大学高数级数范文

第一篇：大学高数级数范文

复旦大学78级数学系毕业生

10月底，哥伦比亚大学教授、统计系主任应志良又回国了，此次他特地来探亲。这是他四个月内第二次回国了。四个月前，他曾经回到复旦大学，参加母校78级数学系毕业三十周年聚会。

高考恢复后，最初两批复旦数学系学生相继在1982年1月和6月毕业。他们中的大多数通过高考进入大学，而后选择出国、读研或创业。现在他们中的有些人已成为国内外知名大学教授，也有部分或在商界立足，或在各级ZF机关任职。复旦82届数学系毕业生也因此被网友称之为“史上最牛班级”。

1977年8月，学校里的老师通知应志良，国家恢复高考了，为了同学复习，许多课余活动都解散。

在应志良曾就读的上海市龙山中学，物理和生物分别被称为工业基础、农业基础，老师上课也多用上海话教学。应志良至今记得的化学元素周期表仍是上海话版的。

当时在毕业班就读的应志良，正好有一年的时间可以复习参加高考，但在当年的第一届全国中学生数学竞赛中，他取得了参加全国比赛的资格并获奖。“竞赛题目从来没看到过，当时也不知道可以通过竞赛进大学。”应志良说。

最终，全国决赛有57人获奖，其中25人来自上海。在当时复旦大学校长苏步青的动员下，这25人中的绝大部分进入了复旦大学。“我当时想过去北大，后来苏先生说去复旦，就去了复旦数学，只要有大学上就很好了。”就这样，他成了复旦大学78级数学系的一名新生。

比应志良早半年入学的77级学生吴宗敏，上大学前在上海无线电八厂当工人，在机修车间维修空调、冰箱等。听闻高考恢复，吴宗敏产生了报考的念头。

当时大型国有工厂，特别是电子行业的工人，是社会上最好的工作，稳定且待遇不低于“文革前”的大学毕业生。吴的同学家长劝他放弃高考，保住一份“铁饭碗”，避免毕业后被分配到外地。

可吴宗敏还是觉得，这是人生中一件应该做的事情。“文革”开始时，吴宗敏还在上小学三年级，并无高中教材和练习资料。为了准备高考，他和同学只好向“文革前”的老高中生借，将资料抄下来复习。

填报志愿前，吴宗敏只听说大学里有数学、物理、化学、中文、新闻等专业，也不清楚自己想读什么。当时徐迟关于陈景润研究哥德巴赫猜想的报告文学很受追捧，他又向技校里一位复旦物理系毕业的老师咨询了一下，最后将前两个志愿分别填上了复旦和上海交大的数学、物理专业。当时规定上海学生必须要填一所外地院校，吴宗敏便将北大的数学与物理填在了第三志愿。

在上海无线电八厂，那年一共有4名学生考取大学。去复旦数学系报到的当天，厂里工人将大红喜报贴到吴家门口，给吴宗敏戴上大红花，一路敲锣打鼓送到了复旦。

吴宗敏是第三个来到宿舍的，在他之前来的是李源潮。在复旦大学校友网上的一篇访谈录中，已经是中央政治局委员、中组部部长的李源潮曾回忆道，尽管1968年就参加工作，但十年来他一直希望能有机会上大学，因此当高考恢复，他便瞒着父母和同事报了名。当时，李源潮是已有四年教龄的数学教师，高考当天，他上午请假去参加考试，下午回来继续工作。他只想要学好数学，毕业后继续当教师。

作为恢复高考后最早的两批大学生，77级、78级学生的年龄情况十分复杂，包括已经工作多年的考生、应届高中生，甚至有跳级的学生，年龄差距可达15-20岁。但无论长幼，在十年的知识匮乏后，“希望上大学，并最终能考上大学的同学都是热爱学习的。”吴宗敏说。

1980年代的复旦自修室和图书馆座位也很紧张，学生经常要去抢位子，实在不行，只能到防空洞改造的地下房间里去自修。入学时，寝室10点半熄灯，大家都觉得熄灯太早了。作为学生代表，李源潮专门找了苏步青校长协商，最终将熄灯延迟半小时。寝室熄灯以后，数学系的同学都到走廊上背英文，甚至自备手电筒学习。

在学习上，大家对自己的要求也很高。在接受《南都周刊》记者采访时，现在仍在复旦数学系工作的78级学生邱维元对一次考试印象深刻：“第一学期的数学分析，我只考了78分，已经是班上最后几名了。那时候考不满80分就认为考得非常差了，不好意思了很长时间。”这也是他大学学习过程中，唯一拿到的一个低于80分的成绩。

据吴宗敏回忆，“当时学生面对的功利诱惑比现在少，大家都安安心心做数学”。当时学校老师曾说，1949年之后，从来没有见到过这么勤奋的一届学生。

当时的复旦数学系只有苏步青和谷超豪两名教授，现移居美国的中科院院士夏道行，那时在复旦也只是副教授，其余给学生上课的都是讲师。对于吴宗敏和李源潮这批学生而言，印象最深的还有当时的班主任孙芳烈老师和指导员杨浣明。

在接手7

7、78级学生时，孙芳烈已经快40岁了，还有两个孩子，为了能更好地照顾这批学生，孙把小孩全托，随时随地和学生在一起，没事就来寝室聊天。在他的辅导下，吴宗敏所在班级在数学分析的考试中，14人获得满分，这件事甚至得到了苏步青校长的关注。

在本科阶段，吴宗敏认为，他的成绩并不算班级里最好的。他偶尔会去询问班主任及指导员，他的成绩在班级里怎么样，班主任及指导员都告诉他：“你当然是最好的。”当时吴宗敏听了很高兴，同时也激发了学习的积极性。现在回想起来，他意识到，这是他们的教育方法：“他会使得每个学生都认为自己是最好的。”

吴宗敏是恢复高考后，复旦大学出国留学政策的第一批受益者。本科毕业后，出于对学习热爱，他报名了研究生考试。在那份报名表的一个角落里，有一行小字写着：是否愿意作为出国留学代培生。开始吴宗敏没有填，他觉得出国是最优秀的人的事情，与自己无关。就在排队交表的时候，他和同学互相翻看彼此的报名表，有同学对他说，有人成绩不如你，他都填了。就这样，在交表前两分钟，吴在表上画了一个勾。

通过研究生考试后，吴宗敏本想留在复旦数学系读研，没有想到学校通知他到德国哥廷根大学数学系去学习。那是中国教育部和德国签订的交流协议内容，连专业和导师都已经确定了。

吴宗敏在上海图书馆查阅到了导师Schaback的研究方向——计算数学。一向不喜欢计算的吴并不满意这样的安排。当谷超豪先生在德国访问时，吴宗敏恳请谷老是否可以通过关系帮助换一下专业;谷老却认为，既然已经签好了协议，再换导师是对导师的不尊重。

吴宗敏后来也想通了：“就像毛主席说的：共产党员好比一颗种子，把你放在哪里就在哪里生根发芽。” 在1982年，复旦数学系一共派出了6名学生，分赴美、德、法留学。

出国前，吴的母亲哭了出来，觉得儿子一走，天涯海角就好像是永别。“当时‘文革’刚刚结束，出国是怎么回事大家都还不是很清楚，是福是祸都不知道，”吴宗敏说，“当时觉得，留学就是去读书，毕业了就该回来。”

在工作分配制的时代，摆在留学归来的吴宗敏面前的，是五六个高校的聘书。他最终回到了复旦，因为在读博阶段，复旦的老师们在与他的日常联络中，都希望他能回来任教。在吴宗敏看来，上大学、读研、留学、再回国，这是很平常的一条路。

与吴宗敏报名考研不同，在度过了“最幸福的本科四年”后，应志良突然接到通知，说系里面要找他谈谈。他当时并不知道，这次谈话会将自己送出了国门。“当时根本没想过出国，只知道留学回来的人都是很优秀的。” 应志良说。

在那个年代，对于当时毕业生月收入不足50元的学生而言，25美元的托福考试费是一笔不小的开销。好在当时的出国留学手续常不齐全，语言考试也不是必须的，谷超豪先生为应志良写了推荐信，最终，应志良被哥伦比亚大学录取了。

离开刚从“文革”阴影中走出的上海，在哥伦比亚的宿舍里，应志良和同学第一次见到了家用冰箱。开始时，他们分不清冷冻和冷藏的区别，把牛奶放进了冷冻室。不过既然是“从落后地方到了发达地方”，应志良很快就适应了纽约的生活。

从哥大获得博士学位后，应志良赴伊利诺伊大学任教。从中学生到大学教授，应志良觉得自己的这一切并没有什么计划，他用了“随机游动”这个统计学术语来形容他的经历。

就在吴宗敏等人出国留学的时候，李源潮以他所希望的教师的身份留在了复旦。入学前就是党员的他，很快就成为了班级团支书，而后又是数学系的团总支书。“做了五级团的书记，做了五个单位的党的书记;就此，这个书记就没再离身。”李源潮在访谈录中说。

在今年毕业三十周年的聚会上，李源潮携妻儿一同出席，77级同学还按照30年前毕业照时的位置，拍了聚会的合影。毕业时，李源潮站在了第二排最右边;现在，尽管摄影师请他站到中间，他也没有同意。“这是大家商量好的。”吴宗敏说。

吴宗敏还记得，入学时，他和李源潮分别选了寝室里靠窗的两个下铺，到了大二，李源潮主动提出与靠门口的上下铺同学换一下，由此李和吴成了上下铺，“李源潮睡上铺，他选了寝室里最不好的位置。”那时每次一起在外吃饭，吴宗敏总是会帮大家到窗口拿菜，李源潮则总是抢着买单。

在李源潮调任复旦团委副书记时，他的78级同学潘皓波接任了系里的团总支书记。在做学生工作的过程中，潘皓波读了很多报纸和文件，认为自己“和经济体制改革走得近一点”。他当时认为：改革既是一个名词，也是一个动词。为了参加到改革中来，他创办了勤工助学，与11家单位联系了132个勤工助学的岗位，而后在此基础上创立了复旦学生咨询科技开发中心。

当时，潘皓波还是一心想做研究。从复旦数学系本科毕业后，他考入复旦信息管理专业读研。在一边读书一边任教的过程中，他意识到信息管理方面的教师缺乏实践，他便离开学校进入上海中旅集团积累经验。起初，他还抱着做几年就回学校的想法，却没有想到，在那里一干就是10多年，并自行研发了一套旅行社管理软件。为了让软件在全国范围推广，2001年潘皓波下海经商，并创立了现在的金棕榈集团。

在82届的学生中，有不少人在后来都选择了自主创业或进入华尔街，潘皓波是其中一位。徐幼于最早发现警示次贷风险，而在美国金融界出名;陈振华在学生时代就帮老师同事修电脑，编代码对他来说很容易，因此后来创办了Cybercon公司，为IBM、Apple等公司产品提供技术支持。

凭借着学生时代和同学建立的广泛联系，在老同学的协助下，潘皓波张罗起了毕业三十年聚会。一轮又一轮的邀请发到了大多数同学手中，远在美国的范剑青也收到了这封邀请信。

出生于福建莆田县一个农民家庭的范剑青，在中学里幸运地遇到了一批当时被称为“臭老九”的好老师。受他们影响，只有15岁的范剑青在恢复高考次年就考入复旦78级数学系，后又考入中国科学院应用数学所，在职攻读硕博。

1985年前后，大陆学生出国留学渐成趋势，国外大学也逐步向中国开放了个人自由申请。“年纪小，周围人的影响就大。”范剑青称自己就是在这个时候申请到了留学的机会。

在当时，申请一所学校的邮寄费和申请费相当于范剑青月工资的一半，了解国外大学也必须到国家图书馆查找资料。为了节省成本，他找出一份统计学专业的大学排名，只申请了排名最靠前的四五所大学。最终，他去了加州大学伯克利分校。

在伯克利，范剑青遇到了两位曾获麦克阿瑟天才奖的导师，在统计界，能获此殊荣的至今也只有四位。“其中年长一些的那位导师比较传统，年轻的那位导师想法特别多，他对科学的理解对我影响特别大，”范剑青说，“有时我把我的演算结果拿给老师看，但他说不用看，我知道中国人做数学可能比我都好，我就跟你去喝咖啡，聊聊数学，教你怎么做有创意的研究，探讨什么是知识创新。”

博士毕业前夕，范剑青找到了一份在美国担任教职的工作，就留在了美国。这之后，他虽然一直都有着回国的想法，但机会却越来越少。

如今范剑青是美国普林斯顿大学金融系的终身教授，并获有被誉为“统计学届的诺贝尔奖”的“考普斯总统奖”。在他之后，他的同学孟晓犂也曾获得过这一奖项。

在复旦数学系完成本硕学习后，孟晓犂留学哈佛，成为哈佛统计系第一个复旦学生。初到哈佛的第一周，他选修了Rubin教授关于人口普查统计方法的应用课程。当时他很不理解：统计人口有这么难吗?在课上到一半时，他忍不住举手提问：“Rubin教授，在中国大陆，人口普查很容易，清点人数就行了。”Rubin教授愣了一会儿说：“晓犂是非常天真的(Innocent)。”多亏当时一个在场的台湾教授为他解了围：“我知道晓犂的意思。我们台湾也很容易，我们有宵禁。”

孟晓犂最终适应了美国的生活，在他任哈佛统计系系主任期间，统计学系成为哈佛最具跨学科特点的系科之一。几个月前，他又成为哈佛历史上第一个华人研究生院院长。

在美国，那些曾经的同学逢年过节都要聚会。2009年，现任斯坦福大学生物统计系教授的复旦数学系82级毕业生陆盈从美国西海岸飞抵普林斯顿大学，借着儿子即将到范剑青的实验室里实习的由头，他想与六位昔日同窗热闹一下。

闲聊中，陆盈提及范剑青、孟晓犂接受加州某中文台的采访并上了电视，大家便找出视频来看。一位参加聚会的同学在博客中写道：“当孟晓犂出现在镜头里的一霎那，吃惊的绝对不止我一个人，这头发也掉得太快一点了吧?”当时在场的范剑青说，电视台采访当天本来还要回答观众提问，但没有一个电话打进来。这位同学打趣说：“如果早点通知我们，怎么也会准备些刁钻问题来捧场，比如说问问孟晓犂，学问和头发的数量之间有什么统计关系等等。”

昔日同窗如今各为人父母，范剑青的女儿Mary已经从普林斯顿毕业了。和很多美国学生一样，Mary也出去打过工。她的父亲虽已在海外生活多年，却还是和很多中国家长一样，对年轻人的课外生活不够理解：“我花了这么多钱给你读书，你却把读书的时间拿来打工，算算时价多亏啊!”但实际上，范剑青自己也有些矛盾：“其实我一辈子都没走出过学校，挺遗憾的，年轻人应该出去看看。”

毕业三十年之际，77级和78级四百余名同学先后回到复旦，此时曾经的同学已在各行各业立足。据不完全数据统计，在中组部、科技部等国家机构任职者约有十余人，创办或加入各类公司工作的有50余人，从事国内外科研教学工作的约有45人。应志良说，每次回国，他都“一定要回复旦，看看老师和同学”。范剑青虽参加了毕业三十周年的聚会，却错过了当天上午的开幕式。他也因此自嘲：“我已经不了解中国文化了，不知道开幕式才是最重要的。”

第二篇：大学高数下册试题及答案

《高等数学》(下册)测试题一

一、选择题（每小题3分，本大题共15分）（在括号中填上所选字母）

1.设有直线

及平面，则直线(

A

)

A.平行于平面;

B.在平面上;

C.垂直于平面;

D.与平面斜交.

2.二元函数在点处(

C

)

A.连续、偏导数存在;

B.连续、偏导数不存在;

C.不连续、偏导数存在;

D.不连续、偏导数不存在.

3.设为连续函数，，则=(

B

)

A.;

B.;

C.

D..

4.设是平面由，，所确定的三角形区域，则曲面积分

=(

D

)

A.7;

B.;

C.;

D..

5.微分方程的一个特解应具有形式(

B

)

A.;

B.;

C.;

D..

二、填空题（每小题3分，本大题共15分）

1.设一平面经过原点及点，且与平面垂直，则此平面方程为;

2.设，则=;

3.设为正向一周，则

0

;

4.设圆柱面，与曲面在点相交，且它们的交角为，则正数

;

5.设一阶线性非齐次微分方程有两个线性无关的解，若也是该方程的解，则应有

1

.

三、（本题7分）设由方程组确定了，是，的函数，求及与.

解：方程两边取全微分，则

解出

从而

四、（本题7分）已知点及点，求函数在点处沿方向的方向导数.

解：

，

从而

五、（本题8分）计算累次积分

).

解：依据上下限知，即分区域为

作图可知，该区域也可以表示为

从而

六、（本题8分）计算，其中是由柱面及平面围成的区域.

解：先二后一比较方便，

七.(本题8分)计算，其中是抛物面被平面所截下的有限部分.

解：由对称性

从而

八、（本题8分）计算，是点到点在上半平面上的任意逐段光滑曲线.

解：在上半平面上

且连续，

从而在上半平面上该曲线积分与路径无关，取

九、（本题8分）计算，其中为半球面上侧.

解：补取下侧，则构成封闭曲面的外侧

十、（本题8分）设二阶连续可导函数，适合，求．

解：

由已知

即

十一、（本题4分）求方程的通解.

解：解：对应齐次方程特征方程为

非齐次项，与标准式

比较得,对比特征根，推得，从而特解形式可设为

代入方程得

十二、（本题4分）在球面的第一卦限上求一点，使以为一个顶点、各面平行于坐标面的球内接长方体的表面积最小.

解：设点的坐标为，则问题即在求最小值。

令，则由

推出，的坐标为

附加题：(供学习无穷级数的学生作为测试)

1.判别级数是否收敛?如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛?

解：由于，该级数不会绝对收敛，

显然该级数为交错级数且一般项的单调减少趋于零，从而该级数条件收敛

2.求幂级数的收敛区间及和函数.

解：

从而收敛区间为，

3.将展成以为周期的傅立叶级数.

解：已知该函数为奇函数，周期延拓后可展开为正弦级数。

《高等数学》(下册)测试题二

一、选择题（每小题3分，本大题共15分）（在括号中填上所选字母）

1.设，且可导，则为(

D

)

A.;;

B.;

C.;

D..

2.从点到一个平面引垂线，垂足为点，则这个平面的方

程是(

B

)

A.;

B.;

C.;

D..

3.微分方程的通解是(

D

)

A.;

B.;

C.;

D..

4.设平面曲线为下半圆周，则曲线积分等于(

A

)

A.;

B.;

C.;

D..

5.累次积分=(

A

)

A.;

B.;

C.;

D..

二.填空题(每小题5分，本大题共15分)

1.曲面在点处的切平面方程是;.

2.微分方程的待定特解形式是;

3.设是球面的外测，则曲面积分

=.

三、一条直线在平面：上，且与另两条直线L1：及L2：（即L2：）都相交，求该直线方程．（本题7分）

解：先求两已知直线与平面的交点，由

由

由两点式方程得该直线：

四、求函数在点处的梯度及沿梯度方向上函数的方向导数．（本题7分）

解：

沿梯度方向上函数的方向导数

五、做一个容积为1立方米的有盖圆柱形桶，问尺寸应如何，才能使用料最省？（本题8分）

解：设底圆半径为，高为，则由题意，要求的是在条件下的最小值。

由实际问题知，底圆半径和高分别为才能使用料最省

六、设积分域D为所围成，试计算二重积分．（本题8分）

解：观察得知该用极坐标，

七、计算三重积分，式中为由所确定的固定的圆台体．（本题8分）

解：解：观察得知该用先二后一的方法

八、设在上有连续的一阶导数，求曲线积分，其中曲线L是从点到点的直线段．（本题8分）

解：在上半平面上

且连续，

从而在上半平面上该曲线积分与路径无关，

取折线

九、计算曲面积分，其中，为上半球面：．（本题8分）

解：由于，故

为上半球面，则

原式

十、求微分方程

的解.(本题8分)

解：

由，得

十一、试证在点处不连续，但存在有一阶偏导数．（本题4分）

解：沿着直线，

依赖而变化，从而二重极限不存在，函数在点处不连续。

而

十二、设二阶常系数线性微分方程的一个特解为，试确定常数，并求该方程的通解．（本题4分）

解：由解的结构定理可知，该微分方程对应齐次方程的特征根应为，否则不能有这样的特解。从而特征方程为

因此

为非齐次方程的另一个特解，

故，，通解为

附加题：(供学习无穷级数的学生作为测试)

1.求无穷级数的收敛域及在收敛域上的和函数.

解：

由于在时发散，在时条件收敛，故收敛域为

看，

则

从而

2.求函数在处的幂级数展开式.

解：

3.将函数展开成傅立叶级数，并指明展开式成立的范围.

解：作周期延拓，

从而

《高等数学》(下册)测试题三

一、填空题

1.若函数在点处取得极值，则常数.

2.设，则.

3.设S是立方体的边界外侧，则曲面积分

3

.

4.设幂级数的收敛半径为，则幂级数的收敛区间为.

5.微分方程用待定系数法确定的特解(系数值不求)的形式为.

二、选择题

1.函数在点处(

D

).

(A)无定义;

(B)无极限;

(C)有极限但不连续;

(D)连续.

2.设，则(

B

).

(A);

(B);

(C);

(D).

3.两个圆柱体，公共部分的体积为(

B

).

(A);

(B);

(C);

(D).

4.若，，则数列有界是级数收敛的(

A

).

(A)充分必要条件;

(B)充分条件，但非必要条件;

(C)必要条件，但非充分条件;

(D)既非充分条件，又非必要条件.

5.函数(为任意常数)是微分方程的(

C

).

(A)通解;

(B)特解;

(C)是解，但既非通解也非特解;

(D)不是解.

三、求曲面上点处的切平面和法线方程．

解：

切平面为

法线为

四、求通过直线

的两个互相垂直的平面，其中一个平面平行于直线.

解：设过直线的平面束为

即

第一个平面平行于直线，

即有

从而第一个平面为

第二个平面要与第一个平面垂直，

也即

从而第二个平面为

五、求微分方程的解，使得该解所表示的曲线在点处与直线相切．

解：直线为，从而有定解条件，

特征方程为

方程通解为，由定解的初值条件

，由定解的初值条件

从而，特解为

六、设函数有二阶连续导数，而函数满足方程

试求出函数.

解：因为

特征方程为

七、计算曲面积分

，

其中是球体与锥体的公共部分的表面，，，是其外法线方向的方向余弦.

解：两表面的交线为

原式，投影域为，

用柱坐标

原式

另解：用球坐标

原式

八、试将函数展成的幂级数（要求写出该幂级数的一般项并指出其收敛区间）．

解：

九、判断级数的敛散性．

解：

当，级数收敛;当，级数发散;

当时级数收敛;当时级数发散

十、计算曲线积分，其中为在第一象限内逆时针方向的半圆弧．

解：再取，围成半圆的正向边界

则

原式

十一、求曲面：到平面：的最短距离．

解：问题即求在约束下的最小值

可先求在约束下的最小值点

取

时，

这也说明了是不可能的，因为平面与曲面最小距离为。

第三篇：西安工业大学高数试题及答案

高等数学(Ⅱ)期末参考答案

一、填空题(每小题3分，共30分)



1.已知a(1,1,2),b(0,1,2)，则ab1

ij11

k

2(0,2,1) .

22.点(1,1,1)到平面3x6y2z140的距离为 3.

3.过点(3,0,1)且与平面3x7y5z120平行的平面方程为

3x7y5z40 .

4.已知zf(xy,2xe2y)，则

t

4

zx

yf12f2 .

5.曲线x

14

4

13

,y

t

3

3

12

,z

t

2

2

在相应于t1处的法平面方程为

(x)(y

)(z

)0 .

10

y0

6.交换积分dxf(x,y)dy的积分次序为

xdy

f(x,y)dy.

223

7.设：zxy

22

(0z1)，则zdS



xy1

2



xy

2

22

2dxdy.

8.设向量A(x2yz)i(y2zx)j(z2xy)k，则divA



Px



Qy



Rz



2(xyz).

9.设函数f(x)以2为周期，且f(x)x(x)，其Fourier级数为

a02







n1

(ancosnxbnsinnx)，则b2

2

1





xsin2xdx 1 .

10.函数f(x)

12x



的麦克劳林级数为

2

(1)2

n

n

x .

n

n0

二、(8分)求函数f(x,y)xxyyxy1的极值，并指出是极大值还是极小值. 解：fx(x,y)2xy1，fy(x,y)2yx1，

2

2fx(x,y)02xy10令  ，得驻点(1,1).由于 , 即 

f(x,y)02yx10y

Afxx(x,y)2， Bfxy(x,y)1， Cfyy(x,y)2，

且

(BAC)x112230，A20,

y1

则(1,1)为极小值点，极小值为

f(1,1)2.



三、(8分)求级数(n1)xn的收敛域及它的和函数.

n0

解：由于 lim|

n

an1an

|lim|

n

nn1



|1，则R1，当x1时，级数(n1)(1)n均

n0

发散，所以收敛域为(1,1).设



s(x)

(n1)x

n0

n

，

则



于是

x0



s(t)dt

[(n1)tdt]

n0

x



n



n0

x

n1



x1x

，



dx1xs(t). s(t)dt20dx(1x)1x

四、(8分)计算(5x43xy

L

y)dx(3xy3xy

322

其中L是抛物线yxy)dy，

22

上自点(0,0)到点(1,1)的一段弧.

解：P(x,y)5x3xy

y，Q(x,y)3xy3xy

322

y在xoy面偏导数连续，

且

Py

Qx

6xy3y，

则曲线积分与路径无关，取折线段(0,0)(1,0)(1,1)，则





L

(5x3xy

42

y)dx(3xy3xy

32

2y)dy



10

(5x3x00)dx321

13)

116



10

222

(31y31yy)dy

1(.

(zx)dzdx(xy)dxdy，其中是由

五、(8分)计算曲面积分I

x(yz)dydz



柱面x2y21，平面z0,z3所围立体表面的外侧.

解：P(x,y,z)x(yz),Q(x,y,z)zx,R(x,y,z)xy在柱面x2y21，平面z0,z3所围立体上偏导数连续，则由高斯公式有

I

x(yz)dydz



(zx)dzdx(xy)dxdy

Rz







(

Px



Qy

)dv

(yz)dv









ydv

30





zdv(第一个积分为0，想想为什么?)

0

zdzdxdyz1dz

Dz

92

.

六、(8分)求下列方程的通解： 1.xyyln

yx

yx

y

yxlnyx

解：xyyln，方程为齐次微分方程;设udu

dxx

yx

，则yuxu，

代入得

u(lnu1)

，

两端积分

lnu1

d(lnu1)

xdx

即ln(lnu1)lnxlnC 或lnuCx1 将u

yx

代回得yxe

2x

Cx

12.y4y3ye.

解：方程为二阶非齐次线性微分方程，对应齐次线性微分方程的特征方程

r4r30的特征根为r11,r23;f(x)e

2x

中2不是特征方程的根，则

特解形式为y*Ae2x，代入得A

yC1e

x

115

，在由解的结构得方程的通解为

3x

C2e



115

e

2x

七、(10分)设vn



unun

，wn



unun

，证明：

1.若级数un绝对收敛，则级数vn收敛;

n1

n1







证：由于un绝对收敛，即|un|收敛，则un也收敛，又vn

n1

n1

n1



12

|un|

12

un，

由性质知vn收敛.

n1



2.若级数un条件收敛，则级数wn发散.

n1

n1





证：(反证)假设wn收敛，已知un收敛，由wn

n1

n1





unun



，即|un|2wnun

及性质知|un|收敛，即un绝对收敛，与已知条件矛盾.所以wn发散.

n1

n1

n1

八、(10分)一均匀物体是由抛物面zx2y2及平面z1所围成. 1.求的体积;

解：在xoy面投影域D:xy1，则所围体积为V

[1(x

D

y)]dxdy



20

d(1r)rdr

2(2.求的质心.

12



14

)



.

解：由于是均匀物体及几何体关于yoz面、xoz面对称，则质心坐标应为(0,0,); 而







zdv





dv





2

drdr

11r

zdz





V





23

，

所以质心坐标为(0,0,

23

).

九、(10分)设D(x,y)|x2y2



22

2,x0,y0,[1xy]表示不超过



22

1xy的最大整数，计算二重积分xy[1xy]dxdy.

22

D

解：设D1{(x,y)|x2y21,x0,y0}，

D2{(x,y)|1xy

2,x0,y0},

则DD1D2,且当(x,y)D1时，[1x2y2]1，当(x,y)D2时，

[1xy]2，所以



D

xy[1xy]dxdy

xy[1xy]dxdy



22





D1D1



D2

xy[1xy]dxdy

22

xydxdy



2xydxdy

D2







d



rsincosdr2d

20



rsincosdr

18

2

18



38

第四篇：西安工业大学高数期末考试题及答案试题

高等数学(Ⅱ)期末参考答案

一、填空题(每小题3分，共36分)

11

1.limlim11xxxyxyyy

xxy

y

1lim1xxyy

xy

x

y

lim

1y

e0.

1yycoscosFyyzxz . esin0xz2xz2.函数zz(x,y)由方程确定，则

xyFzxexe

3.设函数uln

x2y2z2，则它在点M0(1,1,1)处的方向导数的最大值为

. 3

4.设函数f(x,y)2x2axxy22y在点(1,1)处取得极值，则常数a5.

5.空间曲线

12

)处的切线方程为 y22x,z21x在点(,1,

22

x

12

z

y1 .

111



2

6.改变积分次序：I



20

dx

2xx20

f(x,y)dy

dy

11y2

11y2

f(x,y)dx .

7.设平面曲线L为下半圆周yx2，则8.设为曲面z



L

(x2y2)ds1ds

L

12

1 . 2

x2y2在0z1的部分，则xdS 0 .



ex,x0

,则其以2为周期的傅里叶级数在x处收敛于 9.设f(x)

0x1,1

(1e) . 2

10.设y1,y2,y3是微分方程yp(x)yq(x)yf(x)的三个不同的解，且数，则微分方程的通解为 C1(y1y2)C2(y2y3)y1 .

y1y2

常

y2y3



11

11.函数f(x)展开为x的幂级数的形式为n1xn

2xn02

x(2,2) .

12.微分方程y

yxex的通解为Cxxex . x

二、计算下列各题(每小题6分，共18分)

1.设zf(,e)，y(x)，其中f,均为一阶可微函数，求解：

yx

xy

dz. dx

dzyxyxy

f1fe(yxy) 22

dxx

x(x)(x)xy

fe((x)x(x))f122

x

122

2.求曲面z4(xy)与平面z2所围立体的体积.解：所围立体在xoy面的投影域D:x2y24，所围立体的体积V

1212

[4(xy)]2dxdy2dxdy(x2y2)dxdy 22DDD

2122

22drrdr844

020

3.在曲面x22y23z266上第一卦限部分求一点，使该点的切平面与已知平面

xyz1平行.

解：设曲面在第一卦限的切点的坐标为M(x,y,z)，令

F(x,y,z)x22y23z266，

则切平面的法向量

n(Fx,Fy,Fz)M(2x,4y,6z), 已知平面xyz1的法向量

n1(1,1,1) 依题意n//n1，即







2x4y6z令t111

代入曲面方程中解的x6,y3,z2，即切点坐标为M(6,3,2).

三、计算下列各题(每小题6分，共18分) 1.设是由锥面z

x2y2与半球面zx2y2围成的空间区域，是的整个

边界的外侧，求曲面积分

xdydzydzdxzdxdy.



解：已知P(x,y,z)x，Q(x,y,z)y，R(x,y,z)z，由高斯公式有

xdydzydzdxzdxdy(





PQR)dv xyz

3dv3d4dr2sindr



2



32(1

2.写出级数

21

)(22) 23

1357

234的通项，判别该级数的敛散性.若级数收敛时，试求其和. 2222

2n1

解：该数项级数的通项为un;级数为正项级数，由于 n

lim

un112n11

lim，

nun22n12n

由比值审敛法知该级数收敛.令

s(x)(2n1)x2xnx

n

n1

n1



n1

xn2xs1(x)s2(x)x(1,1)，

n1



则



于是

x

s1(t)dtnt

n

1

x

n1

dtxn

n1



x

， 1x

dx1s1(x)， s(t)dt

01(1x)2dx

又

s2(x)xn

n1



x

， 1x

所以

2xxxx2

s(x)2

1x(1x)(1x)2

于是

x(1,1)，



11xx2

s()(2n1)n3. 222n1(1x)x1

3.求微分方程y3y2y2ex的通解.

解：微分方程对应的齐次线性微分方程的特征方程r3r20的特征根为

r11,r22，f(x)2ex的1为特征方程的单根，则原方程的特解为y*Axex，

代入原方程中得A2,齐次线性微分方程的通解为YC1exC2e2x,所以原方程的通解为

yYy*C1exC2e2x2xex.

四、计算下列各题(每小题6分，共18分) 1.求函数f(x,y)4(xy)x2y2的极值.

fx(x,y)0x2

,得驻点解：由于fx(x,y)42x，fy(x,y)42y，令,

f(x,y)0y2y

又 Afxx(x,y)2，及(BAC)(2,2)4， Bfxy(x,y)0，Cfyy(x,y)2，则点(2,2)位极大值点，极大值为

f(2,2)4[2(2)]22(2)28.

(x1)n

2.求幂级数的收敛半径及收敛域. n

n2n1





(x1)n1n

解：令 tx1，则 t，由于 nn

n2n2n1n1



an1n2n1

， limlim

nan(n1)2n12n



1(1)n

则收敛半径R2.又当t2时，级数收敛，当t2时，级数发散，所以

nn1nn1



t[2,2)，即级数的收敛域为[1,3).

x2z

3.设zsin(xy)(x,)，其中(u,v)具有二阶偏导数，求.

yxy

解：

zx1x

(x,)2(x,)， ycos(xy)1

xyyy

2zxx1x1xx

(x,)(2)22(x,)22(x,)(2)cos(xy)xysin(xy)12

xyyyyyyyy

y2

1}上的最

五、(本题5分)求函数f(x,y)xy2在椭圆域D{(x,y)|x

4大值和最小值.

解：由于fx(x,y)2x，fy(x,y)2y，令在D的边界上，设

fx(x,y)0

,在D内求得驻点(0,0).

fy(x,y)0

y2

F(x,y,)xy2(x1)，

得



Fx(x,y,)2x2x0(1)1

Fy(x,y,)2yy0(2)

22

F(x,y,)x2y10(3)4

当x0，由(1)得1，代入(2)得y0，在代入(3)得

x1

;同理当y0

y0

x0得;由于

y2

f(0,0)2，f(1,0)3，f(0,2)2，

所以最大值为3，最小值为2.

六、(本题5分)设在上半平面D{(x,y)|y0}内，函数f(x,y)具有连续偏导数，且

2

对任意的t0都有f(tx,ty)tf(x,y)，证明对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线

L，都有yf(x,y)dxxf(x,y)dy0.

L

解：由格林公式，对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L，

yf(x,y)dxxf(x,y)dy

[f(x,y)xf(x,y)f(x,y)yf

L

x

D1D1

y(x,y)]dxdy

.

[2f(x,y)xfx(x,y)yfy(x,y)]dxdy(*)

由于函数f(x,y)具有连续偏导数，且对任意的t0都有f(tx,ty)t2f(x,y)，即

t2f(x,y)f(tx,ty)

上式两端对t求导有

2tf(x,y)xf1(tx,ty)yf2(tx,ty) 特取t1得

2f(x,y)xfx(x,y)yfy(x,y) 由(*)式既有



L

yf(x,y)dxxf(x,y)dy0

第五篇：08级数控专业

08级数控专业《电工电子技术基础》复习题及答案

一、填空题

1、有甲灯220V60W和乙灯110V40W白炽灯，把他们串联后接到220V电源上时灯较亮;若把他们并联后接到48V电源上时灯较亮。

2、交流电的最大值反映其变化范围，角频率(或频率、周期)反映其，初相角反映其。

3、市用照明电的电压为220V，这是指电压的值，它的最大值为。

4、同一组三相对称负载，联成三角形，接到三相电源上，与联成星形接到同一电源上作一比较，I相△=I相y , I线△=I相y。

5、常见的触电原因有三种：、、。

6、将电气设备在正常情况下不带电的金属外壳或构架，与联接，称作保护接地。而将电气设备在正常情况下不带电的金属外壳或构架，与联接，叫保护接零。

7、变压器的工作原理实质上是吸收电源能量，通过，而输出电能的它起的只是的作用。

8、异步电动机的转速与、和转差有关。

9、继电器是的电器，热继电器是继电器的一种，它是利用而使触头动作的。

10、电机和电器设备在运行中，操作人员有责任通过等直接感觉进行监视。

11、稳压二极管工作处于区，在该区内，稳压管的电流在很大的范围内变化，却基本不变，这就是稳压管的稳压作用。

12、串联负反馈能使放大器的输入电阻。

13、射极输出器是典型的放大器。

14、编码器的作用是。

15、电动机的联动控制，可以使各台电动机按照起动，符合工艺规程，保证。

二、选择

1、在全电路中、负载电阻增大，端电压将()

A、增高B、减小C、不变D、不确定

2、如图①在电路中当R2值增大时，则()

A、PA1读数减小，PA2读数增大;B、PA1和PA2的读数减小;

C、PA1和PA2的读数增大;D、PA1读数减少，PA2读数不变。

3、根据戴维南定理如图②所示的等效电流内阻RAB为()

A、 KB、KC、3K

4、如图③电路所示，A、B、C三灯相同，当SA合上瞬间()

A、A灯最亮B、B灯最亮

C、C灯最亮D、A、B、C三灯一样亮

5、如图④所示三相电源或电压为380V，Ru=Rv=Rw=10，则电压表和电流表的读数分别为

()

A、电压220V，电流22AB、电压380V，电流22A

C、电压220V，电流38AD、电压380V，电流38A

6、变压器是传递()的电气设备。

A、电压B电流C、电压、电流和阻抗D、电能

7、星形一三角形降压起动时，电动机定子绕组中的起动电流可以下降到正常运行时电流的()

A、3B、C、3D、

8、对磁感应强度影响较大的材料是() A、铁B、铜C、银D、空气

9、异步电动机长期连续运行时，转轴所输出的最大转矩称为()

A、最大转矩B、起动转矩C、额定转矩

10、数控机床的急停按钮按下，则表示()

A、整台机床全部断电B、数控装置断电C、伺服系统断电

11、可编程控制器通常用于机床电气的()

A、控制回路B、保护回路C、接口电路

12、机床操作面版上的停止按钮应采用()按钮。

A、常开B、常闭C、自锁

13、按接触器频繁操作时，它的线圈()

A、发热B、能正常工作C、过热可能烧毁

14、热继电器在电路中具有()保护作用。

A、过载B、过热C、失压D、短路

15、在反接制动控制线路中，用作控制制动时间的电器是()

A、时间继电器B、速度继电器C、电流继电器

16、有一台380V/36V的变压器，在使用时不慎将高压侧和低压侧互相接错，当低压侧加上380V电压后，将发生的现象是()

A、高压侧有380V电压输出B、高压侧没有电压输出，绕组严重过热

C、高压侧有高压输出，绕组严重过热D、高压侧有高压输出，绕组无过热现象

17、为保证机床操作者的安全，机床照明灯的电压应选()

A、380VB、220VC、110VD、36V以下

18、当硅稳压二极管稳压电路输出电流不够时，应该采用下面()种做法。

A、将两制相同型号的稳压二极管串联。

B、将两制相同型号的稳压二极管并联。

C、更换一只稳压值相同，功率更大的二极管。

19、晶体三极管在放大交流信号时，其集电极电压()

A、只含有放大了交流信号

B、只含有直流静态电压

C、既有直流静态电压又有交流信号电压

20、影响放大器工作点点稳定的主要因素是()

A、偏置电阻的阻值B、负载的变化C、交流旁路电容的容量D、温度

21、负反馈改善了放大器的性能，但使放大电路的放大信数()

A、降低B、不变C、增加D、不确定

22、下列电路中，具有记忆、计数功能的电路是()

A、单稳态电路B、运行放大电路C、多谐震荡器D、双稳态电路

23、十序逻辑电路的输出与()有关。

A、只在当前的输入B、与当前的输入和原来的状态

C、只与原来的状态D、与电源电压

24、逻辑功能为输入有“O”时，输出就为“I”的门电路是()

A、车门B、或门C、与非门D、或非门

25、晶体三极管按共发射极接法组成放大器工作时，其输出电流、输出电压在输入电压的相位关系是()

A、输出电流、输出电压均与输入电压相反

B、输出电流、输出电压均与输入电压相反

C、输出电流与输入电压相同，输出电压与输入电压相反

三、判断

1、220V60W灯泡，若安在110V电源上使用，它的实际功率只有30W。()

2、当电路处于通路状态时，外电路电阻上的电压等于电源电动势。()

3、基尔霍夫第二定律只使用与闭合回路，在开口电路中还使用。()

4、电压源和电流源对外电路来说可以等效但并不保证电源内部的等效。()

5、变压器中匝数较多，线径较细的绕组一定是高电压绕组。()

6、把应作星形连接的电动机接成三角形，电动机将烧坏。()

7、电感性负载并联以适当电容器后，可使线路的总电流减小。()

8、提高电路的功率因数，就可以延长电器设备使用寿命。()

9、在同一个供线路中绝对不允许一部分电器设备采用保护接地，而另一部分电器设备采用保护接零。() ()

11、为了控制RL电路过渡过程的快慢，可调整电路中的R或L的参数值，以改变时间常数t 的大小。()

12、电动机在起动时，发出嗡嗡声，可能是电动机缺相运行，应立即切断电源。()

13、软磁材料的磁导率很大，适合做永久磁体。()

14、要使用电动机反转，将通入电动机的三根电源线中的任意两根对调即可。()

15、热继电器的保护动作在过载后需要经过一段时间才能执行。()

16、熔断器是一种控制电器，当电路发生短路或过载时能自动切断电路。()

17、可编程控制器实际上就是一个小规模的电子计算机。()

18、串联反馈都是电流反馈，并联反馈都是电压反馈。()

10、同RC充电电路一样，RC放电的过渡过程中，UC、i 也是由稳态分量和暂态分量组成。

19、计数器是一中组合逻辑电路。()

20、主从JK触发器的输出状态是在CP脉冲的下降沿到来时改变的。()

四、计算题

1、如图⑤所示，已知Ec=12V，Rc=3K，Re=2K，R1=30K，R2=10K，ube≈0，=50， 求：①放大器的点静态工作Ib、Ic和Uce

②输入电阻Ri和输出电阻Ro

③估算放大器的电压放大信数

④如Ce断开器后，电路的性能发生什么变化?

五、改错题

指出并改正图⑥中的错误，说明电路的工作原理。

六、问答题

1、设某机床电器控制系统突然发生了故障，按下停止按钮不能停车，说明可能的原因，操作者应该采取什么措施?

2、为什么在照明和电热设备中只装熔断器，而在电动机电路中既安装熔断器又安装发热继电器?

《电工电子技术基础》复习题答案

一、 填空

1、 甲;乙;

2、 变化快慢;交变起点

3、 有效;311V;

4、 3;3;

5、 违章冒险;缺乏电气知识;输电线或用电设备的绝缘损坏

6、 大地之间作良好的金属联接;供电系统中的零线;

7、 电磁转换、传递能量;

8、 电源频率;磁极对数;

9、 传递信号;电流的热效应;

10、听、闻、看、摸;

11、反向击穿;击穿电压Uz;

12、增大;

13、电压串联负反馈;

14、二进制数码表示不同的信号

15、一定顺序;工作安全

二、选择题

1、A;

2、D;

3、B;

4、B;

5、D;

6、D;

7、B;

8、A;

9、C;

10、C;

11、A;

12、B;

13、C;

14、A;

15、B;

16、B;

17、D;

18、C;

19、C;20、D;

21、A;

22、D;

23、B;

24、C;

25、C

三、判断题

1、×;

2、× ;

3、×;

4、√ ;

5、√ ;

6、√;

7、√;

8、× ;

9、√ ;

10、×;

11、√;

12、√;

13、×;

14、√;

15、√;

16、×;

17、√;

18、×;

19、×;20、√;

四、计算题

解：①Ub=RR31.5mAIc≈Ie=1.52Ib=30A 12Ue= Ub-Ube=3V e2*EC10*12=3V 3010ce

Uce=Ec-Ic*Rc-Ie*Re=12-1.5*3-1.5*2=4.5V

②

R∥R∥

Ro=Rc=3K 50*3150 ③K*1r④Ku ↓Ri =12r50be =300+(1+)*r26mV26300(150)1K Ie1.5≈1K becu

be

五、改错题

工作原理：(设QS已合上) 电动机M正转 M停转电动机对KM2联锁

2、反转控制：先按SB3→KM1线圈失电→﹛ 电动机M反转解除对KM2的联锁

1、正转控制：按SB1→KM1线圈得电并自锁﹛再按SB2→KM2线圈得电并自锁→﹛

六、问答题 对KM1联锁

1、答：这种情况一般是因为过载而造成接触器三触头烧焊引起的，操作者必须立即断开电源引入开关，迫使电动机停转。

2、答：照明和电热设备是电阻性负载，工作稳定，可能出现的故障一般为短路，故安装熔断器;电动机工作时受负载的影响大，容易过载，所以装容电器作为保护，