我对一道课本例题解法的思考

2022-09-11

培养学生的反思能力是新课程标准的要求之一。通过对解决问题过程的反思, 获取解决问题的经验, 从而提高学生终生学习的能力。但在实际教学中, 师生对反思的认识是薄弱的。所以在教学过程中应该有意识地去渗透这一过程, 以便更好地促使学生形成良好的反思习惯。教材的例题是一个可以延伸的部分, 可以通过例题教学来培养学生的反思能力, 而这有赖于教师对例题的整合处理。

全日制普通高级中学教科书 (必修) 数学第二册 (上) (2004年6月第一版) 第106页上有一道例题是如下:

例3:一炮弹在某处爆炸, 在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2秒。

(1) 爆炸点应在什么样的曲线上?

(2) 已知A、B两地相距800m, 并且此时声速为340m/s, 求曲线的方程。

解: (1) 由声速及A、B两处听到爆炸声的时间差, 可知A、B两处与爆炸点的距离差, 因此爆炸点应位于以A、B为焦点的双曲线上。因为爆炸点离A处比离B处更远, 所以爆炸点应在靠近B处的一支上。 (2) 略。

笔者以为此题是生活中关于双曲线应用较生动、贴切的例子, 它很好地体现了数学学科的应用功能。编者的意图在于宏观上反应新课程改革中凸现数学应用性的理念, 微观上通过实际背景使学生进一步理解和掌握双曲线的定义。不失为一个亮点。此题 (1) 问的设计让学生关注和重视了双曲线定义中的核心问题:到两定点距离差的绝对值等于常数, 同时也很好地阐释了定义中有别于椭圆定义的绝对值的理解。但笔者认为 (1) 问的解答有失严密之处, 忽略了双曲线定义的另一个内涵:常数 (小于|F1F2|) 。 (双曲线定义:我们把平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数 (小于|F1F2|) 的点的轨迹叫做双曲线。)

此题抽象成数学问题为:爆炸点M满足|M A|-|M B|=6 8 0, 凭此直接判断M点在双曲线上有些不妥, 犯了学生初学椭圆、双曲线定义时容易犯的考虑不周的毛病。此时还不明确|AB|的大小, 故有两种可能:当|AB|>680时, M在双曲线的一支上, 当|AB|<680时, M在一条射线上。

其实很早就发现了这个问题, 只是觉得作为教材, 不会出现这种失误, 一直以为可能是考虑实际情况中A、B的任意性, 但题中并未作明确说明, 因此一直耿耿于怀。加上教学中发现学生在解题尤其是应用题时常常只注意了问题的主体部分, 而忽略了细节的考虑, 造成因会而不对失分时会想起本道例题。觉得此题的设计巧妙, 只是解答过程对训练学生解题思维的严密性打了一定的折扣, 甚至是一种误导。笔者以为可以作如下改进, 问题 (1) 中的“应”改为“可能”, 解答时考虑两种情形, 既体现了思维的严密性, 同时也通过实例全面地阐释了双曲线定义的内涵, 使学生通过此例对双曲线的定义有了完整的认识, 使教材的结构、内容更加完整、合理, 对培养学生解答应用题时的严密思维是一次难得的洗礼。

初中数学课程改革是一项系统工程, 课堂是教育的“终端”, 新课程理念如果不能最终落实到课堂教学, 体现于课堂教学, 那么新课程改革就不可能成功。通过一道课本例题解法的探讨, 让学生在生活化课堂教学中产生问题解决的需要, 能提高学生数学学习的兴趣与态度。

摘要：本文通过一道课本例题解法的探讨, 探索了课本例题, 让学生亲身经历将课本例题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程, 进而让学生获得对数学理解的同时, 在思维能力、情感体验、行为态度与价值观等方面得到进步和发展。基于这些新理念, 教师在数学教学实践中和在师生互动中, 做好课本例题的分析及其反思工作是十分重要。

关键词：课本例题,高中数学,解题思维