关于一道函数题目的解答方法可行性的证明

2023-02-11

一、函数题目

在2011年重庆三十个区县举行的高考考前模拟考试中有这样一道填空题:

已知函数f (x) =alnx+x2, 当x1, x2 (0, +∞]时x1≠x2时, 都有, 则参数a的取值范围是。

二、解答方法的提出

对于上述问题, 笔者有一种解答方法:因为表示的几何意义是曲线f (x) 在定义域 (0, +∞]上任意两点连线的斜率 (也叫割线的斜率) , 所以曲线f (x) 的切线的斜率满足f′ (x) ≥2在定义域 (0, +∞) 恒成立, 所以在定义域 (0, +∞]恒成立, 从而求得a的取值范围为。

对于上述问题的解法, 笔者在以前也多次使用, 但都是停留在感性认识的基础上, 对于转换后的问题和之前问题的等价性 (是否等价于f′ (x) ≥2) 没有进行严格的证明。今天再次使用这样的方法, 不由得对这种解法产生怀疑, 几经思索, 笔者找到了转换前后问题等价性的证明。

三、解答方法可行性的证明

1、求证:在 (0, +∞]恒成立f′ (x) ≥2在定义域 (0, +∞]恒成立。

证明:对于任意x, x0 (0, +∞], 由条件可得:

由极限的保不等式性质有:

即:f′ (x) ≥2

2、求证:f′ (x) ≥2在 (0, +∞]恒成立在定义域 (0, +∞]恒成立

证明:因为:f (x) 在[x1, x2]上连续, 在 (x1, x2) 上可导

所以:由拉格朗日中值定理可得:存在, 使得又:由条件可知

所以:

下证:

假设:, 即f (x1) -f (x2) =2x1-2x2

亦即:f (x1) -2x1=f (x2) -2x2…… (*)

设, 则g′ (x) =f′ (x) -2≥0

所以:g (x) 在 (0, +∞], 特别地在[x1, x2]单调递增 (不严格)

所以:对于任意x[x1, x2], 都有g (x1) ≤g (x) ≤g (x2)

又由 (*) 式可知g (x1) =g (x2)

所以:g (x) 在[x1, x2]上为常值函数, 不妨设g (x) =c

从而:f (x) =2x+c (这与已矛盾知)

所以:在定义域 (0, +∞]恒成立。

综上所述:在 (0, +∞]恒成立f′ (x) ≥2在定义域 (0, +∞]恒成立。

摘要：对于已知割线斜率范围求参数的范围这类题目, 许多资料上都是利用等价转换为另一个函数的单调性, 然后再用导数解决的方法, 但是对于这类题目还有更直接的方法, 就是将割线的范围转化为函数切线的斜率范围, 从而求得参数的范围, 这种方法在许多资料上无从查证, 更没有对于这种解法可行性的证明。本文主要从一个具体的例子来说明这种解法, 并且给出了这种解法可行性的证明, 最后对题目作了引申。

关键词：割线的斜率,切线的斜率,等价性的证明,引申