浅谈交错级数敛散性的判别

各项符号不完全相同的级数称为任意项级数。如果级数的

各项是正负交错的, 即 , 其中un>0 (n=1, 2, …) , 这样的级数称为交错级数。下面笔者对此类级数敛散性的判别方法作一介绍。

1 利用莱布尼兹判别法判别之

莱布尼兹定理:如果交错级数满足条件: (1) un≥un+1 (n=1, 2, …) ; (2) lni→m∞un=0, 则级数收敛, 其和S≤u1。

例1:判别级数 是否收敛?如果收敛, 是绝对收敛还是条件收敛?

解:因为 , 所以

而级数发散, 由比较判别法的极限形式知:级数 发散。

由莱布尼兹判别法知级数 收敛, 即原级数条件收敛。

例2:判别级数 的敛散性。

解:因为 , 所以 ,

例3, 判别级数 的敛散性。

设 , 则 , 又 单调减少, 因此级数 满足莱布尼兹判别法条件, 是条件收敛的。

但级数 发散。因为收敛级数与发散级数的代数和是发散级数, 故原级数发散。

2 根据级数收敛的定义、性质判别之

莱布尼兹定理只能用来判别级数收敛, 不能用来判别级数发散。因而当交错级数不满足un≥un+1时, 也不能据此判定该级数发散。但如果级数的一般项不趋于零, 则该级数必定发散。其次还可由级数收敛的定义、级数的性质等来判别其敛散性。

例4, 判别级数 的敛散性。

解:此级数为交错级数, 且 , 但不满足un>un+1, 不能用莱布尼兹收敛准则判别其收敛。考虑加括号级数

因 发散, 故原级数发散。

例5, 判别级数 的敛散性。

解:此级数为交错级数, 但不满足un≥un+1, 不能用莱布尼兹收敛准则判别, 下面用收敛定义判别之。

设S2n为级数 的部分和。先证S2n单调减少有下界。

括弧内各项均小于零, 因而S2n单调减少, 又因

有下界, 故 存在。

设其极限值为S, 则

所以 , 故原级数收敛。

3 利用下述定理判别之

定理:如果级数绝对收敛, 则该级数收敛

运用该定理时先判别级数是否绝对收敛。如果是, 则该级数收敛。这种方法有时比直接用莱布尼兹判别法简便。由于绝对值级数为正项级数, 可使用正项级数收敛的各种判别法则判别之。

例6, 判别级数 是否收敛?如果收敛, 是绝对收敛还是条件收敛?

因为级数 收敛, 由比较判别法的极值形式知 绝对收敛。

例7, 判别级数 是否收敛?如果收敛, 是绝对收敛还是条件收敛?

故级数 收敛, 即原级数绝对收敛。

4 使用下述判别法判定交错级数发散

命题:比值判别法:当 时, 级数 发散;

根值判别法:当 时, 级数 发散;

证明:由题设有 。

取一个适当小的正数ε, 使得ρ-ε>1。根据极限定义, 存在一个正整数N, 当n≥N时,

因此 发散。故由比值判别法知原级数发散。

摘要：本文主要根据级数收敛的定义、性质以及莱布尼兹判别法、有关命题对交错级数敛散性的判别方法进行了一些探讨。

关键词：交错级数,收敛,条件收敛,绝对收敛,发散

参考文献

[1] 朱弘毅.高等数学[M].上海科学技术出版社, 2001.6.

[2] 廖玉麟等.高等数学试题精选题解[M].华中科技大学出版社, 2001.10.

[3] 薛嘉庆.高等数学题库精编[M].东北大学出版社, 2000.3.

[4] 工程类数学教材编写组.高等数学[M].高等教育出版社, 2003.6.