高等数学中“无穷级数”内容的整合探讨

2023-02-12

高等数学是所有理工科的一门基础课程, 掌握这门课的知识对各专业后继课程的学习十分有利, 否则, 后继课程的学习将极为艰难。所以高等数学的教学至关重要, 从事此课程教学的教师责任重大, 都希望学生能很好地理解和掌握它的知识点。但是高等数学的知识点十分多, 特别是第二册的知识点就更加密集, 学生在学习过程中感到十分吃力, 内容应接不暇。所以, 我们总是希望能够用最好的方式来组织内容, 让学生能够较容易地融会贯通, 深刻理解知识点。

“无穷级数”这一章虽然不是高等数学中最难的内容, 但却是知识点最密集的, 仅是“正项级数的审敛法”这一小节就有6种审敛法。学生初接触, 同时学习6种方法, 感到难以消化, 无所适从。后面又接连学习“泰勒级数”和“傅立叶级数”, 这两种级数的内容更是繁杂难懂。本文对这些知识点进行了一定的整合, 使其更加突出重点, 前后衔接更加流畅, 尽量减少了一些没有必要的累赘。这些处理能让学生较轻松地理解和掌握内容, 在教学实践中也已得到证实。鉴于同济大学应用数学系所编著的《高等数学》第五版是目前最普遍使用的教材, 本文主要以它作为参考。

1 正项级数审敛法要突出重点

正项级数审敛法的主要脉络是:

这些审敛法的重点是“比值和根值审敛法”, 这两种审敛法用了两个定理分别介绍, 其实根据它们的共性 (包括证明) 完全可以放在一起同时介绍, 学生更容易记住。由于这两种审敛法不需要找另一个参照级数, 比“比较审敛法”更好用, 更具优势, 因此它应作为重点介绍。当判别级数的收敛性时, 可以首先考虑是否可用比值或根植审敛法, 当它们失效时, 再考虑比较审敛法, 寻找一个参照级数作比较。另外注意在用比较审敛法时, 其极限形式适用的范围更广。也就是说, 若直接比较不行, 可以考虑用其极限形式。此极限形式在同济大学第五版中对应的定理为:

很明显, 这种描述让学生很难弄清, 难以理解和记忆, 可以将其改写为:

显然, 这种描述简单明确, 易于分清和理解, 再予以证明后, 学生就基本掌握了。

另一个需要处理的地方是最后一个审敛法:极限审敛法。实质上此审敛法就是“比较审敛法的极限形式”的一种特别情况, 即取参照级数为“调和级数”或“级数”来做比较。所以没有必要特别讲述, 只需在讲比较审敛法时让学生看一看这个定理, 让学生弄清它的实质, 和比较审敛法一起理解。举例时也可以进一步指出:比较审敛法所选择的参照级数经常就是几何级数或者p-级数。

经过以上的处理, 正项级数的6种审敛法的主次就十分清楚了, 学生也就能很快地抓住重点, 并融会贯通, 不至于对6种方法无所适从, 遇到问题不知用哪种方法解决。

2 幂级数收敛半径求法的处理

“幂级数”这一节的重点在于求“收敛半径”。相关定理如下:

实际上, 此定理只适用于形如的幂级数。而学生学习此定理后, 就常常不管遇到的幂级数是否属于此种形式, 便盲目的应用此定理。实际上, 此定理可以适当淡化, 对其追根溯源可以发现, 此定理的依据是“阿贝尔 (Abel) 定理”, 由其知, 如果R满足条件:当|x|R时, 幂级数发散, 则R即为幂级数的收敛半径。此条件适用于对任意形式的幂级数求收敛半径, 这也正是证明定理4的理论依据。所以直接由此条件来求幂级数的收敛半径会更完善。这样就可以避免学生滥用定理4。请看下面几个实例:

求下列幂级数的收敛半径:

解: (1) 首先讨论的收敛性, 由正项级数的根植审敛法得:

∵, 则当|x|<1时, 级数绝对收敛;当|x|>1时, 级数发散。由推论 (收敛半径的定义) 得收敛半径:R=1。

这样处理的效果很明显, 从学生的作业中反映, 滥用定理4的现象比以前不是用此种方式教的学生少了很多。至于定理4, 可以作为特殊情况让学生自己学习。

3“傅立叶级数”内容的整合处理

有学生说“学了泰勒级数, 才知道什么叫麻烦;学了傅立叶级数, 才知道什么叫相当麻烦”。学生在学完泰勒级数后, 已产生厌学情绪, 学习积极性已不高。而接着的“傅立叶级数”则是真的“相当麻烦”, 知识点繁多又难懂, 同济五版中有两大节四小节八个例子的内容。其实这些内容可以适当整合精简, 让学生更容易接受和融会贯通。

整合的方式是:将“正弦级数”、“余弦级数”、“周期延拓”这三个知识点整合到傅立叶级数的定义和狄利克雷 (Dirichlet) 充分条件的注意事项中, 提出如下3条注意事项, 也是三个定义:

(1) 当函数f (x) 为奇函数时, 显然

此时其傅立叶级数只含有正弦项, 称为“正弦级数”。

(2) 当函数f (x) 为偶函数时, 显然

此时其傅立叶级数只含有余弦项, 称为“余弦级数”。

(3) 如果f (x) 只在[-π, π]上有定义, 并且满足收敛定理的条件, 可以在 (-π, π]或[-π, π) 外补充定义, 使函数f (x) 拓广成2π为周期的周期函数, 再展开成傅立叶级数, 此过程称为“周期延拓”。

接着举出三个实例——可以按顺序选同济五版中的“傅立叶级数”这一节的例2、例1、例3。[1]第一个例子 (例2) 是为了让学生掌握函数展开成傅立叶级数的基本步骤。第二、三例 (例1和例3) 中, 函数f (x) 分别为奇函数和偶函数, 即是函数展开成“正弦级数”和“余弦级数”的例子, 其中例3还涉及到周期延拓。这样, 这三个实例就已经把四个知识点都包含进去。

在同济五版中, 将例1、例3放在傅立叶级数的定义之后, 正弦级数与余弦级数的定义之前, 没有指明它们与后者的联系计算系数时也没有利用f (x) 的奇偶性, 过程多余;在此之后, 又另起一节, 提出正弦级数与余弦级数的定义, 又重新举出两个实例。这样使得内容繁多, 前后衔接不畅, 感觉非常繁琐。采用前面的方式将这些知识点与前一节“函数展开成傅立叶级数”整合起来, 则内容的连贯性增强了, 例子典型又减少了, 有利于学生比较轻松地掌握此节中看起来很繁杂的知识点。