?

nan?1n

?l?? an?1

即 ???nln

|nln

?l|?? an?1

anan1

故lim?(ln,n)?l可选为limnln?l，l为p-级数?p的p值，l?1，l??都n??n??an?1an?1n?1n

可保持大于1，l?1，l??同样可以保持和l同样的范围，故这两种情况，

n?1

的收敛性

和p-级数

的收敛性判定完全相同，可l?1时候，l??肯定无法保持为1。故 ?pnn?1

??an

limnln?l，当l?1时，?an收敛，当l?1时，?an发散，l?1，不确定。 n??an?1n?1n?1

在limln

n??

anaaa

?0的情况下，lnn?n?1，故limnlnn?l可换成

n??an?1an?1an?1an?1

?1)?l an?1

limn(

n??

除了用p-级数

作标准，还可以用别的吗？ ?p

n?1n

可以，柯西选择了级数

?nln

n?1

即 e

n?N?1

??(l,n)

?e?llnlnm?lnm l

mlnm

于是

n?N?1

??(l,n)?llnlnm?lnm

考虑到级数和广义积分收敛性相同，我们更愿意假设

N?1

?(l,n)dn?llnlnm?lnm

mlnmm

对m求导，得到 ?(l,m)?于是

(

al??1l??1

?)?lnn?(?) nlnnnan?1nlnnn

)lnn?l?? an?1

即 ???(nln

|(nln

)lnn?l|?? an?1

anan1

故lim?(ln其中l为?的参数，l?1，,n)?l可选为lim(nln?1)lnn?l，ln??n??an?1an?1n?1nlnn

l??都可保持大于1，l?1，l??同样可以保持和l同样的范围，故这两种情况，?an的

n?1

收敛性和级数

的收敛性判定完全吻合，可l?1时候，l??肯定无法保持为1。 ?l

nlnnn?1

lim(nln?1)lnn?l，当l?1时，?an收敛，当l?1时，?an发散。 n??an?1n?1n?1

在limln

n??

anaaa

?0的情况下，lnn?n?1，故lim(nlnn?1)lnn?l可换成

n??an?1an?1an?1an?1

?1)?1)lnn?l an?1

lim(n(

n??

这是因为 lim(nln

n??

?1)lnn?l等价于 an?1

(nln?1)nln?l?o

an?1ln

(1)

anl11???oan?1nlnnnnlnn

ana

?n?1an?1an?1

anl11?1???o() an?1nlnnnnlnn(n(

?1)?1)lnn?l?o(1)an?1

?1)?1)lnn?l an?1

lim(n(

n??

对于最初知道的比值判敛法，其实也可以按照上面的方式寻找到，即用等比级数准。

n?1

作标

e于是

n?N?1

??(l,n)

?lm?emlnl

n?N?1

??(l,n)??mlnl

考虑到级数和广义积分收敛性相同，我们更愿意假设

N?1

?(l,n)dn??mlnl

对m求导，得到 ?(l,m)??lnl 于是

?ln(l??)?ln

??ln(l??) an?1

即 ???

an?1

?l?? an

?l|?? an?1

anan

故lim?(ln,n)?l可选为lim?l，其中l为?ln的公比，0?l?1，l??都可保n??n??aan?1n?1n?1

持大于1，l?1，l??同样可以保持和l同样的范围，故这两种情况，

n?1

的收敛性和级

数

l?的收敛性判定完全相同，可l?1时候，l??肯定无法保持为1。 n?1

??an?1lim?l，当0?l?1时，?an收敛，当l?1时，?an发散，l?1，不确定。 n??an?1n?1n

根值判敛法虽然也是以等比级数作标准，但似乎不能按上述模式推导出来。

篇2：正项级数收敛性

?ab

n?2nlnn

1．a?1发散 2．a?1收敛 3．a?1,b?1发散 4．a?1,b?1收敛

lim[nln

n??

?1]lnn?g an?1

y?(nx?1)lnn

1yx??(?1)

nlnn

?glnlnn?lnn1nlngn

1?g??1?g????

?1?lna?lna??1nn?1????

n?lnnn?lnn??e

lnaN?

?1???n?

?lnn?1g??

?an?1?e

lnaN?

??1???n?

?lnn?

1g??

??1???n?lnn??

1g??

?bn

现在开始讨论正项级数的收敛性，上面写得很乱的东西，没有清掉它，因为它是问题的核心，

记录着思维的真实，保持原样挺美的。

n?1

（an?0）被称为正项级数，这个定义有点狭隘，因为级数的收敛性不受去掉或增加

有限项的影响，只要从某项开始，后面全部项都是an?0，就足够看成正项级数了。数列an

写成函数形式an?f(n)可以拓展解决问题的视野，比如

?f(n)的收敛性和?

n?1

f(x)dx的

收敛性，有着极为密切的关系，假定f(x)?0很多时候，收敛性是相同的，比如单调的时候。不单调也不怕，因为级数和广义积分的收敛都与前面有限部分的情况没什么关系。极值点是单调性改变的地方，如果只有有限个极值点，在右边足够远的区间里，函数必然单调，而这足够肯定，两者收敛性相同。只要有限个极值点，很多时候这已经够用了。如果是无穷个极值点，也不是没有作为，只要存在经过极少值点的函数，经过极大值点的函数，且这两个函数只有有限个极值点，对这两个函数进行类似讨论，也能解决绝大部分问题。当然，如果这两个函数无论走多远，都相距很远，能给我们的帮助就非常有限。不过没有必要为此担心，初等函数中，只要不是周期函数，在足够远的区间里，都可以当作是单调的，也就是说，上面所说的级数和广义积分收敛性是相同的。广义积分可以求原函数，处理手段比级数灵活，借广义积分研究级数收敛性是极为重要的渠道。最原始的级数收敛性，还非得借助广义积分不可。比如p-级数

，其实就是通项为幂函数的级数，其收敛性完全清楚，另一个完?p

n?1n

全清楚的级数是等比级数

n?1

，其实就是通项为指数函数的级数。这是两个最基本的级数。

后面演绎的常见判敛方法，都与这两者有关。比如，常见的比值盼敛，根值判敛，本质上是

用等比级数作参照的。等比级数收敛或发散很快，能判的级数范围并不大。拉贝判敛是以p-级数作参照得出的，由于p-级数收敛或发散比等比级数要慢，因而可判的级数范围要广很多。有没有比p-级数还要迟钝的`级数？当然有，如

，高斯判敛就是以这个级数??

nlnnn?1

作参照的。不过，无论哪种极限判别，都有判据为1时无所作为的遗憾。

正项级数的方便之处在于，级数的收敛性等价于其部分和数列的有界性，准确说，是否有上界，因为其部分和数列是单调递增的。由于这个原因，若an?bn，则由bn的部分和有上界，必可得到an的部分和有上界，故收敛是小看大，大的收敛，小的一定收敛。这个命题的等价命题是：发散大看小，小的发散，大的必然发散。这种通过不等式比较两个数列，从而得出收敛性判定，很基础，但不方便，因为不等式的放缩不是件容易的事情。

用极限比较是个不错的主意。因为极限虽然是一个数，但这个数和数列某项以后的无穷项有着很好的大小关联性，而级数收敛性则只与某项以后无穷项有关。

lim

ana?l，（l?0）根据极限定义，有???0,?N,?n?N:|n?l|??

n??bbnn

即???0,?N,?n?N:(l??)bn?an?(l??)bn

如果l?0，由于??0的任意性，选取?使得l??为正没有任何问题。若

n?1

发散，

(l??)bn?an?(l??)bn的左边不等式说明?an，若?bn收敛，其右边不等式则说明

n?1

收敛。这个两边夹不等式，确保

n?1

，

n?1

收敛性相同。当l?0，这个两边夹不

等式的左边失灵了，因为所有项非正，不过右边不等式仍然可用，即可以由

n?1

收敛判断

n?1

收敛，但无法由

n?1

发散判断

n?1

发散。

这个极限比较判敛，需要知道其中一个的收敛性，当l?0时，可以肯定另一个有同样的收敛性，但l?0时，只可由

n?1

收敛判断

n?1

收敛，或者由

n?1

发散判断

n?1

发散。

l???和l?0刚好颠倒。

有时候l不存在，也不是??，只要lim

?l存在，这相当于

n??bn

???0,?N,?n?N:lbn?an?(l??)bn 故lim

ana

?l与limn?l判定方法完全一样，但前者有更好的适应性。

n??bn??bnn

这种事先要知道一个级数的收敛性的要求还是有点不方便，如何找那个事先知道的级数？

能否通过数列自身的信息得出判定方法？最自然的想法就是前后两项相比，会有什么消息？还是用极限方法：lim

an?1

?l，由极限定义，得

n??an

an?1

?l|?? an

???0,?N,?n?N:|

变成 ???0,?N,?n?N:(l??)an?an?1?(l??)an 这不会提供任何有效信息，因为任何一边都是未知的。由极限定义得到???0,?N,?n?N:l???

an?1

?l?? an

先假设l?0，适当选取?可保l???0，不等式取对数： ln(l??)?lnan?1?lnan?ln(l??) 再取和：

n?N?1

?ln(l??)??(lna

n?N?1

n?1

?lnan)?

n?N?1

?ln(l??)

即 (m?n)ln(l??)?lnam?1?lnaN?1?(m?n)ln(l??) 故 (m?n)ln(l??)?lnaN?1?lnam?1?(m?n)ln(l??)?lnaN?1 取指数： aN?1(l??)(m?n)?am?1?aN?1(l??)(m?n)

当m变化时，上面不等式两端都是等比数列，其级数的收敛性完全由公比确定，am的收敛性完全由两端的等比级数确定。由?的任意性，若0?l?1，则可以确保0?l??,l???1。若l?1，则可以确保l??,l???1。故根据0?l?1和l?1，可分别得出散。当l?1时，这个方法失效，无从给出判定。当l?0时，不等式 aN?1(l??)(m?n)?am?1?aN?1(l??)(m?n) 右半部分还是可用的，而这足够了，选定l?????1，可以确定

n?1

收敛和发

n?1

收敛。

an?1

于是有 lim?l，若0?l?1，?an收敛，若l?1，?an发散。l?1，不确定。

n??an?1n?1n

在这里lim

an?1a

?l可以替换成n?1?l，结论一样。不过适用性更广。知道这个l的实

n??an??ann

质是等比数列的公比是有价值的。这个判别方法不过是用等比级数作标准判断级数的收敛

性，能判的范围很有局限性，比如l?1的时候，就不灵了。

根值法?l和比值法虽然计算上有点区别，但实质仍然是以等比级数作标准判断收

n敛性，因而结论完全一样，不过根据不同表达式采用不同判别法，在计算上会有各自的特点。当lim

an?1a

?1时，咋办？一般说来，想比不如相减方便，故limn?1?1可等价写成

n??an??ann

an?1aa

?0，为了后面表述上的一致性，我们更主要用limlnn?0表示limn?1?1。

n??n??anan?1an

limln

n??

这样提问，也许能帮我们引向问题的解决：

我们需要什么样的一个函数?(x,n)，使得lim?(ln

n??

,n)?l，而根据l的范围，便可给an?1

出

?an的收敛性判定？还是从lim?(ln

n?1

n??

,n)?l本身寻找答案，其极限定义为 an?1

,n)?l|?? an?1

,n)?l?? an?1

???0,?N,?n?N:|?(ln

即 ???0,?N,?n?N:l????(ln

求解?(x,n)的反函数，我们假设它仍能维持不等式的两边夹，于是 ?(l??,n)?ln

??(l??,n) an?1

即 ?(l??,n)?lnan?lnan?1??(l??,n) 取和：

n?N?1m

?(l??,n)?

n?N?1

(lnan?lnan?1)?

n?N?1

?(l??,n)

即

n?N?1

?(l??,n)?lnaN?1?lnam?1?

n?N?1

?(l??,n)

lnaN?1?

n?N?1

?(l??,n)?lnam?1?lnaN?1?

lnaN?1?

n?N?1

?(l??,n)

lnaN?1?

n?N?1

?(l??,n)

?am?1?e

n?N?1

??(l??,n)

显然，

n?1

的收敛性由e

lnaN?1?

n?N?1

?(l??,n)

lnaN?1?

n?N?1

??(l??,n)

的级数收敛性确定。讨论收敛性，

常数lnaN?1可以不作考虑，于是，只要讨论e

n?N?1

?(l??,n)?

n?N?1

篇3：关于函数项级数一致收敛性判别法

第一

检查通项un (x) :若通项un (x) 不一致收敛于0, 那么非一致收敛.

例1 判别函数项级数非一致收敛.

解∀x∈ (-∞, +∞) , , 但通项关于x∈ (-∞, +∞) 非一致收敛于0.因为使得.从而数项级数非一致收敛.

第二

已知和函数 (或容易求得和函数) S (x) , 可用

(1) 和函数连续性定理:若函数项级数在区间I的和函数S (x) 不连续, 则在区间I非一致收敛 (其中每一项un (x) 在区间I连续) .

例2证明非一致收敛.

证当x=0时, 级数和为0.当x≠0时, 级数是等比级数, 所以

和函数S (x) 在x=0处间断, 因此该级数在[0, +∞) 上不一致收敛, 进而在 (0, +∞) 内也不一致收敛 (因为, 假若在 (0, +∞) 内一致收敛, 加之级数x=0处收敛, 便可推知级数在[0, +∞) 上一致收敛, 矛盾) .

(2) 非一致收敛的定义:∃ε0>0, ∀N∈N+, ∃n0>N, ∃x0∈I⇒Sn0 (x0) -S (x0) 丨>ε0.

例3判别级数在x∈[0, 1]的一致收敛性.

解函数项级数的部分和

∀x∈[0, 1], 有和函数, 而这个函数项级数在[0, 1]上非一致收敛.事实上, , 使得即这个函数项级数在[0, 1]上非一致收敛.

(3) 确界极限定理:函数项级数在区间I不一致收敛于S (x) 的充要条件是

例4判别的一致收敛性.

例5判别函数项级数在 (0, 1) 非一致收敛.

篇4：数项级数的收敛性教学探讨

关键词：数项级数;数学史;极限

级数是研究函数性质和进行数值计算的有力工具，在多种实际问题上的应用非常广泛。对级数的研究可追溯至对芝诺悖论的探讨，其重要性始现于微积分学的创立与发展。例如，在求解面积问题时，牛顿最初就是利用将函数表示成无穷级数的方法，进而逐项求积。另外，牛顿也使用了相同的方法来处理微分方程的问题。级数是构造非初等函数的重要方法，例如我们所熟知的积分，无法通过黎曼积分方法求出，而是通过级数的方法求解的。一旦给出了函数的级数表示，对该函数的分析性质进行探讨就很便利了。级数理论是以简驭繁的数学思想的重要体现，以物理学的观点看，这就相当于把一个复杂的运动分解为一系列简谐运动的叠加。

级数理论中的首要概念是收敛性，利用无穷级数来表示函數，即逼近问题，最终将归结为级数的收敛问题，因此，级数收敛性概念的教学是非常重要的，本文结合课堂教学实践，探讨级数收敛性概念的教学。

一、重视级数概念的形成过程，注重数学史的渗透

级数概念建立在极限基础之上，从有限和到无限和之间有了极限运算的参与，超乎学生的直观经验，抽象度高。作为级数教学的首课时，应该让学生对整章内容的框架有个大概了解，因此，扼要介绍级数的发展史是很有必要的，让学生了解数学知识是实践的产物，源于生活并服务于生活。为此，我们利用问题驱动，从芝诺悖论开始，引入级数概念。

第一环节：问题提出

Aristotle悖论（PPT演示）

问题1：无限个数相加的结果是什么？

问题2：有限个数相加的结合律、交换律对于无限和还有效吗？

第二环节：引出定义

定义1：给定一个数列un，对其各项依次用“+”号连接起来的表达式：

un=u1+u2+…+un+…（*）

称为常数项级数或数项级数（简称级数），其中称为数项级数（*）的通项或一般项。

回到我们的问题：如何判断级数（*）的结果？

先看一个例子：（让学生自由交流，与同学分享自己的结论，教师总结讨论的结果）

令S=1-1+1-1+1-1+…

结果1：S=（1-1）+（1-1）+（1-1）+…=0+0+0+…=0

结果2：S=1+（-1+1）+（-1+1）+…=1+0+0+…=1

结果3：S=1-（1-1+1-1+…）=1-S，从而S=

从上例可以看到，有限个数相加与无限个数相加是不同的，有限到无限之间经历了质的变化，有限和的交换律与结合律不能“平行移植”到无限和。在此，数学再一次发挥了其以简御繁的精神与方法，“简”即有限，“繁”即无穷，“御”即逼近：以有限项之和去逼近无穷项之和。我们可以看到，所选项数越多，近似程度越高，由此，引入“部分和”的概念：

定义2：级数un的前n项之和Sn=un=u1+u2+…+un，称为级数（*）的第n个部分和（简称部分和）。若部分和数列Sn收敛，即■Sn=S，则称级数（*）收敛，且S为其和，记作un=S。

第三环节：定义运用

例1：（解决Aristotle悖论）

解：由于Si=S+S+…+S+…，而Si=S+S+…+S==S，因此，Si=S。

这说明总路程是一段有限的距离，不可能永远也走不到终点，同时指出悖论的谬误之处。

例2：讨论S=1-1+1-1+1-1+…的敛散性。

解：S1=a1=1，

S2=a1+a2=1+（-1）=0，

S3=a1+a2+a3=1+（-1）+1=1，

S4=a1+a2+a3+a4=1+（-1）+1+（-1）=0…

Sn=1，n=2k-10，n=2k

因此，Sn不存在，级数发散。

例3：讨论等比级数arn-1=a+ar+ar2+…+arn+…（a≠0）的敛散性。

解：因为Sn=ark-1=a·，当r≥1时，显然级数发散。

当r<1时，我们有Sn=a·=。此时，级数收敛。

等比级数是非常重要的一类无穷级数，在后续学习级数敛散性判别中有重要作用。例2能让学生体会无限和与有限和的区别。

三、教学反思

极负盛名的荷兰数学教育学家Freudenthal曾说：没有一种数学思想，以它最初被发现时的那个样子发表出来。一个问题被解决以后，相应的发展成一种形式化的技巧，结果使得火热的思考变成了冰冷的美丽。本着这样的理念，教师的任务是将这些闪亮的思想过程还原给学生，引导其思考、探索，从而培养其发现问题、解决问题的能力。大学课堂是引导学生进入科学研究领域的前沿阵地之一，能把学生吸引住的，不是冰冷的定理定义，而是隐藏其后的那些火热的思考与碰撞。

参考文献：

[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].4版.北京：高等教育出版社，2010.

[2]张奠宙，张荫南.新概念：用问题驱动的数学教学[J]，高等数学研究：2004，7（3）：8-10.

[3]Walter Rudin.Principles of mathematical analysis[M]. McGraw-Hill Companies，Inc. 1976.

作者简介：兰尧尧，女，1981.12，博士，副教授，重庆文理学院数学与财经学院，研究方向：不确定性理论及其应用

基金项目：国家自然科学基金项目（编号：11226268），重庆文理学院教学改革研究项目（编号：110235），重庆文理学院第二批特色项目（《实变函数》课程教学改革研究）。

篇5：数列与级数收敛性判定的一个注记

数列与级数收敛性判定的一个注记

数列(xnm(k)~rnm(k)+q)审敛原理是数列(xnm~rnm_p)审敛原理更加一般性的推广,进一步扩大了数列(xnm~rnm+p)审敛原理的适用范围;利用数列(xnm~rnm+p)审敛原理还得到了判别数列收敛性的`“子列～局部夹”准则.

作者：倪培溉 NI Pei-gai 作者单位：中国民航大学理学院,天津,300300 刊名：中国民航大学学报 ISTIC英文刊名：JOURNAL OF CIVIL AVIATION UNIVERSITY OF CHINA 年，卷(期)：2009 27(2) 分类号：O173.1 关键词：数列子列级数收敛

篇6：正项级数收敛性

阿贝尔方法是从一个十分浅显的恒等式开始, 这个恒等式可以叫做和差变换公式, 又可以叫做分部求和公式, 它相当于积分学中的分部积分法。从这个恒等式可以直接导出阿贝尔引理, 从而又可以导出一系列很有价值的命题。我们把分部求和公式及阿贝尔引理一并称之为阿贝尔方法。

一、关于阿贝尔方法

1、 (和差变换公式) 设nm<,

证:将等式左端的和拆开, 然后对Ak进行同类项合并即得.

二、阿贝尔方法应用于级数收敛性问题

由阿贝尔引理可以得出关于级数收敛的几个判别法及定理:

摘要：本文把和差变换公式、分部求和公式以及两个阿贝尔引理一并称之为阿贝尔方法。并把关于级数收敛性问题的几个定理和判定定理的证明统一在阿贝尔方法之下, 拓宽了它们的适用范围。

关键词：阿贝尔方法,阿贝尔定理,级数乘法定理,阿贝尔判别法,狄利克雷判别法

参考文献

[1]数学分析 (下册) .复旦大学出版社.2003。

[2]数学分析的方法及例题选讲.高等教育出版社.1982。

篇7：正项级数收敛性

【关键词】函数项级数；；和函数；非一致收敛；判别

【中图分类号】O173

一，函数项级数的相关知识

函数项级数在收敛时是函数的一种表示方法，这种表示方法可以从更深刻的背景上描述一个函数的性态：连续性，可积性，可微性等。在有了函数项级数的知识后，就存在了讨论如何通过无穷多个函数的叠加来产生新函数以及研究这样产生的新函数的性质的可能性，而函数项级数的一致收敛性和非一致收敛性在其中起了关键作。

定义：设{ }是定义在数集D上的一个函数列，表达式称为定义在D上的函数项级数，简记为，称为函数项级数的部分和函数列。

若，数项级数收敛，即部分和，

当时极限存在，则称级在点收敛。若在处，均收敛，则称函数项级数在D上收敛。

级数在D上每一点与其对应的数项级数的和构成一个定义在D上的函数，称为级数的和函数，即 = 。

二，非一致收敛的定义

若，则称函数项级数

在D上非一致收敛。

三，引进非一致收敛的意义

函数列理论中的重要问题是{ （x）}的相关性质（连续性，可积性，可微性等）在极限过程中是否依旧保持？而在函数项级数中，即确定的和函数s（x）是否有有限和的相关性质，即：

⒈若

则

即函数项级数的求和符号与极限符号能否交换？

⒉若对任何正整数n，在上均黎曼可积，则和函数s（x）是否在上也黎曼可积？若此时可积，

即函数项级数的求和符号和积分符号能否交换？

⒊若对任何正整数n，在上可导，则s（x）在是否可导？

即函数项级数的求和符号与导数运算能否交换（逐项可导）？

上述三种情形在收敛的情况下并不一定成立，进而猜测，在附加一定的充分条件下使上述结论成立，因此引进了收敛性较强的一致收敛，从而深入研究和函数的相关性质。综上，如何判别函数项级数的非一致收敛就变成一个重要且亟待解决的问题。

四，非一致收敛的判别方法

1.函数项级数非一致收敛的定义

，则函数项级数在区间D上非一致收

敛。

例1.试讨论函数项级数的敛散性。

解：当时，有

S（x）= ，取，无论n取多大，只要取，就有 =

，综上，由非一致收敛的定义知

非一致收敛。

2.确界法

若函数项级数的余项为，且 =

，则函数项级数在D上非一致收敛。

例2.求证函数项级数在上非一致收敛。

证明：因为，则有s（x）= ，又因为

，即在上非一致收敛。

3.利用柯西收敛准则

（1）柯西收敛准则否定形式：在D上非一致收敛

，使。

（2）柯西收敛准则推论1的逆否命题：若函数列非一致收敛于0，则函数项级数

非一致收敛。

（3）柯西收敛准则推论2：若函数项级数在区间D上点点收敛，且在区间D上存在一点列，使，则函数项级数在区间D上非一致收敛。

例3.讨论函数项级数在上的一致收敛性。

解：取，从而使得

。综上，由柯西收敛准则知函数项级数在上一致收敛。

例4.讨论在上的一致收敛性。

解：显然函数项级数在上点点收敛，又知，，有，则由柯西收敛准则的推论2知在上非一致收敛。

例5. 证明：函数项级数在区间上非一致收敛。

证明：函数项级数在上点点收敛，取，此时有

，所以，不趋于0，则由柯西收敛准则的推论2知在区间上非一致收敛。

4.利用和函数的不连续性

若连续函数项级数在区间D上点点收敛于和函数s（x），且存在，使s（x）在

处不连续，则函数项级数在区间D上非一致收敛于s（x）。

（1）此方法在和函数比较容易求得的情况下应用简便。

例6. 证明：函数项级数上非一致收敛。

证明：由题知，且，当x=1时，，

，而，在

x=1处不连续，而在区间上连续，综上，函数项级数上非一致收敛。

5.利用端点发散性判别

若函数项级数在区间上点点收敛，但在左端点处发散，

且在左端点处右连续，则函数项级数在上非一致收敛。

证明：假设在上一致收敛，则

，则在上式中，令，得，再由柯西收敛准则知收敛，这与已知矛盾。即得函数项级数在上非一致收敛。（定义域为的情况，同理可证）

例7.讨论函数项级数在区间上的一致收敛性。

解：显然函数项级数在区间上点点收敛，且每一项均在x=1处连续，而函数项级数在x=1处，即数项级数发散，故该函数项级数在区间上非一致收敛。

例8.讨论函数项级数在区间上的一致收敛性。

解：显然函数项级数在区间上点点收敛，且每一项均在x=0处连续，而函数项级数在x=0处发散，故该函数项级数在区间上非一致收敛。

例9.证明：函数项级数在区间上非一致收敛。

证明：假设在区间上一致收敛，则将区间看成，则由

，知数项级数收敛，显然矛盾。综上，函数项级数在区间上非一致收敛。

五，小结

在判别非一致收敛的过程中，某一种方法对某一类函數项级数较为简便，非一致收敛的判别往往与函数项级数的某种特殊性相关，以某端点的性质最为常见。实际上，对函数项级数的非一致收敛性的证明除了以上较常用的详细介绍的五种方法外还有多种方法，如：①若连续函数项级数在区间D上点点收敛于s（x），且，，有，则函数项级数非一致收敛于s（x）。 ②设对任意的自然数n，函数在区间D上都是单调增加（或单调减小）的，如果存在数列，使级数发散，则函数项级数在区间D上

非一致收敛。 ③设对任意的，为单调数列，如果存在数列使不存在，或者存在但不为0，则函数项级数在区间D上非一致收敛。

【参考文献】

[1] 同济大学大学数学系.高等数学（下册）第7版.[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2] 薛志纯.高等数学.[M].背景：清华大学出版社，2008.

[3] 同济大学大学数学系.高等数学习题全解指南.[M].北京：高等教育出版社，2007.

[4] 张选群.医用高等数学.[M].北京：人民卫生出版社，2013.

[5] 李忠.高等数学.[M].北京：北京大学出版社，2009.

篇8：一道正项级数题目的多种解法

1问题来源

在吉米多维奇的数学分析习题集中, 有这样一个题目:判断正项级数和的敛散性。基于上面题目略做改动, 判断下面正项级数的敛散性:。对这一题目, 可以采用多种解法。

解法一:由题目的构造, 我们首先想到的是利用正项级数的比式判别法[1]。

, 级数收敛。

根式判别法是判断级数敛散性的重要方法, 利用根式判别法, 求解下面的极限:

其中, 对极限的求解, 是根式判别法求解的关键。可采用下面的三种方法来处理:

解法二:根据Stirling公式, 我们知道, 。则

, 级数收敛。

解法三:根据数列极限的一个结论[2]:若数列收敛, 且, 有下面的结论:。下面令, 则:

上面采用的方法, 也反应了正项级数的根式判别法和比式判别法两者的关系, 即:能用比式判别法的正项级数必可用根式判别法, 反之不成立。

解法四:利用定积分的定义。

因为

故有, , 级数收敛。

解法五:利用幂级数的性质。

讨论正项级数敛散性的问题, 可以转化为幂级数在点是否收敛的问题, 即考查是否为其收敛域内的点。幂级数的收敛半径:

显然, 有, 即是收敛域内的点, 故原级数是收敛的。

通过这样一个题目, 可以帮助学生把前面所学的数列极限、定积分、正项级数以及幂级数等知识点联系起来。在教学中, 教师要努力挖掘教学中的一些内在联系, 指导学生对一些知识进行类比、归纳、分析、综合, 引导学生主动地、自觉地培养和锻炼自己的能力。

摘要：本文就一个正项级数题目, 给出多种解法, 旨在开拓学生的思路, 培养学生的发散思维, 提高学生的创新能力。

关键词：正项级数,判别法,定积分,Stirling公式

参考文献

[1]华东师范大学数学系.数学分析 (第二版, 下册) [M].北京:高等教育出版社, 1 9 9 4.

篇9：一个新的正项级数判别法

正项级数是级数理论中重要的组成部分,级数的收敛性又是级数理论的核心问题。关于正项级数的敛散性判别, 虽然在某些教材中给出许多方法,如比较判别法、比值判别法、根式判别法、积分判别法和拉阿比判别法, 但是许多学者仍然不断探索新的方法,见参考文献 [1,2,3,4,5], 当比值判别级数敛散性失效时, 通常用拉阿比判别法;但有时拉阿比判别法也有失效的情形, 例如研究级数 $\sum_{n = 3}^{\infty} \frac{1}{n l n^{p} n}$ 敛散性,p∈R。

遗憾的是和达朗贝尔判别法一样, 阿拉比判别法对这样的级数也显得很无奈(r=1)。若设 $u_{n} = \frac{1}{n l n^{p} n}$ ,则对一切的p∈R,只要证明极限 $r = \lim_{n \to \infty} n (\frac{u_{n}}{u_{n + 1}} - 1) = 1$ ,即可。给出如下的证明过程:

(ⅲ)当p<0时,令类似于(ii)的证明,不难得到r=1。

综上用拉阿比判别法不能判断级数 $\sum_{n = 3}^{\infty} \frac{1}{n l n^{p} n}$ 的敛散性。表明拉阿比判别法有时精确度仍然不够。针对这种情况,本文主要是当比值判别法及拉阿比值判别法判别级数敛散性失效时, 对正项级数敛散性判别进行研究。本文给出一种新的判别法, 即就是下面给出一个比拉阿比判别法更为精细又应用方便的判别法:——“对数判别法”。

定理(“对数判别法”) 设正项级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}$ 满足:

$\lim_{n \to \infty} n \ln n [\frac{n u_{n}}{(n + 1) u_{n + 1}} - 1] = r$ ,则(1) 当r<1时, $\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}$ 发散;(2) 当r>1时, $\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}$ 收敛;(3) 当r=1时, $\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}$ 可能收敛也可能发散。

2定理及证明

证明

(ⅰ) 先考虑发散的情况。由比较判别法有:设数列{un}是正项数列,若n足够大时,有

成立,则 $\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}$ 发散。

为了应用方便我们来寻求像拉阿比判别法那样的“极限形式”:

由拉格朗日中值定理知,对任意n,存在ξn∈(n,n+1),使得

故

要使n足够大时有 $ξ_{n} \ln n [\frac{n u_{n}}{(n + 1) u_{n + 1}} - 1] < 1$ 成立,只需

而显然 $\lim_{n \to \infty} \frac{ξ_{n}}{n} = 1$ ,故当 $\lim_{n \to \infty} n \ln n (\frac{n u_{n}}{(n + 1) u_{n + 1}} - 1) < 1$ 时, $\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}$ 发散。

(ⅱ)收敛的情况可类似讨论:设数列{un}是正项数列,若存在p>1使得n足够大时,有

成立,则 $\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}$ 收敛。

因为

由拉格朗日中值定理知,对任意n,存在ξn∈(n,n+1),使得

要使n足够大时有

$n \ln n [\frac{n u_{n}}{(n + 1) u_{n + 1}} - 1] > p \frac{n [\ln ξ_{n}]^{p - 1}}{ξ_{n} [l n n]^{p - 1}}$ 成立,只需

(ⅲ)当r=1时级数可能条件收敛也可能发散。举例说明如下:

由柯西积分判别法知

于是得知正项级数 $\sum_{n = 1}^{n} \frac{1}{n l n n (l n l n n)^{p}} (p > 1)$ 收敛, $\sum_{n = 1}^{n} \frac{1}{n l n n (l n l n n)^{p}} (p \leq 1)$ 发散。此时r=1;表明r=1时用此方法不能判断一个正项级数的敛散性。

故当r>1时级数收敛;当r<1时级数发散;当r=1是此判别法的一个软肋,失效。

3结论

本文研究了相对比值判别法和根值判别法而言的更高精度判别法。并且由此推广,给出任意有限高精度的判别法的构造思想以及一般表达式,同时证明不存在一个精度最高完美无缺的的正项级数判别法,而用本文所给的审敛法, 比拉阿比判别法更为精细又应用方便的判别法,拉阿比判别的对数判别法作为正项级数审敛法的一种补充是有一定价值的。

参考文献

[1]周玉霞.关于正项级数敛散性判定的一类方法.大学数学,2006;22(1):109—110

[2]钱泽平,孙胜先.一般项为幂指数函数的级数的审敛法.大学数学,2005;21(2):85—88

[3]华北师范大学数学系.数学分析:第三版,下册.北京:高等教育出版社,2006

[4]唐翠娥.级数敛散性的拉阿贝判别法的推广.大学数学,2005;21(2):132—134

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